Упростить выражение 10 класс тригонометрические уравнения

Презентация по математике «Упрощение тригонометрических выражений» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Тригонометрические формулы. 10 класс Упрощение тригонометрических выражений. УМК А. Г. Мордковича

Величие человека – в его способности мыслить. (Б. Паскаль)

Содержание 1. Формулы тригонометрии: Основные тригонометрические тождества (10) Формулы сложения (6) Формулы двойного угла (8) Формулы тройного угла (2) Формулы половинного аргумента (7) Формулы понижения степени (7) Преобразование сумм в произведения (9) Преобразование произведений в суммы (3) 2. Вычислить, упростить, решить уравнение (18)

Основные тригонометрические формулы 1. =>

Основные тригонометрические формулы

Формулы сложения 1. Sin (x + y)= sinx·cosy + cosx·siny 2. cos(x + y)= cosx·cosy — sinx·siny 3. sin(x – y)= sinx·cosy — cosx·siny 4. cos(x – y)= cosx·cosy + sinx·siny 5. 6.

Формулы двойного угла 1. sin2x = 2 sinx·cosx; 2. cos2x = cos²x — sin²x; 3. cos2x = 1 – 2sin²x; 4. cos2x = 2cos²x — 1; 5. 6.

Формулы двойного угла 7. 1 + sin2x = (cosx + sinx)² 8. 1 — sin2x = (cosx — sinx)²

Формулы тройного угла 1. sin 3x = 3 sinx – 4 sin³x 2. cos 3x = 4cos³x — 3cosx

Формулы половинного аргумента

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени Sin³α = ¼(3sinα – sin3α) Cos³α = ¼(cos3α – 3 cosα) Sin⁴α = 1/8 (cos4α – 4cos2α+3) cos ⁴α = 1/8 (cos4α + 4cos2α+3)

Преобразование суммы в произведение

Преобразование суммы в произведение Cosβ + sinβ = √2·cos(π/4 – β) Cosβ — sinβ = √2·sin(π/4 – β)

Преобразование произведения в сумму 1) Sinx · siny = ½(cos(x-y) – cos(x+y)) 2) Cosx · cosy = ½(cos(x-y) + cos(x+y)) 3) Sinx · cosy = ½(sin(x-y) + sin(x+y)) или 1) 2·Sinx · siny = cos(x-y) – cos(x+y) 2) 2·Cosx · cosy =cos(x-y) + cos(x+y) 3) 2·Sinx · cosy = sin(x-y) + sin(x+y)

Вычислить Sin 75° 2) cos 75° Решение. 1) Sin 75° = Sin (30°+45°)= = Sin 30°· cos 45°+ Sin 45°· cos 30°= =1/2·√2/2 + √2/2 ·√3/2 = √2/4+ √6/4= =(√2+√6)/4 2) Ответ: (√6 — √2)/4 Sin (x + y)= sinx·cosy + cosx·siny

Вычислить sin4π/15 · cosπ/15 + cos4π/15 · sin 4π/15 Решение. Sin4π/15 · cosπ/15 + cos4π/15 · sinπ/15= =sin(4π/15 + π/15) = = sin(π/3)= √3/2 Sin (x + y)= sinx·cosy + cosx·siny

Вычислить самостоятельно cos37° · cos8° — sin37°· sin8° Ответ: √2/2 sin44° · cos14° — cos44°· sin14° Ответ: 1/2

Вычислить tg75° Решение. tg75°= tg(30°+45°) =…. = (√3/3+1): (1- √3/3·1) =

Вычислить самостоятельно Решение.

Вычислить Cos²π/8 — sin²π/8 Решение. Cos²π/8 — sin²π/8 = Cos (2· π/8) = = Cos π/4 = … Ответ: √2/2 cos2x = cos²x — sin²x

Вычислить Sin π/12 · cos π/12 Решение. Sin π/12·cos π/12=Sin(2· π/12):2= = Sin(π/6):2=(1/2):2=… Ответ: 1/4 sin2x = 2 sinx·cosx

Упростить выражение Sin 43° + sin 17° Решение. Sin43°+sin17°=

Упростить выражение Cos π/8 + cos 3π/8 Решение. Cosπ/8+cos3π/8=

Упростить выражение 2sinxcosx(cos²x-sin²x) Решение. 2sinxcosx·(cos²x-sin²x)= sin2x·cos2x=

Решить уравнение Sin 5x + sin x = 0 Решение. 2· Sin3х·cos2x = 0 => т.к. 2≠0, то Sin3х=0 или cos2x=0 (дальше решаете сами)

Вычислить, не пользуясь таблицами а) 2sin37°30´·cos7°30´ б) sin52°30´·cos7°30´ в) cos37°30´·cos7°30´ г) sin52°30´·sin7°30´

Решение а) =sin(37°30´+7°30´)+ sin(37°30´-7°30´)= = sin45°+ sin30°=√2/2+1/2=… б) =0,5·(sin(52°30´-7°30´)+sin(52°30´+7°30´))= = 0,5·(sin(45°)+ sin(60°))= 0,5·(√2/2+√3/2)=… в) =0,5·(cos(37°30´-7°30´)+cos(37°30´+7°30´))= = 0,5·(cos(30°)+cos(45°))= 0,5·(√3/2+ √2/2)=… г) =0,5·(cos(52°30´-7°30´)-cos (52°30´+7°30´))= = 0,5·(cos(45°)-cos(60°))= 0,5·(√2/2-1/2))=…

Вычислить Решение. (кто желает объяснить) Ответ: -2

Вычислить Решение. Ответ: 0,5 (кто желает объяснить)

Могут ли одновременно выполняться равенства? Решение. Ответ: да (кто желает объяснить)

Могут ли одновременно выполняться равенства? Ответ: нет

Могут ли одновременно выполняться равенства? Ответ: да

Используемые ресурсы Учебник А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс,- М., Мнемозина,2012 Задачник А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс,- М., Мнемозина,2012 В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик, Математика, — М., Высшая школа, 1991 http://cbs-solncevo.ru/wp-content/uploads/2012/05/%D0%9C%D1%83%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%8F-%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0-%D1%83%D1%87%D0%B8%D1%82-%D0%BD%D0%B0%D1%81-%D1%83%D0%BC%D1%831.jpg

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 575 995 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

21.01.2016
1159
0

21.01.2016
478
0

21.01.2016
744
0

21.01.2016
1000
5

21.01.2016
556
0

21.01.2016
1233
3

21.01.2016
2594
52

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

21.01.2016 11202
PPTX 997 кбайт
116 скачиваний
Рейтинг: 5 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Базарбаева Ольга Серикпаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 7 лет
Подписчики: 0
Всего просмотров: 22726
Всего материалов: 9

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Упрощение тригонометрических выражений. Задание 9

Упрощение тригонометрических выражений. Задание 9.

При упрощении тригонометрических выражений полезно придерживаться такой последовательности действий:

1. С помощью формул приведения привести все тригонометрические функции к углам первой четверти.

2. Посмотреть, как соотносятся между собой полученные углы, чтобы определить, какие формулы использовать для преобразования выражения. В большинстве задач это формулы двойного аргумента или соотношение

Прежде чем читать дальше, очень рекомендую перечитать статью, как пользоваться формулами приведения и не заучивать их.

Рассмотрим несколько примеров решения задач на упрощение тригонометрических выражений из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

1 . Задание B10 (№ 26756) Найдите значение выражения

Мы видим, что , поэтому либо разложим знаменатель по формуле косинуса двойного аргумента, либо, наоброт свернем числитель по той же формуле:

Ответ: -24.

2 . Задание B10 (№ 26757) Найдите значение выражения

Заметим, что

Воспользеумся фомулой приведения:

Ответ: 5.

3 . Задание B10(№ 26757) Найдите значение выражения

Преобразуем аргументы тригонометрических функций в знаменателе дроби:

Вспомним, что синус — нечетная функция, а косинус — четная:

С помощью тригонометрического круга определим значение

и :

Получим:

Ответ: — 16.

4 . Задание B10 (№ 26770) Найдите значение выражения

Воспользуемся формулой приведения:

Ответ: — 5.

5 . Задание B10 (№ 26774) Найдите значение выражения

Снова воспользуемся формулой приведения:

Ответ: 12.

6 . Задание B10 (№ 26776) Найдите , если и

По основному тригонометрическому тождеству:

Косинус в третьей четверти отрицателен, поэтому

Отсюда

Ответ: 5.

7 . Задание B10 (№ 26781) Найдите значение выражения

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №40. Преобразование тригонометрических выражений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

различные приёмы преобразования тригонометрических выражений.
различные тригонометрические формулами и их использование при преобразовании тригонометрических выражений.

Глоссарий по теме

Преобразование тригонометрических выражений – это упрощение выражений, которое выполняется с помощью тригонометрических формул.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Преобразование тригонометрических выражений – это их упрощение, которое выполняется с помощью тригонометрических формул.

Вот некоторые правила, которые помогут нам преобразовывать тригонометрические выражения.

Если в тригонометрических выражениях разные меры угла, то их следует привести к единой, применяя правила:

1))

Например:

Например: .

Если синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы содержат разные аргументы, (углы),стараемся привести к одному аргументу (углу).

Например, с помощью формул двойного аргумента(угла) заменяем на по формуле .

Если в тригонометрическом выражении необходимо поменять синус на косинус, тангенс на котангенс, то применяем формулы приведения.

Например: , так как , синус меняется на косинус.

, так как , тангенс меняется на котангенс, угол в четвёртой четверти, здесь тангенс отрицательный.

Если тригонометрические выражения содержат большое количество тригонометрических функций, то необходимо привести к минимальному количеству видов функций. Для этого используем формулы приведения, основное тригонометрическое тождество или другие формулы.

вычислить .

Заметим, что , , .

Тогда данное выражение примет вид: ;

в скобках формула косинуса двойного угла, т.е. , значит

Если в тригонометрическом выражении нужно понизить степень входящих в него компонентов, применяем формулу понижения степени или формулу половинного аргумента. Только помните: степень понижается, аргумент удваивается.

, , ,

Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.

Например: упростите выражение .

Применяем формулу понижения степени для косинуса и получаем:

Чтобы определить рациональность значения тригонометрического выражения, мы должны знать, что из всех углов, содержащих рациональное число, лишь углы вида ; ; , где k целое число, имеют рациональный косинус.

Например, число рациональное, так как .

Углы вида ; ; , где k целое число, имеют рациональный синус.

Углы вида ; , где k целое число, имеют рациональный тангенс.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:

Рассмотрим примеры преобразований тригонометрических выражений.

Пример 1.Вычислите: .

Заметим, что в знаменателе данной дроби у синусов разные углы и . Используем формулу приведения: и тогда наше выражение примет вид: , в знаменателе тригонометрическое тождество, равное 1. Нам осталось 24 разделить на 1, получаем 24.