Уравнение 2 степени с параметрами

Алгебраические уравнения высших степеней с параметрами

Разделы: Математика

1.1. Общая методическая концепция решения уравнений с параметрами

Пусть дано уравнение F(x, a) = 0, (1)

если ставится задача для каждого значения а А решить уравнение (1) относительно х, т.е. получить уравнение

то уравнение (1) называется уравнением с неизвестным х и параметром а. А – область изменения параметра. Принято считать, что А – множество действительных чисел. Решить уравнение (1) – значит решить множество уравнений, которые получаются из уравнения (1) при а R. Сделать это можно, если по некоторому признаку разбить множество А на подмножества и решить заданное уравнение на каждом из них. Значения а называются контрольными.

1.2. Использование параметра как равноправной переменной

Некоторые уравнения бывает целесообразно решать, рассматривая их как уравнение именно относительно параметра, который фигурирует в условии, а не относительно искомой переменной. Этот путь эффективен, в частности, в тех случаях, когда степень переменной относительно высока, а степень параметра равна двум.

Пример 1. Решить уравнение с параметром.

2x 3 – (а+2)х 2 – ах + а 2 = 0 (1)

Решение: Данное уравнение можно рассматривать как квадратное относительно параметра а, переписав его в виде:

а 2 – х(х+1)а – 2х 2 + 2х 3 = 0 (2)

Найдем дискриминант D.

D = х 2 (х+1) 2 – 8(х 3 – х 2 ) = х 4 — 6х 3 + 9х 2 = х 2 (х 2 — 6х + 9) = х 2 (х — 3) 2 .

Найдем корни уравнения (2).

; а₂ = 2х.

Получим уравнение (а – х 2 + х)(а – 2х) = 0 равносильное исходному уравнению, которое ещё в свою очередь равносильно совокупности

Рассмотрим уравнение х 2 – х – а = 0, D = 1 – 4а.

D = 0 при а = -1/4 один корень х = 1/2

D 0 при а > -1/4 два корня

Рассмотрим уравнение х = а/2, при а = -1/4, х = -1/8.

Ответ: при а > -1/4 три корня: х1 = а/2,

при а = -1/4 два корня: х1 = -1/8; х 2 = ½

при а 4 – (а+2)х 3 – (а – 1)х 2 + (а 2 – 1) = 0;

1.3. Графический способ решения уравнений с параметрами

Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. В самом деле, поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему, естественно можно выделить и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость (х; а). Рассмотрим примеры.

Пример 1. В зависимости от параметра а определить число корней уравнения.

x 4 – 10х 3 – 2(а — 11)х 2 + 2(5а + 6)х + 2а + а 2 = 0;

Решение. Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно а.

а 2 + 2а(1 + 5х – х 2 ) + (х 4 – 10х 3 + 22х 2 + 12х) = 0;

D/4 = 1 + 25х 2 + х 4 + 10х – 10х 3 – 2х 2 – х 4 + 10х 3 – 22х 2 – 12х = х 2 – 2х +1 = = (х – 1) 2

Найдем а₁ и а₂ ; а₁ = х 2 -5х – 1 + х – 1 = х 2 — 4х – 2;

а₂ = х 2 -5х – 1 — х + 1 = = х 2 – 6х.

Теперь обращаемся к координатной плоскости (х; а).

х 2 — 4х – 2 = х 2 – 6х, 2х = 2, х = 1, а(1) = -5.

Ответ: если а -5, то четыре решения.

Упражнения

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет три решения.

1. (х 2 – 12а) 2 – 24х 2 + 32х + 96а = 0;
2. (2х 2 – а) 2 – 24х 2 + 16х + 4а = 0;
3. (2х 2 – а) 2 = 13х 2 + 6х – 2а = 0.

1.4. Использование свойств функций для решения алгебраических уравнений

На выпускных экзаменах за курс средней школы встречаются уравнения с параметром, решение которых связано с использованием четности функций. Напомним определение четности функции.

Определение. Функция f(x) называется четной, если f(-x) = f(x) для любого х из области определения этой функции. График четной функции симметричен относительно оси ординат. У четной функции область определения симметрична относительно начала координат.

Пример 1. Может ли при каком-нибудь значении а уравнение

2х 8 – 3ах 6 + 4х 4 – ах 2 = 5 иметь 5 корней?

Решение. Обозначим f(x) = 2х 8 – 3ах 6 + 4х 4 – ах 2 . f(x) – функция четная, поэтому, если х0 – корень данного уравнения, то – х₀ – тоже, х = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.

Пример 2. При каком значении а уравнение х 10 – а|х| + a 2 – а = 0 имеет единственное решение?

Решение. Обозначим f(x) = х 10 – а|х| + a 2 – а, f(x) – функция четная, поэтому, если х0 – корень данного уравнения, то – х₀ – тоже. Значит для единственности решения необходимо, чтобы х₀ = 0. В этом случае из уравнения получим: a 2 – а = 0, а = 0 или а = 1. Проверим достаточность каждого из полученных значений параметра а,

при а = 0, х 10 = 0, т.е. х = 0 единственное решение.

при а = 1, х 10 — |x| = 0. Корнями являются числа ± 1, 0.

Ответ: при а = 0 уравнение имеет единственное решение.

Упражнения

1. Может ли при каком-нибудь а уравнение 2х 6 – х 4 – ах 2 = 1 иметь три корня?
2. Может ли при каком-нибудь а уравнение 2х 6 – 2ах 4 + 3х 2 = 4 иметь пять корней?
3. При каком значении а уравнение имеет единственное решение?

1.5. Метод замены

Как мы уже знаем, что рациональное и быстрое решение уравнения зависит от замены переменной. Рассмотрим примеры, для решения которых нужны специальные замены, которые приводят как раз к быстрому решению уравнений.

Пример 1. Решить уравнение (х + 2а)(х +3а)(х + 8а)(х + 12а) = 4а 2 х 2 ,

где а – параметр.

Решение. Данное уравнение относится к уравнению вида

(х + а)(х +b)(х + c)(х + d) = Eх 2 (см. п. 2.5 (3))

Используя специфику решения такого уравнения, будем иметь:

(х 2 + 14ах +24а 2 )( х 2 + 11ах +24а 2 ) = 4а 2 х 2

Если а = 0, то х = 0.

Обратно, если а ≠ 0, то х ≠ 0.

Разделим обе части этого уравнения на а 2 х 2 , будем иметь

В полученном уравнении сделаем подстановку и получим уравнение (у + 14)(у + 11) = 4, у 2 + 25у + 150 = 0, у₁ = — 15, у₂ = — 10.

Таким образом, получим два уравнения

и

Решим первое уравнение х 2 + 15ах + 24а 2 = 0, D = 129a 2 , х_1,2

Решим второе уравнение х 2 + 10ах + 24а 2 = 0, D = 4a 2

х 3 = -6а, х 4 = -4а

Ответ: если а = 0, то х = 0
если а ≠ 0, то х_1,2, х 3 = -6а, х 4 = -4а

Упражнения

1. Найдите все действительные значения величины а, при которых уравнение х(х +1)(х + а)(х + 1 + а) = а 2 имеет четыре действительных корня.
2. Решить уравнение х 4 + а 4 – 3ах 3 + 3а 2 х = 0.
3. При каких значениях а уравнение (х 2 – 2х) 2 — (а + 2)(х 2 – 2х) + 3а – 3 = 0 имеет четыре корня?
4. Решить уравнение (х + а)(х + 2а)(х + 3а)(х + 4а) = 3а 4

Программа элективного курса по математике для 9 классов на тему «Уравнения второй степени с параметром»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Оленинская средняя общеобразовательная школа

ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССОВ

«УРАВНЕНИЕ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ПАРАМЕТРОМ»

Орлова Людмила Александровна, учитель математики

Элективный курс для учащихся 9 класса посвящен одной из самых важных тем: «Квадратные уравнения». При решении многих заданий, например, тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и неравенств, приходится обращаться к нахождению корней квадратного трехчлена, области значений квадратичной функции, определению знака квадратного трехчлена. Задачи, содержащие параметры являются своего рода критерием усвоения учебного материала. Они присутствуют в вариантах выпускных экзаменов за курс общеобразовательной школы и во вступительных тестовых заданиях по математике. Задачи такого типа вызывают затруднения у учащихся, так как практических заданий по данной теме в школьных учебниках мало. В школьном курсе алгебры и начал анализа такие задачи рассматриваются, но в виде отдельной темы они не выделены, поэтому у учителей чаще всего нет возможности уделить им должного внимания.

Данный элективный курс поможет систематизировать знания по решению уравнений, развить нестандартные способы мышления, а также научиться решать широкий курс задач с параметрами.

Цель данного курса – создание условий для формирования знаний и умений, необходимых для решения таких задач, формирования целостного представления о методах их решения, рассмотрение различных типов заданий, подготовка учащихся к выпускным экзаменам. Для этого необходимо решить следующие задачи:

· систематизировать и обобщить ранее изученный материал и рассмотреть его на более высоком уровне сложности,

· изучить методы и способы решения различных типов задач,

· создать целостное представление о теме,

· расширить спектр задач доступных учащимся,

· развивать логическое мышление школьников,

· развивать творческие способности школьников при конструировании способов решения задач высокого уровня сложности,

· воспитывать рациональность и креативность мышления учащихся.

Данный курс рассчитан на 8 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории, решения типовых задач, самостоятельную работу. Основные формы организации учебных занятий: групповая, коллективная, индивидуальная, парная. Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на решение новых и интересных задач.

УЧЕБНО — ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Неполные квадратные уравнения

Знаки корней квадратного уравнения

Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра

Наибольшее и наименьшее значения квадратичной функции

Тема 1. Квадратные уравнения.

Определения уравнения с параметром, области определения уравнения с параметром. Определения квадратного трехчлена и квадратного уравнения. Решение уравнений выделением квадрата двучлена. Решение квадратных уравнений по формуле.

Тема 2. Неполные квадратные уравнения.

Определение неполного квадратного уравнения. Методы решений неполных квадратных уравнений.

Тема 3. Теорема Виета.

Формулировка теоремы Виета. Примеры применения теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета.

Тема 4. Знаки корней квадратного уравнения.

Определение знаков корней квадратного уравнения в зависимости от значения параметра.

Тема 5. Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра.

Теорема о расположении корней квадратного трехчлена относительно заданной точки или заданного числового промежутка.

Тема 6. Наименьшее и наибольшее значения квадратичной функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции.

В каждой теме все задачи разбиты на четыре группы. Первая группа («Решение задач») предназначена для совместной работы учителя и ученика. В этом разделе предложены решения задач. В процессе работы над каждой задачей ученикам предлагаются вопросы, которые помогут составить представление о способах и методах работы с такими задачами. После того как работа над заданием завершена, не следует сразу переходить к следующему. Необходимо еще раз просмотреть решение с целью: проанализировать способ и метод решения, обратить внимание на то, что было трудно, сформулировать вопросы и ответы на них с помощью изложенного решения. Только после этого можно переходить к решению следующего задания.

Вторая группа («Задания для самостоятельной работы») предназначена для самостоятельной работы.

В третьей группе («Дополнительные задания») содержится ряд аналогичных заданий тем, что предлагались в первых двух группах, поэтому есть возможность закрепить полученные навыки при выполнении подобных заданий.

Для организации текущего контроля разработаны задачи обучающего характера. Это позволяет вовремя вносить коррективы в знания учащихся. Этому может способствовать и систематическое консультирование по желанию учащихся.

· Мотивация к занятиям;

· Радость успеха при решении более сложных задач;

· Чувство уверенности и успешности

В результате изучения курса учащийся должен

— понимать, что такое параметр;

— уметь применять знания из разных разделов школьного курса математики для конструирования способа решения задачи в нестандартной ситуации;

-овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования.

1. А. Блох, Т. Трухан. Неравенства, 1972.

2. Газета «Математика» №5, 1999.

3. Газета «Математика» №2, 2004.

4. Газета «Математика» №3, 2004.

5. Газета «Математика» №6, 2004.

6. Газета «Математика» №9, 2004.

7. Газета «Математика» №10, 2004.

8. Газета «Математика» №11, 2004.

9. Д. Письменный. Готовимся к экзамену по математике. 2003.

10. О. Черкасов, А. Якушев. Математика: интенсивный курс подготовки к экзаменам. 2001.

11. Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. Минск, 1996.

12. Беляева Э. С., Потапов А. С., Титоренко С. А. Уравнения и неравенства второй степени с параметром и к ним сводимые: Пособие для учителей и учащихся. Воронеж, 2000.

13. Горштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами. Москва, 1998.

14. Кушнир И. И. Уравнения, Киев, 1996.

15. Сборник элективных курсов. Математика 8-9 классы. Издательство «Учитель», Волгоград, 2006 г, В.Н. Студенецкая, Л.С. Сагателова.

16. Данкова И. Н., Бондаренко Т. Е., Емелина Л. Л., Плетнева О. К. Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике. 2006.

— для совместной работы:

1. Решите уравнение .

2. Определите при каких значениях один из корней уравнения

равен нулю.

3. Не решая уравнения , найдите, при каком один из корней в два раза больше другого.

4. Найдите все значения , при которых сумма квадратов корней уравнения

равна 10.

5. При каком уравнение имеет два различных отрицательных корня?

6. При каких значениях параметра уравнение имеет два действительных различных корня? Определите знаки корней в зависимости от ?

7. При каком значении параметра оба корня уравнения

заключены между числами – 2 и 4?

8. При каких значениях параметра только один корень уравнения , имеющего различные корни, принадлежит интервалу (1;4)?

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции .

10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

— для самостоятельной работы:

1. Решить неполное квадратное уравнение:

2. При каких значениях уравнение имеет один корень?

3. При каких значениях k каждое из следующих уравнений имеет два различных действительных корня?

4. При каких значениях параметра a разность корней уравнения

равна их произведению?

5. В уравнении определите то значение с , при котором его корни и удовлетворяют условию .

6. Найдите все значения параметра , при которых корни уравнения одного знака.

7. При каких значениях параметра уравнение имеет два различных корня? Определите знаки этих корней в зависимости от .

_·

_·

_·

_·

_·

8.При каких значениях параметра а корни уравнения

ах 2 — (2а + 1)х + 3а – 1 = 0 больше 1?

9.При каких значениях параметра а один из корней уравнения (а 2 – 2)х 2 + (а 2 + а – 1)х — а 3 + a = 0 больше числа а, а другой меньше числа а?

10.При каких значениях параметра а корни и х₂ уравнения (За + 2)х 2 + (а – 1)х + 4а + 3 = 0 удовлетворяют условиям х,

11.При каких значениях параметра а корни уравнения х 2 — 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0 имеют разные знаки и оба по абсолютной величине меньше 4?

12.При каких значениях параметра а один из корней уравнения а 2 х 2 + ах – 2 = 0 по абсолютной величине больше 1, а другой меньше 1?

13.Найти все значения а, при которых любые значения х, удовлет­ воряющие неравенству ах 2 + (1 — а 2 )х — а > 0, по модулю не превосхо­ дят двух.

14.При каких значениях параметра а корни уравнения ах 2 — (а 3 + 2а 2 + 1)х + а(а + 2) = 0 принадлежат отрезку [0; 1]?

15. Для каких значений параметра наибольшее значение функции

на отрезке равно 4?

16. При каком значении параметра квадрат разности корней уравнения

будет наименьшим?

17. При каких значениях параметра сумма квадратов корней уравнения

будет наименьшей?

1. Найдите все значения параметра , при которых разность корней уравнения

равна 1?

2. При каких значениях параметра оба корня уравнения меньше 7?

3. Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет положительные корни.

4. При каких значениях параметра число 7 находится между корнями уравнения

.

5. Найдите все значения параметра , при которых уравнение

имеет корни разных знаков.

Уравнение 2 степени с параметрами

Главная
• Список секций
• Математика
• Уравнения второй степени с параметром и к ним сводимые

Уравнения второй степени с параметром и к ним сводимые

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами («параметр» с греч. parametron–отмеривающий). В обыденной жизни мы употребляем слово «параметр» как величину, характеризующую какое-либо основное свойство процесса, явления или системы, машины, прибора (напряжение, электрическое сопротивление, масса, коэффициент трения и др.).

В математике параметр –это постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи.При математическом моделировании различных процессов часто возникают задачи с параметрами (уравнения или неравенства, системы уравнений и неравенств, построение семейства кривых). В курсе элементарной математики уравнения и неравенства с параметрами являются, пожалуй, самыми сложными задачами. Обычно мы встречаем линейные уравнения с параметром, и только иногда квадратные уравнения с тем же параметром. Поэтому у меня возникло желание разобраться в этой теме: уравнения второй степени с параметрами, дополнив её уравнениями, сводимыми к выше названным.

Данная тема актуальна, потому что нам может пригодится умение решать уравнения второй степени с параметрами при сдаче экзамена ЕГЭ по математике и при поступлении в высшие учебные заведения.

Гипотеза работы: количество корней и их значение будет зависеть от значения параметра.

Цель работы: систематизировать знания о решении уравнений второй степени с параметром, к ним сводимых уравнений и составить алгоритм их решения.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) дать определение понятию «уравнение с параметром»;

2) показать принцип решения уравнений второй степени с параметром на общих случаях;

3) показать решение уравнений второй степени с параметрами, используя аналитический метод;

4) составить алгоритм решения уравнений с параметрами.

Для выполнения поставленной цели были использованы следующие методы: использование литературы (учебных пособий по математике), и работа на занятиях по математике.

Объектом исследовательской работы было решение уравнений второй степени с параметрами.

РАЗДЕЛ 1: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ПАРАМЕТРОМ

Если в выражении с двумя неизвестными x и a ,переменной a придавать какое-либо фиксированное значение, то это уравнение (или неравенство) можно рассматривать как задачу с одной переменной x. Множеством решения такой задачи является множество пар чисел x и a, при подстановке которых в исходное выражение получается верное равенство (или верное неравенство). Аргументы x и a считаются неравноправными, так как при решении задач обычно стараются найти x, выраженное через a. Далее необходимо выяснить зависимость решений от значений параметра a, что является важной частью решения задачи. Иногда ее называют исследованием и отделяют от непосредственного решения. Решить уравнение с параметром а – это значит для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

В квадратных уравнениях вида a +bx+c=0, где x –переменная, параметр является коэффициентом или частью коэффициента.

Задачи с параметрами можно разделить на два больших класса: задачи, в которых необходимо при всех значениях параметра из некоторого множества решить уравнение; задачи, в которых требуется найти все значения параметра, при каждом из которых решение уравнения удовлетворяют некоторым условиям. В итоге мы получаем алгоритм решения уравнений второй степени с параметром: 1

Привести уравнение второй степени к виду , где a , b и c – коэффициенты, x – переменная.

Определить область допустимых значений параметра и переменной.

Обратить внимание на коэффициент а, если здесь находится параметр, то следует рассмотреть случай, где a=0: уравнение вида ax^2+bx+c=0, станет уравнением вида bx+c=0.

Найти дискриминант: D= -4ac(или , где ). Он будет выражен через параметр. Как известно, от знака дискриминанта будет зависеть количество корней:

Если D >0, то уравнение имеет два корня ,

Если D = 0, то уравнение имеет один корень ,

Если D b х+с=0, где а≠ 0 называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов b или c равен 0.

Общая схема решения неполных квадратных уравнений с параметрами:

ах^2=0, где а≠ 0, b =0, с=0. Еслиа≠0,то уравнение примет вид: х^2=0, х=0.

Следовательно, уравнение имеет два совпадающих корня, равных нулю.

Еслиа=0, то х — любое действительное число.

ах^2+с=0, где а≠0, b =0, с≠0. Еслиа≠0,то уравнение примет вид:

.Если , ,следовательно, уравнение имеет корни, они равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Если b х=0, где а≠0, b ≠0, с=0. Если a ≠0,то уравнение примет вид:

Рассмотрим это на примере:х^2-2а+1=а, x – переменная, a –параметр.

Коэффициенты : a=1, b=0, c= -3a+1

если , , то нет корней — .

Ответ: при нет корней; при x =0; при .

2.2 ПРИВЕДЁННЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ

Приведённое квадратное уравнение – это уравнение вида a + bx + c =0, где a =1.

При решении приведённых квадратных уравнений с параметром нужно:

Рассмотреть случай, где параметр равен нулю.

Найти дискриминант: D= -4ac.

Если D>0, то уравнение имеет два корня

Если D=0, то уравнение имеет один корень

Если D x – переменная, a – параметр.

Ответ: при любом а,

Решим уравнение , x –переменная, m – параметр.

Ответ: если , то нет корней; если , то .

2.3 УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ПАРАМЕТРОМ

При решении уравнений второй степени будем пользоваться планом, предоставленным в теоретическом разделе.

Решим уравнение , где y – переменная, m – параметр.

2.4 УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ПАРАМЕТРОМ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Дополнительные условия могут формулироваться так:

При каком значении параметра уравнение имеет один/ два/ и более корня (не имеет корней)

При каком значении параметра один (оба корня) равны нулю

При каком значении параметра корни равны по модулю, но противоположны по знаку

При каком значении параметра уравнения имеют хотя бы один общий корень и пр.

При решении таких уравнений используются известные формулы для корней квадратного уравнения, теорема Виета и условия существования действительных решений – знак дискриминанта.

Решим уравнение: , где х – переменная, а – параметр.

При каких значениях параметра a уравнение:

имеет два различных действительных корня;

имеет один корень;

не имеет действительных корней;

имеет один из корней равный нулю;

имеет оба корня равных нулю;

имеет корни равные по модулю, но противоположные по знаку?

если , , то нет корней

Уравнение должно иметь вид , где

Уравнение должно иметь вид где

Система не имеет решений.

Таких значений параметра нет.

Уравнение должно иметь вид где

Таких значений параметра нет.

e ) Таких значений параметра нет.

f ) Таких значений параметра нет.

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ВИЕТА

Теорема Виета гласит: для того чтобы числа и были корнями уравнения , необходимо и достаточно выполнения равенств:

Решим уравнение, используя теорему Виета.

При каком a уравнение имеет два различных отрицательных корня?

Оба корня будут отрицательными, если тогда

2.5 ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ, СВОДИМЫЕ К УРАВНЕНИЯМ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ

Когда мы решаем дробно-рациональное уравнение, первым делом нужно его преобразовать. Если полученное уравнение является уравнением второй степени с параметром, исследуем его и решаем уравнение с параметром, учитывая область допустимых значений.

если то если то

если то если то

2.6. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ПАРАМЕТРОМ

Решим задачу: сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение ?

, если , то корней нет

если , то нет корней

если , то — один корень

если то — два корня

если , то нет корней

если , то — один корень

если то — два корня

Получившийся результат соберём на одной числовой оси. Это и будет ответ:

В ходе исследовательской работы я собрала и обобщила весь материал по теме: «Решение уравнений второй степени с параметром». Кроме того, я углубила свои знания. Как уже говорилось ранее, решить уравнение с параметром а – это значит для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению. Моя гипотеза о том, что количество корней и их значение будут зависеть от значений параметра, подтвердилась.

Были показаны общие случаи решения уравнений второй степени с параметром, а именно решение неполных, приведённых и других квадратных уравнений с параметром, были рассмотрены уравнения второй степени с параметром с дополнительными условиями и более сложные уравнения. Теория сопровождалась практическими примерами решения уравнений второй степени с параметром.

Был составлен алгоритм решения уравнений второй степени с параметром (см. Раздел 1: Теоретические основы решения уравнений второй степени с параметром):

Привести уравнение второй степени к виду , где a , b и c – коэффициенты, x – переменная.

Определить область допустимых значений параметра и переменной.

Обратить внимание на коэффициент а, если здесь находится параметр, то следует рассмотреть случай, где a=0: уравнение вида ax^2+bx+c=0, станет уравнением вида bx+c=0.

Найти дискриминант: D= -4ac(или , где ). Он будет выражен через параметр. Как известно, от знака дискриминанта будет зависеть количество корней:

Если D >0, то уравнение имеет два корня ,

Если D = 0, то уравнение имеет один корень ,