Уравнение 2х 2 рх q 0

Приведенное квадратное уравнение. А-8. Квадратное уравнение вида х 2 + рх + q = 0 называется приведенным Всякое квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0. — презентация

Презентация была опубликована 9 лет назад пользователемnmaksina.ucoz.ru

Похожие презентации

Презентация на тему: » Приведенное квадратное уравнение. А-8. Квадратное уравнение вида х 2 + рх + q = 0 называется приведенным Всякое квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0.» — Транскрипт:

1 Приведенное квадратное уравнение. А-8

2 Квадратное уравнение вида х 2 + рх + q = 0 называется приведенным Всякое квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0 может быть приведено к виду х 2 + рх + q = 0 делением обеих частей уравнения на а0

3 Теорема Виета Если х 1 и х 2 — корни уравнения х 2 + рх + q = 0 то справедливы формулы х 1 + х 2 = -р х 1 х 2 = q

4 Решить уравнение Проверка:

5 Теорема, обратная теорема Виета Если числа р, q, х 1 и х 2 таковы, что х 1 + х 2 = -р, х 1 х 2 = q то х 1 и х 2 — корни уравнения х 2 + рх + q = 0

6 Теорема, обратная теореме Виета Решить уравнение

7 Найдите произведение корней уравнения:

8 Найдите сумму корней уравнения:

9 Найдите произведение корней уравнения:

11 Теорема. Если х 1 и х 2 — корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0, то при всех значениях х справедливо ах 2 + bх + с = а(х — х 1 )(х — х 2 ),

12 В классе: 450(1,3,5) 455(1,3,5) 450(1,3,5) 455(1,3,5)

13 Дома: П (2,4,6) 455(2,4,6) П (2,4,6) 455(2,4,6)

Уравнение 2х 2 рх q 0

31. Корни уравнения х 2 + рх + q = 0 вдвое больше корней уравнения х 2 — 3х + 2 = 0. Чему равно р + q?

Общий вид квадратного уравнения: ax 2 + bx + с = 0, где a — I коэффициент, b — II коэффициент, с — III коэффициент или свободный член.

По теореме Виета:

То есть, при a = 1, произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену (с), а сумма корней равна II коэффициенту, взятому с противоположным знаком (-b).

Имеется уравнение х 2 — 3х + 2 = 0, где по теореме Виета:

Корни уравнения х 2 + рх + q = 0 по условию должны быть в два раза больше найденных. То есть 4 (2*2) и 2 (1*2).

Таким образом, по теореме Виета:

p = -(4+2) = -6. Следовательно, p + q = 8 + (-6) = 2.

Если вы заметили орфографическую ошибку, пожалуйста, выделите ее мышью и нажмите Ctrl+Enter

Элективный курс «Исследование корней квадратного уравнения» (9-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 9

Программа

1. Квадратное уравнение и его корни. (2 ч.)

Определение квадратного уравнения. Дискриминант квадратного уравнения. Корни квадратного уравнения. Понятие о решение задачи с параметром.

2. Теория Виета. (2 ч.)

Формулировка теоремы Виета для полного и приведённого квадратного уравнения. Теорема, обратная теореме Виета. Решение задач на применение теоремы Виета и обратной ей.

3. Существование корней квадратного уравнения (2 ч.)

Зависимость числа корней квадратного уравнения от дискриминанта.
Решение задач на количество корней квадратного уравнения в зависимости от значения параметра.

4. Расположение корней квадратного уравнения. (4 ч.)

Графическая характеристика расположения корней квадратного уравнения на числовой прямой по отношению к фиксированному числу. Работа с таблицей. Решение задач. Практикум по решению задач на расположение корней квадратного уравнения.

5. Решение квадратных уравнений с параметром (2 ч.) Что значит решить уравнение с параметром. Решение уравнений.

6. Решение задач. Зачёт. (6 ч.)

I. Квадратное уравнение и его корни

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где х – переменная, а, b, с – некоторые числа, а =/= 0. В зависимости от дискриминанта D = b 2 – 4ac квадратное уравнение может иметь два корня (D > 0), один корень (D = 0) и не иметь корней (D 2 + рх + q = 0. О квадратном уравнении, имеющем единственный корень, иногда говорят, что оно имеет корень двойной кратности или оно имеет два равных корня.

1. При каких значениях m ровно один из корней уравнения равен 0:

2..При каких значениях а корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку:

3.При каких значениях к оба корня уравнения равны 0:

4. Найти корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0, если а) а + b + с = 0; б) а – b + с = 0.

Указание к решению: а) надо использовать то, что х = 1 является корнем данного уравнения.

5. При каком значении а уравнения х 2 + ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют общий корень?

6. Доказать, что при любом значении а уравнение (а – 3) х 2 + (а + 2) х + 1 = 0 имеет два корня.

II. Теорема Виета

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения выражает теорема Виета.

Пусть х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0, тогда х₁ + х₂ = – b/a, х₁х₂ = c/a. Для приведённого квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0, если х₁ и х₂ – корни этого уравнения, то х₁ + х₂ = – p, х₁х₂ = q.
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета: если числа m и n таковы, что их сумма равна – р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х 2 + рх + q = 0.

1. Не вычисляя корней уравнения 3х 2 + 8х – 1 = 0, найти:

2. Пусть х₁ и х₂ – корни уравнения 2х 2 – 7х – 3 = 0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

3. При каком значении параметра а один из корней уравнения х 2 – 3,75х + а = 0 является квадратом другого?

4. При каком значении параметра а один из корней уравнения х 2 – (3а + 2)х + а 2 = 0 в девять раз больше другого?

5 . Корни х1 и х₂ уравнения х 2 + рх + 12 = 0 обладают свойством х₂ – х₁ = 1. Найти р.

6. При каком значении параметра а уравнение х 2 + (а 2 + а – 2)х + а = 0 имеет корни, сумма которых равна 0?

7. При каком значении параметра а уравнение (а – 1)х 2 + (2а + 3)х + 2 + а = 0 имеет корни одного знака?

Ответ: [ – 2,125; – 2) (1; + ).

8. При каком значении параметра а корни уравнения ах 2 + (2а – 1)х + а – 2 = 0 отрицательны и их сумма меньше – 5?

9. При каком значении параметра р корни уравнения (р – 2)х 2 + 2рх + р + 4 = 0 разных знаков и их сумма отрицательна?

III. Существование корней квадратного уравнения

Для того чтобы квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0 имело корни необходимо и достаточно чтобы дискриминант уравнения был больше или равен нулю. Как правило, в случае необходимости доказать, что заданное квадратное уравнение имеет решение, начинают с вычисления его дискриминанта, с тем чтобы затем доказать его неотрицательность. Но существуют способы, которые основываются на очевидных графических соображениях. Так, если а > 0, то для доказательства того, что уравнение ах 2 + bx + с = 0 имеет два решения, достаточно указать одну точку х₀, в которой f(x₀) = ах₀ 2 + bx₀ + c 3 – 2а 2 )х 2 – (а 3 – а + 2)х + а 2 + 1 = 0 имеет решение.

Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через f(x). Сразу видно, что f(0) = a 2 + 1 > 0 при любом а. Утверждение задачи будет доказано , если мы найдём х₁, для которого f(x₁) 2 + a – 1 2 – 23(а – 3)х + а 2 – 3а + 2 = 0 имеет решение? Определить знаки корней в зависимости от а.

Решение. Если а 2 – 3а + 2 0 и х₂ > 0, необходимо и достаточно выполнения неравенств:

Аналогично рассматриваются другие случаи.

3. При каких значениях параметра а уравнение а(а + 3)х 2 + (2а + 6)х – 3а – 9 = 0 имеет более одного корня?

Комментарий к решению. Данное уравнение – квадратное, если а =/= 0, а =/= 3. Квадратное уравнение имеет более одного корня, если D/4 = (а + 3) 2 – а(а + 3)( – 3а – 9) > 0
Однако решение полученного неравенства не является окончательным решением задачи. Мы должны еще рассмотреть случай, когда исходное уравнение является линейным с бесконечным множеством решений. Проверка случаев а = 0 и а = – 3 позволяет обнаружить, что линейное уравнение имеет бесконечное множество решений при а = – 3.

Ответ: < – 3> ( – 1/3;0) (0; + )

4. При каком значении параметра а уравнение (а – 2)х 2 + (4 – 2а)х + 3 = 0 имеет единственный корень?

Комментарий к решению. Если а = 2, то уравнение превращается в линейное, которое не имеет корней. Если а =/= 0, то уравнение квадратное и имеет единственный корень при нулевом дискриминанте. D = а 2 – 7а + 10 = 0 при а = 2 или а = 5. Значение а = 2 исключается, т.к. противоречит условию, что исходное уравнение – квадратное.

5. При каком значении параметра а уравнение (а – 1)х 2 + (а + 4)х + а + 7 = 0 имеет единственное решение?

6. При каком значении параметра а уравнение (2а – 5)х 2 – 2(а – 1)х + 3 = 0 имеет единственное решение?

7. При каком значении параметра а уравнение имеет единственное решение?

IV. Расположение корней квадратного уравнения

Для решения задач этого пункта существует таблица (см. Приложение), но нет необходимости заучивать её, надо понять принцип построения таблицы и уметь проводить необходимые рассуждения в конкретных задачах.

1. При каком значении параметра а один корень уравнения х 2 – (3а + 2)х + 2а – 1 = 0 больше 1, а другой меньше 1?

Решение. Решение легко получается на основании графического соображения. График функции у = х 2 – (3а + 2)х + 2а – 1 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось X, причем отрезок [х₁; х₂] должен содержать внутри себя точку 1. Следовательно, значение квадратного трехчлена х 2 – (3а + 2) х + 2а – 1 при х = 1 должно быть отрицательным. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы выполнялось неравенство х₁ – 2.

В общем случае для того, чтобы уравнение f(х) = ах 2 + вх + с = 0 имело бы один корень меньше А, а другой больше А, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(A) 2 – 3ах + 2 = 0 больше 1/2.

Комментарий к решению. Если а = 2, то х = 2/3 (2/3 > 1/2). Если а =/= 2, то уравнение – квадратное. Введем обозначение f(x) = (2 – а)х 2 – 3ах + 2, хв = 3а/2(2 – а), D = а(17а – 16). Тогда для выполнения условия примера необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих условий: D > 0, х_в > 1/2, (2 – а)f(1/2) > 0. Решая эту систему, получим: 16/7 2 – 2(а + 3)х + 4а = 0 имеет 2 корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3.

Комментарий к решению. Так как речь идет о двух корнях, то рассматриваемое уравнение должно быть квадратным, то есть, а =/= 2. Рассмотрим функцию f(х) = (а – 2)х 2 – 2(а + 3)х + 4а, (а =/= 2). Ее графиком является парабола, которая по условию задачи пересекает ось ОX один раз на интервале ( – ; 2) и один раз на интервале (3; + ). Для решения примера необходимо и достаточно решить систему неравенств:

Ответ: 2 2 – (3а + 1)х – а – 2 = 0 лежат в промежутке ( – 1;2)?

5. Найти все значения а, при которых ровно один корень уравнения х 2 + 2ах + 3а – 2 = 0 удовлетворяет условию х 2 – 6х + а = 0 имеет два различных действительных корня, из которых только один принадлежит интервалу (1;7).

Комментарий к решению. Дискриминант уравнения D = в 2 – 16. Найдя промежутки знакопостоянства дискриминанта, получим ответ: если в 4, то х = (в ± в 2 – 16)/2; если в = ±4, то х = в/2;если – 4 2 – 2ах + 2а – 3 = 0.

Комментарий к решению. Рассмотрим два случая: а = 2 и а =/= 2. В первом случае исходное уравнение принимает вид – 4х + 1 = 0. Это линейное уравнение с одним корнем х = 0,25. Во втором случае получим квадратное уравнение с дискриминантом D = – 4(a – 1)(a – 6). Найдём промежутки знакопостоянства дискриминанта и его нулевые точки.

В результате решения получаем ответ:

3.. Решить уравнение (2а – 1)х 2 – (3а + 1)х + а – 1 = 0.

Ответ: если а = 0,5, то х = – 0,2; если – 9 – 84 0,5 то х = (3а + 1 + а 2 + 18а – 3)/(2а – 1)

4. Решить уравнение ах 2 – (1 – 2а)х + 2 – а = 0.

Ответ: если а = 0, то х = – 2; если а 0, то х_1,2 = (1 – 2а ± 4а + 1)/2а.

5. Решить уравнение (х 2 – 5х + 6)/(х – а) = 0

Ответ: если а = 2, то х = 3; если а = 3, то х = 2; если а =/= 2, а =/= 3, то х = 2 или х = 3.

VI. Разные задачи

1. Найти все значения а, при которых уравнения ах 2 + (3 + 4а)х + 2а 2 + 4а + 3 = 0 имеет только целые корни.

Решение. Пусть а = 0, тогда из уравнения следует, что 3х + 3 = 0, х = – 1. Поэтому а = 0 удовлетворяет условию задачи. Пусть а =/= 0, тогда уравнение равносильно уравнению х 2 + (4 + 3/а)х + 2а + 4 + 3/а = 0. Если х₁ и х₂ – целые корни нового уравнения, то – 4 – 3/а и 2а + 4 + 3/а – целые числа (теорема Виета), откуда следует, что их сумма, то есть 2а – целое число. Пусть 2а = n, где n Z, тогда а = n/2, 3/а = 6/n, причем 6/n – целое число, то есть n может принимать значения из чисел ±1; ±2; ±3; ±6. Проверка показывает, что только при n = – 1 и n = 3 все корни исходного уравнения являются целыми числами.

2. Найти все значения а, при которых уравнение х 2 + (а + 2)х + 1 – а = 0 имеет 2 действительных корня х₁ и х₂ такие, что х₁х₂ 2 + (а + 2)х + 1 – а и заметим, что если условия задачи выполняются, то f( – 4) > 0, f(4) > 0, f(0) > 0. Получили систему:

Решая систему, получаем 1 2 – 3ах + 4а = 0 в зависимости от а?

Ответ: если – 1 2 + | х – 1| = 0

Ответ: если а 0, то корней нет.

Ответ: если а 0, то корней нет.

Ответ: если а 3, то корней нет; если а = ±3, то один корень; если – 3 2 – рх + 2р 2 – 3р = 0 равен нулю?

2. При каком значении параметра р корни уравнения 3х 2 + (р 2 – 4р)х + р – 1 = 0 равны по модулю, но противоположны по знаку?

3. При каком значении параметра а оба корня уравнения 2х 2 + (3а 2 – | а |)х – а 3 – 3а = 0 равны нулю?

4. Не вычисляя корней уравнения 2х 2 – 5х – 4 = 0 найти:

5. Пусть х1 и х2 – корни уравнения 4х 2 – 6х – 1 = 0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

6. В уравнении 5х 2 – ах + 1 = 0 определить а так, чтобы разность корней равнялась единице.

Ответ: ±5.

7. При каких значениях параметра а отношение корней уравнения х 2 – (а + 3)х + 6 = 0 равно 1,5?

8. При каких значениях параметра а сумма корней уравнения (2а + 1)х 2 + (а + 1)х + а = 0 положительна?

9. При каких значениях параметра а корни уравнения (а + 1)х 2 + (2 – а)х + а + 6 = 0 положительны?

10. При каких значениях параметра а корни уравнения (а – 1)х 2 + (2а + 3)х + 2 + а = 0 имеют одинаковые знаки?

Ответ: [ – 2,125; – 2) (1; + ).

11. При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х 2 + (3а + 4)х – 3 = 0 лежат в промежутке ( – 2 ; 1)?

12. При каких значениях параметра а уравнение (а – 1)х 2 = (а + 1)х – а имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 0 2 – 6х + 1 = 0;
б) ах 2 = 4;
в) х 2 – ах = 0;
г) ах 2 + 8 = 2х 2 + 4а.

14. Решить уравнение (а – 1)х 2 + 2(2а + 1)х + (4а + 3) = 0.

Ответ: если а – 4/5 и а =/= 1, то х_1,2 = ( – (2а + 1) ± 5а + 4)/(a – 1).

Литература

1. Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Алгебра 8. Дополнительные главы к школьному учебнику. Москва. «Просвещение». 2005.
2. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре 8 – 9. Москва. «Просвещение». 2005.
3. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике 10. Москва. «Просвещение». 2004.
4. Литвиненко В.Н., Мордкович А. Г. Практикум по решению математических задач. Москва. «Просвещение». 1998.
5. Евсеева А.И. Уравнения с параметрами. Математика в школе. 2003 г. № 7.
6. Шабунин М.И. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Математика в школе. 2003 №3.
7. Мещерякова Г.П. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям. Математика в школе. 2001 г. № 5.
8. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. Москва-Харьков. «Илекса», «Гимназия». 2002.