Решение уравнений четвертой степени
Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.
Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.
Решение двучленного уравнения четвертой степени
Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид A x 4 + B = 0 .
Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:
A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A — 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 — 2 B A x 2 = 0 x 2 — 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0
Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.
Решить уравнение четвертой степени 4 x 4 + 1 = 0 .
Решение
Для начала проведем разложение многочлена 4 x 4 + 1 на множители:
4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = ( 2 x 2 + 1 ) 2 — 4 x 2 = 2 x 2 — 2 x + 1 ( 2 x 2 + 2 x + 1 )
Теперь найдем корни квадратных трехчленов.
2 x 2 — 2 x + 1 = 0 D = ( — 2 ) 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 1 = 2 + D 2 · 2 = 1 2 + i x 2 = 2 — D 2 · 2 = 1 2 — i
2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 3 = — 2 + D 2 · 2 = — 1 2 + i x 4 = — 2 — D 2 · 2 = — 1 2 — i
Мы получили четыре комплексных корня.
Ответ: x = 1 2 ± i и x = — 1 2 ± i .
Решение возвратного уравнения четвертой степени
Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0
х = 0 не является корнем этого уравнения: A · 0 4 + B · 0 3 + C · 0 2 + B · 0 + A = A ≠ 0 . Поэтому на x 2 можно смело разделить обе части этого уравнения:
A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0
Проведем замену переменных x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2 :
A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A ( y 2 — 2 ) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C — 2 A = 0
Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.
Найти все комплексные корни уравнения 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0 .
Решение
Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x 2 :
2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0
2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0
Проведем замену переменной x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2
2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 — 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0
Решим полученное квадратное уравнение:
D = 2 3 + 2 2 — 4 · 2 · 6 = 12 + 4 6 + 2 — 8 6 = = 12 — 4 6 + 2 = 2 3 — 2 2 y 1 = — 2 3 — 2 + D 2 · 2 = — 2 3 — 2 + 2 3 — 2 4 = — 2 2 y 2 = — 2 3 — 2 — D 2 · 2 = — 2 3 — 2 — 2 3 + 2 4 = — 3
Вернемся к замене: x + 1 x = — 2 2 , x + 1 x = — 3 .
Решим первое уравнение:
x + 1 x = — 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 2 = — 14 x 1 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 + i · 14 4 x 2 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 — i · 14 4
Решим второе уравнение:
x + 1 x = — 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 1 = — 1 x 3 = — 3 + D 2 = — 3 2 + i · 1 2 x 4 = — 3 — D 2 = — 3 2 — i · 1 2
Ответ: x = — 2 4 ± i · 14 4 и x = — 3 2 ± i · 1 2 .
Решение биквадратного уравнения
Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид A x 4 + B x 2 + C = 0 . Мы можем свести такое уравнение к квадратному A y 2 + B y + C = 0 путем замены y = x 2 . Это стандартный прием.
Решить биквадратное уравнение 2 x 4 + 5 x 2 — 3 = 0 .
Решение
Выполним замену переменной y = x 2 , что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:
2 y 2 + 5 y — 3 = 0 D = 5 2 — 4 · 2 · ( — 3 ) = 49 y 1 = — 5 + D 2 · 2 = — 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = — 5 — D 2 · 2 = — 5 — 7 4 = — 3
Следовательно, x 2 = 1 2 или x 2 = — 3 .
Первое равенство позволяет нам получить корень x = ± 1 2 . Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x = ± i · 3 .
Ответ: x = ± 1 2 и x = ± i · 3 .
Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0 .
Решение
Используем метод замены y = x 2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:
16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 — 4 · 16 · 9 = 20449 y 1 = — 145 + D 2 · 16 = — 145 + 143 32 = — 1 16 y 2 = — 145 — D 2 · 16 = — 145 — 143 32 = — 9
Поэтому, в силу замены переменной, x 2 = — 1 16 или x 2 = — 9 .
Ответ: x 1 , 2 = ± 1 4 · i , x 3 , 4 = ± 3 · i .
Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями
Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».
Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари
Уравнения четвертой степени вида x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y 0 . Это любой из корней кубического уравнения y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 . После этого необходимо решить два квадратных уравнения x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 , у которых подкоренное выражение является полным квадратом.
Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.
Найти корни уравнения x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 — x — 6 = 0 .
Решение
Имеем А = 3 , В = 3 , С = — 1 , D = — 6 . Применим метод Феррари для решения данного уравнения.
Составим и решим кубическое уравнение:
y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 y 3 — 3 y 2 + 21 y — 19 = 0
Одним из корней кубического уравнения будет y 0 = 1 , так как 1 3 — 3 · 1 2 + 21 · 1 — 19 = 0 .
Запишем два квадратных уравнения:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0
x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 или x 2 + 3 2 x + 1 2 — 1 2 x — 5 2 = 0
x 2 + 2 x + 3 = 0 или x 2 + x — 2 = 0
Корнями первого уравнения будут x = — 1 ± i · 2 , корнями второго х = 1 и х = — 2 .
Ответ: x 1 , 2 = — 1 ± i 2 , x 3 = 1 , x 4 = — 2 .
Алгебраические уравнения и способы их решения. Уравнения третьей и четвертой степени
Что делать, если вам – например, на Профильном ЕГЭ по математике – встретилось не квадратное уравнение, а кубическое? Или даже уравнение четвертой степени? Ведь для уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней нет таких простых формул, как для квадратного уравнения.
В этой статье – способы решения сложных алгебраических уравнений. Замена переменной, использование симметрии и даже деление многочлена на многочлен.
Вспомним основные понятия.
Корень уравнения – такое число, которое мы можем подставить вместо переменной в уравнение и получить истинное равенство.
Например, число 3 – корень уравнения 2x = 6.
Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.
Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Другими словами, у них одни и те же корни.
Например, уравнения и равносильны. Их корни совпадают: или
Замена переменной – ключ к решению многих задач.
Если приводить обе части к одному знаменателю, получим уравнение четвертой степени. Вряд ли мы с ним справимся.
Сделаем замену Тогда
С новой переменной уравнение стало проще:
Умножим обе части на 10t. Получим квадратное уравнение:
Корни этого уравнения: или
Вернемся к переменной
Дискриминант этого уравнения отрицателен, корней нет.
Если , то Получим квадратное уравнение для :
У этого уравнения два корня: или Это ответ.
Не будем спешить раскрывать скобки. Ведь раскрыв их, мы получили бы уравнение четвертной степени.
Посмотрим на уравнение внимательно.
На координатной прямой точки 1; 3; –5; –7 расположены симметрично относительно точки
Сделаем замену , тогда .
Мы выразили все «скобки», то есть все множители, через новую переменную. Вот что это дает:
И еще одна замена: .
Обычное квадратное уравнение. Замечательно!
Подберем его корни по теореме Виета. Заметим, что
Если , то нет решений.
Если , то Тогда или
Дальше – еще интереснее.
3. Решите уравнение
Сделаем замену . То, что в правой части в скобках, заменили на новую переменную.
Получили квадратное уравнение:
Следующее уравнение решим с помощью группировки слагаемых.
4. Решите уравнение
Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем слагаемые:
Первые два слагаемых – сумма кубов. Применим формулу: . Получим:
Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Записывается это так:
У нас появилось новое обозначение: — знак совокупности.
Такой знак означает «или».
Запись читается как « или или ».
Решая уравнения и особенно неравенства, мы будем постоянно пользоваться знаками системы и совокупности. Мы записываем решения в виде цепочки равносильных переходов. Для сложных уравнений и неравенств это единственный способ прийти к ответу и не запутаться.
5. Решите уравнение
Разложить левую часть на множители с первой попытки не удается.
Оказывается, если уравнение третьей (четвертой, пятой…) степени имеет целые корни, то находятся они среди делителей свободного члена (слагаемого, не содержащего x). В данном случае – среди целых делителей числа 24.
Выпишем целые делители числа 24:
1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; –6; 8; –8; 12; –12; 24; –24
Подставляя их по очереди в уравнение, при получаем верное равенство:
Это значит, что левую часть уравнения можно разложить на множители:
Чтобы найти , поделим выражение на . В столбик. Так же, как мы делим друг на друга числа.
Немного непривычно, да? Потренируйтесь – у вас получится!
6. Решите уравнение
А если сделать замену ?
Получаем квадратное уравнение: . Удачная замена!
Если , то , нет решений.
7. Решите уравнение
Разложить на множители? Но как? И замена не видна сразу. Посмотрим на уравнение внимательно. Его коэффициенты: 1, — 5, 4, — 5, 1.
Такое уравнение называется симметрическим.
Разделим обе его части на . Мы можем это сделать, поскольку не является корнем нашего уравнения.
Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям:
возвратные (симметричные) уравнения
Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.
К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:
Трёхчленные уравнения | |
Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии | |
Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени | |
Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени | |
Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени |
Замечание . Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения» , относятся к типу «Трехчленные уравнения» .
Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени
Возвратным уравнением 3-ей степени называют уравнение вида
a x 3 + b x 2 + b x + a = 0, | (1) |
где a , b – заданные числа.
Решение уравнения (1) осуществляется при помощи разложения левой части уравнения (1) на множители:
Для завершения решения уравнения (1) остаётся лишь решить квадратное уравнение
Пример 1 . Решить уравнение
2x 3 + 7x 2 + 7x + 2 = 0. | (2) |
Решение . Разложим левую часть уравнения (2) на множители:
Ответ :.
Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени
Возвратными (симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида
a x 4 + b x 3 + cx 2 + + b x + a = 0, | (3) |
а также уравнения вида
a x 4 + b x 3 + cx 2 – – b x + a = 0, | (4) |
Для того, чтобы решить возвратное уравнение (3), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение
Преобразуем левую часть уравнения (5):
В результате этого преобразования уравнение (5) принимает вид
Если теперь обозначить
(7) |
то уравнение (6) станет квадратным уравнением:
a y 2 + b y + c – 2 a = 0. | (8) |
Найдем корни уравнения (8), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (7), решим полученное уравнение относительно x .
Описание метода решения уравнений вида (3) завершено.
Для того, чтобы решить возвратное уравнение (4), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение
Преобразуем левую часть уравнения (9):
В результате этого преобразования уравнение (9) принимает вид
Если теперь обозначить
(11) |
то уравнение (10) станет квадратным уравнением:
a y 2 + b y + c + 2 a = 0. | (12) |
Найдем корни уравнения (13), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (11), решим полученное уравнение относительно x .
Описание метода решения уравнений вида (4) завершено.
Пример 2 . Решить уравнение
2x 4 – 3x 3 – x 2 – – 3x + 2 = 0. | (13) |
Решение . Уравнение (13) является возвратным и относится к виду (3). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение
Преобразуем левую часть уравнения (14):
В результате этого преобразования уравнение (14) принимает вид
Если теперь обозначить
(16) |
то уравнение (15) станет квадратным уравнением:
2y 2 – 3y – 5 = 0. | (17) |
(18) |
В первом случае из равенства (16) получаем уравнение:
которое решений не имеет.
Во втором случае из равенства (16) получаем:
Ответ :
Пример 3 . Решить уравнение
6x 4 – 25x 3 + 12x 2 + + 25x + 6 = 0. | (19) |
Решение . Уравнение (19) является возвратным и относится к виду (4). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение
Преобразуем левую часть уравнения (20):
В результате этого преобразования уравнение (20) принимает вид
Если теперь обозначить
(22) |
то уравнение (21) станет квадратным уравнением:
6y 2 – 25y + 24 = 0. | (23) |
(24) |
В первом случае из равенства (22) получаем:
Во втором случае из равенства (22) получаем:
Ответ :
Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени
Обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени назовём уравнение вида
где a , b , c, d – заданные числа.
Для того, чтобы решить уравнение (25), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение
Преобразуем левую часть уравнения (26):
В результате этого преобразования уравнение (26) принимает вид
Если теперь обозначить
(28) |
то уравнение (27) станет квадратным уравнением:
(29) |
Найдем корни уравнения (29), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (28), решим полученное уравнение относительно x .
Описание метода решения уравнений вида (25) завершено.
Пример 4 . Решить уравнение
2x 4 – 15x 3 + 35x 2 – – 30 x + 8 = 0. | (30) |
Решение . Введем для коэффициентов уравнения (30) следующие обозначения
и найдем значение выражения
то уравнение (30) является обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени. В соответствии с изложенным выше, разделим его на x 2 . В результате получится уравнение
Преобразуем левую часть уравнения (31):
В результате этого преобразования уравнение (31) принимает вид
Если теперь обозначить
(33) |
то уравнение (32) станет квадратным уравнением:
2y 2 – 15y + 27 = 0. | (34) |
В первом случае из равенства (33) получаем:
Во втором случае из равенства (33) получаем:
Ответ :
http://ege-study.ru/algebraicheskie-uravneniya-i-sposoby-ix-resheniya-uravneniya-tretej-i-chetvertoj-stepeni/
http://www.resolventa.ru/spr/algebra/red2.htm