Уравнение 4х2 2х а 0

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение показательных уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение. Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите показательное уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Показательная функция, её свойства и график

Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m — любые действительные числа. Тогда
1) a n a m = a n+m

4) (ab) n = a n b n

7) a n > 1, если a > 1, n > 0

8) a n m , если a > 1, n n > a m , если 0 x , где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1\)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, \( a \neq 1\), не имеет корней, если \( b \leqslant 0\), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 x при a > 0 и при 0 x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х x при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a x при 0 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, \( a \neq 1\), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \( a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 2 3x • 3 x = 576
Так как 2 3x = (2 3 ) x = 8 x , 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 x • 3 x = 24 2 , или в виде 24 x = 24 2 , откуда х = 2.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х + 1 — 2 • 3 x — 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 (3 3 — 2) = 25, 3 х — 2 • 25 = 25,
откуда 3 х — 2 = 1, x — 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х = 7 х
Так как \( 7^x \neq 0 \) , то уравнение можно записать в виде \( \frac<3^x> <7^x>= 1 \), откуда \( \left( \frac<3> <7>\right) ^x = 1 \), х = 0
Ответ х = 0

Решить уравнение 9 х — 4 • 3 х — 45 = 0
Заменой 3 х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 — 4t — 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t₁ = 9, t₂ = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 • 2 х + 1 + 2 • 5 x — 2 = 5 х + 2 х — 2
Запишем уравнение в виде
3 • 2 х + 1 — 2 x — 2 = 5 х — 2 • 5 х — 2 , откуда
2 х — 2 (3 • 2 3 — 1) = 5 х — 2 ( 5 2 — 2 )
2 х — 2 • 23 = 5 х — 2 • 23
\( \left( \frac<2> <5>\right) ^ = 1 \)
x — 2 = 0
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, \( 3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1

Задача 38089 при каких a уравнение.

Условие

при каких a уравнение (|4*x|-x-3-a)/(x2-x-a)=0 имеет два различных корня

Решение

Дробь равна нулю, если числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0

Решаем первое уравнение.
Раскрываем модуль по определению:
если 4x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0
|4x|=4x
уравнение:
4х-х-3-а=0
3х=а+3
х=(а+3)/3 — корень данного уравнения, если входит в множество x ≥ 0

(a+3)/3 ≥ 0⇒ а+3 ≥0 ⇒ а≥-3

Пересечением множеств a≥-3 и a > -3 является
[b]a ∈(-3;+ ∞ )[/b]

Из этого множества надо исключить те значения параметра а, при которых корни числителя и знаменателя совпадают.

Подставляем x=(a+3)/3 в знаменатель:

Подставляем x=(-a-3)/5 в знаменатель:

Исключаем a=0;a=2;a=6;a=12 из множества [b]a ∈(-3;+ ∞ )[/b]

О т в е т. [b] (-3;0) U (0;2) U(2;6)U(6;12)U (12;+ ∞)[/b]

Алгебра

Квадратные уравнения

План урока:

Определение квадратного уравнения

Изучая понятие многочленов, мы познакомились с квадратными трехчленами. Так называют полином 2-ой степени, содержащий только одну переменную. Если его приравнять к нулю, то получится квадратное уравнение. Дадим определение квадратному уравнению:

Приведем несколько конкретных примеров:

• 5х 2 + 4х + 7 = 0
• – 3х 2 + х – 1,5 = 0
• 0,05х 2 + 99,568х – 47,21 = 0

Числа a, b и с называют коэффициентами квадратного уравнения. Отметим, что числа b и c могут равняться нулю, и в этом случае соответствующее слагаемое просто не записывается:

Эти уравнения именуют неполными.

Если же коэффициент а=0, то получается линейное уравнение, которое мы уже умеем решать:

Естественно, что для обозначения переменной может использоваться любая буква, а не только х:

• у 2 + 3,5х – 93 = 0
• – 32z 2 + 11z – 78 = 0

Для обозначения коэффициентов могут использоваться специальные термины:

• а – старший коэффициент;
• b– второй коэффициент;
• с – свободный член.

Неполные квадратные уравнения можно очень легко решить. Сначала рассмотрим пример, в котором b = 0:

Перенесем вправо свободный коэффициент:

Далее поделим на старший коэффициент обе части равенства:

Понятно, что х равен квадратному корню из 9. Напомним, что у каждого положительного числа есть два квадратных корня! Один из них является положительным числом и называется арифметическим, а другой противоположен ему по знаку. Поэтому можно записать, что

Иногда используют более короткую запись:

Не любое квадратное уравнение, у которого нет второго коэффициента b, будет иметь решение. Рассмотрим уравнение

Будем решать его таким же путем, перенося свободный коэффициент c вправо и деля уравнение на старший коэффициент a:

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Значит, данное уравнение не будет иметь корней.

Сформулируем общий алгоритм решения неполных квадратных уравнений такого типа:

Теперь изучим неполные уравнения, в которых нет свободного слагаемого с. Рассмотрим их на примере:

Слева вынесем переменную х за скобки:

Теперь слева находится произведение двух множителей, а справа – ноль. Очевидно, что произведение может равняться нулю лишь в том случае, когда один из составляющих его множителей (х или 7х + 21) является нулем.

Зная это, запишем:

х = 0 или 7х + 21 = 0

Получили корень х = 0 и ещё одно линейное уравнение, которое легко решить:

В результате имеем два корня: 0 и – 3

Опишем общий алгоритм решения этих неполных уравнений:

Решение квадратного уравнения

Найти решение квадратного уравнения, если оно полное, достаточно тяжело. Нам поможет формула квадрата суммы:

(а + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Напомним, что с ее помощью можно разложить на множители некоторые квадратные полиномы:

х 2 + 8х + 16 = х 2 + 2•4•х + 4 2 = (х + 4) 2

Конечно, здесь нам повезло с квадратным трехчленом – его коэффициенты позволяли воспользоваться формулой квадрата суммы. Однако похожие преобразования можно выполнить и тогда, когда коэффициенты не такие удобные:

х 2 + 8х + 20 = х 2 + 8х + 16 + 4 =(х 2 + 8х + 16) + 4 = (х 2 + 2•4•х + 4 2 ) + 4 =

Здесь мы разложили число 20 на сумму 16 + 4, чтобы можно было часть выражения «свернуть» формулой квадрата суммы. Такой прием можно применить вообще к любому квадратному трехчлену:

4х 2 + 10х + 4 = (2х) 2 + 2•2х•2,5 + 2,5 2 – 2,5 2 + 4 = (2х + 2,5) 2 – 2,5 2 + 4 =

= (2х + 2,5) 2 – 6,25 + 4 = (2х + 2,5) 2 – 2,25

Здесь мы добавили к трехчлену слагаемое 2,5 2 и тут же его отняли. Оно было необходимо для получения формулы квадрата суммы.

Отметим, что подобное свертывание можно использовать для решения квадратного уравнения. Действительно, пусть дано уравнение

4х 2 + 10х + 4 = 0

Выше мы уже преобразовали трехчлен, стоящий слева. Произведем замену:

(2х + 2,5) 2 – 2,25 = 0

Имеем уравнение, очень похожее на неполное, где отсутствует коэффициент b. Попробуем его решить аналогичным путем:

Из этой записи мы получили два линейных уравнения:

2х + 2,5 = – 1,5 или 2х + 2,5 = 1,5

Решая их, находим два корня:

2х = – 1,5 – 2,5 или 2х = 1,5 – 2,5

2х = – 4 или 2х = – 1

х = – 2 или х = – 0,5

Аналогично можно решить и любое другое полное квадратное уравнение. Однако проще пользоваться специальными формулами, в которые надо подставлять значения коэффициентов a, b, с и получать корни квадратного уравнения. Выведем эти формулы.

Пусть есть уравнение

Поделим обе части уравнения на коэффициент а:

Далее надо выделить квадрат суммы, что бы потом свернуть его по формуле сокращенного умножения:

Далее обозначим числитель в правой части (b 2 – 4ac) буквой D. Эту величину называют дискриминантом квадратного уравнения.

Перепишем уравнение с учетом этой замены:

Далее рассмотрим три случая:

1. D 2 – заведомо положительное число). Слева стоит квадрат выражения, а он никак не может оказаться отрицательным. В итоге имеем, что при отрицательном дискриминанте у уравнения отсутствуют корни.
2. D = 0. При таком варианте справа получается ноль:

Квадрат только одного числа равен нулю – самого нуля, поэтому

Итак, при нулевом дискриминанте у уравнения есть только один корень.

1. D> 0. В этом варианте дробь справа оказывается положительным числом, а потому у нее есть два квадратных корня. Решение будет выглядеть так:

Полученное выражение называют основной формулой корней квадратного уравнения.

Если дискриминант – положительное число, то уравнение существует два корня. Для вычисления первого из них надо в формуле квадратного уравнения вместо знака ± поставить минус, а для вычисления второго – знак плюс. Часто 1-ый корень обозначают как х₁, а 2-ой – как х₂. Заметим, что если D = 0, то при подстановке в основную формулу будет получаться один и тот же корень независимо от выбора знака плюс или минус.

Пример. Решите уравнение

2х 2 – 5х – 3 = 0

Решение. Выпишем коэффициенты уравнения

Вычислим значение дискриминанта:

D = b 2 – 4ас = (– 5) 2 – 4•2•(– 3) = 25 + 24 = 49

Так как он больше нуля, то должно получиться два корня. Их можно найти по основной формуле квадратного уравнения:

Пример. Найдите все корни уравнения

3х 2 + 6х + 5 = 0

Решение. Найдем дискриминант:

D = b 2 – 4ас = 6 2 – 4•3•5 = 36 – 60 = – 24

Дискриминант оказался отрицательным, значит, и корней у уравнения нет.

Ответ: нет корней.

Пример. Найдите значения х, при которых выполняется равенство

4х 2 – 12х + 9 = 0

Решение. Вычислим дискриминант:

D = (– 12) 2 – 4•4•9 = 144 – 144 = 0

Так как D = 0, существует лишь один корень:

Пример. Найдите значения у, при которых справедливо равенство

2у 2 + 4у + 9 = у 2 + 11у + 3

Решение. На первый взгляд это уравнение не похоже на изучавшие до этого квадратные уравнения. Однако слагаемые, записанные справа, можно перенести влево, после чего можно будет привести подобные слагаемые:

2у 2 + 4у + 9 = у 2 + 11у + 3

2у 2 + 4у+ 9–у 2 – 11у– 3 = 0

Получили классическое квадратное уравнение, для которого можно рассчитать дискриминант:
D = b 2 – 4ас = (– 7) 2 – 4•1•6 = 49 – 24 = 25

Найдем значения двух корней:

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Так как любое квадратное уравнение решается довольно легко, то другие, более сложные уравнения, часто пытаются свести к квадратным. Сначала рассмотрим так называемые биквадратные уравнения. Пусть надо решить уравнение

2х 4 –26х 2 + 72 = 0

На первый взгляд в левой части стоит полином четвертой, а не второй степени, то есть это уравнение не является квадратным. Введем переменную t, равную х 2 :

Если это выражение возвести в квадрат, то получим

t 2 = (х 2 ) 2 = х 4

Теперь заменим в исходном уравнении х 4 на t 2 , а х 2 на t:

2t 2 –26t + 72 = 0

Получили квадратное уравнение, из которого можно найти значение t. Посчитаем дискриминант:

D = (– 26) 2 – 4•2•72 = 676 – 576 = 100

Можно найти два значения t:

Однако нам надо найти значение х, а не t. Вспомним, что мы проводили замену

Подставляя вместо t найденные корни 4 и 9, получим ещё два уравнения:

Первое имеет корни (– 2) и 2, а второе (– 3) и 3. Все эти 4 числа являются корнями исходного уравнения

2х 4 – 26х 2 + 72 = 0

Уравнения, которые можно свести к квадратному заменой переменных t = x 2 , называют биквадратными уравнениями.

Мы рассмотрели пример, в котором биквадратное уравнение имело 4 корня. Однако порою их может быть и меньше.

Пример. Укажите все корни уравнения

у 4 + 4у 2 – 5 = 0

Решение. Данное уравнение подходит под определение биквадратного, а потому произведем замену t = y 2 :

D = 4 2 – 4•1•(– 5) = 16 – (– 20) = 36

далее проводим обратную замену и получаем уравнения:

Первое из них не имеет решения, ведь квадрат числа – это неотрицательное число. Поэтому решать придется только второе уравнение:

Подстановка t = x 2 самая простая и очевидная, однако, порою нужно выполнять более сложные подстановки.

Пример. Найдите все z, для которых выполняется условие

(z – 2)(z – 3)(z – 4)(z – 5) = 24

Решение.Замена неочевидна, и всё же попробуем такой вариант:

Тогда содержимое каждой скобки примет вид:

z– 2 = z– 3,5 + 1,5 = t + 1,5

z– 3 = z– 3,5 + 0,5 = t + 0,5

z– 4 = z– 3,5 – 0,5 = t–0,5

z– 5 = z – 3,5 – 1,5 = t–1,5

Уравнение примет вид:

(t + 1,5)(t + 0,5)(t – 0,5)(t – 1,5) = 24

Поменяем местами скобки:

(t – 0,5)(t + 0,5)(t – 1,5)(t + 1,5) = 24

Можно заметить, что в соседние скобки можно переписать, используя формулу разности квадратов:

(t 2 – 0,5 2 )(t 2 – 1,5 2 ) = 24

Для удобства произведем ещё одну замену s = t 2 :

(s– 0,5 2 )(s– 1,5 2 ) = 24

Раскроем скобки в левой части:

s 2 – 2,25s– 0,25s + 0,5625 = 24

s 2 – 2,5s + 0,5625– 24 = 0

s 2 – 2,5s– 23,4375 = 0

Получили классическое квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

D = (– 2,5) 2 – 4•1•(– 23,4375) = 6,25 + 93,75 = 100

Произведем 1-ую обратную замену t 2 = s:

Первое уравнение решений не имеет, а у второго ровно 2 корня:

Пришло время второй замены z– 3,5 = t, из которой получаем два уравнения:

z– 3,5 = – 2,5 или z– 3,5 = 2,5

z= – 2,5 + 3,5 или z= 2,5 + 3,5

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений

При рассмотрении задач, связанных с геометрией, свойствами чисел, движением тел, очень часто возникают квадратные уравнения.

Пример. Площадь прямоугольника составляет 126 см 2 , а одна из его сторон на 5 см длиннее другой. Каковы длины сторон этого прямоугольника?

Решение. Обозначим как k длину той стороны прямоугольника, которая меньше. Тогда протяженность второй стороны будет равна k + 5 см. Площадь прямоугольника – это произведение его сторон, а потому можно записать:

Решим это уравнение:

k 2 + 5k – 126 = 0

D = 5 2 – 4•1•(– 126) = 25 + 504 = 529

Первый корень равен (– 14). Однако ясно, что длина стороны прямоугольника не может измеряться отрицательным числом, поэтому этот корень надо отбросить. Остается только k = 9. То есть длина первой стороны равна 9 см. Вторая сторона равна k + 5, то есть 9 + 5 = 14 см.

Ответ: 9 и 14 см.

Пример. Сумма квадратов двух последовательных нечетных чисел составляет 290. Что это за числа?

Решение. Обозначим первое число как n. Нечетные числа чередуются с четными, поэтому следующим нечетным числом будет n + 2. Перепишем условие задачи в виде уравнения и найдем его корни:

n 2 + (n + 2) 2 = 290

n 2 + n 2 + 4n + 4 – 290 = 0

2n 2 + 4n – 286 = 0

D = 4 2 – 4•2•(– 286) = 16 + 2288 = 2304

Получили два решения. Если первое число равно – 13, то второе составит n + 2 = – 11. Если же n = 11, то второе число будет равно 13.

Ответ: – 13 и 11, либо 11 и 13.

Теорема Виета

Большое значения имеют уравнения, у которых старшим коэффициентом является единица. Математики называют их приведенными уравнениями.

Дадим несколько примеров приведенных квадратных уравнений:

• х 2 + 6х + 29 = 0
• у 2 – 7,54у + 87 = 0
• z 2 + 21z + 112 = 0

Название «приведенное» возникло из-за того, что каждое квадратное уравнение можно сделать приведенным, если поделить его части на коэффициент перед х 2 . Пусть есть уравнение

Поделим на 4 обе его части:

х 2 + 1,25х + 1,5 = 0

Для приведенного уравнения сформулирована теорема Виета, которая указывает на взаимосвязь его корней и коэффициентов:

Доказать это очень легко. Если у уравнения

существует два корня, то они вычисляются по формулам:

Найдем их сумму:

Аналогично можно посчитать и их произведение:

Естественно, если у уравнения не существует корней (D 2 – 8х + 15 = 0; корни (х₁ и х₂) равны 3 и 5, в чем можно убедиться подстановкой:

Перемножим корни и получим 3•5 = 15 (свободный член), при сложении корней получается 3 + 5 = 8 (второй коэффициент без минуса);

1. у 2 + 13у + 42= 0, корни (– 6) и (– 7), произведение корней 42, сумма корней – 13;
2. х 2 + 2х – 8 = 0, корни (– 4) и 2, их сумма равна (– 2), а произведение (– 8).

Справедливо и утверждение, известное как обратная теорема Виета:

Возьмем числа 4 и 9. Их сумма равна 13, а произведение 36, поэтому они являются корнями уравнения:

х 2 – 13х + 36 = 0

в чем можно убедиться, подставив их вместо х.

Пример. Учитель математики перед уроком составляет квадратные уравнения, причем стремится к тому, чтобы у них были целые корни (чтобы детям было просто считать). Подскажите ему пример уравнения, чьи корни равны 3 и 8.

Решение. Перемножим и сложим числа 3 и 8:

Соответственно, уравнением с корнями 3 и 8 будет

х 2 – 11х + 24 = 0

Ответ: х 2 – 11х + 24 = 0

Разложение квадратного трехчлена на множители

При решении уравнения

мы находим его корни. Однако отдельно выделяют и такое понятие, как корень многочлена. Так называют значение переменной, которая обращает полином в ноль.

Понятно, что для нахождения корней полинома второй степени следует решить квадратное уравнение.

Сначала рассмотрим трехчлены, у которых коэффициент при х 2 а равен 1. Предположим, что нам удалось разложить его на произведение двух линейных полиномов:

х 2 + bх + с = (х –s)(х –k)

где s и k– какие-то произвольные числа.

Выражение справа является произведением, а потому обращается в ноль только тогда, когда нулю равен один из множителей:

х – s = 0 или х – k = 0

Так как при х = s или х = k в ноль обращается правая часть тождества, то также должна обращаться и левая часть. Получается, что числа s и k – это корни трехчлена х 2 + bх + с.

Убедимся в этом, раскрыв скобки в правой части тождества:

(х –s)(х –k) = х 2 –kx–sx + sk = х 2 – (k + s)х + sk

подставим это выражение в исходное равенство:

х 2 + bх + с = (х – s)(х — k) = х 2 – (k + s)х + sk

х 2 + bх + с = х 2 – (k + s)х + sk

Получается, произведение s и k дает свободный член, а их сумма в точности равна коэффициенту при х, взятому со знаком минус. Значит, по теореме Виета, они являются корнями уравнения!

Обозначим корни уравнения как х₁ и х₂. Если у трехчлена коэффициент а отличен от единицы, то эта формула (ее называют формулой разложения квадратного трехчлена на множители) примет несколько иной вид:

То есть справедливо утверждение:

А теперь и докажем его.

Пусть есть уравнение ах 2 + bx + c = 0 с корнями х₁ и х₂. Поделим его на а:

х 2 + (b/a)х + с/а = 0

по теореме Виета можно записать:

Умножив первое тождество на (– а), а второе наа, получим

Осталось подставить эти равенства в исходный многочлен:

Для чего же мы доказывали эту теорему? С ее помощью можно выполнить разложение квадратного трехчлена на множители. Проиллюстрируем это на примерах.

Пример. Разложите полином

2х 2 + 12х – 14

на множители.

Решение. Для начала следует решить уравнение 2х 2 + 12х – 14 = 0:

D = 12 2 – 4•2•(– 14) = 144 + 112 = 256

Найдя х₁ и х₂, можем выполнить и разложение:

2х 2 + 12х – 14 = 2(х – 1)(х – (– 7)) = 2(х – 1)(х + 7)

Ответ: 2(х – 1)(х + 7)

Пример. Упростите выражение

Решение. На первый взгляд кажется, что сокращать нечего. Однако и в числителе, и в знаменателе находятся квадратные трехчлены. Разложим их на множители, решив соответствующие уравнения:

D = 2 2 – 4•1•(– 15) = 4 + 60 = 64

h 2 – 2h– 15 = (h+ 5)(h– 3)

Теперь раскладываем второй полином:

D = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Соответственно, можно записать:

h 2 – 9h +18 = (h– 3)(h– 6)

А теперь подставим в исходную дробь полученные выражения:

Отметим, что если у полинома второй степени нет корней, то и разложить его на множители не получится.

Дробно-рациональные уравнения

Периодически приходится сталкиваться с уравнениями, где переменные присутствуют в знаменателе какой-нибудь дроби. Их называют дробно-рациональными уравнениями. Обычно их можно свести к более простому виду, но при этом следует учитывать ту особенность, что корень уравнения не должен обращать знаменатель в ноль.

Пример. Найдите решение дробно-рационального уравнения

Решение. Для начала перенесем дробь из правой части в левую, а потом приведем дроби к общему знаменателю:

Умножим уравнение на величину (х – 2)(х + 3)

(х + 1)(х – 2) + 10х – 4(х + 3) = 0

х 2 – 2х + х – 2 + 10х – 4х – 12 = 0

D = 5 2 – 4•1•(– 14) = 25 + 56 = 81

Казалось бы, мы нашли два корня: 2 и (– 7). Однако в исходном уравнении в знаменателе стоит выражение (х – 2)(х – 3). При х = 2 оно обращается в нуль, то есть дробь потеряет смысл. Поэтому корень 2 следует отбросить, и остается лишь корень (– 7)