Уравнение арнольда выбор главных размеров

Основные электромагнитные нагрузки и машинная постоянная

Автор: Евгений Живоглядов.
Дата публикации: 06 июня 2014 .
Категория: Статьи.

Электромагнитные нагрузки

Ниже в данной статье предполагается, что все рассматриваемые величины относятся к номинальному режиму, и для краткости это не указывается дополнительными индексами.

Важнейшими электромагнитными нагрузками электрической машины, определяющими степень использования материалов и размеры машины при заданной номинальной мощности, являются магнитная индукция в воздушном зазоре B_δ и линейная токовая нагрузка якоря A_α.

Последняя представляет собой общее значение тока обмотки якоря на единицу длины окружности якоря. Для машин постоянного тока

(1)

В малых машинах вследствие малого диаметра якоря D_α геометрические соотношения зубцовой зоны менее благоприятны, так как зубцовое деление у корня зуба значительно меньше, чем на внешней поверхности якоря. Поэтому во избежание сильного насыщения корня зубца в таких машинах приходится выбирать меньшее значение B_δ. Кроме того, у малых машин глубина паза меньше и вследствие малых размеров пазов и сечений проводников изоляция занимает относительно большую часть площади паза, чем у крупных машин. По этим причинам A_α в малых машинах также меньше, чем в крупных. В машинах постоянного тока при D_α = 10 и 300 см линейная нагрузка соответственно находится в пределах:

A_α = (1,0 – 1,5) × 10 4 А/м = 100 – 150 А/см;
A_α = (4,5 – 6,0) × 10 4 А/м = 450 – 600 А/см.

Значения A_α, а также плотности тока якоря j_α ограничиваются в первую очередь условиями охлаждения.

Действительно, потери мощности в единице объема проводников обмотки якоря равны ρ × j_α 2 , где ρ – удельное электрическое сопротивление проводника. С другой стороны, сечение проводников обмотки на единицу длины окружности якоря

Поэтому потери в обмотке якоря, приходящиеся на единицу поверхности якоря,

Чем больше p_α1, тем труднее условия охлаждения обмотки якоря. В малых машинах, у которых A_α мало, j_α берут больше, а в крупных машинах – наоборот. Величину j_α также можно отнести к числу основных электромагнитных нагрузок. При D_α = 10 см в среднем j_α ≈ 10 А/мм 2 , а при D_α = 300 см обычно j_α = 4,0 – 5,5 А/мм 2 .

Средняя касательная сила

Значения B_δ и A_α определяют среднюю касательную силу F_к на единицу всей поверхности якоря (рисунок 1):

Коэффициент полюсной дуги α_δ учитывает здесь то обстоятельство, что индукция B_δ действует в пределах полюсного деления только на протяжении дуги α_δ × τ, в результате чего среднее электромагнитное усилие на единицу всей поверхности якоря соответственно уменьшается. Как показано выше, допустимые значения электромагнитных нагрузок оказываются ограниченными.

Если взять некоторые округленные значения из числа встречающихся на практике: α_δ = 0,75; B_δ = 0,8 Т; A_α = 5 × 10 4 А/м; то F_к = 0,75 × 0,8 × 5 × 10 4 = 3 × 10 4 Н/м 2 ≈ 3 × 10 3 кгс/м 2 = 0,3 кгс/см 2 . Полученное значение характеризует реально достижимые электромагнитные усилия в электрических машинах.

Машинная постоянная Арнольда

Выражение для электромагнитного момента получим, если умножим F_к на площадь поверхности якоря π × D_α × l_δ, а затем на плечо D_α / 2:

(4)

Умножив M_эм на Ω = 2 × π × n, получим зависимость P_эм от основных геометрических размеров, электромагнитных нагрузок и скорости вращения машины:

Эту же зависимость можно получить, если в выражение (10), представленное в статье «Электродвижущая сила якоря и электромагнитный момент», подставить E_α из формулы (2), также представленной в статье «Электродвижущая сила якоря и электромагнитный момент», и выразить Ф_δ через B_δ и I_α через A_α [смотрите соотношение (1) настоящей статьи].

Из выражения (5) определяется так называемая машинная постоянная Арнольда:

(6)

Величина C_A пропорциональна объему якоря на единицу электромагнитного момента, так как D_α 2 × l_δ и P_эм / n пропорциональны этим величинам. Согласно соотношению (6), величина C_A определяется электромагнитными нагрузками B_δ, A_α и коэффициентом α_δ.

На основании выражения (6) можно сделать вывод, что чем выше электромагнитные нагрузки, тем меньше размеры и стоимость машины при заданной мощности и скорости вращения.

Ввиду высокого коэффициента полезного действия электрической машины величина P_эм близка к P_н и характеризует поэтому также номинальную мощность.

Из выражений (4) и (6) следует, что геометрические размеры машины определяют непосредственно не ее мощность, а электромагнитный момент и при данных размерах мощность пропорциональна скорости вращения. Таким образом, при заданной мощности, машины с большей скоростью вращения меньше по размерам, по массе и дешевле.

Если пользоваться, как это делается в практических руководствах, размерами величин в сантиметрах, оборотах в минуту и киловаттах, то в формулу (5) надо вместо соответствующих величин подставить 10 -2 × D_{α см}, 10 -2 × l_{δ см}, 10 -4 × B_{δ Гс}, 10 2 × A_{α А/см}, 60 -1 × n об/мин и умножить результат на 10 -3 . Тогда

(7)

На рисунке 2 показана зависимость C_A от P_{эм кВт} / n_об/мин. Она представляет собой падающую кривую, так как с увеличением геометрических размеров машины значения B_δ и A_α, как указано выше, увеличиваются.

Рисунок 2. Зависимости машинной постоянной Арнольда C_A и диаметра якоря D_α от P_эм / n_н для машин постоянного тока

Для машин переменного тока действительны зависимости, которые подобны рассмотренным и отличаются только числовыми коэффициентами.

При проектировании машины по заданному значению P_эм / n из кривой рисунка 2 можно найти C_A, а затем

(8)

влияет на технико-экономические показатели машины. При увеличении λ уменьшается относительная величина неактивных лобовых частей машины, однако ухудшаются условия охлаждения, и поэтому необходимо уменьшать значения B_δ и A_α и так далее. В связи с этим существуют оптимальные значения λ, при которых по массе, стоимости и технико-экономическим показателям получается наилучший вариант машины. Оптимальные значения λ устанавливаются в результате технико-экономических расчетов и исследования опытных данных.

Если оптимальное значение λ известно, то по соотношениям (8) и (9) можно определить по отдельности l_δ и D_α. На рисунке 2 приведена кривая D_α, соответствующая оптимальным значениям λ. По известным C_A и D_α, согласно выражению (8), можно найти также l_δ.

Аналогичным образом определяются также основные размеры при проектировании машин переменного тока.

Источник: Вольдек А. И., «Электрические машины. Учебник для технических учебных заведений» – 3-е издание, переработанное – Ленинград: Энергия, 1978 – 832с.

Выбор главных размеров и расчет обмотки статора

Техническое задание на учебное проектирование асинхронно­го двигателя содержит номинальные данные проектируемой ма­шины и указания о режиме ее работы, исполнении по способу монтажа, степени защиты от воздействия окружающей среды и системе охлаждения. Кроме того, могут быть заданы также до­полнительные требования к проектируемому двигателю, напри­мер наименьшие допустимые значения кратности максимального и минимального моментов, а для двигателей с короткозамкнутыми роторами также предельные значения пускового тока и наи­меньшие значения пусковых моментов. В отношении требований, не оговоренных в задании, спроектированная машина должна удовлетворять соответствующим ГОСТам.

Расчет асинхронных машин начинают с определения главных разме­ров: внутреннего диаметра статора D и расчетной длины магнитоп­ровода . Размеры D и связаны с мощностью, угловой скоростью и электромагнитными нагрузками выражением машинной постоян­ной:

. (3.1)

В начале расчета двигателя все величины, входящие в (3.1), кро­ме синхронной угловой скорости, неизвестны. Поэтому расчет про­водят, задаваясь на основании имеющихся рекомендаций значения­ми электромагнитных нагрузок (А и ), коэффициентов ( , и ), и приближенно определяют расчетную мощность . Остаются два неизвестных (D и ), однозначное определение которых без до­полнительных условий невозможно. Таким условием является отно­шение или более употребительное в расчетной практике отно­шение . Это отношение в значительной степени определяет экономические данные машин, а также оказывает влияние на харак­теристики и условия охлаждения двигателей.

Высоту оси вращения предварительно определяют по рис. 3.1, а или б для заданных и в зависимости от исполнения двигателя.

Внешние диаметры сердечников статоров двигателей серий в за­висимости от высоты оси вращения при учебном проектировании могут быть приняты по данным табл. 3.1.

Таблица 3.1. Внешние диаметры статоров асинхронных двигателей

различных высот оси вращения

h, мм
, мм	0,08–0,096	0,1–1,08	0,116–0,122	0,131–0,139	0,149–0,157
h, мм
, мм	0,168–0,175	0,191–0,197	0,225–0,233	0,272–0,285	0,313–0,322
h, мм
, мм	0,349–0,359	0,392–0,406	0,437–0,452	0,52–0,53	0,59	0,66

Рис. 3.1. Высота оси вращения h двигателей различных мощностей и частоты вращения:

а – со степенью защиты IP44; б – со степенью защиты IP23

Внутренний диаметр статора D в общем случае можно опреде­лить по внешнему диаметру, высотам ярма ( ) и зубцов ( ) статора:

.

На данном этапе расчета размеры и неизвестны. Поэтому для определения D используют эмпирические зависимости. При одном и том же уровне индукции на участках магнитопровода в маши­нах с одинаковым D высота ярма статора будет пропорциональна потоку, а следовательно, обратно пропорциональна числу полюсов машины (прямо пропорциональна полюсному делению). Принимая, что размеры пазов не зависят от числа полюсов машины, получаем приближенное выражение

. (3.2)

Значения коэффициентов , приведенные в табл. 3.2, характе­ризуют отношения внутренних и внешних диаметров сердечников статоров асинхронных двигателей серий 4А и АИ при различных числах полюсов и могут быть использованы для предварительного определения D вновь проектируемой машины.

Таблица 3.2. Отношение в асинхронных двигателях

в зависимости от числа полюсов

2р	10–12
	0,52–0,6	0,62–0,68	0,7–0,72	0,72–0,75	0,75–0,77

Далее находят полюсное деление τ, м:

, (3.3)

и расчетную мощность P’, В · А:

, (3.4)

где — мощность на валу двигателя, Вт;

— отношение ЭДС об­мотки статора к номинальному напряжению, которое может быть приближенно определено по рис. 3.2.

Рис. 3.2. Значения коэффициента

Предварительные значения η и , если они не указаны в за­дании на проектирование, нахо­дятся по ГОСТу. Приближенные значения η и могут быть приняты по кривым рис. 3.3.

Предварительный выбор элек­тромагнитных нагрузок А, А/м, и , Тл, должен быть проведен особо тщательно, так как они определяют не только расчетную длину сердечника, но и в значительной степени характеристики машины. При этом если главные размеры машины зависят от произведения [см. (3.1)], то на характеристики двигателя оказывает существенное влияние также и соотношение между этими величинами. Рекомендации по выбору А и представлены в виде кривых на рис. 3.4 для машин различных мощности и исполнения. На каждом из рисунков даются области их допустимых значений. При выборе конкретных значений А и в пределах рекомендуемой области следует, руководствуясь приведен­ными выше замечаниями, учитывать требования технического задания к характеристикам проектируемого дви­гателя.

Коэффициент полюсного перекры­тия и коэффициент формы поля в асинхронных машинах определяются степенью уплощения кривой поля в за­зоре, возникающей при насыщении зубцов статора и ротора, и могут быть достаточно достоверно определены то­лько после расчета магнитной цепи. Поэтому для расчета магнитной цепи удобнее рассматривать синусоидаль­ное поле, а влияние уплощения учесть при расчете магнитного напряжения отдельных участков магнитной цепи.

Рис. 3.3. Примерные значения КПД и cosφ асинхронных двигателей:

а – со степенью защиты IP44 и мощностью 30кВт; б – со степенью защиты IP44 и мощностью до 400кВт;

Основываясь на этом, значения коэффициентов предварительно принимают равными:

; .

Предварительное значение обмоточного коэффициента вы­бирают в зависимости от типа обмотки статора. Для однослойных обмоток . Для двухслойных и одно-двухслойных об­моток при 2р=2 следует принимать и при большей полюсности .

Синхронная угловая частота двигателя Ω, рад/с, рассчитывается по формуле

или , (3.5)

где — синхронная частота вращения, об/мин;

— частота пита­ния, Гц.

Из (9.1), с учетом значения , расчетная длина магнитопровода, м,

. (3.6)

Рис. 3.4. Электромагнитные нагрузки асинхронных двигателей со степенью защиты IP44 при высоте оси вращения:

а – h≥132мм; б – h = 150…250 мм; в – h≥280мм (с продуваемым ротором)

Критерием правильности выбора главных размеров D и служит отношение , которое обычно находится в пределах, пока­занных на рис. 3.5 для принятого исполнения машины. Если λ ока­зывается чрезмерно большим, то следует повторить расчет для ближайшей из стандартного ряда большей высоты оси вращения А. Если λ слишком мало, то расчет повторяют для следующей в стандартном ряду меньшей высоты А.

Рис. 3.5. Отношение у двигателей исполнения по степени защиты IP44

Следующий этап расчета включает определение числа пазов ста­тора и числа витков в фазе обмотки статора . При этом число витков фазы обмотки статора должно быть таким, чтобы линейная нагрузка двигателя и индукция в воздушном зазоре как можно бо­лее близко совпадали с их значениями, принятыми предварительно при выборе главных размеров, а число пазов статора обеспечивало достаточно равномерное распределение катушек обмотки.

Чтобы выполнить эти условия, вначале выбирают предваритель­но зубцовое деление , в зависимости от типа обмотки, номиналь­ного напряжения и полюсного деления машины. Для более равно­мерного распределения катушек обмотки по длине окружности зазора необходимо большое число пазов, а следовательно, малень­кие зубцовые деления. В то же время ширина паза, составляющая примерно половину зубцового деления, не должна быть слишком малой, так как в этом случае ухудшается заполнение паза медью об­мотки, а в машинах небольшой мощности может также недопусти­мо уменьшиться механическая прочность зубцов. Кроме того, надо иметь в виду, что стоимость машины с увеличением числа пазов воз­растает, так как увеличиваются сложность штампа и трудоемкость изготовления и укладки обмоток.

Значения зубцовых делений статора асинхронных двигателей с обмоткой из круглого провода, необходимые для предварительного выбора числа пазов, приведены на рис. 3.6. Меньшие значения в каждой из показанных на рисунке областей возможных значений характерны для машин меньшей мощности для каждого из диапазо­нов высот осей вращения. Следует отметить, что двигатели с h≥280мм обычно выполняют с обмоткой из прямоугольного провода, но в многополюсном исполнении при 2p≥10 (в двигателях с h = 280 и 315 мм) из-за малой высоты спинки статора размещение лобовых частей катушек из прямоугольного провода затруднено, поэт­ому такие машины выполняют с обмоткой из круглого провода, имеющей мягкие, легко поддающиеся формовке лобовые части.

Рис. 3.6. Зубцовые деления статоров асинхронных двигателей с обмоткой из круглого провода с высотами оси вращения:

1 – h≤90мм; 2 – 90 2 , определяют, исходя из тока одной параллельной ветви и допустимой плотности тока в об­мотке:

. (3.14)

С точки зрения повышения использования активных материалов плотность тока должна быть выбрана как можно большей, но при этом возрастают потери в меди обмотки. Увеличение потерь сказывается, во-первых, на повышении температуры обмотки и, во-вторых, на КПД двигателя. В асинхронных двигателях общего назначения при принятой в них системе косвенного охлаждения влияние плотности тока на нагрев обмотки более существенно, чем на КПД. На этом основании определены качественные зависимости допустимой плотности тока в обмотках различных машин. Она по­вышается с уменьшением габаритов машины, с увеличением допус­тимого нагрева обмотки при переходе на другой, более высокий класс нагревостойкости изоляции и с повышением интенсивности охлаждения (например, в машинах защищенного исполнения по сравнению с закрытыми обдуваемыми двигателями).

Нагрев пазовой части обмотки зависит от произведения линей­ной нагрузки на плотность тока (AJ). Поэтому выбор допустимой плотности тока производят с учетом линейной нагрузки двигателя:

. (3.15)

Значения (AJ) для асинхронных двигателей различных исполне­ния и мощности приведены на рис. 3.7.

Для всыпных обмоток могут быть использованы обмоточные провода диаметром не более 1,8 мм, однако в современных двигате­лях для повышения надежности обмотки и упрощения ее укладки в пазы используют провода меньшего диаметра. В обмотках, предназ­наченных для механизированной укладки, диаметр изолированного провода обычно берут не более 1,4 мм, а при ручной укладке (двига­тели с h > 160 мм) — не более 1,7 мм.

Рис. 3.7. Средние значения произведения AJ асинхронных двигателей

со степенью защиты:

а – IP44, h≤132мм; б – IP44, h=160…250мм; в – IP44, h=280…355мм (при продуваемом роторе)

Если расчетное сечение эффективного проводника в машинах со всыпной обмоткой выше значений, соответствующих указанным диаметрам, то эффективный проводник делят на несколько элемен­тарных. Для этого по табл. 3.4 подбираются сечение и число элементарных проводников , составляющих один эффективный, таким образом, чтобы диаметр элементарных проводников не выходил за указанные пределы, а их суммарная площадь сечения была близка к расчетному сечению эффективного проводника:

. (3.16)

Таблица 3.4. Диаметр и площади поперечного сечения

круглых медных эмалированных проводов марок ПЭТВ и ПЭТ-155

В обмотках из круглого провода число элементарных проводни­ков может быть взято до 8—10, но при большом возрастают тех­нологические трудности намотки катушек, поэтому в современных машинах стремятся уменьшить число элементарных проводников в одном эффективном до 6—8, для чего увеличивают число паралле­льных ветвей. В двухполюсных двигателях увеличивают, поско­льку число параллельных ветвей в них не может быть более двух.

При проектировании машин с обмоткой из прямоугольного провода сечение каждого проводника не должно быть взято более 17. 20 мм 2 , так как в этом случае становится заметным возрастание потерь на вихревые токи.

Если расчетное значение , то прямоугольные провод­ники подразделяют на элементарные так, чтобы .

В обмотках из прямоугольного провода, укладываемых в откры­тые пазы, обычно не более 2.

По одной и той же площади поперечного сечения прямоугольных проводников их линейные размеры a×b могут быть различны, поэтому окончательный выбор обмоточного провода производят одновременно с расчетом размеров зубцовой зоны.

После окончательного выбора , и a следует уточнить плот­ность тока в обмотке, которая может несколько измениться по срав­нению с предварительно принятой при подборе сечений элементарных проводников:

. (3.17)

На этом расчет обмотки статора заканчивается. Некоторая кор­ректировка, которая может потребоваться в ходе последующего расчета, как правило, не вносит существенных изменений в получен­ные данные.