Уравнение астроиды в декартовой системе

Замечательные кривые

Семейство роз Гранди

Уравнение имеет вид:

a — радиус лепестка;

k — положительный параметр, отвечает за количество лепестков.

Рисунок 1 — роза с тремя лепестками ρ=sin3φ

Рисунок 2 — роза с 16 лепестками ρ=sin8φ

Рисунок 3 — семейство роз Гранди — напоминает ромашку ρ=sin20φ

Рисунок 4 — семейство роз Гранди — линия похожа на зрачок глаза ρ=sin100φ

Логарифмическая спираль

Уравнение логарифмическая спираль (трансцендентная кривая) в полярных координатах:

Кардиоида

Уравнение кардиоиды (перев. греч. сердце и вид) в полярных координатах:

Астроида

Уравнение астроиды (перев. греч. звезда и вид) :

x 2/3 + y 2/3 = a 2/3

Строфоида

Уравнение строфоиды (перев. греч. крученая лента, поворот) :

y 2 (a — x)= x 2 (a + x)

Уравнение строфоиды в полярной системе координат:

Декартов лист

Уравнение декартова листа :

x 2 + y 2 — 3axy = 0

Уравнение декартова листа в полярной системе координат:

Циссоида

Уравнение циссоиды Диоклеса (перев. греч. плющ, вид) в прямоугольной системе координат :

Параметрическое уравнение циссоиды:

x = a t 2 /(1 + t 2 )

x = a t 3 /(1 + t 2 )

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

Циклоида

Параметрическое уравнение циклоиды :

Кохлеоида

Уравнение кохлеоиды (трансцендентная кривая) в полярных координатах:

Лемниската Бернулли

Уравнение лемниската Бернулли в прямоугольных координатах:

(x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 — y 2 )

Уравнение лемниската Бернулли в полярных координатах:

Архимедова спираль рассмотрена здесь подробно.

Применяя математические уравнения замечательных кривых, можно получить вот такие геометрические линии.

Уравнения кривых. Астроида.

Астроида – плоская кривая, которую формирует траектория точки, расположенной на окружности радиуса r, катящейся без трения по внутренней стороне неподвижной окружности радиуса R = 4r.

Параметрическое уравнение:

Уравнение в алгебраическом виде:

Длина дуги от точки с 0 до t ≤ π/2:

.

Длина всей кривой равна 6R.

Радиус кривизны описывается формулой:

.

Площадь, ограниченная кривой представлена такой формулой:

.

Объем тела вращения относительно любой координатной оси описан формулой:

.

Графики функций, заданных параметрически:

Астроида (звездообразная кривая)

Астроид — это старое название астероидов, небесных тел, вращающихся вокруг Солнца, по размеру много меньше размеров планет.

При наблюдении в телескоп они выглядят как звезды.

Кривая астроид по форме напоминает звезду на ночном небе, поэтому и получила такое название.

Впервые данную кривую «астроидом» назвал астроном Карл Людвиг Литров в своей книге, опубликованной в 1836 году в Вене. До этого времени кривая называлась кубоциклоид.

Исследованием данной кривой также занимались известные ученые: Рёмер, Бернулли, Лейбниц, д’Аламбер.