Уравнение баланса механической энергии уравнение бернулли

Уравнение энергии в механической форме (уравнение Бернулли)

Уравнение энергии (3.18) содержит тепловые величины (q_нар, i₂, i₁) и не содержит давления и плотности газа. Можно получить иную механическую форму уравнения, куда, наоборот, не входит температура газа и тепло, а скорость движения связана с давлением и плотностью. Для этого воспользуемся формой записи первого закона термодинамики в виде

(3.39)

После интегрирования с учетом того, что v=1/r имеем

(3.40)

Уравнение первого закона термодинамики записано для покоящейся жидкости или, что то же самое, для жидкости, движущейся вместе с системой координат. Учитывая это, вычтем из (3.18) уравнение (3.13), помня, что q=q_нар+q_T в результате получим

Это мы вправе делать, несмотря на то, что уравнение (3.23) записано для движущейся жидкости, так как значение температуры газа Т, количества тепла q, давления Р и плотности r не зависят оттого, в какой системе координат они измеряются.

Так как тепло трения равно работе, затрачиваемой на преодоление сил трения (q_ТР=l_ТР), то уравнению энергии можно придать следующий вид

(3.41)

Это уравнение, называемое уравнением Бернулли, имеет четкий физический смысл. Техническая работа, совершаемая газом (рис. 3.4, а)

расходуется на полезную работу расширения (например, в колесе турбины), на увеличение кинетической энергии газов

и на преодоление сил трения l_ТР

Посредством (3.41) можно вычислить, например, работу, которую отдает газ колесу турбины, стоящему между сечениями 1 и 2, если все остальные члены уравнения известны. Если величина / получится отрицательной, то это значит, что между сечениями 1 и 2 стоит компрессор и работа к газу подводится. Для того чтобы пользоваться уравнением Бернулли для сжимаемого газа, необходимо знать термодинамический процесс изменения состояния газа, так как без этого неизвестна зависимость плотности газа от давления, и нельзя вычислить интеграл (рис. 3.4, а).

Вычислим этот интеграл для основных термодинамических процессов. Для изохорического процесса p=const

(3.42)

Это соотношение используется в гидравлике, например, для определения мощности насоса или турбины.

При изобарическом процессе Р=const

(3.43)

Для изотермического процесса P/r=RT=const.

Из уравнения состояния

Это позволяет взять интеграл

(3.44)

Если состояние газа изменяется по идеальной адиабате

(3.45)

Для политропического процесса с постоянным показателем политропны P/r n =const

(3.46)

Важно отметить, что подводимое к газу тепло непосредственно не отражено в уравнении Бернулли. Однако оно учитывается при вычислении интеграла, т.к. влияет на вид функции р=f(Р), т.е. на характер процесса, по которому изменяется состояние газа.

Наибольшее значение в газовой динамике и теории реактивных двигателей имеет идеальный адиабатический процесс, который предполагает отсутствие теплообмена с окружающей средой и работы сил трения. Энтропия в таком процессе не изменяется. Если нет технической работы, и процесс идеальный адиабатический, то уравнение Бернулли (3.41) примет следующий вид

(3.47)

т.е. совершаемая газом техническая работа (рис. 3.4, а) целиком тратится на увеличение кинетической энергии газа.

Если поток газа при скорости, соответствующей числу М, затормозить полностью, то в соответствии с (3.31) его температура возрастет от значения T до T *

Если процесс торможения идет по идеальной адиабате, то, воспользовавшись уравнениями

0можно связать отношение температуры T * /T с отношением давлений

(3.48)

Подставив (3.48) в (3.31) получим

(3.49)

Аналогично свяжем отношение температуры T * /T с отношением r * /r

(3.50)

(3.51)

С помощью уравнения (3.37), связывающего отношение температур T * /T с приведенной скоростью, используя (3.39) и (3.40), можно получить

(3.52)

(3.53)

Истинное давление, которое получается при торможении струи газа, может существенно отличаться от полного давления, определенного из выражений (3.49) и (3.52).

Объясняется это тем, что в действительности торможение осуществляется не по идеальной адиабате, а с гидравлическими потерями, что, естественно, приводит к выделению тепла трения в потоке. Если на участке струи 1 — 2 наблюдаются потери, то это обязательно приводит к тому, что полное давление в сечении 2 будет ниже полного давления в сечении 1: Р₂ * * Величина гидравлических потерь оценивается коэффициентом сохранения полного давления

(3.54)

Чем больше потери, тем ниже значение коэффициента сохранения полного давления и меньше полное давление в сечении 2

(3.55)

Коэффициент сохранения полного давления связан с изменением энтропии в потоке газа, и, следовательно, с количеством выделившегося тепла в результате работы сил трения. Для того чтобы убедиться в этом, перейдем в равенстве (3.20) от параметров потока к параметрам торможения, используя соотношение Рv к =P * v *к =const. Получим

(3.56)

Выразив удельный объем через давление и температуру, используя уравнения состояния

и подставив v* в (3.56), после ряда преобразований можно получить

(3.57)

Так как полное давление в газовом потоке вследствие потерь падает Р * ₂ * ₁, тепло трения имеет всегда положительный знак (dq_тр>0) и соответственно энтропия возрастает (S₂>S₁,). Заменив в уравнении (3.57) отношение давлений через s, получим

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли для струйки жидкости формулируется следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Уравнение Бернулли выглядит так:

Подробное описание всех входящих в состав уравнения параметров уже описан в этой статье.

Содержание статьи

Смысл уравнения Бернулли

По существу вывода уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости представляет собой закон сохранения механической энергии, составленный применительно к единице массового расхода жидкости. Это следует из того, что в процессе вывода значения работы сил, приложенных к выделенному объему струйки и значения кинетической энергии этого объема были поделены на величину ρqΔT.

Отсюда вытекает, что поскольку член υ 2 /2 является мерой кинетической энергии единицы массы движущейся жидкости, то сумма членов gz+p/ρ будет мерилом ее потенциальной энергии.

В отношении величины gz это очевидно, ведь если частица жидкости массы m расположена на высоте z относительно некоторой плоскости и находится под действием сил тяжести, то способность ее совершить работу, т.е. её потенциальная энергия относительно этой плоскости равняется mgz. Но если её поделить на массу частиц m, то эта часть потенциальной энергии даст величину gz.

Для более ясного физического представления о том, что потенциальная энергия измеряется величиной p/ρ рассмотрим такую схему: пусть к трубе, заполненной жидкостью с избыточным давлением p, присоединен пьезометр, снабженный на входе в него краном.

Кран сначала закрыт, т.е. пьезометр свободен от жидкости, а элементарный объем жидкости ΔV массой ρ*ΔV перед краном находится под давлением p.

Если затем открыть кран, то жидкость в пьезометре поднимется на некоторую высоту, равную

Таким образом, единица массы, находящейся под давлением p, как бы несет в себе ещё заряд потенциальной энергии, определяемой величиной p/ρ.

В гидравлике для характеристики удельной энергии обычно используется понятие напор, под которым понимают энергию жидкости, отнесенную к единице силы тяжести, а не её массы. В соответствии с этим уравнение Бернулли записанное в начале этой статьи примет вид

Такое уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости в другой форме, весьма удобно для гидравлических расчетов и может быть сформулировано следующим образом.

Для элементарной струйки идеальной жидкости полный напор, т.е. сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров, есть величина постоянная во всех её сечениях.

Отсюда следует, что между напором и удельной энергией существует очень простая зависимость

где э – удельная энергия

Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости

Если вместо идеальной жидкости рассматривать жидкость реальную, то уравнение Бернулли для реальной жидкости должно принять несколько другой вид.

При движении идеальной жидкости её полная удельная энергия или напор сохраняет постоянное значение по длине струйки, а при движении реальной жидкости эта энергия будет убывать по направлению движения. Причиной этого являются затраты энергии на преодоление сопротивлений движению, обусловленные внутренним трением в вязкой жидкости.

Если же мы рассмотрим два сечения для струйки идеальной жидкости: 1-1 в начале и 2-2 в конце струйки, то полная удельная энергия будет

Полная удельная энергия для сечения 1-1 всегда будет больше, чем полная удельная энергия для сечения 2-2 на некоторую величину потерь, и уравнение Бернулли в этом случае получается

Величина Э_1-2 представляет собой меру энергии, потерянную единицей массы жидкости на преодоление сопротивлений при её движениями между указанными сечениями.

Соответствующий этой потере удельной энергии напор называют потерей напора между сечениями 1-1 и 2-2 и обозначают h_1-2 . Поэтому уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости можно представить в виде

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости это еще только половина дела, ведь в при решении различных практических вопросов о движении жидкостей приходится иметь дело с потоками конечных размеров. Уравнение Бернулли в этом случае может быть получено, исходя из рассмотрения потока как совокупности множества элементарных струек.

Учитывая, что все струйки движутся с одной и той же средней скоростью форма записи уравнения Бернулли для потока идеальной жидкости становится идентичной его записи для элементарной струйки.

В таком виде уравнение Бернулли обычно и применяется при решении практических задач для потоков однородной несжимаемой жидкости при установившемся движении, происходящем под действием одной силы тяжести.

Такое уравнение составляется для различных живых сечений потока, вблизи которых движение жидкости должно удовлетворять условиям медленно изменяющегося движения, хотя на пути между этими сечениями движение может и не удовлетворять указанным условиям.

Слагаемое h_1-2 в этом уравнении показывает потери напора на преодоление сопротивлений движению жидкости. При этом в гидравлике различают два основных вида сопротивлений:
— h_лп — линейные потери — сопротивления, проявляющиеся по всей длине потока, обусловленные силами трения частиц жидкости друг о друга и о стенки, ограничивающие поток.
— h_мп — местные потери – местные сопротивления, обусловленные различного рода препятствиями, устанавливаемыми в потоке (задвижка, кран, колено), приводящими к изменениям величины или направления скорости течения жидкости

Поэтому полная потеря напора между двумя сечениями потока при наличии сопротивлений обоих видов будет

Видео по теме

Уравнение Бернулли подходит и для газов. Явление уменьшения давления при повышении скорости потока является основой работы различных приборов для измерения расхода. Закон Бернулли справедлив и для жидкостей вязкость которых равна нулю. При описании течения таких жидкостей используют уравнение Бернулли с добавлением слагаемых учитывающих потери на местные сопротивления.

Уравнение Бернулли

Тепловая форма уравнения энергии не обеспечивает связи между изменением скорости потока кинетической энергии и изменением давления. Такую связь можно получить, преобразовав уравнение энергии и придав ему механическую форму. Трение, которое не изменяет полную энергию потока, значительно влияет на изменение давления, основного механического параметра. Поэтому при выводе уравнения энергии в механической формуле необходимо учитывать трение. Мы предполагаем, что общее количество тепла, получаемого газом, состоит из 2 частей внешнего тепла которое подается в газ извне или выделяется в результате реакции горения и теплоты трения, которая выделяется в газе под действием силы трения. Энергия 3.

Является членом тепловой природы, достаточно заменить полученное выражение На a. Используйте первый закон термодинамики уравнение из ссылки 3. 5 3. 7 Подставляя эту формулу в уравнение энергии 3. 10, описанное с учетом работы теплоты и трения, получаем как видим, тепловые эффекты входят в обе стороны этого уравнения и взаимно разрушаются. Уравнения, в которых остается только механическая величина, удобнее писать в таком виде 8.

Для того чтобы лучистый теплообмен был пренебрежимо мал по сравнению с конвективным теплообменом, воздух, влажность которого требуется измерить, необходимо продувать через термометры с достаточной скоростью. Людмила Фирмаль

Это уравнение энергии, протекающей в механической форме. Конечная форма уравнения получается интегрированием уравнения 8. 7 и имеет вид 2 8. 8 П Уравнение слева от уравнения 8. 7 n 8. 8, как известно, называется одноразовой работой 3. 6. В результате уравнение энергии механического типа показывает, что имеющаяся работа газа расходуется при его движении на изменение кинетической энергии газа, на выполнение технической внешней работы, на выполнение фрикционной работы на преодоление силы трения.

Ранее указывалось, что можно рассчитать объем доступной работы только в том случае, если известно, как изменяется определенный объем газа в зависимости от изменения давления. То есть известно уравнение процесса v p 3 6. Формула 8. 8 является наиболее простой формой, когда плотность, а следовательно, и удельный объем не зависят от давления и температуры например, когда газ течет с малой скоростью или когда текут капли. Mr 1 p для sop81 Тогда уравнение энергии принимает вид П1-П2 Или Два 8. 9 Уравнение формы 8. 9 применяется к движению несжимаемых жидкостей в 1738 г. D. it был впервые получен путем bernoulli.

Вы можете видеть, что уравнение Бернулли является частным случаем более общего уравнения энергии. Уравнения механической энергии 8. 7 и 8. 8 называются обобщенными уравнениями Бернулли. Если учесть движение сжимаемых газов, то расчет доступной работы будет намного больше complicated. In в этом случае плотность не постоянна, она изменяется с изменением давления и температуры воздуха. Gas. At в то же время, как давление, так и температура изменяются одновременно, под влиянием различных причин скорости, технической работы, внешней теплопередачи, трения и др. В реальных компрессорах, турбинах и других газовых двигателях работа сил трения важна и не может быть проигнорирована.

Температура такого тела бывает ниже температуры воздуха, так как то тепло, которое передается телу от воздуха, поглощается в процессе испарения. Людмила Фирмаль

Работа трения влияет на уравнение не только в том, что сохраняется член g mp, но и в том, что теплота трения влияет на характер процесса изменения состояния gas. As как известно из предыдущего раздела 5. 10, сложный термодинамический процесс может быть описан с достаточной точностью политропным уравнением. ПГ Н const и В этом случае имеющаяся работа представляется формулой 5. 51. Таким образом, реальный процесс движения газа описывается уравнением Бернулли следующим образом Кей тр 8.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

источники:

http://www.nektonnasos.ru/article/gidravlika/uravnenie-bernulli/

http://lfirmal.com/uravnenie-bernulli/