Уравнение баланса напряжений в электрической цепи

Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа

Содержание:

Законы Кирхгофа

Уравнения, описывающие поведение электрической цепи, составляют на основе законов Кирхгофа. Они определяют связь между токами и напряжениями элементов, образующих цепь. Уравнения, составленные согласно этим законам, называют уравнениями Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа определяет баланс токов в узлах электрической цепи.

Он формулируется следующим образом:

Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

В уравнении (3.1) токи, направленные от узла, записывают с положительным знаком. Токи, направленные к узлу, записывают со знаком минус.

Система уравнений по первому закону Кирхгофа, записанная для всех узлов цепи, линейно зависима. В этом легко убедиться, сложив все уравнения. Поскольку ток каждой ветви входит в два уравнения с разными знаками, сумма тождественно равна нулю. Поэтому число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа равно , где — число узлов цепи.

Второй закон Кирхгофа устанавливает баланс напряжений в контуре цепи:

Алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре равна нулю:

Если напряжение ветви совпадает с направлением обхода контура, то напряжению приписывают знак плюс, если же нет — знак минус. Перенесем напряжения источников напряжения, равные ЭДС этих источников, в правую часть. Уравнение (3.2) примет вид

В соответствии с последним равенством алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС источников.

Число независимых уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров. Число таких контуров определяется формулой , где — число ветвей.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Порядок составления уравнений но законам Кирхгофа

1. Необходимо сначала выбрать положительные направления токов и напряжений ветвей. Положительное направление тока показывают стрелкой на выводе элемента. Положительное направление напряжения показывают стрелкой, расположенной рядом с элементом. Полярности напряжений резисторов выбирают согласованными с направлениями токов. Направления токов источников напряжения выбирают совпадающими с направлениями ЭДС.

2. Записываем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов.

3. Выбираем направления обхода контуров и записываем уравнения по законам Кирхгофа. Сопротивление проводника, соединяющего элементы, очень мало по сравнению с сопротивлением резистора и игнорируется. Ячейки внутренней цепи удобно выбирать в качестве независимых цепей. Можно воспользоваться и другим способом: выбрать по порядку контуры, так, чтобы каждый следующий контур содержал, по меньшей мере, одну ветвь, не входящую в предыдущие контуры.

4. Решаем полученную систему уравнений и определяем токи и напряжения цепи.

5. После определения токов и напряжений необходимо выполнить проверку. Для этого вычисленные значения переменных подставляют в одно из уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

При составлении уравнений в качестве неизвестных рассматривают либо токи, либо напряжения резистивных элементов.

В первом случае уравнения цепи составляют относительно неизвестных токов резистивных элементов и напряжений на источниках тока. Напряжения на резистивных элементах, входящие в уравнения по второму закону Кирхгофа, выражают через токи по закону Ома. Такой способ составления уравнений называют токов ветвей.

Число совместно решаемых уравнений в методе токов ветвей можно сократить, если контуры выбирать так, чтобы они не включали источники тока. В этом случае неизвестными будут только токи резистивных элементов, и по второму закону Кирхгофа достаточно составить уравнений, где — количество источников тока.

Во втором случае уравнения цепи составляются относительно напряжений резистивных элементов и токов источников напряжения. Токи резисторов представляют произведением проводимости на напряжение на резисторе. Этот способ составления уравнений называют методом напряжений ветвей.

В дальнейшем для решения задач мы будем использовать в основном метод токов ветвей.

Пример 3.1. Записать уравнения Кирхгофа для цепи, показанной на рис. 3.1.

Решение. Сначала выберем направления токов резистивных элементов и пронумеруем узлы. Неизвестными являются токи резистивных элементов . Поэтому необходимо составить пять уравнений. Цепь содержит четыре узла; это означает, что по первому закону Кирхгофа можно составить три уравнения. Число уравнений по второму закону Кирхгофа равно двум.

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2, 3. Контуры I и II выберем так, чтобы они не включали источник тока, иначе в системе уравнений появится дополнительная переменная — напряжение источника тока. Направления обхода контуров выберем совпадающими с направлением движения часовой стрелки. В результате получим систему из пяти уравнений с пятью неизвестными токами:

Узел 1: ;

Узел 2: ;

Узел З: ;

Контур I:

Контур II:

Для решения системы уравнений целесообразно использовать математические пакеты, например MathCAD или Matlab.

Напряжение на зажимах источника тока можно затем найти, записав уравнения для контуров, включающих или

Пример задачи с решением 3.2.

Рассчитать токи в цепи, изображенной на рис. 3.2. Номиналы элементов: ,

Решение. Сначала выберем направления токов резистивных элементов и пронумеруем узлы. В рассматриваемой схеме шесть неизвестных токов , следовательно, необходимо составить шесть независимых уравнений. Цепь содержит четыре узла; это означает, что по первому закону Кирхгофа можно составить три уравнения. Еще три уравнения составим по второму закону Кирхгофа. Наличие источника тока учитывалось при определении числа уравнений по второму закону Кирхгофа.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3. Уравнения по второму закону Кирхгофа запишем для контуров I, II, III. Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

В результате получим систему из шести уравнений с шестью неизвестными токами:

В матричной форме записи:

Решением системы уравнений являются следующие значения токов:

Знак минус в численных значениях токов означает, что направление токов при заданных условиях выбрано навстречу истинному.

На странице -> решение задач по электротехнике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретических основ электротехники (ТОЭ).

Услуги:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

—> Сайт Георгия Таненгольца —> Главная | —> Мой профиль | —> Регистрация | —> Выход | —> Вход | RSS

—> —>Статистика —>

Баланс напряжений и Вольтамперная характеристика

Сначала прочитайте Что такое электричество и зачем оно нужно и Ток, напряжение, сопротивление. Закон Ома

10. Баланс напряжений.

Если мы получили некоторое количество электрической энергии за счет ЭДС. источника, то при протекании тока израсходуем всю эту энергию во всей цепи.

В простейшей цепи имеется два сопротивления — сопротивление приемника (нагрузки) и сопротивление самого источника. R нагрузки и r источника

ЭДС. источника создает ток в цепи, при этом на нагрузке, и на самом источнике, возникает напряжение. (правильно сказать — падение напряжения)

То есть, напряжение возникает на всех сопротивлениях, где протекает ток, поэтому напряжение возникает как на внешней нагрузке, так и на внутреннем сопротивлении источника.

Е – это ЭДС

E = U + U вн ЭДС равна сумме падений напряжения во внешней цепи на внутреннем сопротивлении источника.

То же самое E = IR + Ir вн

Сумма падений напряжений на нагрузке и внутри источника равна ЭДС. Эту фразу надо выучить.

Из уравнения очевидно, что

Напряжение всегда равно ЭДС минус падение напряжения внутри самого источника.

Напряжение всегда меньше ЭДС. на величину падения напряжения внутри самого источника.

Таким образом, напряжение — это часть Электродвижущей силы, которая действует на внешнюю цепь.

Электрическая энергия, которую создает источник, расходуется в нагрузке и , к сожалению, в самом источнике.

Последнее обстоятельство очень важно понимать.

Ток, созданный источником, проходит по замкнутой цепи, то есть, через нагрузку и через сам источник.

Источник, обладает сопротивлением, оно — то и нагревается, значит, источник, часть созданной электрической энергии тратит на нагрев самого себя.

Следовательно, электрическая энергия, которую можно получить в источнике, не может быть вся израсходована полезно в нагрузке, часть энергии теряется бесполезно в самом источнике. Бесполезно потому, что нагрев самого источника абсолютно не нужен и, в большинстве случаев, вреден.

11. Виды простых электрических цепей.

Простые электрические цепи с несколькими сопротивлениями.

• Цепь с последовательными сопротивлениями.
• Цепь с параллельными сопротивлениями.
• Цепь со смешанным соединением сопротивлений.

Последовательное соединение сопротивлений

При последовательном соединении сопротивлений, между сопротивлениями нет узлов, и ток никуда не ответвляется, поэтому ток через последовательно соединенные сопротивления протекает один и тот же.

Полное (эквивалентное) сопротивление цепи равно сумме сопротивлений.

Сумма напряжений на сопротивлениях равна общему напряжению.Напряжение на каждом сопротивлении пропорционально сопротивлению.

Чем больше сопротивление, тем больше на нем напряжение

При последовательном сопротивлении нельзя отключать одно сопротивление, происходит разрыв цепи и все отключится.

Параллельное соединение сопротивлений

Узел — это точка, в которой сходится не менее трех проводов.
При параллельном соединении, сопротивления подключаются под общее напряжение, так, что в каждое сопротивление ответвляется свой ток. Точки подключения сопротивления являются узлами.

1 закон Кирхгоффа .

Сумма токов втекающих в узел равна сумме токов вытекающих из узла.

Алгебраическая сумма токов узла равна 0.

Смысл этого закона очень легко понять, если представить себе провода как трубы, а ток как воду.

Значит, ток разветвляется по этим сопротивлениям и в каждом сопротивлении протекает свой ток.

Сумма токов во всех сопротивлениях равна общему току.

I общ = I 1+ I 2+ I 3

Полное (эквивалентное) сопротивление всей цепи рассчитывается по формуле.

Обратная величина полного сопротивления всей цепи равна сумме обратных величин всех сопротивлений.

g — проводимость

Полная эквивалентная проводимость равна сумме

проводимостей всех ветвей.

Полное сопротивление всей цепи меньше наименьшего из всех параллельно соединенных сопротивлений.

Чем больше сопротивлений соединяется параллельно, тем меньше полное сопротивление цепи, и больше ток, который отдает источник. Это вполне логично, ведь чем больше подключается сопротивлений параллельно, тем больше путей для тока и ему легче идти.

Все сопротивления находятся под одним напряжением .

При параллельном соединении каждое сопротивление можно отключать и подключать, независимо от других.

В реальной практике, в силовых и осветительных сетях, к одному источнику подключается несколько нагрузок, при этом всегда нагрузки подключаются параллельно.

Это удобно, потому что они работают независимо друг от друга и рассчитаны на одно и то же напряжение, и значит, их легко стандартизовать.

Вспомните, сколько лампочек в вашей квартире, и все они подключены к одной паре проводов входящих в квартиру. Все лампочки рассчитаны на напряжение 220 В, и их можно включать и выключать независимо друг от друга.

Например, в автомобиле все потребители: лампочки, моторы и т.п. включены параллельно под напряжение 12 В.

Смешанное соединение это параллельное соединение, только некоторые ветви содержат по несколько последовательно соединенных сопротивлений.

12. Электрическая мощность.

До сих пор с энергией было связано понятие напряжение и ЭДС.

Но все время оговаривалось, что напряжение — это удельная энергия, то есть энергия, которую затрачивает электрическое поле на перенос единичного электрического заряда.

Ток — это количество электрических зарядов протекающих через сечение проводника в единицу времени. Раз в единицу времени, значит, ток это скорость потока всех электрических зарядов участвующих в данном токе.

Теперь если мы возьмем и умножим скорость потока всех электрических зарядов на энергию единичного заряда (напряжение), то получим скорость совершения работы по перемещению всех электрических зарядов.

Скорость совершения работы — это мощность.

Электрическая мощность — это скорость, с которой электрическая энергия превращается в тепло на данном сопротивлении.

Электрическая мощность сопротивления равна произведению тока на напряжение.

Очень важно, что мощность пропорциональна квадрату тока.

Это значит, что если сопротивление меньше, то мощность все равно будет больше, это станет очевидно при решении задач.

P = E I Мощность, которую создает источник, равна произведению ЭДС источника на ток в цепи.

Мощность, которую создает источник и полезная мощность, которая получается на нагрузке, сильно отличаются. Вся мощность выделенная источником не может выделиться на нагрузке. КПД не может быть 100%. Часть мощности источника греет сам источник и, значит, что это мощность потерянная.

P = ( U – Ir вн ) I = U I – I 2 r вн

I 2 r вн – потери мощности в источнике

Мощность обозначается P

Мощность измеряется в Ваттах Вт

Мощность — наиболее важная результирующая характеристика приемника электрической энергии.

Например, лампочка мощность 100 Вт. дает больше света, чем лампочка мощность 75 Вт.

Электрическая энергия определяется как мощность, умноженная на время.

Электрическая энергия стоит денег, и мы за нее платим.

Лампочка мощность 100 Вт за 1 час превращает в тепло и свет электроэнергию 100 Вт*час. на сумму 12,8 коп.

Лампочка мощностью 75 Вт. за час превращает в тепло и свет электроэнергию 75 вт*час на сумму 9,6 коп.

13. Закон Ома для всей цепи.

Зависимости всех параметров цепи устанавливает закон Ома для всей цепи.

Формула этого закона выводится из баланса напряжений.

( R нагрузки + r внутренее ) –это полное сопротивление цепи

Формула закона Ома для всей цепи

Ток в цепи прямо пропорционален ЭДС источника и обратно пропорционален полному сопротивлению цепи.

Смысл закона Ома для всей цепи понятен, если понятен баланс напряжений в цепи.

ЭДС — постоянное свойство источника. Она есть или ее нет. Например, если батарейка заряжена, то ее ЭДС равна 1,5 Вольта (это природа веществ, из которых состоит батарейка). ЭДС. автомобильного аккумулятора 12, 6 Вольта. Напряжение, которое получится на нагрузке, при подключении к этим источникам, может оказаться самым разным, но не больше ЭДС

14. Вольтамперная характеристика электрической цепи.

Сколько лампочек можно подключить к одной батарейке?

График зависимости напряжения от величины тока, который отдает источник. называется вольтамперная характеристика источника.

1. Почему может изменяться ток, который отдает источник?

2. Почему нагрузка может потреблять разный ток?

В сущности, это один и тот же вопрос.

Нагрузка — это приемники электрической энергии.

Если нагрузка — это обычная лампочка, то она, конечно, может потреблять ток только одной величины, потому что у нее (в нагретом состоянии) постоянное сопротивление, и тогда сама проблема теряет интерес. Но если мы подключим к источнику несколько лампочек, то каждая лампочка начнет потреблять свой ток. Две лампочку начнут потреблять больше ток, чем одна, три еще больше и т. д.

Итак, чем больше параллельно подключается лампочек к источнику, тем меньше суммарное сопротивление нагрузки, тем больший ток вынужден отдавать источник.

Как будут вести себя приемники электрической энергии и источник электрической энергии, если мы будем увеличивать количество параллельно подключаемых приемников?

То есть, как будет меняться напряжение, если увеличивается ток, который отдает источник?

При увеличении тока, напряжение снижается, почему?

График зависимости напряжения от величины тока, который отдает источник. называется вольтамперная характеристика источника.

Увеличиваем нагрузку, поочередно добавляем лампочки. Общий ток растет

По мере увеличения тока нагрузки напряжение на нагрузке падает .

Ток

Если не включать ни одной лампочки, то напряжение остается равным ЭДС

Такое состояние называется «Холостой ход»

Включаем одну лампочку, появляется ток 1. Напряжение снижается (вертикальный зеленый отрезок) и появляется падение напряжения внутри источника (Вертикальный оранжевый отрезок)

Лампочка горит нормально.

Включаем вторую лампочку, Токи лампочек складываются и общий ток увеличивается. От этого внутри источника увеличивается падение напряжения Ir .

Оранжевая линия длиннее, зеленая короче. Видно, что напряжение на двух лампочках стало ниже, чем было на одной горящей лампочке. Обе лампочки горят, но не так ярко, как горела одна.

Если включать следующие лапочки, то ток будет нарастать, падение напряжения внутри источника становится больше и напряжение на лампочках становится ниже, они горят тусклее. Сам источник начинает греться, так как большой ток на его внутреннем сопротивлении выделяет много тепла.

Последняя лампочка, которую ради интереса можно включить, приводит к тому, что напряжение на лампочках становится равным нулю. То есть вся ЭДС источника тратится на поддержание напряжение внутри источника. То есть падение напряжения внутри источника становится равным ЭДС Если еще включать лампочки, ничего не изменится, ток достиг максимальной величины, а напряжение остается равным нулю. Источник бесполезно греется. Такое состояние называют –«Короткое замыкание».

Как сделать так, чтобы все 5 лампочек, хоть как-то горели? Для этого надо взять другой – более мощный источник. У него должно быть меньше внутреннее сопротивление r вн. Тогда при включении лампочек, падение напряжения внутри источника Ir вн. станет меньше, а значит, напряжение на нагрузке станет больше.

График вольтамперной характеристики более мощного источника показан синей линией. Чтобы сделать такой источник, надо увеличить его размеры или, например, взять вместо тонкой батарейки, более толстую.

Когда ток достигает максимального значения, и напряжение падает до нуля, то это режим короткого замыкания

Такой характер зависимости справедлив для любых источников электрической энергии.

15. Режимы работы источника электрической энергии.

Рассматривают три режима работы электрической цепи

Холостой ход, короткое замыкание и номинальный режим.

Любая цепь может оказаться в любом из указанных режимов.

Это зависит от того какую нагрузку подключают к данному источнику, иначе говоря, это зависит от того какое соотношение получится между сопротивлением (нагрузки) внешней цепи и внутренним сопротивлением источника.

Холостой ход. — Все нагрузки отключены. Сопротивление нагрузки бесконечно больше внутреннего сопротивления источника.

В этом случае напряжение на выводах источника рано ЭДС источника.

О напряжении на нагрузке нет речи — нагрузка отключена.

Ток в цепи равен 0. Цепь разомкнута.

Источник работает, но для него это холостой ход

На холостом ходу ток равен 0.

Напряжение равно ЭДС

Мощность, которую отдает источник, равна 0.

На поддержание рабочего режима холостого хода, к сожалению, надо тратить некоторую небольшую внешнюю энергию, то есть на электростанции, например, надо сжигать небольшое количество угля, чтобы генератор крутился.

Номинальный режим.

Рассмотрим режим работы цепи, когда подключили малую нагрузку (одна лампочка).

— сопротивление нагрузки сравнимо с внутренним сопротивлением источника

— напряжение на нагрузке меньше величины ЭДС.на величину падения напряжения внутри источника

— напряжение еще довольно близко по величине к величине ЭДС

— мощность, которую создает источник, практически вся используется в нагрузке

— К.П.Д. довольно высок.

Этот режим можно назвать номинальным рабочим режимом с высоким К.П.Д.

Это режим, которому обычно соответствуют паспортные (данные) параметры источника: рабочее напряжение на нагрузке, ток, мощность.

В силовых и осветительных сетях короткое замыкание — это аварийный режим, и его допускать нельзя.

• включена очень большая нагрузка (например много лампочек одновременно), сопротивление нагрузки упало до нуля. То есть, сопротивление нагрузки бесконечно меньше сопротивления источника.

— напряжение на нагрузке упало до 0

— все напряжение создается только внутри источника

— мощность, которая выделяется на нагрузке, равна 0

— источник создает огромную электрическую мощность, но она вся тратится внутри самого источника на его нагрев, и источник может сгореть.

Холостой ход бесполезен, так как, при холостом ходе не работают никакие полезные нагрузки. В силовых и осветительных цепях холостой ход следует рассматривать как режим ожидания. В электронных схемах холостой ход применяют часто для поддержания максимального уровня напряжения сигнала.

Короткое замыкание бесполезно, так как нагрузки, хотя и подключены, они тоже не работают, потому что напряжение на них равно 0 и никакой полезной мощности выделить нельзя. Лапочки просто не горят. В электронных схемах режим короткого замыкания применяется для маломощных источников для поддержания стабильного тока сигнала.

Короткое замыкание — это такой режим, когда источник просто не может обеспечить работу нагрузки, говорят, что источник не тянет, не хватает мощности источника.

То есть, цепь должна работать в режиме когда нагрузка подключена но не слишком большая для данного источника. Такой режим называется – номинальный или рабочий . Все нагрузки работают под расчетным напряжением и источник не перегревается.

Уравнение баланса напряжений в электрической цепи

УДК 621.315.592 ББК 22.379

У73 Исследование оптимальных условий согласования на основе теории цепей постоянного тока: Учеб . п особие для студ. факультета нано – и биомедицинских технологий, обучающихся по направлению 550700 «Электроника и микроэлектроника» и специальностям 010600 «Физика твердого тела», 010400 «Физика», 014000 «Медицинская физика». 200100 «Материалы и компоненты твердотельной электроники», 014100 «Микроэлектроника и полупроводниковые приборы», 210104 «Микроэлектроника и твердотельная электроника», 202100 « Нанотехнология в электронике».

Учебное пособие представляет собой руководство к практическим занятиям по курсу «Теоретические основы радиоэлектроники». Содержит описание материала, знание которого необходимо при выполнении лабораторной работы по исследованию условий максимальной передачи мощности в линейных цепях постоянного тока.

Для студентов, обучающихся по направлению 550700 «Электроника и микроэлектроника» и специальностям 010600 «Физика твердого тела», 010400 «Физика», 014000 «Медицинская физика», 200100 «Материалы и компоненты твердотельной электроники», 014100 «Микроэлектроника и полупроводниковые приборы», 210104 «Микроэлектроника и твердотельная электроника», 202100 « Нанотехнология в электронике».

Рекомендуют к опубликованию:

Кафедра физики твердого тела физического факультета

Саратовского государственного университета, профессор, доктор физико-математических наук А. В. Скрипаль

УДК 621.315.592 ББК 22.379

ISBN 5-292-03602-1 © Горбатов С.С. , 2008

Саратовский государственный университет, 2008

§1. Законы Кир хгофа. Все электрические цепи подчиняются первому и второму законам (правилам) Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа можно сформулировать двояко:

1) алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы, равна нулю;

2) сумма подтекающих к любому узлу токов равна сумме утекающих от узла токов.

Так, применительно к рис. 1, если подтекающие к узлу токи считать положительными, а утекающие ‑ отрицательными, то согласно первой формулировке

.

Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются.

Если мысленно рассечь любую схему произвольной плоскостью и все находящееся по одну сторону от нее рассматривать как некоторый большой «узел», то алгебраическая сумма токов, входящих в этот «узел», будет равна нулю.

Второй закон Кирхгофа также можно сформулировать двояко:

1) алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме з . д. с. вдоль того же контура:

(в каждую из сумм соответствующие слагаемые входят со знаком плюс, если они совпадают с направлением обхода контура, и со знаком минус, если они не совпадают с ним);

2) алгебраическая сумма напряжений (не падений напряжения!) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

§2. Соста вление уравнений для расчета токов в схемах с помощью законов Кирхгофа.

Законы Кирхгофа используют для нахождения токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы в, число ветвей, содержащих источники тока, — в_ит и число узлов — у. В каждой ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с источниками тока известны, то число неизвестных токов равняется в — в _ит . Перед тем как составлять уравнения, необходимо произвольно выбрать:

а) положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме;

б) положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.

С целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми, например, по часовой стрелке.

Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу узлов без единицы, т. е. .

Уравнение для последнего — го узла не составляют, так как оно совпало бы с уравнением, полученным при суммировании уже составленных уравнений для узлов, поскольку в эту сумму входили бы дважды и с противоположными знаками токи ветвей, не подходящих к — му узлу, а токи ветвей, подходящих к — му узлу, входили бы в эту сумму со знаками, противоположными тем, с какими они вошли бы в уравнение для — го узла.

По второму закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу ветвей без источников тока (в — в _ит ), за вычетом уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, т. е. .

Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа, следует охватить все ветви схемы, исключая лишь ветви с источниками тока. При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры условимся называть независимыми.

Требование, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна новая ветвь, является достаточным, но не необходимым условием, а потому его не всегда выполняют. В таких случаях часть уравнений по второму закону Кирхгофа составляют для контуров, все ветви которых уже вошли в предыдущие контуры.

§3. Энергетический баланс в электрических цепях.

При протекании токов по сопротивлениям в последних выделяется тепло. На основании закона сохранения энергии количество теплоты, выделяющееся в единицу времени в сопротивлениях схемы, должно равняться энергии, доставляемой за то же время источниками питания.

Если направление тока , протекающего через источник э. д. с. , совпадает с направлением э. д. с, то источник э. д. с. доставляет в цепь энергию в единицу времени (мощность), равную , и произведение входит с положительным знаком в уравнение энергетического баланса.

Если же направление тока встречно направлению э. д. с. , то источник э. д. с. не поставляет энергию, а потребляет ее (например, заряжается аккумулятор), и произведение войдет в уравнение энергетического баланса с отрицательным знаком.

Уравнение энергетического баланса при питании только от источников э. д. с. имеет вид

.

Когда схема питается не только от источников э. д. с., но и от источников тока, т. е. к отдельным узлам схемы подтекают и от них утекают токи источников тока, при составлении уравнения энергетического баланса необходимо учесть и энергию, доставляемую источниками тока. Допустим, что к узлу а схемы подтекает ток от источника тока, а от узла b этот ток утекает. Доставляемая источником тока мощность равна . Напряжение и токи в ветвях схемы должны быть подсчитаны с учетом тока, подтекающего от источника тока. Общий вид уравнения энергетического баланса

Для практических расчетов электрических цепей разработаны методы, более экономичные в смысле затраты времени и труда, чем метод расчета цепей по законам Кирхгофа. Рассмотрим эти методы.

§ 4 . М етод пропорциональных величин.

Согласно методу пропорциональных величин, в самой удаленной от источника э. д. с. ветви схемы (исходной ветви) произвольно задаемся некоторым током, например током в 1 А. Далее, продвигаясь к входным зажимам тп , находим токи в ветвях и напряжения на различных участках схемы. В результате расчета получим значение напряжения схемы и токов в ветвях, если бы в исходной ветви протекал ток в 1 А.

Так как найденное значение напряжения в общем случае не будет равно э. д. с. источника, то следует во всех ветвях изменить токи, умножив их на коэффициент, равный отношению э. д. с. источника к найденному значению напряжения в начале схемы.

Метод пропорциональных величин, если рассматривать его обособленно от других методов, применим для расчета цепей, состоящих только из последовательно и параллельно соединенных сопротивлений и при наличии в схеме одного источника.

Однако этот метод можно использовать и совместно с другими методами (преобразование треугольника в звезду, метод наложения и т. п.), которые рассмотрены далее.

§ 5 . Метод контурных токов.

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей через контурные токи.

Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирхгофа.

Следовательно, метод контурных токов более экономен при вычислительной работе, чем метод на основе законов Кирхгофа (в нем меньшее число уравнений).

Вывод основных расчетных уравнений проведем применительно к схеме рис. 3, в которой два независимых контура. Положим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток , а в правом (также по часовой стрелке) — контурный ток . Для каждого из контуров составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтем, что по смежной ветви (с сопротивлением ) течет сверху вниз ток . Направления обхода контуров примем также по часовой стрелке.

Для первого контура

( a )

(б)

Для второго контура

В уравнении (б) множитель при токе , являющийся суммой сопротивлений первого контура, обозначим через , множитель при токе (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус) ‑ через .

Перепишем эти уравнения следующим образом:

(1′)

; ; ;

; ,

где ‑ полное или собственное сопротивление первого контура; ‑ сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус; ‑ контурная э.д.с . первого контура, равная алгебраической сумме э.д.с . этого контура (в нее со знаком плюс входят те э.д.с , направления которых совпадают с направлением обхода контура); ‑ полное или собственное сопротивление второго контура; ‑ сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус; ‑ контурная э.д.с . второго контура.

В общем случае можно сказать, что сопротивление смежной ветви между k и т контурами входит в уравнение со знаком минус, если направления контурных токов и вдоль этой ветви противоположны, и со знаком плюс, если направления этих токов одинаковы.

Если в схеме больше двух контуров, например три, то система уравнений выглядит следующим образом:

(1″)

или в матричной форме:

;

; ; .

Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с разными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же сторону, например все по часовой стрелке.

Если в результате решения системы уравнений какой-либо контурный ток окажется отрицательным, то это означает, что в действительности направление контурного тока обратно принятому за положительное.

В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами (например, в ветви с сопротивлениями , схемы рис. 3), найденный контурный ток является истинным током. В смежных ветвях через контурные токи определяют истинные. Например, в ветви с сопротивлением протекающий сверху вниз ток равен разности .

Если в электрической цепи имеется п независимых контуров, то число уравнений тоже равно п.

Общее решение системы п уравнений относительно тока таково:

, (2)

(3)

Алгебраическое дополнение получено из определителя путем вычеркивания k -го столбца и m — й строки и умножения полученного определителя на (-1) k + m .

Если из левого верхнего угла определителя провести диагональ в его правый нижний угол (главная диагональ) и учесть, что , то можно убедиться в том, что определитель делится на две части, являющиеся зеркальным отображением одна другой. Это свойство определителя называют симметрией относительно главной диагонали. В силу симметрии определителя относительно главной диагонали .

Формула (2) в ряде параграфов используется в качестве исходной при рассмотрении таких важных вопросов теории линейных электрических цепей, как определение входных и взаимных проводимостей ветвей, принцип взаимности, метод наложения и линейные соотношения в электрических цепях.

Составлению уравнений по методу контурных токов для схем с источниками тока присущи некоторые особенности. В этом случае полагаем, что каждая ветвь с источником тока входит в контур, замыкающийся через ветви с источниками э.д.с . и сопротивлениями, и что эти токи известны и равны токам соответствующих источников тока. Уравнения составляют лишь для контуров с неизвестными контурными токами.

§ 6. Принцип наложения и метод наложения.

Чтобы составить общее выражение для тока в k -ветви сложной схемы, составим уравнения по методу контурных токов, выбрав контуры так, чтобы k — ветвь входила только в один k -контур (это всегда возможно).

Тогда ток в k -ветви будет равен контурному току по уравнению (2). Каждое слагаемое правой части (2) представляет собой ток, вызванный в k -ветви соответствующей контурной э.д.с . Например, есть составляющая тока k -ветви, вызванная контурной э.д.с . . Каждую из контурных э.д.с . можно выразить через э.д.с . ветвей сгруппировать коэффициенты при этих э.д.с . и получить выражение следующего вида:

(4)

Если контуры выбраны таким образом, что какая-либо из э.д.с , например , входит только в один m -контур и в другие контуры не входит, то .

Уравнение (4) выражает собой принцип наложения.

Принцип наложения формулируется следующим образом: ток в k -ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из э.д.с . схемы в отдельности. Этот принцип справедлив для всех линейных электрических цепей.

Принцип наложения используется в методе расчета, получившем название метода наложения.

При расчете цепей по методу наложения поступают следующим образом: поочередно рассчитывают токи, возникающие от действия каждой из э.д.с , мысленно удаляя остальные из схемы, но оставляя в схеме внутренние сопротивления источников, и затем находят токи в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов. Заметим, что методом наложения нельзя пользоваться для подсчета выделяемых в сопротивлениях мощностей как суммы мощностей от частичных токов, поскольку мощность является квадратичной функцией тока ( ).

Так, если через некоторое сопротивление протекают согласно направленные частичные токи и , то выделяемая в нем мощность и не равна сумме мощностей от частичных токов: .

Уравнение баланса мощности .

Пр актическая часть

Электрическая схема находится в файле «Схема 7». Она представляет собой линейный четырехполюсник со сложной внутренней структурой. В схеме имеется источник напряжения, подключенный на входе и приборы, измеряющие ток и напряжение в ветви, содержащей выходное сопротивление.

В файле «Схема 7» ( сохранить файл на компьютер и открыть, используя программу Electronic Workbench 512 ) изменяя сопротивление с номиналом 20 Ом в пределах от 20 Ом до 10000 Ом нарисовать график функции изменения мощности в данном диапазоне сопротивлений, используя показания вольтметра и амперметра, умножая ток на напряжение. Зависимость произведения тока на напряжение и является искомой зависимостью мощности, выделяемой в сопротивлении нагрузки. Экстремум данной функции достигается при сопротивлении, равном выходному сопротивлению исходного линейного четырехполюсника со сложной внутренней структурой. Его необходимо найти.

Изменить номиналы входящих в схему сопротивлений.

Повторить порядок выполнения задания 1.

1. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Часть1.Сигналы. Линейные системы с постоянными и переменными параметрами. М. Советское радио. 1968г. 408с. ил

2. Атабеков Г. И. Теоретические основы электротехники, ч. I. Линейные электрические цепи. — М.: Энергия, 1978.

3. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. — М.: Радио и связь, 1986.

4. Теоретические основы электротехники, т. 1. Основы теории линейных цепей / Под ред. П. А. Ионкина . — М.: Высшая школа, 1976.

5. Теория линейных электрических цепей/Под ред. И. Г. Кляцкина . — М.: Высшая школа, 1973.

6. Лосев А. К. Линейные радиотехнические цепи.— М.: Высшая школа, 1971.

7. Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. — М.: Высшая школа, 1981.