Уравнение баланса токов и напряжений

Уравнения электрического равновесия цепей

Содержание:

Уравнения электрического равновесия цепей:

Любую электрическую цепь можно рассматривать как систему с одним или несколькими входами и одним или несколькими выходами (рис. 1.38). Если к входам цепи приложить внешнее воздействие

Задача анализа электрической цепи состоит в определении реакции цепи у (t) на заданное внешнее воздействие х (t).

Задача синтеза цепи заключается в нахождении цепи по заданной реакции цепи у (t) на некоторое внешнее воздействие х (t).

Исходными данными в задаче анализа являются эквивалентная схема цепи с параметрами всех входящих в нее элементов и описание внешнего воздействия х (t), задаваемого в виде совокупности токов и напряжений идеализированных неуправляемых источников. В результате анализа определяется отклик у (t) в виде совокупности токов и напряжений всех или некоторых ветвей цепи. В частном случае задача анализа может сводиться к определению соотношений между реакциями цепи на отдельных выходах и воздействиями приложенными к определенным входам. Такие соотношения называются характеристиками (системными функциями, функциями) цепи. В зависимости от того, какая величина— частота или время — является аргументом в выражениях, описывающих соотношения между откликом и внешним воздействием, различают частотные и временные характеристики цепи. Определение и исследование частотных характеристик представляют собой задачу анализа цепи в частотной области; нахождение временных характеристик — задачу анализа цепи во временной области.

Исходными данными в задаче синтеза являются описания внешнего воздействия х (t) и ее отклика у (t). В результате синтеза необходимо найти эквивалентную схему цепи и параметры всех входящих в нее элементов. В частном случае задача синтеза может сводиться к нахождению цепи, обеспечивающей заданные соотношения между внешним воздействием на цепь и ее реакцией т. е. к нахождению цепи по ее характеристикам.

Анализ и синтез электрических цепей в определенной степени взаимосвязаны, в частности методы синтеза базируются на использовании общих свойств характеристик различных классов цепей, которые изучаются в процессе анализа. Поэтому изложению методов синтеза цепей будет предшествовать рассмотрение общих методов анализа цепей и знакомство с характеристиками некоторых классов цепей при различных внешних воздействиях.

Понятие об уравнениях электрического равновесия

Математически задача анализа электрической цепи сводится к составлению и решению системы линейно независимых уравнений, в которых в качестве неизвестных фигурируют токи и напряжения ветвей исследуемой цепи. Уравнения, решение которых позволяет определить токи и напряжения ветвей электрической цепи, называются уравнениями электрического равновесия цепи. Очевидно, что число уравнений электрического равновесия должно быть равно количеству неизвестных токов и напряжений.

В общем случае в цепи, содержащей р ветвей и q узлов, имеется 2р неизвестных токов и напряжений ветвей. Используя законы Кирхгофа, для такой цепи можно составить m = q— 1 независимых уравнений баланса токов и n = р — q + 1 независимых уравнений баланса напряжений. В сочетании с компонентными уравнениями (уравнениями ветвей) получаем 2р линейно независимых уравнений, что достаточно для определения неизвестных токов и напряжений ветвей.

Если в рассматриваемой цепи имеется ветвей, в которых содержатся идеализированные источники тока (токи этих ветвей заданы, а напряжения неизвестны), и ветвей, составленных только из идеализированных источников напряжения (напряжения этих ветвей известны), то общее число неизвестных токов и напряжений уменьшается до Для определения этих неизвестных нужно составить лишь линейно независимых уравнений (m + n = р уравнений на основании законов Кирхгофа и компонентных уравнений для ветвей, не содержащих указанных источников).

Таким образом, используя компонентные уравнения и топологические уравнения, составленные на основании законов Кирхгофа, всегда можно сформировать систему уравнений электрического равновесия, число уравнений в которой достаточно для определения всех неизвестных токов и напряжений. Будем называть такую систему уравнений основной системой уравнений электрического равновесия цепи.

На практике для анализа цепей используют различные методы составления уравнения электрического равновесия, в частности методы токов ветвей, напряжений ветвей, контурных токов, узловых напряжений, переменных состояния. Все они базируются на использовании различных приемов, позволяющих преобразовать основную систему уравнений электрического равновесия и уменьшить по сравнению с 2р или число одновременно решаемых уравнений.

Как было показано ранее, уравнения (1.37) и (1.40) являются алгебраическими, а компонентные уравнения идеализированных пассивных элементов могут быть как алгебраическими (1.9), (1.10), так и дифференциальными (1.13), (1.22) или интегральными (1.16), (1.23).

Вследствие этого уравнения электрического равновесия цепи, составленные любым методом, представляют собой в общем случае систему интегродифференциальных уравнений.

Пример 1.7.

Составим основную систему уравнений электрического равновесия цепи, схема и топологический граф которой изображены на рис. 1.39, а и б соответственно. Для этой цепи р=6, q = 4, — 1 и = 1. Общее число неизвестных токов и напряжений ветвей Используя законы Кирхгофа, можно составить m = q — 1 = 3, уравнения баланса токов:

3 уровня баланса напряжений:

Кроме того, имеем уравнений ветвей, нес одержащих идеализированных источников:

В результате получаем систему из 10 линейно независимых уравнений для определения 10 неизвестных токов и напряжений:

Система уравнений электрического равновесия цепи, составленная любым методом, может быть путем дифференцирования и последовательного исключения неизвестных сведена к одному дифференциальному уравнению для любого из неизвестных токов и напряжений, называемому дифференциальным уравнением цепи. В частном случае это может быть алгебраическое уравнение, которое можно рассматривать как дифференциальное уравнение нулевого порядка. Дифференциальное уравнение цепи содержит фундаментальную информацию о характере имеющих место в цепи электрических процессов и является основой для классификации электрических цепей.Тип дифференциального уравнения цепи полностью определяется ее топологией и характером входящих в нее идеализированных элементов.

Пример 1.8.

Применяя указанные преобразования к основной системе уравнений электрического равновесия цепи (рис. 1.39, а), получим дифференциальное уравнение этой цепи, составленное относительно напряжения

Здесь —постоянные коэффициенты, определяемые параметрами пассивных элементов цепи;

— Функция времени, определяемая параметрами независимых источников напряжения и тока.

Таким образом, уравнение цепи, изображенной на рис. 1.39, является линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Классификация электрических цепей

Электрические цепи, составленные из идеализированных элементов, могут быть классифицированы по ряду признаков:

по топологическим особенностям: планарные (плоские) и непланарные (объемные), разветвленные и неразветвленные, простейшие (одноконтурные, двухузловые) и сложные (многоконтурные, многоузловые);

по энергетическим свойствам: активные (содержащие идеализированные активные элементы) и пассивные (не содержащие идеализированных активных элементов);

по числу внешних выводов: двухполюсники и многополюсники; и др.

Классификация цепей по этим признакам не носит принципиального характера и используется, в основном, с целью упорядочения терминологии.

Фундаментальный характер имеет классификация цепей в зависимости от вида дифференциального уравнения цепи. Идеализированные электрические цепи, процессы в которых описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, называются цепями с сосредоточенными параметрами. Цепи такого типа используют в качестве упрощенных моделей реальных электрических цепей и их элементов на сравнительно низких частотах, когда длина волны электромагнитных колебаний существенно больше размеров исследуемого устройства. При этих условиях в исследуемых устройствах и их элементах удается выделить конечное число’ участков, в которых преобладает какой-то один из основных эффектов — запасание энергии электрического или магнитного полей, преобразование электрической энергии в другие виды энергии или преобразование энергии сторонних сил в электрическую. Токи рассматриваемой реальной цепи, являясь функциями времени, имеют одинаковые мгновенные значения в пределах каждого из выделенных участков. Заменяя эти участки идеализированными активными или пассивными элементами, получают идеализированную цепь, содержащую конечное число элементов, значения параметров которых конечны.

Таким образом, цепи с сосредоточенными параметрами представляют собой идеализированные цепи, моделирующие реальные устройства или их элементы при условиях, когда можно предположить, что каждый из основных электрических эффектов сосредоточен в конечном числе пространственно локализуемых областей.

Когда длина волны электромагнитных колебаний соизмерима с размерами исследуемого устройства или его элементов, пространственно локализовать области, в которых сосредоточены только эффекты одного типа, не удается. Это связано с тем, что даже при бесконечно малой длине выделяемых участков, в пределах каждого из них имеют место одновременно несколько из перечисленных основных эффектов, причем значения токов в пределах выделенных участков изменяются от одного сечения к другому.

При этих условиях цепи, моделирующие реальные устройства или их элементы, содержат бесконечно большое число идеализированных элементов, параметры которых имеют бесконечно малые значения. Процессы в таких цепях описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Идеализированные электрические цепи, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, называются цепями с распределенными параметрами.

Следует подчеркнуть, что термины «цепь с распределенными параметрами» и «цепь с сосредоточенными параметрами» применимы только к идеализированным (моделирующим) цепям и не должны использоваться для характеристики реальных цепей.

В зависимости от условий и требуемой точности исследования каждый элемент реальной цепи и, следовательно, каждая реальная цепь в целом могут быть заменены моделирующей цепью с сосредоточенными или распределенными параметрами. Например, конденсатор любого типа конструктивно представляет собой две проводящие обкладки 1 и 3, разделенные слоем диэлектрика 2 (рис. 1.40). В области частот, когда длина волны электромагнитных колебаний значительно превышает геометрические размеры обкладок, он может быть представлен одной из моделирующих цепей с сосредоточенными параметрами, схемы которых приведены на рис. 1.11. На более высоких частотах, когда длина волны электромагнитных колебаний сравнима с геометрическими размерами обкладок, но существенно больше расстояния между ними, необходимо учитывать, что процессы запасания энергии электрического и магнитного полей, а также необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии имеют место вдоль всей длины обкладок конденсатора. В этом случае эквивалентная схема элементарного участка конденсатора длиной dx состоит из индуктивности и емкости характеризующих процессы запасания энергии магнитного и электрического полей, а также сопротивления и проводимости утечки учитывающих потери энергии в конденсаторе (рис. 1.41, а). Эквивалентная схема всего конденсатора должна состоять из бесконечно большого числа таких секций. Следовательно, идеализированная цепь, моделирующая конденсатор в рассматриваемом диапазоне частот, представляет собой цепь с распределенными параметрами.

На примере цепи, эквивалентная схема которой изображена на рис. 1.41, а, покажем, что электрические процессы в цепях с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Действительно, ток i = i (х, t) и напряжение u = u (х, t) рассматриваемой цепи являются функциями времени t и координаты х.

Приращения тока и напряжения на участке цепи длиной dx

Полагая, что параметры элементов моделирующей цепи не зависят от токов и напряжений и выражая их через погонные (т. е. приходящиеся на единицу длины) параметры

составим уравнения баланса токов и напряжений элементарного участка цепи:

Пренебрегая величинами второго порядка малости, уравнения (1.57), (1.58) можно преобразовать к виду

Решая уравнения (1.59), (1.60) при соответствующих начальных граничных условиях, можно определить токи и напряжения цепи моделирующей коденсатор в рассматриваемом режиме.

Отметим, что уравнениям (1.59), (1.60) может быть поставлена в соответствие более простая эквивалентная схема элементарного участка цепи (рис. 1.41, б). Аналогичный вид имеют высокочастотные схемы замещения и ряда других элементов, входящих в состав радиоэлектронных устройств, в частности двухпроводных и коаксиальных линий передачи.

В зависимости от числа координат, вдоль которых происходит изменение тока и напряжения и вдоль которых «распределены» параметры цепи, различают одномерные, двухмерные и трехмерные цепи с распределенными параметрами. В теории цепей рассматривают, в основном, одномерные цепи с распределенными параметрами, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями типа (1.59), (1.60).

Параметры рассмотренных ранее идеализированных линейных пассивных элементов не зависят от значений токов и напряжений соответствующих элементов и, следовательно, от интенсивности внешнего воздействия на цепь, определяемой токами действующих в цепи независимых источников тока и напряжениями действующих в цепи независимых источников напряжения. Связь между током и напряжением линейных идеализированных пассивных элементов описывается линейными алгебраическими, дифференциальными или интегральными уравнениями, иными словами, компонентные уравнения этих элементов являются линейными.

Параметры нелинейных пассивных элементов зависят от токов или напряжений соответствующих элементов, а следовательно, и от интенсивности внешнего воздействия. Компонентные уравнения нелинейных идеализированных пассивных элементов — нелинейные.

В зависимости от вида компонентного уравнения идеализированные активные элементы также делятся на линейные и нелинейные. К линейным идеализированным активным элементам относят независимые в линейно управляемые зависимые источники тока и напряжения, к нелинейным — нелинейно управляемые зависимые источники тока г напряжения.

Цепь с сосредоточенными или распределенными параметрами, составленная только из линейных идеализированных элементов, называется линейной. Дифференциальное уравнение такой цепи — линейное. Если в состав цепи входит хотя бы один нелинейный пассив ими или активный элемент, то она называется нелинейной, а процессы в ней описываются нелинейными дифференциальными уравнениями.

Параметры линейных идеализированных пассивных элементов и коэффициенты управления линейно управляемых источников могут либо иметь постоянные значения, либо изменяться во времени под действием некоторых факторов, непосредственно не связанных с токами или напряжениями этих элементов (например, емкость конденсатора может изменяться во времени вследствие изменения расстояния между обкладками; индуктивность катушки можно изменять путем перемещения сердечника). Идеализированные элементы первого типа называют линейными элементами с постоянными параметрами, элементы второго типа — линейными элементами с переменными параметрами. Параметрические изменение параметров происходит с частотой. линейным а м а элементы, у близкой к частоте токов или напряжений этих элементов, следует отличать от регулируемых элементов —конденсаторов переменной емкости, вариометров, подстроечных конденсаторов и др., у которых изменение параметров производится весьма медленно и только в процессе настройки или регулировки соответствующего устройства.

При составлении уравнений электрического равновесия параметрам регулируемых элементов приписывают некоторые фиксированные значения, а сами элементы относят к элементам с постоянными параметрами.

Цепи, составленные только из линейных элементов с постоянными параметрами, называются линейными цепями с постоянными параметрами или линейными инвариантными во времени цепями. Процессы в линейных инвариантных во времени цепях описываются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Линейные цепи, содержащие хотя бы один элемент с переменными параметрами, называются линейными параметрическими цепями. Процессы в линейных параметрических цепях описываются линейными уравнениями с переменными коэффициентами.

В общем случае дифференциальное уравнение линейной цепи с сосредоточенными параметрами имеет следующий вид:

где у — искомая реакция цепи (ток или напряжение какой-либо ветви); — коэффициенты, определяемые параметрами пассивных элементов и коэффициентами управления управляемых источников. В дифференциальном уравнении линейной инвариантной во времени цепи эти коэффициенты постоянны, в дифференциальном уравнении линейной параметрической цепи, по крайней мере, один из них является функцией времени.

Правая часть уравнения (1.61) есть линейная комбинация функций, описывающих внешнее воздействие на цепь х (t), и их производных. При выключении всех источников она становится равной нулю.

Значение v характеризует порядок сложности цепи (порядок цепи) и равно числу реактивных элементов (емкостей и индуктивностей), энергетическое состояние которых может быть задано независимо (подробнее этот вопрос будет рассмотрен в гл. 6). Различают цепи нулевого порядка (не содержащие реактивных элементов), первого, второго и более высоких порядков.

Для линейных уравнений вида (1.61) сформулирована теорема наложения (теорема суперпозиции). Если f(t) где являются решениями уравнений

то является решением уравнения (1.61).

Математически это значит, что решение линейного уравнения (1.61) со сложной правой частью можно выразить через решения уравнений (1.62) с более простой правой частью.

На теореме наложения базируется широко используемый в теории цепей принцип наложения (принцип суперпозиции): реакция у (t) линейной цепи на сложное воздействие х (t) представляющее собой линейную комбинацию более простых воздействий равна линейной комбинации реакций вызванных каждым из простых воздействий в отдельности, у (t) В частности, если внешним воздействиям соответствуют реакции то внешнему воздействию х (t) соответствует реакция а внешнему воздействию где А = const, реакция у(t) = Применение принципа наложения существенно облегчает исследование процессов в линейных электрических цепях, он лежит в основе многих широко используемых методов анализа.

Состояние теории цепей в значительной степени определяется степенью разработанности теории и методов решения соответствующих дифференциальных уравнений. К настоящему времени разработаны общие методы решения только линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, поэтому наиболее законченный вид имеет теория линейных инвариантных во времени цепей, которые в дальнейшем будем называть просто линейными цепями.

• Линейные цепи при гармоническом воздействии
• Нелинейные резистивные цепи
• Преобразование схем электрических цепей
• Установившиеся процессы в линейных электрических цепях
• Линии с распределенными параметрами
• Идеализированные пассивные элементы
• Идеализированные активные элементы
• Топологии электрических цепей

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

1. Теория: Законы Кирхгофа

В сложных электрических цепях, то есть где имеется несколько разнообразных ответвлений и несколько источников ЭДС имеет место и сложное распределение токов. Однако при известных величинах всех ЭДС и сопротивлений резистивных элементов в цепи мы можем вычистить значения этих токов и их направление в любом контуре цепи с помощью первого и второго закона Кирхгофа. Суть законов Кирхгофа я довольно кратко изложил в своем учебнике по электронике, на страницах сайта http://www.sxemotehnika.ru.

Пример сложной электрической цепи вы можете посмотреть на рисунке 1.

Рисунок 1. Сложная электрическая цепь.

Иногда законы Кирхгофа называют правилами Кирхгофа, особенно в старой литературе.

Итак, для начала напомню все-таки суть первого и второго закона Кирхгофа, а далее рассмотрим примеры расчета токов, напряжений в электрических цепях, с практическими примерами и ответами на вопросы, которые задавались мне в комментариях на сайте.

Первый закон Кирхгофа

Формулировка №1: Сумма всех токов, втекающих в узел, равна сумме всех токов, вытекающих из узла.

Формулировка №2: Алгебраическая сумма всех токов в узле равна нулю.

Поясню первый закон Кирхгофа на примере рисунка 2.

Рисунок 2. Узел электрической цепи.

Здесь ток I₁ — ток, втекающий в узел , а токи I₂ и I₃ — токи, вытекающие из узла. Тогда применяя формулировку №1, можно записать:

Что бы подтвердить справедливость формулировки №2, перенесем токи I₂ и I ₃ в левую часть выражения (1), тем самым получим:

Знаки «минус» в выражении (2) и означают, что токи вытекают из узла.

Знаки для втекающих и вытекающих токов можно брать произвольно, однако в основном всегда втекающие токи берут со знаком «+», а вытекающие со знаком «-» (например как получилось в выражении (2)).

Можно посмотреть отдельный видеоурок по первому закону Кирхофа в разделе ВИДЕОУРОКИ.

Второй закон Кирхгофа.

Формулировка: Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех резистивных элементах в этом контуре.

Здесь термин «алгебраическая сумма» означает, что как величина ЭДС так и величина падения напряжения на элементах может быть как со знаком «+» так и со знаком «-». При этом определить знак можно по следующему алгоритму:

1. Выбираем направление обхода контура (два варианта либо по часовой, либо против).

2. Произвольно выбираем направление токов через элементы цепи.

3. Расставляем знаки для ЭДС и напряжений, падающих на элементах по правилам:

— ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура записываются со знаком «+», в противном случае ЭДС записываются со знаком «-».

— напряжения, падающие на элементах цепи записываются со знаком «+», если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, в противном случае напряжения записываются со знаком «-».

Например, рассмотрим цепь, представленную на рисунке 3, и запишем выражение согласно второму закону Кирхгофа, обходя контур по часовой стрелке, и выбрав направление токов через резисторы, как показано на рисунке.

Рисунок 3. Электрическая цепь, для пояснения второго закона Кирхгофа.

Предлагаю посмотреть отдельный видеоурок по второму закону Кирхогфа (теория).

Расчеты электрических цепей с помощью законов Кирхгофа.

Теперь давайте рассмотрим вариант сложной цепи, и я вам расскажу, как на практике применять законы Кирхгофа.

Итак, на рисунке 4 имеется сложная цепь с двумя источниками ЭДС величиной E₁=12 в и E₂=5 в , с внутренним сопротивлением источников r₁=r₂=0,1 Ом, работающих на общую нагрузку R = 2 Ома. Как же будут распределены токи в этой цепи, и какие они имеют значения, нам предстоит выяснить.

Рисунок 4. Пример расчета сложной электрической цепи.

Теперь согласно первому закону Кирхгофа для узла А составляем такое выражение:

так как I₁ и I ₂ втекают в узел А , а ток I вытекает из него.

Используя второй закон Кирхгофа, запишем еще два выражения для внешнего контура и внутреннего левого контура, выбрав направление обхода по часовой стрелке.

Для внешнего контура:

Для внутреннего левого контура:

Итак, у нас получилась система их трех уравнений с тремя неизвестными:

Теперь подставим в эту систему известные нам величины напряжений и сопротивлений:

12 = 0,1I₁ +2I.

Далее из первого и второго уравнения выразим ток I₂

12 = 0,1I₁ + 2I.

Следующим шагом приравняем первое и второе уравнение и получим систему из двух уравнений:

12 = 0,1I₁ + 2I.

Выражаем из первого уравнения значение I

I = 2I₁– 70;

И подставляем его значение во второе уравнение

Решаем полученное уравнение

12 = 0,1I₁ + 4I₁ – 140.

12 + 140= 4,1I₁

Теперь в выражение I = 2I₁– 70 подставим значение

I₁=37,073 (А) и получим:

I = 2*37,073 – 70 = 4,146 А

Ну, а согласно первому закона Кирхгофа ток I₂=I — I₁

I₂=4,146 — 37,073 = -32,927

Знак «минус» для тока I₂ означает, то что мы не правильно выбрали направление тока, то есть в нашем случае ток I ₂ вытекает из узла А .

Теперь полученные данные можно проверить на практике или смоделировать данную схему например в программе Multisim.

Скриншот моделирования схемы для проверки законов Кирхгофа вы можете посмотреть на рисунке 5.

Рисунок 5. Сравнение результатов расчета и моделирования работы цепи.

Для закрепления результатата предлагаю посмотреть подготовленное мной видео:

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа

Содержание:

Законы Кирхгофа

Уравнения, описывающие поведение электрической цепи, составляют на основе законов Кирхгофа. Они определяют связь между токами и напряжениями элементов, образующих цепь. Уравнения, составленные согласно этим законам, называют уравнениями Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа определяет баланс токов в узлах электрической цепи.

Он формулируется следующим образом:

Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

В уравнении (3.1) токи, направленные от узла, записывают с положительным знаком. Токи, направленные к узлу, записывают со знаком минус.

Система уравнений по первому закону Кирхгофа, записанная для всех узлов цепи, линейно зависима. В этом легко убедиться, сложив все уравнения. Поскольку ток каждой ветви входит в два уравнения с разными знаками, сумма тождественно равна нулю. Поэтому число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа равно , где — число узлов цепи.

Второй закон Кирхгофа устанавливает баланс напряжений в контуре цепи:

Алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре равна нулю:

Если напряжение ветви совпадает с направлением обхода контура, то напряжению приписывают знак плюс, если же нет — знак минус. Перенесем напряжения источников напряжения, равные ЭДС этих источников, в правую часть. Уравнение (3.2) примет вид

В соответствии с последним равенством алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС источников.

Число независимых уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров. Число таких контуров определяется формулой , где — число ветвей.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Порядок составления уравнений но законам Кирхгофа

1. Необходимо сначала выбрать положительные направления токов и напряжений ветвей. Положительное направление тока показывают стрелкой на выводе элемента. Положительное направление напряжения показывают стрелкой, расположенной рядом с элементом. Полярности напряжений резисторов выбирают согласованными с направлениями токов. Направления токов источников напряжения выбирают совпадающими с направлениями ЭДС.

2. Записываем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов.

3. Выбираем направления обхода контуров и записываем уравнения по законам Кирхгофа. Сопротивление проводника, соединяющего элементы, очень мало по сравнению с сопротивлением резистора и игнорируется. Ячейки внутренней цепи удобно выбирать в качестве независимых цепей. Можно воспользоваться и другим способом: выбрать по порядку контуры, так, чтобы каждый следующий контур содержал, по меньшей мере, одну ветвь, не входящую в предыдущие контуры.

4. Решаем полученную систему уравнений и определяем токи и напряжения цепи.

5. После определения токов и напряжений необходимо выполнить проверку. Для этого вычисленные значения переменных подставляют в одно из уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

При составлении уравнений в качестве неизвестных рассматривают либо токи, либо напряжения резистивных элементов.

В первом случае уравнения цепи составляют относительно неизвестных токов резистивных элементов и напряжений на источниках тока. Напряжения на резистивных элементах, входящие в уравнения по второму закону Кирхгофа, выражают через токи по закону Ома. Такой способ составления уравнений называют токов ветвей.

Число совместно решаемых уравнений в методе токов ветвей можно сократить, если контуры выбирать так, чтобы они не включали источники тока. В этом случае неизвестными будут только токи резистивных элементов, и по второму закону Кирхгофа достаточно составить уравнений, где — количество источников тока.

Во втором случае уравнения цепи составляются относительно напряжений резистивных элементов и токов источников напряжения. Токи резисторов представляют произведением проводимости на напряжение на резисторе. Этот способ составления уравнений называют методом напряжений ветвей.

В дальнейшем для решения задач мы будем использовать в основном метод токов ветвей.

Пример 3.1. Записать уравнения Кирхгофа для цепи, показанной на рис. 3.1.

Решение. Сначала выберем направления токов резистивных элементов и пронумеруем узлы. Неизвестными являются токи резистивных элементов . Поэтому необходимо составить пять уравнений. Цепь содержит четыре узла; это означает, что по первому закону Кирхгофа можно составить три уравнения. Число уравнений по второму закону Кирхгофа равно двум.

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2, 3. Контуры I и II выберем так, чтобы они не включали источник тока, иначе в системе уравнений появится дополнительная переменная — напряжение источника тока. Направления обхода контуров выберем совпадающими с направлением движения часовой стрелки. В результате получим систему из пяти уравнений с пятью неизвестными токами:

Узел 1: ;

Узел 2: ;

Узел З: ;

Контур I:

Контур II:

Для решения системы уравнений целесообразно использовать математические пакеты, например MathCAD или Matlab.

Напряжение на зажимах источника тока можно затем найти, записав уравнения для контуров, включающих или

Пример задачи с решением 3.2.

Рассчитать токи в цепи, изображенной на рис. 3.2. Номиналы элементов: ,

Решение. Сначала выберем направления токов резистивных элементов и пронумеруем узлы. В рассматриваемой схеме шесть неизвестных токов , следовательно, необходимо составить шесть независимых уравнений. Цепь содержит четыре узла; это означает, что по первому закону Кирхгофа можно составить три уравнения. Еще три уравнения составим по второму закону Кирхгофа. Наличие источника тока учитывалось при определении числа уравнений по второму закону Кирхгофа.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3. Уравнения по второму закону Кирхгофа запишем для контуров I, II, III. Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

В результате получим систему из шести уравнений с шестью неизвестными токами:

В матричной форме записи:

Решением системы уравнений являются следующие значения токов:

Знак минус в численных значениях токов означает, что направление токов при заданных условиях выбрано навстречу истинному.

На странице -> решение задач по электротехнике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретических основ электротехники (ТОЭ).

Услуги:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.