Уравнение баланса удельной энергии потока

Уравнение Даниила Бернулли для потока реальной жидкости.

Энергетический баланс потока жидкости определяется уравнением Даниила Бернулли, впервые выведенным им в 1738 г. для элементарной струйки идеальной жидкости (т.е. не имеющейся вязкости) при установившемся движении.

В последующем на основании работ как Д.Бернулли, так и других ученых (Л. Эйлера, Г. Кориолиса, Ж. Буссинеска и др.), это уравнение было сформировано для целого потока реальной жидкости, однако в истории науки оно известно как уравнение Даниила Бернулли. Для составления энергетического баланса рассмотрим поток, проходящий по трубопроводу переменного сечения от живого сечения к живому сечению (рис. 25).

Рис. 25. Графическое изображение уравнения Д. Бернулли для потока реальной жидкости при установившемся движении:

1 — поток; 2 — пьезометр; 3 — трубка Пито; 4 — линия полной энергии;

— плоскость сравнения.

Рассмотрим полную удельную энергию в сечениях относительно плоскости сравнения с учетом ранее полученного уравнения (69):

Полная удельная энергия потока в сечении :

(70)

Полная удельная энергия потока в сечении :

, (71)

Показания пьезометров и скоростных трубок, установленных в сечениях и , демонстрируют, что .

Это вызвано тем, что часть энергии потока расходуется на преодоление гидравлических сопротивлений при движении жидкости от одного сечения к другому.

Величина называется удельной потерей энергии (или потерей напора) и обозначается . Отсюда на основании закона сохранения энергии запишем следующее уравнение

(72)

Полученное выражение и называется уравнением Бернулли для потока реальной жидкости.

Влияние вязкости жидкости приводит к неравномерному распределению скоростей в поперечном сечении потока (трубопровода). Поэтому уравнение (72) перепишется в следующем виде:

, (73)

где — коэффициент, характеризующий неравномерность распределения скоростей (коэффициент Кориолиса).

При равномерном движении воды в трубах и каналах небольшого поперечного сечения коэффициент Кориолиса принимается равным 1,05….1,1. В большинстве случаев при практических расчетах полагают

Каждая составляющая уравнения Бернулли имеет геометрический и энергетический смысл.

Все члены уравнения (73) имеют линейную размерность, и каждый из них может называться высотой:

	— геометрическая высота, или высота положения,
	— пьезометрическая высота;
	— высота скоростного напора;
	— высота потерь напора.

Сформулируем геометрический смысл уравнения Бернулли для потока реальной жидкости.

При установившемся потоке реальной жидкости сумма четырех высот (высота положения, пьезометрическая высота, высота скоростного напора и высота потерь напора) есть величина постоянная для любого сечения потока.

Энергетический смысл уравнения Бернулли заключается в следующем: при установившемся потоке реальной жидкости сумма четырех удельных энергий (энергии положения, энергии давления, кинетической энергии и энергии потерь) остается неизменной для любого сечения потока.

Уравнение Бернулли является основным уравнение гидродинамики, с помощью которого выводятся расчетные формулы для различных случаев движения жидкости, и решается большое количество практических задач равномерного движения жидкости в трубах и открытых руслах.

Для решения этих задач используют два основных уравнения гидродинамики:

1) уравнение Бернулли

, (74)

2) уравнение неразрывности потока

, (75)

При решении задач обычно по длине потока выбирают два характерных поперечных сечения ( и ). Горизонтальная плоскость сравнения , как правило, выбирается по оси трубопровода. При этом сечения выбираются с таким расчетом, чтобы для одного из них были известны величины , и , а для другого – одна или две из них были неизвестны и подлежали определению.

Взаимосвязь между тремя параметрами: скоростью, давлением и живым сечением послужила основой для конструирования различных гидравлических и пневматических машин, устройств и приспособлений, получивших широкое применение в технике.

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли для струйки жидкости формулируется следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Уравнение Бернулли выглядит так:

Подробное описание всех входящих в состав уравнения параметров уже описан в этой статье.

Содержание статьи

Смысл уравнения Бернулли

По существу вывода уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости представляет собой закон сохранения механической энергии, составленный применительно к единице массового расхода жидкости. Это следует из того, что в процессе вывода значения работы сил, приложенных к выделенному объему струйки и значения кинетической энергии этого объема были поделены на величину ρqΔT.

Отсюда вытекает, что поскольку член υ 2 /2 является мерой кинетической энергии единицы массы движущейся жидкости, то сумма членов gz+p/ρ будет мерилом ее потенциальной энергии.

В отношении величины gz это очевидно, ведь если частица жидкости массы m расположена на высоте z относительно некоторой плоскости и находится под действием сил тяжести, то способность ее совершить работу, т.е. её потенциальная энергия относительно этой плоскости равняется mgz. Но если её поделить на массу частиц m, то эта часть потенциальной энергии даст величину gz.

Для более ясного физического представления о том, что потенциальная энергия измеряется величиной p/ρ рассмотрим такую схему: пусть к трубе, заполненной жидкостью с избыточным давлением p, присоединен пьезометр, снабженный на входе в него краном.

Кран сначала закрыт, т.е. пьезометр свободен от жидкости, а элементарный объем жидкости ΔV массой ρ*ΔV перед краном находится под давлением p.

Если затем открыть кран, то жидкость в пьезометре поднимется на некоторую высоту, равную

Таким образом, единица массы, находящейся под давлением p, как бы несет в себе ещё заряд потенциальной энергии, определяемой величиной p/ρ.

В гидравлике для характеристики удельной энергии обычно используется понятие напор, под которым понимают энергию жидкости, отнесенную к единице силы тяжести, а не её массы. В соответствии с этим уравнение Бернулли записанное в начале этой статьи примет вид

Такое уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости в другой форме, весьма удобно для гидравлических расчетов и может быть сформулировано следующим образом.

Для элементарной струйки идеальной жидкости полный напор, т.е. сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров, есть величина постоянная во всех её сечениях.

Отсюда следует, что между напором и удельной энергией существует очень простая зависимость

где э – удельная энергия

Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости

Если вместо идеальной жидкости рассматривать жидкость реальную, то уравнение Бернулли для реальной жидкости должно принять несколько другой вид.

При движении идеальной жидкости её полная удельная энергия или напор сохраняет постоянное значение по длине струйки, а при движении реальной жидкости эта энергия будет убывать по направлению движения. Причиной этого являются затраты энергии на преодоление сопротивлений движению, обусловленные внутренним трением в вязкой жидкости.

Если же мы рассмотрим два сечения для струйки идеальной жидкости: 1-1 в начале и 2-2 в конце струйки, то полная удельная энергия будет

Полная удельная энергия для сечения 1-1 всегда будет больше, чем полная удельная энергия для сечения 2-2 на некоторую величину потерь, и уравнение Бернулли в этом случае получается

Величина Э_1-2 представляет собой меру энергии, потерянную единицей массы жидкости на преодоление сопротивлений при её движениями между указанными сечениями.

Соответствующий этой потере удельной энергии напор называют потерей напора между сечениями 1-1 и 2-2 и обозначают h_1-2 . Поэтому уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости можно представить в виде

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости это еще только половина дела, ведь в при решении различных практических вопросов о движении жидкостей приходится иметь дело с потоками конечных размеров. Уравнение Бернулли в этом случае может быть получено, исходя из рассмотрения потока как совокупности множества элементарных струек.

Учитывая, что все струйки движутся с одной и той же средней скоростью форма записи уравнения Бернулли для потока идеальной жидкости становится идентичной его записи для элементарной струйки.

В таком виде уравнение Бернулли обычно и применяется при решении практических задач для потоков однородной несжимаемой жидкости при установившемся движении, происходящем под действием одной силы тяжести.

Такое уравнение составляется для различных живых сечений потока, вблизи которых движение жидкости должно удовлетворять условиям медленно изменяющегося движения, хотя на пути между этими сечениями движение может и не удовлетворять указанным условиям.

Слагаемое h_1-2 в этом уравнении показывает потери напора на преодоление сопротивлений движению жидкости. При этом в гидравлике различают два основных вида сопротивлений:
— h_лп — линейные потери — сопротивления, проявляющиеся по всей длине потока, обусловленные силами трения частиц жидкости друг о друга и о стенки, ограничивающие поток.
— h_мп — местные потери – местные сопротивления, обусловленные различного рода препятствиями, устанавливаемыми в потоке (задвижка, кран, колено), приводящими к изменениям величины или направления скорости течения жидкости

Поэтому полная потеря напора между двумя сечениями потока при наличии сопротивлений обоих видов будет

Видео по теме

Уравнение Бернулли подходит и для газов. Явление уменьшения давления при повышении скорости потока является основой работы различных приборов для измерения расхода. Закон Бернулли справедлив и для жидкостей вязкость которых равна нулю. При описании течения таких жидкостей используют уравнение Бернулли с добавлением слагаемых учитывающих потери на местные сопротивления.

Уравнение баланса удельной энергии потока

Рассмотрим взаимные переходы форм энергии в некоторых типовых технологических устройствах.

Течение жидкости в трубопроводе. Учитывая отсутствие обмена энергией с внешней средой , и в пренебрежении изменением внутренней энергии и сжимаемостью жидкости (u=const; const) из уравнения (3.8) получим формулу Бернулли

, (3.11)

находящую многообразные приложения в технике.

Рис.3.3. Схема действия водоструйного насоса; C– вакуумируемый сосуд.

Так, это уравнение характеризует изменение давления в потоке жидкости при сужении (расширении) трубопровода. Так как объемный расход несжимаемой жидкости через поперечное сечение трубы не изменяется вдоль трубопровода, то (при пренебрежимо малом )

. (3.12)

Последнее выражение объясняет действие водоструйного насоса (рис.3.3), показывая, что при заданных A₁ и p₁ могут быть достигнуты очень малые значения давления в струе p₂ за счет, прежде всего, соответствующего уменьшения сечения струи A₂, а также увеличения . Кажущийся парадокс с возможностью получения, согласно (3.12), отрицательных p₂ при больших скоростях объясняется тем, что с ростом скорости возрастают потери энергии на преодоление трения (трансформация механической энергию в тепловую). Эти потери должны учитываться дополнительным слагаемым в уравнении (3.11), как это следует из более общего уравнения сохранения энергии (3.8).

При уравнение (3.11) описывает гидростатические эффекты, как например, возрастание давления столба жидкости с увеличением его высоты .

Еще один пример использования уравнения Бернулли – расчет скорости истечения жидкости из резервуара через свободное отверстие (например, в результате аварии) или через трубопровод в другой резервуар (рис. 3.4). В первом случае при одинаковом внешнем давлении имеем , где ( z₁-z₂) – расстояние между уровнем жидкости в резервуаре и отверстием. В случае перетока жидкости по трубопроводу между двумя открытыми резервуарами расчет по уравнению Бернулли независимо от уклона трубопровода приводит к аналогичному выражению, в котором (z₁-z₂)– разность высот уровней жидкости в резервуарах (проверьте это). Однако на практике скорость течения по трубопроводу будет несколько ниже, поскольку некоторая часть потенциальной энергии жидкости, зависящая от протяженности и сечения трубопровода, будет расходоваться на преодоление трения (пропорциональную часть называют потерей «напора») и тем самым на соответствующее повышение внутренней энергии жидкости . Можно отметить, что с точки зрения внутреннего состояния движущейся жидкости указанное изменение u, обусловленное диссипацией механической энергии, как правило, не столь значительно, чтобы выразиться в значимом повышении ее температуры.

Рис.3.4. К расчету скорости истечения жидкости через отверстие в резервуаре (а) и по трубопроводу между резервуарами (б)

Гидротурбина и гидронасос. В гидротурбине происходит преобразование потенциальной энергии падающей воды через изменение ее кинетической энергии в механическую работу и с помощью электрогенератора – в электрическую работу;

,

где есть разность уровней поверхности воды ниже и выше плотины водохранилища. Гидронасос выполняет обратное преобразование энергии, поднимая жидкость с одной высоты на другую за счет потребления электрической энергии; в этом случае и .

Теплообменный аппарат. В данном устройстве происходит нагревание (повышение энтальпии) одной движущейся среды за счет охлаждения (понижения энтальпии) другой путем теплообмена через разделяющие два потока перегородки.

Пусть массовый расход первого теплоносителя равен , его удельная энтальпия на входе и на выходе ; соответственно массовый расход второго теплоносителя , удельная энтальпия на входе и на выходе (рис.3.5).

Обычно изменение механической энергии потоков в аппарате незначительно по сравнению с изменениями энтальпии, поэтому с большой точностью выполняется уравнение баланса

, (3.13)

являющееся следствием (3.10) при и . Соотношение (3.13) выполняется независимо от структуры потоков теплоносителей в аппарате (прямоток, противоток или более сложная конфигурация потоков), как для потоков газов, так и жидкостей; оно охватывает также процессы теплообмена, сопряженные с фазовым переходом вещества (парообразование или конденсация пара).

Рис.3.5. Схема противоточного теплообменного аппарата.

Адиабатный реактор. Как следует из уравнения (3.9), в адиабатном реакторе удельная энтальпия реакционной смеси сохраняется постоянной,

.

Если в реакторе протекает экзотермическая реакция, , то убыль энтальпии в ходе реакции в точности компенсируется разогревом реакционной смеси, как это происходит, например, в камере сгорания топлива в газотурбинном двигателе. Напротив, в случае эндотермической реакции, , рост энтальпии за счет химического превращения компонентов компенсируется самоохлаждением реакционной смеси.

Газовая турбина и компрессор. В газовой турбине энтальпия разогретой смеси продуктов сгорания топлива с избытком воздуха трансформируется за счет адиабатического расширения в кинетическую энергию газов, которая в свою очередь преобразуется через вращение лопаток турбины в механическую работу; последняя с помощью генератора тока переводится в работу электрическую. В пренебрежении потерями теплоты в окружающую среду

.

Этим же уравнением описывается работа газового компрессора в адиабатическом режиме (т.е. без внешнего охлаждения сжимаемой смеси); в этом случае электрическая или механическая работа расходуется на повышение энтальпии сжимаемого газа: .

Реактивный двигатель. В реактивном двигателе раскаленные газы из камеры сгорания топлива направляются в сопло – сужающийся и затем расширяющийся канал рассчитанной конфигурации (рис. 3.6). В сужающейся части сопла газовая струя адиабатически расширяется и разгоняется до скорости, равной скорости звука, а в расширяющейся части ускоряется выше скорости звука. Газы приобретают высокую кинетическую энергию (и соответствующий импульс, который с противоположным знаком передается летательному аппарату) за счет результирующего уменьшения энтальпии исходной смеси топлива и окислителя:

.

Рис.3.6. Схема сопла сверхзвукового реактивного двигателя;

A_кр– критическое сечение перехода через скорость звука.

Реакторы с внешним охлаждением или обогревом. В системах этого типа теплота, выделяемая в проточном реакторе в ходе экзотермической реакции, используется для нагревания внешнего теплоносителя, либо фазового превращения последнего. Например, промышленный реактор каталитического окисления аммиака включает в себя встроенный котел-утилизатор, в котором основная часть теплоты реакции утилизируется путем производства водяного пара. В противоположном случае проведения экзотермической реакции теплота подводится внешним теплоносителем. Преобразование химической и тепловой формы энергии в данных системах описывается тем же уравнением (3.13), что и обычный теплообмен.

К системам типа реактор-теплообменник по существу должны быть отнесены и многочисленные аппараты, в которых нагревание, фазовое или химическое превращение вещества производится за счет теплоты, выделяемой при сжигании в том же аппарате газообразного или жидкого топлива, как-то разного рода печи, паровые котлы, выпарные аппараты и т.п. (окисление топлива – наиболее широко используемая в технике и технологии химическая реакция).

Электронагревательные устройства. Нагревание рабочего вещества за счет джоулевой теплоты, выделяемой электронагревательными элементами, можно квалифицировать как потери электрической работы; баланс энергии в этом случае можно представить как

.

Электрохимический реактор. В электрохимических процессах происходит преобразование электрической, химической и тепловой форм энергии. В топливных элементах часть химической энергии исходных реагентов идет на выработку электрической энергии, а другая часть должна отводиться в виде теплоты внешним теплоносителем. Уравнение баланса энергии, суммарным образом характеризующее катодный и анодный процессы, может быть представлено в виде

, (3.14)

где – совокупный массовый расход исходных реагентов; – удельная энтальпия исходных реагентов; – удельная энтальпия продуктов реакции; – массовый расход вспомогательного теплоносителя; и удельные энтальпии теплоносителя соответственно на входе и выходе. В электролизере, с целью снижения затрат электроэнергии на получение целевых продуктов, часть необходимой энергии подводят в виде теплоты от внешнего теплоносителя. В этом случае каждое из слагаемых уравнения (3.14) изменяет знак на противоположный.

Во всех перечисленных выше примерах частные формы уравнений баланса потоков энергии выполняются с точностью до неучтенных в этих уравнениях и трудно измеряемых экспериментально потерь энергоресурсов. К последним относится рассеяние теплоты (также и холода) в окружающую среду через стенки аппаратуры и потери механической энергии на трение. Полноту целевого преобразования одной формы энергии в другую характеризует коэффициент преобразования энергии , равный отношению производства или увеличения потока конечной формы энергии к уменьшению потока или расходу первичной формы энергии. Например, для гидротурбины и для гидронасоса ; для теплообменного аппарата ; для газовой турбины и т.д. Отклонение от 1 (или от 100%, если отношение выражено в процентах) количественно характеризует относительную величину потерь энергоресурсов. По поводу предпочтительности использования термина «коэффициент преобразования энергии» вместо традиционного термина «коэффициент полезного действия» (к.п.д.) см. книгу В.М.Бродянского, В.Фратшера и К.Михалека. Употребление термина к.п.д. более оправдано применительно к техническим и технологическим устройствам, в которых происходит трансформация эквивалентных по качеству форм энергии, либо низшая по качеству форма энергии преобразуется в более квалифицированную форму энергии (см. следующую главу).

Коэффициент преобразования энергии, хотя и является важным количественным показателем эффективности функционирования технологической системы, не позволяет охарактеризовать процесс преобразования энергии с качественной стороны. На уровне балансов потоков энергии остается в стороне первостепенной важности вопрос о самой целесообразности перевода энергии из одной формы в другую. Этот вопрос может быть поставлен и решен лишь с привлечением второго начала термодинамики.

Сервер создается при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
Не разрешается копирование материалов и размещение на других Web-сайтах
Вебдизайн: Copyright (C) И. Миняйлова и В. Миняйлов
Copyright (C) Химический факультет МГУ
Написать письмо редактору