Уравнение бегущей и стоячей волны

Уравнение бегущей и стоячей волны

Для существования волны необходим источник колебания и материальная среда или поле, в которых эта волна распространяется. Волны бывают самой разнообразной природы, но они подчиняются аналогичным закономерностям.

По физической природе различают:

упругие, звуковые, волны на поверхности жидкости

свет, радиоволны, излучения

По ориентации возмущений различают:

Смещение частиц происходит вдоль направления распространения;

могут распростаняться только в упругих средах;

необходимо наличие в среде силы упругости при сжатии;

могут распространяться в любых средах.

Смещение частиц происходит поперек направления распространения;

могут распростаняться только в упругих средах;

необходимо наличие в среде силы упругости при сдвиге;

могут распространяться только в твердых средах (и на границе двух сред).

Примеры: упругие волны в струне, волны на воде

По характеру зависимости от времени различают:

Упругие волны — механические возмещения (деформации), распространяющиеся в упругой среде. Упругая волна называется гармонической (синусоидальной), если соответствующие ей колебания среды являются гармоническими.

Бегущие волны — волны, переносящие энергию в пространстве.

По форме волновой поверхности: плоская, сферическая, цилиндрическая волна.

Волновой фронт — геометрическое место точек, до которых дошли колебания к данному моменту времени.

Волновая поверхность — геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе.

Характеристики волны

Длина волны λ — расстояние, на которое волна распространяется за время, равное периоду колебаний

Амплитуда волны А — амплитуда колебаний частиц в волне

Скорость волны v — скорость распространения возмущений в среде

Период волны Т — период колебаний

Частота волны ν — величина, обратная периоду

Уравнение бегущей волны

В процессе распространения бегущей волны возмущения среды доходят до следующих точек пространства, при этом волна переносит энергию и импульс, но не переносит вещество (частицы среды продолжают колебаться в том же месте пространства).

где v – скорость, φ₀ – начальная фаза, ω – циклическая частота, A – амплитуда

Свойства механических волн

1. Отражение волн – механические волны любого происхождения обладают способностью отражаться от границы раздела двух сред. Если механическая волна, распространяющаяся в среде, встречает на своем пути какое-либо препятствие, то она может резко изменить характер своего поведения. Например, на границе раздела двух сред с разными механическими свойствами волна частично отражается, а частично проникает во вторую среду.

2. Преломление волн – при распространении механических волн можно наблюдать и явление преломления: изменение направления распространения механических волн при переходе из одной среды в другую.

3. Дифракция волн – отклонение волн от прямолинейного распространения, то есть огибание ими препятствий.

4. Интерференция волн – сложение двух волн. В пространстве, где распространяются несколько волн, их интерференция приводит к возникновению областей с минимальным и максимальным значениями амплитуды колебаний

Интерференция и дифракция механических волн.

Волна, бегущая по резиновому жгуту или струне отражается от неподвижно закрепленного конца; при этом появляется волна, бегущая во встречном направлении.

При наложении волн может наблюдаться явление интерференции. Явление интерференции возникает при наложении когерентных волн.

Когерентными называют волны, имеющие одинаковые частоты, постоянную разность фаз, а колебания происходят в одной плоскости.

Интерференцией называется постоянное во времени явление взаимного усиления и ослабления колебаний в разных точках среды в результате наложения когерентных волн.

Результат суперпозиции волн зависит от того, в каких фазах накладываются друг на друга колебания.

Если волны от источников А и Б придут в точку С в одинаковых фазах, то произойдет усиление колебаний; если же – в противоположных фазах, то наблюдается ослабление колебаний. В результате в пространстве образуется устойчивая картина чередования областей усиленных и ослабленных колебаний.

Условия максимума и минимума

Если колебания точек А и Б совпадают по фазе и имеют равные амплитуды, то очевидно, что результирующее смещение в точке С зависит от разности хода двух волн.

Если разность хода этих волн равна целому числу волн (т. е. четному числу полуволн) Δd = kλ , где k = 0, 1, 2, . то в точке наложения этих волн образуется интерференционный максимум.

Условие максимума:

Амплитуда результирующего колебания А = 2x₀.

Если разность хода этих волн равна нечетному числу полуволн, то это означает, что волны от точек А и Б придут в точку С в противофазе и погасят друг друга.

Условие минимума:

Амплитуда результирующего колебания А = 0.

Если Δd не равно целому числу полуволн, то 0

Явление отклонения от прямолинейного распространения и огибание волнами препятствий называется дифракцией.

Соотношение между длиной волны (λ) и размерами препятствия (L) определяет поведение волны. Дифракция наиболее отчетливо проявляется, если длина набегающей волны больше размеров препятствия. Опыты показывают, что дифракция существует всегда, но становится заметной при условии d

Дифракция – общее свойство волн любой природы, которая происходит всегда, но условия её наблюдения разные.

Волна на поверхности воды распространяется в сторону достаточно большого препятствия, за которым образуется тень, т.е. волнового процесса не наблюдается. Такое свойство используется при устройстве волноломов в портах. Если же размеры препятствия сравнимы с длиной волны, то за препятствием будет наблюдаться волнение. Позади него волна распространяется так, как будто препятствия не было вовсе, т.е. наблюдается дифракция волны.

Примеры проявления дифракции. Слышимость громкого разговора за углом дома, звуки в лесу, волны на поверхности воды.

Стоячие волны

Стоячие волны образуются при сложении прямой и отраженной волны, если у них одинаковая частота и амплитуда.

В струне, закрепленной на обоих концах, возникают сложные колебания, которые можно рассматривать как результат наложения (суперпозиции) двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях и испытывающих отражения и переотражения на концах. Колебания струн, закрепленных на обоих концах, создают звуки всех струнных музыкальных инструментов. Очень похожее явление возникает при звучании духовых инструментов, в том числе органных труб.

Колебания струны. В закрепленной с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причем в местах закрепления струны должны располагаться узлы. Поэтому в струне возбуждаются с заметной интенсивностью только такие колебания, половина длины волны которых укладывается на длине струны целое число раз.

Отсюда вытекает условие

Длинам волн соответствуют частоты

n = 1, 2, 3. Частоты v n называются собственными частотами струны.

Гармонические колебания с частотами v n называются собственными или нормальными колебаниями. Их называют также гармониками. В общем случае колебание струны представляет собой наложение различных гармоник.

Уравнение стоячей волны:

В точках, где координаты удовлетворяют условию (n = 1, 2, 3, …), суммарная амплитуда равна максимальному значению – это пучности стоячей волны. Координаты пучностей:

В точках, координаты которых удовлетворяют условию (n = 0, 1, 2,…), суммарная амплитуда колебаний равна нулю – это узлы стоячей волны. Координаты узлов:

Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженных волн. На границе, где происходит отражение волны, получается пучность, если среда, от которой происходит отражение, менее плотная (a), и узел – если более плотная (б).

Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, т.к. падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях.

Стоячие волны возникают, например, в закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении в ней поперечных колебаний. Причём в местах закреплений располагаются узлы стоячей волны.

Если стоячая волна устанавливается в воздушном столбе, открытом с одного конца (звуковая волна), то на открытом конце образуется пучность, а на противоположном – узел.

Волны. Уравнение плоской бегущей волны. Уравнение стоячей волны.

Гармоническое колебательное движение. Незатухающие колебания. Энергия гармонических колебаний. Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс.

Гармонич. колеб. движ. – движ. возник. при малых отклонениях колеблющейся системы от положения равновесия и происходящее по закону sin или соs.

x= A sin(ω₀t + φ₀)

х- смещение колеблющейся точки в данный момент;

ω₀ – круговая частота;

φ₀ – начальная фаза колебаний

(ω₀t + φ₀) –фаза колебаний определ. полож. скорость, ускор. колеб. тела в данный момент времени.

Незатухающие колебания – колебания с постоянной амплитудой. Для их получ. необходимо воздействие внешн. силы в каждой точке системы.

Система соверш. гармонич. колеб. облад. кинетич. и потенц. энерг. Если колеб не затух, то полн. мех. энерг. остается неизменной

Амплитудные значения х,υ,а : Хмах=А, Vмах=-Aω_0, а_мах=-Аω₀ 2

Затухающ. колеб. – колеб. энергия которых уменьшается с течением времени, под действием силы сопротивлен.

А=А₀ е -β t

β- коэффц. затухания; чемон больше, тем быстрее затухает

Вынужден. колеб. – колеб. происход под действием внешних, периодич. измен. сил. При увелич. частоты внешней силы возрастает амплитуда.

Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужден. колеб. (при близких значениях собственной частоты и частоты вынужденной силы)

Волны. Уравнение плоской бегущей волны. Уравнение стоячей волны.

Дифракция и интерференция волн.

Волны – процесс распространения колебаний в среде. Волны бывают продольные (в жид. и заг. телах) и поперечные (тверд тела). Вид волн зависит от вида деформац. в среде.

Поперечн. волна – колеб. происход. ┴ направлении распростран.

Продольн. волна – колеб. происход. в направлен. распростран. самой волны.

Скорость распространения вол зависит от свойств среды: τ=х/φ – время, требуемое волне, чтобы дойти до точки.

Расстоян. котор. проходит волна за время равное 1 Т – длина водны λ=UT

В зависимости от формы среды волны: сферич., плоск. и др.

Ур-е плоской бегущ. волны : у=А cos ω₀(t-τ); у=А cos (ω₀t±kx); k=2π/λ –волновое число, Бегущая волна распростран. в виде фронта волны.(перенос энергии в пространстве). позволяет определить смещение у в лобой момент времени.принц. Гюйгенса:каждая точка среды до которой дошло колебание, является источником новых, элементарных сферических волн.

Ур-е стоячей волны : стоячая волна возник при наложении двух волн, распростран. навстречу друг другу.(нет преноса энергии-плохо с точки зрен. акустики)

А=2Аcoskx

Дифракция-явление огибания волнами препятствий, наблюдается в тех случаях, когда препятствие сравнимо по размерам с длинной падающей на него волны. Объясняется с помощью принц. Гюйгенса:каждая точка среды до которой дошло колебание, является источником новых, элементарных сферических волн.

Интерфиренция -усилен. и ослаблен. колеб. в различн. точках пространства, возникающ. в результате налож. когорентных волн. Когорентные – волны одного периода, разность фаз между которыми сохран. пост. Результат интнерфер. волн зависит от хода волн. Результат интерференц – стояч. волн.

3.Звук. Звуковое поле. Звуковое давление. Акустическое сопротивление среды. Интенсивность звука. Уровень звукового давления. Уровень интенсивности звука.

Звук — колебательное движение в любой матер. среде. (среде, обладающ. упругостью и инерционностью). Физические характеристики – чистота, интенсивность (сила), форма волы (состав), физиологические – высота, громкость, тембр.

Чистота звука – число звуковых колебаний, которое излучает источник в 1 сек. От частоты зависит высота звука. Зв больш частот-высок, Зв малых частот — низкие. Удвоение частоты звука соответствует муз. интервалу –октава.

Интенсивность (сила) звука – физич. величин. измеряемая энергией звук. волны, проход через единиц. врем. единиц. площади поверхности перпендикулярной к направлению распространения волн. I = P 2 / ρU. Интенсивностью определ. громкость. Чем она↑, тем↑ громкость.

Форма звуковой волны определяет степень частоты тона. Тон – звук, сосотоящ. из колеб. строго одной частоты. От частоты и соотношения обертонов зависит окраста звука – тембр.

Звук. поле-пространство заполн. звук. волнами. Геометрически характер звукового поля определ. видом волн, котор его образ. Физич. величиной харектериз. звук. поле — звук. давлен. В свободном звук. поле волны перенос. в одном напрвен. Энергия переносится бегущей волной.

Звук. давление. – разница между давлением в данном месте среды при отсутствии в ней звуковых волн и давление которое имеется там же при распространении этих волн. Р=P_i— P_ат; Диапаз. измен. зв. давлен. от 10 -5 до 10 -2

Изменение плотности среды пропорц. измен. давлен, то получ.след соотнош:

Акустическое сопротивление среды- величина, равная отношению амплитуды звукового давления в среде к колебательной скорости её частиц при прохождении через среду звуковой волны: ρU=P/ν; U-скорость распростран. звука в среде.

Уровень звукового давления – измеренное по относительной шкале значение звукового давления, отнесённое к опорному давлению = 20 мкПа, соответствующему порогу слышимости синусоидальной звуковой волны частотой 1 кГц: L_P=20log P/P₀, дБ

Уровень интенсивности звука – выражают в белах (Б) или децибелах (дБ). За 1 Б принимают уровень интенсивности звука, интенсивность которого в 10 раз больше Iо., I₀ — сила звука нулевого уровня. ; L_I=10log I/I₀,

4. Спектр звука. Суммарный уровень звукового давления

Степень чистоты тона звука, определяет форма звуковой волны. Звук, состоящий из нескольких частот, является сложным. Такой звук можно характеризовать звуковым спектром (звуковой спектр — зависимость уровня звукового давления от частоты), т.е. распределением амплитуд колебаний А или интенсивностей I, (I≈A 2 )по частотам, входящим в состав звука. Спектр звука изображают диаграммой.

По оси х – частоты (в log масштабе), по оси у-амплитуды входящих в состав колебаний.

Механические волны

Когда в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды происходит возбуждение колебаний частиц, результатом взаимодействия атомов и молекул среды становится передача колебаний от одной точки к другой с конечной скоростью.

Волна – это процесс распространения колебаний в среде.

Виды механических волн

Различают следующие виды механических волн:

Поперечная волна: частицы среды смещаются в направлении, перпендикулярном направлению распространения механической волны.

Пример: волны, распространяющиеся по струне или резиновому жгуту в натяжении (рисунок 2 . 6 . 1 );

Продольная волна: частицы среды смещаются в направлении распространения механической волны.

Пример: волны, распространяющиеся в газе или упругом стержне (рисунок 2 . 6 . 2 ).

Интересно, что волны на поверхности жидкости включают в себя и поперечную, и продольную компоненты.

Укажем важное уточнение: когда механические волны распространяются, они переносят энергию, форму, но не переносят массу, т.е. в обоих видах волн переноса вещества в направлении распространения волны не происходит. Распространяясь, частицы среды совершают колебания около положений равновесия. При этом, как мы уже сказали, волны переносят энергию, а именно энергию колебаний от одной точки среды к другой.

Рисунок 2 . 6 . 1 . Распространение поперечной волны по резиновому жгуту в натяжении.

Рисунок 2 . 6 . 2 . Распространение продольной волны по упругому стержню.

Модель твердого тела

Характерная черта механических волн – их распространение в материальных средах в отличие, например, от световых волн, способных распространяться и в пустоте. Для возникновения механического волнового импульса необходима среда, имеющая возможность запасать кинетическую и потенциальную энергии: т.е. среда должна иметь инертные и упругие свойства. В реальных средах эти свойства получают распределение по всему объему. К примеру, каждому небольшому элементу твердого тела присуща масса и упругость. Самая простая одномерная модель такого тела представляет из себя совокупность шариков и пружинок (рисунок 2 . 6 . 3 ).

Рисунок 2 . 6 . 3 . Простейшая одномерная модель твердого тела.

В этой модели инертные и упругие свойства разделены. Шарики имеют массу m , а пружинки – жесткость k . Такая простая модель дает возможность описать распространение продольных и поперечных механических волн в твердом теле. При распространении продольной волны шарики смещаются вдоль цепочки, а пружинки растягиваются или сжимаются, что есть деформация растяжения или сжатия. Если подобная деформация происходит в жидкой или газообразной среде, ее сопровождает уплотнение или разрежение.

Отличительная особенность продольных волн заключается в том, что они способны распространяться в любых средах: твердых, жидких и газообразных.

Если в указанной модели твердого тела один или несколько шариков получают смещение перпендикулярно всей цепочке, можно говорить о возникновении деформации сдвига. Пружины, получившие деформацию в результате смещения, будут стремиться вернуть смещенные частицы в положение равновесия, а на ближайшие несмещенные частицы начнет оказываться влияние упругих сил, стремящихся отклонить эти частицы от положения равновесия. Итогом станет возникновение поперечной волны в направлении вдоль цепочки.

В жидкой или газообразной среде упругая деформация сдвига не возникает. Смещение одного слоя жидкости или газа на некоторое расстояние относительно соседнего слоя не приведет к появлению касательных сил на границе между слоями. Силы, которые оказывают воздействие на границе жидкости и твердого тела, а также силы между соседними слоями жидкости всегда направлены по нормали к границе – это силы давления. Аналогично можно сказать и о газообразной среде.

Таким образом, появление поперечных волн невозможно в жидкой или газообразной средах.

В плане практического применения особый интерес представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой f и длиной волны λ . Синусоидальные волны получают распространение в однородных средах с некоторой постоянной скоростью υ .

Запишем выражение, показывающее зависимость смещения y ( x , t ) частиц среды из положения равновесия в синусоидальной волне от координаты x на оси O X , вдоль которой распространяется волна, и от времени t :

y ( x , t ) = A cos ω t — x υ = A cos ω t — k x .

В приведенном выражении k = ω υ – так называемое волновое число, а ω = 2 π f является круговой частотой.

Бегущая волна

Рисунок 2 . 6 . 4 демонстрирует «моментальные фотографии» поперечной волны в момент времени t и t + Δ t . За промежуток времени Δ t волна перемещается вдоль оси O X на расстояние υ Δ t . Подобные волны носят название бегущих волн.

Рисунок 2 . 6 . 4 . «Моментальные фотографии» бегущей синусоидальной волны в момент времени t и t + Δ t .

Длина волны λ – это расстояние между двумя соседними точками на оси O X , испытывающими колебание в одинаковых фазах.

Расстояние, величина которого есть длина волны λ , волна проходит за период Т . Таким образом, формула длины волны имеет вид: λ = υ T , где υ является скоростью распространения волны.

С течением времени t происходит изменение координаты x любой точки на графике, отображающем волновой процесс (к примеру, точка А на рисунке 2 . 6 . 4 ), при этом значение выражения ω t – k x остается неизменным. Спустя время Δ t точка А переместится по оси O X на некоторое расстояние Δ x = υ Δ t . Таким образом:

ω t — k x = ω ( t + ∆ t ) — k ( x + ∆ x ) = c o n s t или ω ∆ t = k ∆ x .

Из указанного выражения следует:

υ = ∆ x ∆ t = ω k или k = 2 π λ = ω υ .

Становится очевидно, что бегущая синусоидальная волна имеет двойную периодичность – во времени и пространстве. Временной период является равным периоду колебаний T частиц среды, а пространственный период равен длине волны λ .

Волновое число k = 2 π λ – это пространственный аналог круговой частоты ω = — 2 π T .

Сделаем акцент на том, что уравнение y ( x , t ) = A cos ω t + k x является описанием синусоидальной волны, получающей распространение в направлении, противоположном направлению оси O X , со скоростью υ = — ω k .

Когда бегущая волна получает распространение, все частицы среды гармонически колеблются с некоторой частотой ω . Это означает, что как и при простом колебательном процессе, средняя потенциальная энергия, являющаяся запасом некоторого объема среды, есть средняя кинетическая энергия в том же объеме, пропорциональная квадрату амплитуды колебаний.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что, когда бегущая волна получает распространение, появляется поток энергии, пропорциональный скорости волны и квадрату ее амплитуды.

Скорость распространения волны

Бегущие волны движутся в среде с определенными скоростями, находящимися в зависимости от типа волны, инертных и упругих свойств среды.

Скорость, с которой поперечные волны распространяются в натянутой струне или резиновом жгуте, имеет зависимость от погонной массы μ (или массы единицы длины) и силы натяжения T :

Скорость, с которой продольные волны распространяются в безграничной среде, рассчитывается при участии таких величин как плотность среды ρ (или масса единицы объема) и модуль всестороннего сжатия B (равен коэффициенту пропорциональности между изменением давления Δ p и относительным изменением объема Δ V V , взятому с обратным знаком):

Таким образом, скорость распространения продольных волн в безграничной среде, определяется по формуле:

При температуре 20 ° С скорость распространения продольных волн в воде υ ≈ 1480 м / с , в различных сортах стали υ ≈ 5 – 6 к м / с .

Если речь идет о продольных волнах, получающих распространение в упругих стержнях, запись формулы для скорости волны содержит не модуль всестороннего сжатия, а модуль Юнга:

Для стали отличие E от B незначительно, а вот для прочих материалов оно может составлять 20 – 30 % и больше.

Рисунок 2 . 6 . 5 . Модель продольных и поперечных волн.

Стоячая волна

Предположим, что механическая волна, получившая распространение в некоторой среде, встретила на пути некое препятствие: в этом случае характер ее поведения резко изменится. К примеру, на границе раздела двух сред с различающимися механическими свойствами волна частично отразится, а частично проникнет во вторую среду. Волна, пробегающая по резиновому жгуту или струне, отразится от зафиксированного конца, и возникнет встречная волна. Если у струны зафиксированы оба конца, появятся сложные колебания, являющиеся итогом наложения (суперпозиции) двух волн, получающих распространение в противоположных направлениях и испытывающих отражения и переотражения на концах. Так «работают» струны всех струнных музыкальных инструментов, зафиксированные с обоих концов. Схожий процесс возникает при звучании духовых инструментов, в частности, органных труб.

Если волны, распространяющиеся по струне во встречных направлениях, обладают синусоидальной формой, то при определенных условиях они образуют стоячую волну.

Допустим, струна длины l зафиксирована таким образом, что один из ее концов расположен в точке x = 0 , а другой – в точке x 1 = L (рисунок 2 . 6 . 6 ). В струне имеется натяжение T .

Рисунок 2 . 6 . 6 . Возникновение стоячей волны в струне, зафиксированной на обоих концах.

По струне одновременно пробегают в противоположных направлениях две волны с одинаковой частотой:

• y 1 ( x , t ) = A cos ( ω t + k x ) – волна, распространяющаяся справа налево;
• y 2 ( x , t ) = A cos ( ω t — k x ) – волна, распространяющаяся слева направо.

Точка x = 0 — один из зафиксированных концов струны: в этой точке падающая волна y 1 в результате отражения создает волну y 2 . Отражаясь от зафиксированного конца, отраженная волна входит в противофазу с падающей. В соответствии с принципом суперпозиции (что есть экспериментальный факт) колебания, созданные встречными волнами во всех точках струны, суммируются. Из сказанного следует, что итоговое колебание в каждой точке определяется как сумма колебаний, вызванных волнами y 1 и y 2 в отдельности. Таким образом:

y = y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) = ( — 2 A sin ω t ) sin k x .

Приведенное выражение является описанием стоячей волны. Введем некоторые понятия, применимые к такому явлению как стоячая волна.

Узлы – точки неподвижности в стоячей волне.

Пучности – точки, расположенные между узлами и колеблющиеся с максимальной амплитудой.

Если следовать данным определениям, для возникновения стоячей волны оба зафиксированных конца струны должны являться узлами. Указанная ранее формула отвечает этому условию на левом конце ( x = 0 ) . Чтобы условие было выполнено и на правом конце ( x = L ) , необходимо чтобы k L = n π , где n является любым целым числом. Из сказанного можно сделать вывод, что стоячая волна в струне появляется не всегда, а только тогда, когда длина L струны равна целому числу длин полуволн:

l = n λ n 2 или λ n = 2 l n ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) .

Набору значений λ n длин волн соответствует набор возможных частот f

f n = υ λ n = n υ 2 l = n f 1 .

В этой записи υ = T μ есть скорость, с которой распространяются поперечные волны по струне.

Каждая из частот f n и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой. Наименьшая частота f 1 носит название основной частоты, все прочие ( f 2 , f 3 , … ) называются гармониками.

Рисунок 2 . 6 . 6 иллюстрирует нормальную моду для n = 2 .

Стоячая волна не обладает потоком энергии. Энергия колебаний, «запертая» в отрезке струны между двумя соседними узлами, не переносится в остальные части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период T ) преобразование кинетической энергии в потенциальную и обратно, подобно обычной колебательной системе. Однако, здесь имеется различие: если груз на пружине или маятник имеют единственную собственную частоту f 0 = ω 0 2 π , то струна характеризуется наличием бесконечного числа собственных (резонансных) частот f n . На рисунке 2 . 6 . 7 показано несколько вариантов стоячих волн в струне, зафиксированной на обоих концах.

Рисунок 2 . 6 . 7 . Первые пять нормальных мод колебаний струны, зафиксированной на обоих концах.

Согласно принципу суперпозиции стоячие волны различных видов (с разными значениями n ) способны одновременно присутствовать в колебаниях струны.

Рисунок 2 . 6 . 8 . Модель нормальных мод струны.