Уравнение бегущей волны распространяющейся в направлении оси

Напишите в СИ уравнение бегущей гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси X в вакууме. Напряженность

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,293
• гуманитарные 33,622
• юридические 17,900
• школьный раздел 607,176
• разное 16,830

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Механические волны

теория по физике 🧲 колебания и волны

Отдельные частицы любого тела — твердого, жидкого или газообразного — взаимодействуют друг с другом. Поэтому если какая-то частица начинает колебаться, то благодаря взаимодействию между частицами это движение с некоторой скоростью начинает распространяться во все стороны.

Волна — колебания, распространяющиеся в пространстве с течение времени.

В воздухе, твердых телах и внутри жидкостей механические волны возникают благодаря силам упругости. Эти силы осуществляют связь между отдельными частями тела. В образовании волн на поверхности воды играют роль сила тяжести и сила поверхностного натяжения. Такие волны позволяют наиболее наглядно рассмотреть главные особенности волнового движения.

Волна на поверхности воды представляет собой бегущие вперед валы округлой формы. Расстояние между валами, которые также называют гребнями, примерно одинаковы. Волны распространяются в среде с определенной скоростью. Так, если чайка летит вперед, а по ней в любой момент времени оказывается один и тот же гребень, то скорость распространения волны можно принять равной скорости полета чайки. Волны на воде наблюдать удобно потому, что скорость их распространения невелика.

Если бросить в воду легкий предмет, он не будет увлекаться волной, а начнет совершать колебания вверх и вниз, оставаясь примерно на одном месте, как поплавок. Это говорит о том, что частицы воды остаются на месте в то время, как волна распространяется на большие расстояния.

Если же резко толкнуть горизонтальную пружину, можно будет наблюдать, как в одних местах она разрежается, в других — уплотняется. Это тоже волна. Видно, что энергия, полученная от толчка руки, переносится через пружину, хотя ее частицы остаются на месте.

Примеры с поплавком на воде и горизонтальной пружиной позволяют сделать вывод, что волна переносит энергию, но не переносит вещество среды.

Виды механических волн

По характеру колебаний частиц среды относительно положения равновесия различают два вида волн:

Определения

1. Поперечная волна— волна, при которой частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения этой волны.
2. Продольная волна— волна, при которой частицы среды колеблются параллельно направлению распространения этой волны.

Волны, распространяющиеся вдоль резинового шнура, являются поперечными (см. рисунок ниже). Чтобы появилась волна, нужно взять конец шнура, прикрепленного к вертикальной опоре, и дернуть его. При этом волна побежит к вертикальной опоре, а сам шнур будет менять свою форму. Каждая частица шнура станет совершать колебания относительно своего неизмененного положения равновесия сверху вниз (перпендикулярно направлению распространения волны).

Рассмотрим поперечные волны подробнее. Каждый участок шнура обладает массой и упругостью. При деформации шнура в любом его сечении появляются силы упругости. Эти силы стремятся возвратить шнур в исходное положение. Благодаря инертности участок колеблющегося шнура не останавливается в положении равновесия, а проходит его, продолжая двигаться до тех пор, пока силы упругости не остановят этот участок в момент максимального отклонения от положения равновесия.

На рисунках а, б, в, г, д и е изображен процесс распространения поперечной волны. На них показаны положения частиц среды в последовательные моменты времени.

Теперь рассмотрим распространение в среде продольной волны. Такую волну можно наблюдать, собрав установку из цепочки массивных шариков, связанных пружинками. Шары подвешены так, чтобы они могли колебаться только вдоль цепочки (см. рисунок ниже).

Если первый шар привести в колебательное движение, то вдоль цепочки побежит продольная волна, состоящая из чередующихся уплотнений и разрежений шаров. Уплотнения и разрежения (см. рисунок ниже) появляются вследствие горизонтальных колебаний шаров у положения равновесия. Волна также распространяется горизонтально.

Физические характеристики волны

Обратимся к рисункам д, е еще раз. Видно, что когда частица 1 находится в положении равновесия и движется вверх, частица 13 тоже находится в положении равновесия и движется вверх. Спустя четверть период частица 1 будет максимально отклонена от положения равновесия, ровно, как и частица 13. Так как частицы 1 и 13 движутся одинаково, говорят, что колебания этих частиц происходят в одинаковых фазах. Расстояние между этими частицами называют длиной волны.

Внимание! В действительности частица 13 отстает по фазе от частицы 1 на 2π. Но поскольку такая разница фаз не приводит к различию в состояниях колеблющихся частиц, можно считать, что частицы колеблются в одинаковых фазах.

Длина волны — расстояние между двумя ближайшими точками волны, колеблющимися в одинаковых фазах.

Длина волны обозначается как λ (лямбда). Единица измерения длины волны — метр (м).

Согласно рисунку е, в одинаковых фазах колеблются частицы 1 и 13, 2 и 14, 3 и 15, 4 и 16. Поэтому расстояния между этими частицами равно длине волны. Но частицы 1 и 7, находящиеся на расстоянии λ 2 . . , колеблются в противоположных фазах. Посмотрите на рисунок д: когда 1 частица находится в положении равновесия и движется вверх, частица 7 находится в положении равновесия и движется низ. На рисунке е обе частицы максимально отклонены от положения равновесия, но в противоположных направлениях.

Волна распространяется на расстояние λ за время, равное периоду колебаний частиц вещества. Зная расстояние, на которое распространилась волна, и время, в течение которого это распространение происходило, можно найти скорость волны:

Но мы знаем, что период равен величине, обратной частоте колебаний:

Тогда скорость распространения волны равна:

Скорость волны равна произведению длины волны на частоту колебаний.

При распространении волны мы имеем дело с периодичностью двоякого рода:

1. Во-первых, каждая частица среды совершает периодические колебания во времени. В случае гармонических колебаний (эти колебания происходят по синусоидальному или косинусоидальному закону) частота постоянна и амплитуда одинакова во всех точках. Колебания отличаются только фазами.
2. Во-вторых, в данный момент времени форма волны повторяется в пространстве через отрезки длиной λ вдоль линии распространения волны. На рисунке ниже показан профиль волны в определенный момент времени (сплошная линия). С течением времени вся эта картина перемещается со скоростью v направо. Спустя промежуток времени ∆t волна будет иметь

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Пример №1. Определите скорость распространение волны на поверхности воды, если расстояние между ее гребнями равно 1 метру. Учитывайте, что мимо наблюдателя за 5 секунд прошло 10 волн.

Обычно под волной на воде люди понимают гребни — частицы воды, максимально отклоненные от положения равновесия. Расстояние между гребнями равно длине волны. Чтобы найти скорость распространения волны, нужно знать частоту колебания молекул воды. Ее можно вычислить по следующей формуле:

где n — количество «волн», прошедших мимо наблюдателя.

Тогда скорость волны равна:

v = λ ν = λ n t . . = 1 · 10 5 . . = 2 ( м с . . )

Уравнение бегущей волны

Бегущая волна — волна, распространяющаяся в пространстве.

Колебания гармонической волны в любой точке происходят по гармоническому закону с одной и той же амплитудой. Найдем уравнение, описывающее колебательный процесс в любой точке пространства при распространении гармонической волны.

Будем рассматривать волну, бегущую по длинному тонкому резиновому шнуру. Ось Ox направим вдоль шнура, а начало отсчета свяжем с левым концом шнура. Смещение любой колеблющейся точки шнура от положения равновесия обозначим буквой s. Для описания волнового процесса необходимо знать значение s в любой точке шнура в любой момент времени. Следовательно, нужно знать вид функции:

Заставим конец шнура (точка х = 0) совершать гармонические колебания с частотой ω. Если начальную фазу колебаний считать равной 0, то колебания этой точки будут происходить по закону:

s = s m a x s i n ω t

s m a x — амплитуда колебаний (рис. а).

Колебания распространяются вдоль шнура (оси Ox) со скоростью v и в произвольную точку шнура с координатой х придут спустя время, которое можно определить следующим выражением:

Эта точка также начнет совершать гармонические колебания с частотой ω, но с запаздыванием на время τ (рис. б). Если пренебречь затуханием волны по мере ее распространения, то колебания в точке х будут происходить с той же амплитудой s_max, но с другой фазой:

Уравнение бегущей волны

s = s m a x s i n [ ω ( t − τ ) ] = s m a x s i n [ ω ( t − x v . . ) ]

Это уравнение называется уравнением бегущей волны, распространяющейся в положительном направлении оси Ox.

Пример №2. Уравнение бегущей волны имеет вид s ( x , t ) = 0 , 1 sin . ( 2 π t − x π 2 . . ) . Найдите частоту волны, скорость её распространения и длину.

Запишем уравнение бегущей волны:

s = s m a x s i n [ ω ( t − τ ) ] = s m a x s i n [ ω ( t − x v . . ) ]

Сопоставляя эти два уравнения можно определить, что циклическая частота и скорость распространения соответственно равны:

ω = 2 π ( р а д с . . )

Циклическую частоту также можно рассчитать по формуле:

Тогда частота волны равна:

ν = ω 2 π . . = 2 π 2 π . . = 1 ( Г ц )

Тогда длина волны равна:

λ = v ν . . = 4 1 . . = 4 ( м )

На рисунке показан профиль бегущей волны в некоторый момент времени. Разность фаз колебаний точек 1 и 5 равна

Алгоритм решения

1. Определить характер движения указанных точек.
2. По характеру движения точек определить их разность фаз.

Решение

Точки 1 и 5 соответствуют максимальной амплитуде колебаний. В этот момент они меняют направление движения (до этого двигались вверх, теперь меняют направление в противоположную сторону). Поскольку точки 1 и 5 движутся одинаково, можно считать, что они колеблются в одинаковых фазах. Это возможно, если разность фаз кратна 2π.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Какова скорость звуковых волн в среде, если при частоте 400 Гц длина волны λ = 4 м?

Уравнение бегущей волны. Рассмотрим волну, «бегущую» по длинному тонкому резиновому шнуру

Рассмотрим волну, «бегущую» по длинному тонкому резиновому шнуру. Ось Х направим вдоль шнура, а начало отсчета возьмем в левом конце шнура (рис. 6.7).

Рис. 6.7

Будем обозначать смещение любой колеблющейся точки шнура от положения равновесия буквой s. Ясно, что величина s может быть как положительной, так и отрицательной.

Заставим конец шнура (точка х = 0) совершать гармонические колебания с циклической частотой w. Пусть эти колебания будут проходить по закону

Здесь s_m – амплитуда колебаний (рис. 6.8,а).

Автор: Для разнообразия: ведь между функциями у = sinx и y = = cosx разница очень небольшая: .

Но если мы возьмем уравнение s = s_msinwt, то это значит, что в начальный момент t = 0 смещение s было равно нулю: s = = s_msin0 = 0.

Если взять уравнение s = s_mcoswt, то это значит, что в начальный момент t = 0 смещение s было равно амплитуде: s = s_mcos0 = s_m, т.е. точка находилась в крайнем верхнем положении.

Колебания распространяются вдоль шнура со скоростью и и в точку с произвольной координатой х «придут» спустя время

. (6.4)

Эта точка также начнет совершать вынужденные гармонические колебания с частотой w, но с запаздыванием на время t (рис. 6.8,б). Если пренебречь затуханием, то колебания в точке х будут происходить с той же амплитудой s_m, но с другой фазой j = w(t – t):

s = s_msin[w(t – t)] = . (6.5)

Это и есть уравнение бегущей волны, распространяющейся в положительном направлении оси Х. Оно позволяет нам определить смещение s точки с любой координатой х в любой момент времени t.

В случае, когда начальная фаза колебаний в точке х = 0 равна не нулю, а произвольной величине j₀, уравнение бегущей волны запишется так:

.

Если взять, например, , получим:

,

так как .

Амплитуда колебаний s_m называется амплитудой волны. Величина, стоящая под знаком синуса, называется фазой волны. В общем случае фаза равна

. (6.6)

Подставляя в формулу (6.6) значения и , получим

Þ

. (6.7)

Если j₀ = 0, то получим следующую форму записи уравнения бегущей волны:

. (6.8)

Если в этой формуле заменить t на t + Т, получим

,

а если заменить х на х + l, получим

.

Иными словами, функция s(x,t) = обладает периодичностью по времени при фиксированном х:

и периодичностью по координате при фиксированном t:

Итак, мы выяснили, что в бегущей волне все точки (участки шнура) совершают вынужденные колебания с одним и тем же периодом, но с разными фазами.

Две точки с координатами х₁ и х₂ имеют в данный момент времени t разность фаз

(6.9)

Заметим, что если разность координат равна целому числу длин волн: х₂ – х₁ = lk, где k = 1, 2, 3…, то

,

следовательно, точки х₁ и х₂ колеблются синфазно: их смещения в любой момент времени равны, так как sinj = sin(j + 2pk). А если разность координат равна нечетному числу полуволн , где k = 0, 1, 2, …, то

.

Это значит, что смещения точек х₁ и х₂ одинаковы по величине и противоположны по знаку: х₁ = –х₂, потому что

sin(j + (2k + 1)p) = sin(j + p + 2pk) = sin(j + p) = –sinj.

Иными словами, если разность координат двух точек волны равна нечетному числу полуволн, то эти точки колеблются в противофазе. Например, на рис. 6.4 в противофазе колеблются шары 1 и 7, 2 и 8, 3 и 9.

Задача 6.2. В среде распространяется волна со скоростью и = =720 м/с при частоте источника n = 600 Гц. Определите разность фаз колебаний в двух точках, отстоящих друг от друга на расстояние Dх = 0,2 м. Все значения считать точными.

и = 720 м/с n = 600 Гц Dх = 0,2 м	Решение. Воспользуемся формулой (6.9) . (1) Вспомним формулу (6.2): и = ln Þ l = и/n.
j1 – j2 = ?

Подставим значение l в (1):

.

Ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: А5, В2–В4, С1, С2.