Уравнение бегущей звуковой волны имеет вид

Уравнение бегущей звуковой волны имеет вид

2018-05-31
Уравнение бегущей плоской звуковой волны имеет вид $\chi = 60 \cos (1800t — 5,3x)$, где $\chi$ в микрометрах, $t$ в секундах, $x$ в метрах. Найти:
а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны;
в) амплитуду колебаний относительной деформации среды и ее связь с амплитудой колебания скорости частиц среды.

$\xi = 60 \cos (1800 t 5 \cdot 3 x)$

$\xi = a \cos ( \omega t — kx)$, где $a = 60 \cdot 10^ <-6>м$
$\omega = 1800 $ в секунду и $k = 5,3$ на метр

и $k = \frac< \omega>$, поэтому $v = \frac< \omega> = 340 м/с$

Таким образом, амплитуда колебаний скорости

$\left ( \frac< \partial \xi> < \partial t>\right )_ $ или $v_ = a \omega = 0,11 м / с$ (1)

и искомое отношение амплитуды колебаний скорости к скорости распространения волны

(в) Относительная деформация $= \frac< \partial \xi> < \partial x>= ak \sin ( \omega t — kx) $

Таким образом, относительная амплитуда деформации

$= \left ( \frac< \partial \xi > < \partial x>\right )_ = ak = (60 \cdot 10^ <-6>\cdot 5,3) м = 3,2 \cdot 10^ <-4>м$ (2)

Волновое движение в физике — формулы и определение с примерами

Содержание:

Волновое движение:

Процесс распространения колебаний в упругой среде называют механической волной. Для механических волн нужна среда, обладающая способностью запасать кинетическую и потенциальную энергию, она должна обладать инертными и упругими свойствами.

Различают поперечные и продольные волны. Продольные волны могут распространяться в любых средах: твердых, жидких и газообразных; поперечные – только в твердых средах.

Как в поперечных, так и в продольных волнах переноса вещества в направлении распространения волны не происходит. Волны переносят энергию колебаний.

Изучив страницу, вы сможете:

• исследовать образование стоячих звуковых волн в воздухе;
• объяснять механизм образования стоячих волн, определять узлы и пучности, используя графический метод;
• исследовать интерференцию от двух источников на поверхности воды;
• объяснять принцип Гюйгенса и условия наблюдения дифракционной картины механических волн.

Уравнение бегущей волны

Колебательное движение тела в упругой среде является источником механической волны.

Волну, переносящую энергию, называют бегущей волной.

В однородной среде скорость распространения волны остается величиной постоянной. Смещение y (x, t) от положения равновесия частиц среды при распространении волны зависит от координаты x на оси 0х, вдоль которой распространяется волна, и от времени t по закону:

где

Введем волновое число тогда уравнение бегущей волны примет вид

Смещение точек упругой среды в волне, бегущей в противоположном направлении выбранной оси 0х, можно определить по формуле:

Вспомните! Основные характеристики волн. Волны, созданные источником, совершающим гармонические колебания, характеризуются амплитудой колебания частиц среды A, частотой длиной волны и скоростью распространения

Длиной волны называют расстояние между двумя соседними точками на оси 0х, колеблющимися в одинаковых фазах. Расстояние, равное длине волны , волна пробегает за период Т, следовательно, В однородных средах скорость распространения волны величина постоянная.

Физический смысл волнового числа

Запишем формулу (2), выразив циклическую частоту через период с учетом определения длины волны получим:

Бегущая волна обладает двойной периодичностью – во времени и в пространстве. Временной период равен периоду колебаний T частиц среды, пространственный период равен длине волны Волновое число является пространственным аналогом циклической частоты

Фронт волны и волновая поверхность

Волна за время, равное периоду колебаний, достигает точек пространства, расположенных от источника на расстоянии длины волны. Совокупность этих точек представляет собой фронт волны, который отделяет колеблющиеся точки среды от точек, не вовлеченных в колебательное движение. Фронт волны от точечного источника представляет собой сферу, от плоской пластины – плоскость, от струны – форму цилиндра (рис. 79–81).

Фронт волны – это геометрическое место точек пространства, до которых дошли колебания в данный момент времени t.

Направление распространения волны указывает луч, который перпендикулярен фронту волны.

В волне можно рассмотреть множество поверхностей, все точки которых совершают колебания синфазно, их называют волновыми поверхностями. При множестве волновых поверхностей, фронт волны только один.

Геометрическое место точек пространства, которые совершают колебания в одинаковой фазе в данный момент времени, называют волновой поверхностью.

Стоячие волны

Уравнение стоячей волны При отражении от более плотной среды волна, изменив свое направление на обратное, меняет фазу на то есть на противоположную. В результате сложения падающей и отраженной волн образуется стоячая волна. Она имеет вид, представленный на рисунке 83. В стоячей волне существуют неподвижные точки, которые называются узлами. Посередине между узлами находятся точки, которые колеблются с максимальной амплитудой. Эти точки называются пучностями.

Получим уравнение стоячей волны путем сложения уравнений бегущих волн:

Заменив волновое число его значением запишем уравнение стоячей волны в виде:

Координаты точек пучностей и узлов определяются из условий наибольшего и наименьшего значений амплитуды. При образуется пучность с амплитудой равной 2 А (рис. 84). Расстояния от источника стоячей волны до пучностей равны:

При образуются узлы, амплитуда колебаний в этой точке равна 0. Расстояния от источника волны до узлов равны:

Расстояния между двумя соседними пучностями или двумя соседними узлами равны:

В стоячей волне нет потока энергии. Колебательная энергия, заключенная в отрезке струны между двумя соседними узлами, не переносится в другие части струны. В каждом таком отрезке происходит дважды за период превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно как в обычной колебательной системе. Отсутствие переноса энергии является отличительной особенностью стоячей волны.

Пример:

Уравнение бегущей волны, изображенной на рисунке (рис. 85): . Уравнение отраженной волны:

А. Получите уравнение стоячей волны как сумму падающей и отраженной волн.

В. Полученное выражение запишите, заменив волновое число и циклическую частоту через длину волны и период.

С. Определите положение узлов и пучностей.

Дано:

Решение: А. Уравнение стоячей волны определятся сложением уравнений бегущих волн:

В.

С. При образуется пучность с амплитудой 2А. Расстояние от источника до пучностей

С. Расстояние от узлов определим из условия тогда

Ответ:

Интерференция волн

Если в некоторой среде несколько источников возбуждают механические волны, то они распространяются независимо друг от друга. Все точки среды принимают участие в колебаниях, вызванных каждой волной в отдельности. Наложение волн, в результате которой появляется устойчивая картина чередующихся максимумов и минимумов колебаний частиц среды, называют интерференцией.

Интерферировать могут только волны, имеющие одинаковую частоту и постоянный сдвиг фаз. Такие волны называют когерентными, их создают источники, колеблющиеся с одинаковой частотой и постоянным значением сдвига фаз.

Интерференция волн – взаимное увеличение или уменьшение результирующей амплитуды двух или нескольких когерентных волн при их наложении друг на друга.

Интерференция бывает стационарной и нестационарной. Стационарную интерференционную картину могут давать только когерентные волны: например, две сферические волны на поверхности воды, распространяющиеся от двух когерентных точечных источников (рис. 87).

Запомните! Волны называют когерентными, если их источники совершают колебания одной частоты с постоянным сдвигом фаз.

Условие максимума и минимума при интерференции двух волн

Амплитуда колебаний при наложении волн определяется в соответствии с принципом суперпозиции (рис. 88). Если в некоторой точке среды накладываются гребни когерентных волн, то происходит усиление колебаний, амплитуда принимает значение, равное сумме амплитуд. Если накладывается гребень одной волны с впадиной другой волны, то при равенстве амплитуд отдельно взятых волн данная точка пространства не совершает колебания. Если амплитуды отличаются, то колебания в этой точке совершаются с амплитудой равной разности амплитуд распространяющихся волн.

Для определения результата интерференции волн, распространяющихся от двух источников А и В, находящихся на расстоянии от точки С, достаточно определить разность хода волн и сравнить с длиной волны. Если разность хода равна целому числу длин волн, то в точке С произойдет наложение гребней или впадин, амплитуда колебаний возрастет (рис. 89). Выполняется условие максимума:

где − разность хода волн, – натуральное число, равное 0, 1, 2, 3 … Разность хода лучей соответствует разности фаз колебаний:

так как волна за период пробегает расстояние равное длине волны периоду Т соответствует фаза

Минимум колебаний в рассматриваемой точке среды наблюдается в том случае, если от двух когерентных источников распространяются волны со сдвигом фаз, равным нечетному числу p, а разность хода лучей кратна нечетному числу полуволн. В этом случае колебания происходят в противофазе (рис. 90).

Возьмите на заметку:

Интерференция волн приводит к перераспределению энергии колебаний между частицами среды. Это не противоречит закону сохранения энергии, так как в среднем, для большой области пространства, энергия результирующей волны равна сумме энергий интерферирующих волн.

Распространение волн. Принцип Гюйгенса – Френеля

На основе принципа Х. Гюйгенса: каждая точка среды, до которой дошло возмущение, является источником вторичных волн, невозможно объяснить, почему источники вторичных волн создают фронт только по направлению распространения волны. Для объяснения явлений распространения волны французский физик О. Френель в 1815 г. дополнил принцип Х. Гюйгенса представлениями о когерентности и интерференции вторичных волн. При наложении вторичных когерентных волн происходит интерференция, в результате которой амплитуда колебаний в различных точках пространства становится разной: по направлению распространения волны усиливается, в обратном направлении – уменьшается. Огибающая фронты вторичных волн является фронтом результирующей волны (рис. 92).

Дифракция механических волн

Вторичные волны, созданные точками среды, которые находятся на краю отверстия или препятствия, искривляются и волна огибает препятствие (рис. 93 а–г).

Дифракция – это явление огибания волнами препятствий.

Все волны способны огибать препятствия, если длина волны соизмерима с размерами препятствия. Дифракция становится заметной, если размеры препятствия меньше длины волны.

Физика в нашей жизни:

Струнные музыкальные инструменты

Интересно знать! Адырна (рис. 96 а) – один из древнейших казахских струнных инструментов. В его форме отобразилась воинственность кочевников-казахов: он напоминает изогнутый лук воина. Деревянный корпус инструмента легкий, так как он пустотелый. Струны изготавливают из кусков специально выделанной кожи или сплетенных из верблюжьей шерсти нитей. Музыкант играет, перебирая струны. Их в инструменте 13. Жетыген (рис. 96 б) – семиструнный музыкальный инструмент. Он имеет прямоугольную форму, изготовлен из дерева, струны – из конского волоса. Легенда о жетыгене раскрывает причину использования именно семи струн. Старик, потерявший семерых сыновей, вылил свое горе, исполняя кюи о них. Вспоминая каждого из сыновей, он натягивал новую струну на музыкальном инструменте.

Условие возникновения стоячей волны в струне

Стоячая волна в струне возникает только в том случае, если длина струны равняется целому числу длин полуволн:

Набору значений длин волн соответствует набор возможных частот Каждая из частот и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой. Наименьшая частота называется основной частотой, все остальные частоты называются гармониками.

В отличие от груза на пружине или маятника, у которых имеется единственная собственная частота, струна обладает бесконечным числом собственных резонансных частот. На рисунке 96 в изображены несколько типов стоячих волн в струне. Стоячие волны различных типов могут одновременно присутствовать в колебаниях струны.

Визуализация звуковых волн

Существует несколько способов демонстрации стоячей волны, один из них – фигуры Хладни (рис. 97). Немецкий физик Эрнст Хладни получал узор, посыпая пластинку песком и проводя по краю смычком. Движения смычка заставляли пластинку колебаться на некоторой резонансной частоте. Песок скапливался и лежал неподвижно в узлах, а на участках, где отраженная волна усиливала бегущую, песок смещался.

Интересно знать! В Шотландии есть рослинская капелла св. Матвея, на одной из арок которой есть 213 резных каменных кубов, с вырезанным на них геометрическим рисунком. Многие исследователи пытались понять, что зашифровано в рисунках на кубах. Отставной генерал ВВС Томас Митчел со своим сыном, пианистом Стюартом Митчелом предложили оригинальный способ расшифровки послания. Они сопоставили геометрические рисунки с фигурами Хладни и пришли к выводу, что на кубах записаны ноты. Собрав ноты воедино и творчески обработав их, они представили миру произведение «Рослинский Мотет».

Итоги:

Глоссарий

Волновая поверхность – геометрическое место точек, имеющих одинаковую фазу колебаний.

Дифракция – явление огибания волнами препятствий.

Интерференция волн – взаимное увеличение или уменьшение результирующей амплитуды двух или нескольких когерентных волн при их наложении друг на друга.

Когерентные волны – волны, имеющие одинаковую частоту и постоянный сдвиг фаз.

Механическая волна – процесс распространения колебаний в упругой среде.

Фронт волны – геометрическое место точек пространства, до которых дошли колебания в данный момент времени t.

Распространение колебаний в упругих средах. Продольные и поперечные волны

Опыт показывает, что колебания, возбужденные в какой-либо точке упругой среды, с течением времени передаются в ее другие точки. В качестве примера достаточно вспомнить, что измерение пульса осуществляется на запястье, хотя сердце расположено внутри грудной клетки. Такие явления связаны с распространением механических волн.

Механической волной называется процесс распространения колебаний в упругой среде, который сопровождается передачей энергии от одной точки среды к другой.

Механические волны не могут распространяться в вакууме.
Источником механических волн является колеблющееся тело. Если источник колеблется синусоидально, то и волна в упругой среде будет иметь форму синусоиды. Колебания, вызванные в каком-либо месте упругой среды, распространяются в ней с определенной скоростью, зависящей от плотности и упругих свойств среды.

Подчеркнем, что при распространении волны отсутствует перенос вещества, т. е. частицы колеблются вблизи положений равновесия. Среднее смещение частиц за большой промежуток времени равно нулю.
Рассмотрим основные характеристики волны.

Волновой фронт — это воображаемая поверхность, до которой дошло волновое возмущение в данный момент времени.

Линия, проведенная перпендикулярно волновому фронту в направлении распространения волны, называется лучом. Луч указывает направление распространения волны.

Основными характеристиками волны являются (рис. 208):

• амплитуда (A) — модуль максимального смещения точек среды из положений равновесия при колебаниях;
• период (T) — время полного колебания (период колебаний точек среды равен периоду колебаний источника волны);
• частота— число полных колебаний в данной точке в единицу времени. Частота волн определяется частотой источника;
• скорость— скорость перемещения гребня волны (это не скорость частиц!):
• длина волны— наименьшее расстояние между двумя точками, колебания в которых происходят в одинаковой фазе, т. е. это расстояние, на которое волна распространяется за промежуток времени, равный периоду колебаний источника

Рассмотрим колебания источника волны, происходящие с циклической частотой и амплитудой А:

где x(t) — смещение источника от положения равновесия.

В некоторую точку среды колебания придут не мгновенно, а через промежуток времени, определяемый скоростью волны и расстоянием от источника до точки наблюдения. Если скорость волны в данной среде равна v, то зависимость от времени t координаты (смещения) х колеблющейся точки, находящейся на расстоянии r от источника, описывается функцией

где k — волновое число фаза волны.

Выражение х(t, r) называется уравнением плоской волны, распространяющейся (бегущей) вдоль направления радиус-вектора

Бегущую волну можно наблюдать, проведя следующий опыт: если один конец резинового шнура, лежащего на гладком горизонтальном столе, закрепить и, слегка натянув шнур рукой, привести его второй конец в колебательное движение в направлении, перпендикулярном шнуру, то по нему побежит волна, описываемая уравнением плоской волны.

Рассмотрим классификацию бегущих волн по направлению колебаний частиц среды, в которой они распространяются.

Волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят вдоль направления распространения волн. Продольную волну легко получить с помощью длинной пружины, которая лежит на гладкой горизонтальной поверхности и один конец ее закреплен. Легким ударом по свободному концу В пружины мы вызовем появление волны (рис. 209).

При этом каждый виток пружины будет колебаться вдоль направления распространения волны ВС. Примерами продольных волн являются звуковые волны в воздухе и жидкости.

Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. С помощью длинной пружины можно продемонстрировать распространение поперечных волн, если совершать колебания незакрепленного конца перпендикулярно пружине (рис. 210).

Поперечные волны вызывают звучание струн музыкальных инструментов при их возбуждении.

Продольные колебания симметричны относительно линии распространения ВС, и их действие на любой регистрирующий прибор не изменяется, если прибор будет поворачиваться вокруг направления распространения.

Действие поперечных волн на регистрирующий прибор зависит от того, в какой плоскости, проходящей через линию распространения, происходит колебание. Эта особенность поперечных волн носит название поляризации. Если колебания происходят в одной плоскости, то волну называют плоско или линейно поляризованной. Если конец вектора колебаний, например вектора смещения, скорости, напряженности электрического поля, описывает эллипс или окружность, то волну называют эллиптически или циркулярно-поляризованной.

До сих пор мы рассматривали волны, распространяющиеся в какой-либо среде. Волны, которые распространяются на границе раздела двух сред, называются поверхностными волнами. Примером данного типа волн служат волны на поверхности воды.

Звуковые волны. Скорость звука. Ультразвук

Звуком называются колебания среды, воспринимаемые органами слуха.
Раздел физики, в котором изучаются звуковые явления, называется акустикой.

Звуковая волна — упругая продольная волна, представляющая собой зоны сжатия и разрежения упругой среды (например, воздуха), распространяющиеся в пространстве с течением времени. Таким образом, в процессе распространения звуковой волны меняются такие характеристики среды, как давление и плотность.

Звуковые волны классифицируются по частоте следующим образом:

• инфразвук
• слышимый человеком звук
• ультразвук
• гиперзвук

Многие животные могут воспринимать ультразвуковые частоты. Например, собаки могут слышать звуки до 50 000 Гц, а летучие мыши — до 100 000 Гц. Инфразвук, распространяясь в воде на сотни километров, помогает китам и многим другим морским животным ориентироваться в толще воды.
Звуковые волны приносят человеку жизненно важную информацию — с их помощью мы общаемся, наслаждаемся мелодиями, узнаем по голосу знакомых людей. Мир окружающих нас звуков разнообразен и сложен, однако мы достаточно легко ориентируемся в нем и безошибочно можем отличить пение птиц от шума городской улицы.

Одной из важнейших характеристик звуковых волн является спектр. Спектром называется набор различных частот, образующих данный звуковой сигнал. Спектр может быть сплошным или дискретным.

В сплошном спектре присутствуют волны, частоты которых заполняют весь заданный спектральный диапазон.
В

дискретном спектре — конечное число волн с определенными частотами и амплитудами, которые образуют рассматриваемый сигнал.

По типу спектра звуки разделяются на шумы и музыкальные тона.

Шум — совокупность множества разнообразных кратковременных звуков (хруст, шелест, шорох, стук и т.п.) — представляет собой наложение большого числа колебаний с близкими амплитудами, но различными частотами (имеет сплошной спектр).

Музыкальный тон создается периодическими колебаниями звучащего тела (камертон, струна) и представляет собой гармоническое колебание одной частоты. На основе музыкальных тонов создана музыкальная азбука — ноты (до, ре, ми, фа, соль, ля, си), которые позволяют воспроизводить одну и ту же мелодию па различных музыкальных инструментах.

Музыкальный звук (созвучие) — результат наложения нескольких одновременно звучащих музыкальных тонов, из которых можно выделить

основной тон, соответствующий наименьшей частоте. Основной тон называется также первой гармоникой. Все остальные тоны называются обертонами. Обертоны называются гармоническими, если частоты обертонов кратны частоте основного тона. Таким образом, музыкальный звук имеет дискретный спектр.

Любой звук, помимо частоты, характеризуется интенсивностью.

Интенсивность I — это энергия переносимая волной в единицу времени = 1 с через единичную площадку площадью расположенную перпендикулярно к направлению распространения волны:

Другими словами, интенсивность любой волны — мощность, переносимая волной через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению распространения волны.

Единицей интенсивности в СИ является ватт на метр в квадрате
Чтобы вызвать звуковые ощущения, волна должна обладать некоторой минимальной интенсивностью, называемой порогом слышимости.

С возрастом порог слышимости человека возрастает.

Интенсивность звуковых волн, при которой возникает ощущение боли, называют порогом болевого ощущения или болевым порогом. Интенсивность звука, улавливаемого ухом человека, лежит в широких пределах: от (порог слышимости) до (порог болевого ощущения). Человек может слышать и более интенсивные звуки, но при этом он будет испытывать боль.

Реактивный самолет может создать звук интенсивностью мощные усилители на концерте в закрытом помещении — до поезд метро — около

Уровни интенсивности звука L определяют обычно, используя шкалу, единицей которой является бел (Б) или, что гораздо чаще, децибел (дБ) (одна десятая бела). 1 Б самый слабый звук, который воспринимает наше ухо. Единица названа в честь изобретателя телефона А. Г. Белла. Измерение уровня интенсивности в децибелах проще, поэтому принято в физике и технике.

Уровень интенсивности L любого звука в децибелах вычисляется через интенсивность звука по формуле

где I — интенсивность данного звука, — интенсивность соответствующая минимально возможной интенсивности звука, улавливаемого ухом человека.

Так, поезд метро создает уровень интенсивности звука 100 дБ, мощные усилители — 120 дБ, а реактивный самолет — 150 дБ. Тем, кто при работе подвергается воздействию шума свыше 100 дБ, следует пользоваться наушниками.

Физическим характеристикам звука соответствуют определенные (субъективные) характеристики, связанные с восприятием его конкретным человеком. Это связано с тем, что восприятие звука — процесс не только

физический, но и физиологический. Действительно, человеческое ухо воспринимает звуковые колебания определенных частот и интенсивностей (это объективные, не зависящие от человека характеристики звука) по-разному, в зависимости от «характеристик приемника» (здесь влияют субъективные индивидуальные черты каждого человека).

Основными физиологическими характеристиками звука являются громкость, высота и тембр.

Громкость (степень слышимости звука) определяется как интенсивностью звука (амплитудой колебаний в звуковой волне), так и различной чувствительностью человеческого уха на разных частотах, т. е. его способностью улавливать звуки различных частот. Наибольшей чувствительностью человеческое ухо обладает в диапазоне частот от 1000 Гц до

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Уравнение бегущей звуковой волны имеет вид

4.1. Механические колебания.

4.2. Электрические колебания.
4.3. Упругие волны. Акустика.
4.4. Электромагнитные волны. Излучение.
_______________________________________________________________________________________________

4.1. Механические колебания.

4.1.1. Гармонические колебания.

4.1. 1 -1. Частица совершает гармоническое колебание с амплитудой А и периодом Т = 12 с. Найти время t ₁ , за которое смещение частицы изменяется от 0 до А/2.

Решение:
Т = 12 с
х(0) = 0
х( t ₁) = А/2 (1)
t ₁ – ?
Так как начальное положение частицы х(0) = 0, то частица колеблется по закону синуса с начальной фазой ϕ ₀ = 0:
x = Asin ( ωt + ϕ ₀) или
x = Asinωt , (2)
где ω = 2 π / T – круговая частота.
С учётом условия (1), запишем (2) в виде:
х( t ₁) = Asin ( ωt ₁); А/2 = Asin ( (2 π / T ) t ₁ ); 1/2 = sin (2 πt ₁/ T ); 2 πt ₁/ T = π /6. Отсюда
t ₁ = T /12.
t₁ = 12/12 = 1 с.
Ответ: t₁ = T/12 = 1 c.

4.1.1-2. Определить период Т простых гармонических колебаний диска радиусом R = 40 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.

где − I момент инерции диска относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса А (см. рис.); x = AO = R − расстояние от точки подвеса до центра тяжести О диска; m − масса диска; g = 9,8 м/с² − ускорение свободного падения.
Момент инерции I ₀ диска относительно оси симметрии диска:
I ₀ = mR ²/2.
По теореме Штейнера:
I = I₀ + mR². Имеем
I = mR²/2 + mR² = 3mR²/2. Тогда по (1)

Решение:
r ( t ) = A ( icosωt + jsinωt ) (1)
A = 0,5 м
ω = 5 с⁻¹
v − ?
a_n − ?
Представим (1) в виде:
r ( t ) = iAcosωt + jAsinωt (1*)
Радиус вектор r ( t ) точки: r ( t ) = ix + jy , где x , y − проекции радиус вектора соответственно на оси OX и OY ; i , j − единичные векторы (орты), направленные соответственно по оси OX и OY . Тогда (1*) примет вид
ix + jy = iAcosωt + jAsinωt ,
отсюда получим два уравнения
x = Acosωt , (*)
y = Asinωt . (**)
Возведём их в квадрат
x ² = A ² cos ² ωt ,
y ² = A ² sin ² ωt .
Сложим эти уравнения
x ² + y ² = A ² cos ² ωt + A ² sin ² ωt или x ² + y ² = A ²( cos ² ωt + sin ² ωt ). Отсюда, т.к. cos ² ωt + sin ² ωt = 1, получим уравнение траектории движения точки
x ² + y ² = A ². (2)
Уравнение (2) − это уравнение окружности радиусом R = A = 0,5 м с центром в начале координат (см. рис.).
Найдём проекции скорости v _x и v_y . Для этого продифференцируем x и y из (*) и (**) по времени t :
v_x = x_t ʹ = ( Acosωt ) _t ʹ = — Aωsinωt ;
v_y = y_t ʹ = ( Asinωt ) _t ʹ = Aωcosωt .
Тогда квадрат скорости
v ² = v_x ² + v_y ² или v ² = (- Aωsinωt )² + ( Aωcosωt )² или v ² = A ² ω ²( sin ² ωt + cos ² ωt ) или v ² = A ² ω ². Отсюда модуль скорости v :
v = Aω . (3)
v = 0,5·5 = 2,5 м/с².
Модуль нормального ускорения a_n : a_n = v ²/ R или, с учётом (3) и R = A , получим a_n = A ² ω ²/ A или
a_n = Aω ².
a_n = 0,5·5² = 12,5 м/с².
Ответ: траектория − окружность радиусом R = A = 0,5 м с центром в начале координат, v = Aω = 2,5 м/с², a_n = Aω ² = 12,5 м/с².

_______________________________________________________________________________________________

4.1.2. Свободные затухающие колебания.

4.1.2-1. Амплитуда затухающих колебаний уменьшилась в n = 100 за 15 с. Чему равен коэффициент затухания β ?

Решение:
t = 15 c
n = 100
A = A ₀/ n (*)
β – ?
Зависимость амплитуды А затухающих колебаний от времени t :
A = A ₀ e — β t , (1)
где A ₀ – начальная амплитуда; β – коэффициент затухания.
Имеем из (1) и (*):
A ₀/ n = A ₀ e — β t ; 1/ n = e — β t ; e β t = n ; βt = ln ( n ) отсюда
β = ln ( n )/ t .
β = ln(100)/15 = 0,307 1/c.
Ответ: β = ln(n)/t = 0,307 1/c.

4.1.2-2. Найти логарифмический декремент затухания тонкого стержня, подвешенного за один из его концов, если за промежуток времени t = 5 мин его полная механическая энергия уменьшилась в n = 4 · 10 ² раз. Длина стержня L = 50 см.

Решение:
t = 5 мин = 300 с
n = 400
L = 0,5 м
λ − ?
В данном случае стержень − это физический маятник.
Логарифмический декремент затухания λ
λ = βT , (1)
где β – коэффициент затухания, T − период колебаний стержня.

1. Найдём коэффициент затухания β .
Связь частот ω и ω₀:
ω² = ω₀² — β². (2)
ω – частота затухающих колебаний; ω ₀ – собственная частота колебаний.
Зависимость от времени t полной механической энергии Е физического маятника:
Е = E ₀ e -2 βt ,
где E ₀ – начальная (при t = 0) полная механическая энергия.
Отсюда имеем
n = Е ₀/ Е = Е ₀/( E ₀ e -2 βt ) = 1 /( e -2 βt ) = e 2 βt .
Получили n = e 2 βt . Прологарифмируем это равенство Ln ( n ) = 2 βt . Отсюда
β = Ln ( n )/(2 t ). (3)

2. Найдём период Т затухающих колебаний.
Оценим коэффициент β 2 по (3).
β = Ln (400)/(2 · 300) = 0,009986, отсюда
β ² = (0,009986)² ≈ 0,0000997.
Собственная частота колебаний физического маятника:

Подставим в (1) найденные β из (3) и Т из (4**) и, после упрощения, получим

4.1.2-3. Логарифмический декремент затухания тела, колеблющегося с частотой 50 Гц, равен 0,02. Определите: время, за которое амплитуда колебаний тела уменьшится в 20 раз; число колебаний тела, чтобы произошло подобное уменьшение амплитуды.

Решение:
ν = 50 Гц
λ = 0,02
n = 20
t − ?
N − ?
1. Пусть β – коэффициент затухания; T = 1/ ν – период, ν – частота колебаний. Логарифмический декремент затухания λ :
λ = βT или λ = β / ν , отсюда
β = λν . (1)
Амплитуда А затухающих колебаний
A = A ₀· e — βt ,
где A ₀ − начальная амплитуда (при t = 0).
Подставим сюда из условия задачи A = A ₀/ n :
A ₀/ n = A ₀· e — βt ,
отсюда e βt = n и, после логарифмирования, βt = Ln ( n ), отсюда
t = ( Ln ( n ) )/ β и, с учётом (1),
t = ( Ln ( n ) )/( λν ). (2)

2. Число колебаний N за время t :
N = t / T = tν = ( и, с учётом (2), ) = ν ( Ln ( n ) )/( λν ) или
N = ( Ln ( n ) )/ λ . (3)

3. Вычисления по формулам (2) и (3):
t = ( Ln (20) )/(0,02·50) ≈ 3 с.
N = ( Ln (20) )/0,02 ≈ 150.
Ответ: t = ( Ln ( n ) )/( λν ) ≈ 3 с; N = ( Ln ( n ) )/ λ ≈ 150.

4.1.2-4. Составьте дифференциальное уравнение гармонических свободных затухающих крутильных колебаний механической системы.

Решение:
Пусть система (например, тонкий однородный диск, подвешенный в горизонтальном положении к упругой нити) совершает крутильные колебания относительно закреплённой оси Z (ось нити). Пусть на диск действует упругая сила, проекция момента которой на ось Z равна
Mz = — kϕ , (1)
где k − постоянная, ϕ − угол поворота из положения равновесия. Знак “минус” указывает на то, что при отклонении системы на угол ϕ , момент упругой силы возвращает систему к положению равновесия. Поместим диск в вязкую среду ( например, жидкость ). Момент силы сопротивления Mc , действующий на диск, пропорционален угловой скорости ϕ ʹ:
M c = — ηϕ ʹ, (2)
где η − постоянная.
Уравнение динамики вращательного движения диска имеет вид
Iϕ ʹʹ = Mz + M c , (3)
где I – момент инерции диска относительно оси вращения.
С учётом (1) и (2), уравнение (3) примет вид Iϕ ʹʹ = — kϕ — ηϕ ʹ, отсюда
ϕ ʹʹ + ( η / I ) ϕ ʹ + ( k / I ) ϕ = 0.
Применив обозначения 2 β = η / I , ω ₀² = k / I , перепишем последнее уравнение:
ϕ ʹʹ + 2 βϕ ʹ + ω ₀² ϕ = 0.
Это дифференциальное уравнение описывает затухающие крутильные колебания механической системы.
Ответ: ϕ ʹʹ + 2 βϕ ʹ + ω ₀² ϕ = 0.

4.1.2-5. Найти добротность Q осциллятора, у которого отношение резонансной частоты ω_рез к частоте затухающих колебаний ω равно η.

Решение:
ω_рез/ω = η (*)
Q − ?
Пусть β − коэффициент затухания, ω₀ − собственная частота колебаний, T = 2π/ω − период затухающих колебаний, λ = βT = 2πβ/ω − логарифмический декремент затухания. Тогда добротность Q:
Q = π/λ = π/(2πβ/ω), или
Q = ω/(2β). (1)
Связь частот ω и ω₀:
ω² = ω₀² — β². (2)
Формула для резонансной частоты ω_рез:
ω_рез² = ω₀² — 2β². (3)
Из (2) вычтем (3)
ω² — ω_рез² = (ω₀² — β²) — (ω₀² — 2β²), или
ω² — ω_рез² = ω₀² — β² — ω₀² + 2β², или
ω² — ω_рез² = β². (**)
С учётом условия (*) имеем ω_рез = ωη. Тогда (**) примет вид
ω² — ω²η² = β², или
ω²(1 — η²) = β², отсюда

___________________________________________________________________________________

4.1.3. Вынужденные колебания. Резонанс.

4.1.3-1. Осциллятор массы m движется по закону x = Asinωt под действием вынуждающей силы Fₓ = F₀cosωt. Найти коэффициент затухания β осциллятора.

Решение:
m,
x = Asinωt,
Fₓ = F₀cosωt,
β − ?
Установившееся смещение х(t) осциллятора при вынужденных колебаниях:
x = Acos(ωt — ϕ), (1)

ω₀ − собственная частота колебаний осциллятора,
f₀ = F₀/m. (*)
Так как по условию смещение х(t) осциллятора x = Asinωt, то из (1) следует: ϕ = π/2
(т. к. cos(ωt — π/2) = sinωt). Тогда из (3) имеем:

где f₀ = F ₀/ m , m − масса осциллятора , β − коэффициент затухания, ω₀ − собственная частота колебаний, ω − частота вынужденных колебаний.
При постоянной амплитуде вынуждающей силы F ₀ (и, следовательно, постоянной f ₀) из (*) при двух разных частотах ω₁ и ω₂ получаем две амплитуды А₁ и А₂ вынужденных колебаний:

4.2. Электрические колебания.

4.2-1. Небольшая магнитная стрелка совершает малые колебания вокруг оси, перпендикулярной направлению внешнего магнитного поля. При изменении индукции этого поля период колебаний стрелки уменьшился в η = 5 раз. Во сколько раз и как изменилась индукция поля? Затухание колебаний пренебрежимо мало.

Решение:
T ₁/ T ₂ = η = 5
B ₂/ B ₁ − ?
Момент сил М, действующий на стрелку со стороны магнитного поля
М = [ B · P m ], где P m − вектор магнитного момента стрелки.
Модуль момента сил
М = B · P m · sinϕ , где ϕ – угол между векторами B и P m .
При малых колебаниях угол ϕ очень мал и sinϕ ≈ ϕ . Тогда
М = B · P m · ϕ .
При повороте стрелки на угол ϕ возникает момент сил М , стремящийся вернуть стрелку в положение равновесия, т.е. М = — B · P m · ϕ . Если J – момент инерции стрелки относительно оси вращения, то основное уравнение динамики вращательного движения примет вид
Jϕ ’’ = M или Jϕ ’’ = — B · P m · ϕ отсюда
ϕ ’’ + ( B · P m / J ) · ϕ = 0. (1)
Если ω – циклическая частота колебаний, то сравнивая (1) с уравнением гармонических колебаний
ϕ ’’ + ω ² ϕ = 0, получим
ω ² = B · P m / J , отсюда
ω = √( B · P m / J ).
Тогда период T колебаний
T = 2 π / ω или
T = 2 π √( J /( B · P m ) ). (2)
На основе (2) для разных B ₁ и B ₂ получим соответствующие T ₁ и T ₂
T ₁ = 2 π √( J /( B ₁ · P m ) )
T ₂ = 2 π √( J /( B ₂ · P m ) ).
Отсюда
T ₁/ T ₂ = √( B ₂/ B ₁) и отсюда
B ₂/ B ₁ = ( T ₁/ T ₂)² = η ² = 25. Итак
B ₂/ B ₁ = η ² = 25.
Ответ: индукция магнитного поля увеличится в η ² = 25 раз.

4.2-2. Индуктивность катушки равна 0,125 Гн. Уравнение колебаний силы ток в ней имеет вид:
i = 0,4 cos (1000 t ), где все величины выражены в системе СИ. Определить амплитуду напряжения на катушке.

Решение:
L = 0,125 Гн
i = 0,4 cos (1000 t ). (1)
U_m − ?
Уравнение колебаний силы тока в катушке имеет вид:
i = I_mcos ( ωt ). (2)
Из (1) и (2) имеем
I_m = 0,4 А − амплитуда силы тока в катушке; ω = 1000 с⁻¹− частота.
Индуктивное сопротивление катушки: X L = ωL .
По закону Ома
I_m = U_m / X L , отсюда
U_m = X L · I_m или
U_m = ωL · I_m .
U_m = 1000·0,125·0,4 = 50 В.
Ответ: U_m = 50 В.

4.2-3. Электрический колебательный контур состоял из последовательно соединенных катушки с индуктивностью L = 0,8 Гн и конденсатора емкостью С. Сопротивление катушки и соединительных проводов было равно R = 2000 Ом. После того, как часть витков в катушке замкнулась накоротко, индуктивность ее уменьшилась в n = 7 раз, частота собственных колебаний в контуре возросла в k = 3 раза, а коэффициент затухания этих колебаний не изменился. Определить емкость конденсатора .

Решение:
L = 0,8 Гн
R = 2000 Ом
L ₂ = L / n
n = 7
ω ₂ = kω
k = 3
β = const
C − ?
Коэффициент затуханий β = R /(2 L ).
ω и ω ₂ − начальная и конечная частоты собственных колебаний в контуре, где
ω = √( 1/( LC ) — β ² ) = √( 1/( LC ) — R ²/(4 L ²) );
ω ₂ = √( 1/( L ₂ C ) — β ² ) = √( n /( LC ) — R ²/(4 L ²) ).
Возведём в квадрат равенство ω ₂ = kω , получим ω ₂² = k ² ω ² или
n /( LC ) — R ²/(4 L ²) = k ²( 1/( LC ) — R ²/(4 L ²) ), отсюда
C = 4 L ( k ² — n )/( R ²( k ² — 1) ).
C = 4·0,8·(3² — 7)/( 2000²·(3² — 1) ) = 2·10⁻⁷ Ф.
Ответ: C = 4L(k² — n)/( R²(k² — 1) ) = 2·10⁻⁷ Ф.

4.2-4. Ток в колебательном контуре зависит от времени как I = I_msinω₀t, где I_m = 9,0 мА, ω₀ = 4,5·10⁴ с⁻¹. Ёмкость конденсатора С = 0,50 мкФ. Найти индуктивность контура и напряжение на конденсаторе в момент t = 0.

Решение:
I = I_msinω₀t (*)
I_m = 9·10⁻³ А
ω₀ = 4,5·10⁴ с⁻¹
С = 0,5·10⁻⁶ Ф
L − ?
U(0) − ?
1). Собственная частота ω₀ колебательного контура

1
L = ––––– . (1)
ω₀²C
2). Закон сохранения энергии в колебательном контуре:
LI²/2 + CU²/2 = LI_m²/2
или, с учётом (*),
L(I_msinω₀t)²/2 + CU²/2 = LI_m²/2.
Отсюда при t = 0 (т.к. sinω₀0 = 0) получим напряжение U(0) = U_m на конденсаторе в момент времени t = 0 ( U_m − максимальное напряжение ):
CU²(0) = LI_m²
и, подставляя сюда L из (1), получим
I_m²
CU²(0) = ––––– или
ω₀²C
I_m
U(0) = U_m = –––– . (2)
ω₀C
Вычисления по формулам (1) и (2 ):
1
L = –––––––––––––––– = 0,001 Гн = 1 мГн.
(4,5·10⁴)²·0,5·10⁻⁶
9·10⁻³
U(0) = Um = –––––––––––––– = 0,4 В.
4,5·10⁴·0,5·10⁻⁶

4.3. Упругие волны. Акустика.

4.3-1. По шнуру слева направо бежит со скоростью v незатухающая гармоническая волна. При этом поперечное смещение точки О шнура изменяется по закону y = Acos ( ωt ). Как зависит от времени смещение точки шнура, находящейся правее точки О на расстоянии x от нее?

Решение:
y = Acos ( ω ( t — x / v ) ).
Ответ: y = Acos ( ω ( t – x / v ) ).

4.3-2. Уравнение плоской звуковой волны имеет вид ξ = 60 cos (1800 t — 5,3 x ). где ξ – в мкм, t – в секундах, х – в метрах .
Найти:
а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны;
в) амплитуду колебаний относительной деформации среды и её связь с амплитудой колебаний скорости частиц среды.

а) Уравнение плоской синусоидальной волны
ξ = Acos(ωt – kx). (2)
Из (1) и (2) следует
A = 60 ·10 ⁻ ⁶ м – амплитуда колебаний частиц среды,
ω = 1800 1/с – циклическая частота,
k = 5,3 1/м – волновое число.
k = 2π/λ, отсюда λ = 2π/k. Тогда
A/λ = A/(2π/k) или
A/λ = Ak/(2π).
A / λ = 60 ·10 ⁻ ⁶ · 5,3/(2 · 3,14) = 5,1 ·10 ⁻ ⁵ .

б) Амплитуда колебаний скорости частиц среды
V _m = Aω . (*)
V_m = 60 ·10 ⁻ ⁶ · 1800 = 0,11 м/с. = 11 см/с.
Скорость распространения волны
v = ω / k . (3)
Тогда ( см. (*) )
V_m/v = Aω / ( ω / k ) = A k .
V_m/v = A k .
V_m/v = 60 ·10 ⁻ ⁶ · 5,3 = 3,2 ·10 ⁻ ⁴ .

в) Относительную деформацию среды найдём дифференцируя (2) по х:
∂ ξ/ ∂ x = ( Acos(ωt – kx) )_x ʹ = — Aksin (ωt – kx).

Ответ: a) A/λ = 5,1 ·10 ⁻ ⁵ ;
б) V_m = 0,11 м/с, V_m/v = 3,2 ·10 ⁻ ⁴;
в) ( ∂ ξ/ ∂ x)_m = 3,2 ·10 ⁻ ⁴, V _m = v · (d ξ/dx)_m , где v = 340 м/с – скорость волны .

4.3-3. Что такое амплитуда колебаний скорости частиц среды?

Решение:
Объясню на простом примере. В озере на воде поплавок. Бросьте в воду камешек, от него во все стороны пойдут волны. Поплавок колеблется на волнах. Скорость колебаний поплавка − это скорость колебаний частиц среды (воды). Максимальная скорость колебаний поплавка − это амплитуда колебаний скорости частиц среды.
Амплитуда колебаний скорости частиц среды
V_m = Aω ( A — амплитуда, ω — циклическая частота).
Скорость распространения волны
v = ω / k ( k — волновое число).
A , ω , k определяют из общего вида уравнения бегущей плоской синусоидальной волны
ξ = Acos ( ωt – kx ).

4.3-4. Точечный изотропный источник испускает звуковые колебания с частотой ν = 1,45 кГц. На расстоянии r₁ = 5 м от источника амплитуда смещения частиц среды А₁ = 50 мкм, а в точке А, находящейся на расстоянии r₂ = 10 м от источника, амплитуда смещения в η = 3 раза меньше А₁. Найти:
а) коэффициент затухания волны γ;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды в точке А.

Решение:
ν = 1450 Гц
r₁ = 5 м
А₁ = 50·10⁻⁶ м
r₂ = 10 м
А₂ = А₁/η (η = 3) (*)
а) γ − ?
б) V_m − ? (в точке А)
От данного точечного источника распространяются сферические волны. Для однородной поглощающей среды уравнение сферической волны:

(1)
где ξ − смещение частиц среды; ω = 2πν − циклическая частота; k − волновое число.

а). Из (1) выпишем амплитуду A смещения частиц среды (множитель перед косинусом):
A = (A₀/r)·e⁻ᵞʳ.
Отсюда для r = r₁ и r = r₂ получаем амплитуды смещения частиц среды A₁ и A₂ соответственно
A ₁ = ( A ₀ / r ₁ ) · e ⁻ ᵞ r₁ , (**)
A ₂ = ( A ₀ / r ₂ ) · e ⁻ ᵞ r ₂ . (***)
Делим (**) на (***) и, с учётом (*), получаем:

η = ( r ₂ / r ₁ ) · e ᵞ ⁽ r ₂ ⁻ r₁ ⁾ отсюда η r ₁ / r ₂ = e ᵞ ⁽ r ₂ ⁻ r₁ ⁾ , отсюда, по определению логарифма, имеем

ln ( η r ₁ / r ₂ ) = γ( r ₂ — r ₁ ), отсюда

γ = ln(3 · 5 /10 )/(10 — 5 ) ≈ 0,08 м ⁻ ¹ .

б). Для нахождения скорости смещения частиц среды V найдём частную производную по времени t от (1):
V = ∂ ξ / ∂ t = ( A ₀ / r ) · e ⁻ ᵞ ʳ ·( — ω sin ( ω t — kr ) ).
С учётом ω = 2πν, имеем
V = — ( 2 π ν A ₀ /r ) ·e ⁻ ᵞ ʳ ·sin ( ω t-kr ) .
Отсюда амплитуда колебаний скорости частиц среды V_m (множитель перед синусом):

4.3-5. Плоская звуковая волна, частота которой 100 Гц и амплитуда 5 мкм, распространяется со скоростью 300 м\с в воздухе, плотность которого равна 1 , 2 кг\м ³ . Определить интенсивность волны.

Решение:
ν = 100 Гц
а = 5·10⁻⁶ м
V = 300 м\с
ρ = 1,2 кг\м³
I − ?
Интенсивность I звуковой волны
I = ρ а² ω ² V /2 и т.к. ω = 2 πν , то
I = ρ а²(2 πν )² V /2.
I = 1,2·(5·10⁻⁶)²·(2·3,14·100)²·300/2 = 1,77·10⁻³ Вт/м².
Ответ: I = 1,77·10⁻³ Вт/м².

4.3-6. Стальная струна длины l = 100 см и диаметра d = 0,50 мм даёт основной тон частоты ν = 256 Гц. Найти силу её натяжения.

Решение:
l = 1 м
d = 0,5·10⁻³ м
ν = 256 Гц
ρ = 7800 кг/м³ (плотность стали)
F − ?
В закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны. Основной тон частоты ν колебаний струны:
ν = V/2l, отсюда
V = 2lν, (1)
где

− фазовая скорость поперечных волн в струне. Отсюда

F = V²ρ₁ , (2)
где ρ₁ = m/l − линейная плотность струны, m = ρV₀ − масса струны, V₀ = (πd²/4)l = πd²l/4 − объём струны.
Имеем: ρ₁ = ρV₀/l = ρ(πd²l/4)/l = ρπd²/4. Получили
ρ₁ = ρπd²/4. (3)
Подставляя в (2) V из (1) и ρ₁ из (3), получим силу натяжения F струны
F = (2lν)²ρπd²/4, или
F = πρ(lνd)².
F = 3,14·7800· (1·256·0,5·10⁻³)² ≈ 401,3 Н.
Ответ: F = πρ(lνd)² ≈ 401,3 Н.

_______________________________________________________________________________________________

4.4. Электромагнитные волны. Излучение.

4.4-1. Электромагнитная волна с частотой 6 · 10 ¹⁴ Гц распространяется в стекле, показатель преломления которого 1,5. Какова скорость волны в стекле и значение волнового числа?

Решение:
ν = 6 · 10¹⁴ Гц
n = 1,5
c = 3 · 10⁸ м/с (скорость света в вакууме)
V – ? k – ?
Скорость V волны в стекле:
V = c / n . (1)
Длина волны в стекле:
λ = V / ν = c /( nν ). (*)
Волновое число k:
k = 2 π / λ или с учётом (*)
k = 2 πnν /с. (2)
Вычисления по (1), (2)
V = 3 · 10⁸/1,5 = 2 · 10⁸ м/с.
k = 2 · 3,14 · 1,5 · 6 · 10¹⁴/(3 · 10⁸) = 1,88 · 10⁷ (1/м).
Ответ: V = 2 · 10⁸ м/с; k = 1,88 · 10⁷ (1/м).

4.4-2. Определить показатель преломления призмы из парафина , если его диэлектрическая проницаемость Ԑ = 2 и магнитная проницаемость μ = 1.

Решение:
Ԑ = 2
μ = 1
n – ?
Показатель преломления среды
n = C / V . (1)
С – скорость света в вакууме.
Скорость света в среде
V = C /√( Ԑμ ). (2)
Из (1) и (2) имеем
n = √( Ԑμ ).
n = √(2·1) = 1,41.
Ответ: n = 1,41.
___________________________________________________________________________________