Уравнение бернулли для движения потока вязкой жидкости

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли для струйки жидкости формулируется следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Уравнение Бернулли выглядит так:

Подробное описание всех входящих в состав уравнения параметров уже описан в этой статье.

Содержание статьи

Смысл уравнения Бернулли

По существу вывода уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости представляет собой закон сохранения механической энергии, составленный применительно к единице массового расхода жидкости. Это следует из того, что в процессе вывода значения работы сил, приложенных к выделенному объему струйки и значения кинетической энергии этого объема были поделены на величину ρqΔT.

Отсюда вытекает, что поскольку член υ 2 /2 является мерой кинетической энергии единицы массы движущейся жидкости, то сумма членов gz+p/ρ будет мерилом ее потенциальной энергии.

В отношении величины gz это очевидно, ведь если частица жидкости массы m расположена на высоте z относительно некоторой плоскости и находится под действием сил тяжести, то способность ее совершить работу, т.е. её потенциальная энергия относительно этой плоскости равняется mgz. Но если её поделить на массу частиц m, то эта часть потенциальной энергии даст величину gz.

Для более ясного физического представления о том, что потенциальная энергия измеряется величиной p/ρ рассмотрим такую схему: пусть к трубе, заполненной жидкостью с избыточным давлением p, присоединен пьезометр, снабженный на входе в него краном.

Кран сначала закрыт, т.е. пьезометр свободен от жидкости, а элементарный объем жидкости ΔV массой ρ*ΔV перед краном находится под давлением p.

Если затем открыть кран, то жидкость в пьезометре поднимется на некоторую высоту, равную

Таким образом, единица массы, находящейся под давлением p, как бы несет в себе ещё заряд потенциальной энергии, определяемой величиной p/ρ.

В гидравлике для характеристики удельной энергии обычно используется понятие напор, под которым понимают энергию жидкости, отнесенную к единице силы тяжести, а не её массы. В соответствии с этим уравнение Бернулли записанное в начале этой статьи примет вид

Такое уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости в другой форме, весьма удобно для гидравлических расчетов и может быть сформулировано следующим образом.

Для элементарной струйки идеальной жидкости полный напор, т.е. сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров, есть величина постоянная во всех её сечениях.

Отсюда следует, что между напором и удельной энергией существует очень простая зависимость

где э – удельная энергия

Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости

Если вместо идеальной жидкости рассматривать жидкость реальную, то уравнение Бернулли для реальной жидкости должно принять несколько другой вид.

При движении идеальной жидкости её полная удельная энергия или напор сохраняет постоянное значение по длине струйки, а при движении реальной жидкости эта энергия будет убывать по направлению движения. Причиной этого являются затраты энергии на преодоление сопротивлений движению, обусловленные внутренним трением в вязкой жидкости.

Если же мы рассмотрим два сечения для струйки идеальной жидкости: 1-1 в начале и 2-2 в конце струйки, то полная удельная энергия будет

Полная удельная энергия для сечения 1-1 всегда будет больше, чем полная удельная энергия для сечения 2-2 на некоторую величину потерь, и уравнение Бернулли в этом случае получается

Величина Э_1-2 представляет собой меру энергии, потерянную единицей массы жидкости на преодоление сопротивлений при её движениями между указанными сечениями.

Соответствующий этой потере удельной энергии напор называют потерей напора между сечениями 1-1 и 2-2 и обозначают h_1-2 . Поэтому уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости можно представить в виде

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости это еще только половина дела, ведь в при решении различных практических вопросов о движении жидкостей приходится иметь дело с потоками конечных размеров. Уравнение Бернулли в этом случае может быть получено, исходя из рассмотрения потока как совокупности множества элементарных струек.

Учитывая, что все струйки движутся с одной и той же средней скоростью форма записи уравнения Бернулли для потока идеальной жидкости становится идентичной его записи для элементарной струйки.

В таком виде уравнение Бернулли обычно и применяется при решении практических задач для потоков однородной несжимаемой жидкости при установившемся движении, происходящем под действием одной силы тяжести.

Такое уравнение составляется для различных живых сечений потока, вблизи которых движение жидкости должно удовлетворять условиям медленно изменяющегося движения, хотя на пути между этими сечениями движение может и не удовлетворять указанным условиям.

Слагаемое h_1-2 в этом уравнении показывает потери напора на преодоление сопротивлений движению жидкости. При этом в гидравлике различают два основных вида сопротивлений:
— h_лп — линейные потери — сопротивления, проявляющиеся по всей длине потока, обусловленные силами трения частиц жидкости друг о друга и о стенки, ограничивающие поток.
— h_мп — местные потери – местные сопротивления, обусловленные различного рода препятствиями, устанавливаемыми в потоке (задвижка, кран, колено), приводящими к изменениям величины или направления скорости течения жидкости

Поэтому полная потеря напора между двумя сечениями потока при наличии сопротивлений обоих видов будет

Видео по теме

Уравнение Бернулли подходит и для газов. Явление уменьшения давления при повышении скорости потока является основой работы различных приборов для измерения расхода. Закон Бернулли справедлив и для жидкостей вязкость которых равна нулю. При описании течения таких жидкостей используют уравнение Бернулли с добавлением слагаемых учитывающих потери на местные сопротивления.

Уравнение Бернулли для движения вязкой жидкости

Давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому данной жидкостью.

Для несжимаемой жидкости на глубине h действуетгидростатическоедавление

, (2)

т.е. давление изменяется линейно с высотой. Давлениеrghназываетсягидростатическим.

Согласно формуле (2) сила давления на нижние слои больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость (газ), действует выталкивающая сила, определяемая законом Архимеда:

На тело, погруженное в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости (газа) направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа).

Согласно основному закону гидростатики величина давления р определяется глубиной погружения точки под уровень свободной поверхности h жидкости и величиной

плотности жидкости р.

Для горизонтальной поверхности величина давления одинакова во всех точках этой поверхности, т.к.:

Отсюда:

Таким образом, Сила давления жидкости на горизонтальную поверхность (дно сосуда) равно произведению площади этой поверхности на величину давления на глубине погружения этой поверхности. На рисунке показан так называемый «гидравлический парадокс», здесь величины силы давления на дно всех сосудов одинаковы, независимо от формы стенок сосудов и их физической высоты, т.к. площади доньев у всех сосудов одинаковы, одинаковы и величины давлений.

Сила гидростатического давления на плоскую стенку равна произведению давления в центре тяжести смоченной плоской стенки, умноженному на её площадь S

, Па, (2.5)

где h_c – глубина погружения центра тяжести плоской стенки, м.

Координата приложения силы, действующей на плоскую стенку

, (2.6)

где J_o – момент инерции плоской фигуры относительно центральной оси.

Силу давления на криволинейную поверхность определяют как:

.

, (2.7)

– проекция криволинейной поверхности на вертикальную плоскость.

, (2.8)

где – объём тела давления, ограниченный сверху плоскостью свободной поверхности, по бокам – вертикальной проецирующей поверхностью, снизу – криволинейной поверхностью.

Течение жидкости вообще может быть неустановившимся (нестационарным) или установившимся (стационарным).

Н еустановившееся движение– такое, при котором в любой точке потока скорость движения и давление с течением времени изменяются, т.е. u и P зависят не только от координат точки в потоке, но и от момента времени, в который определяются характеристики движения т.е.:

и .

Примером неустановившегося движения может являться вытекание жидкости из опорожняющегося сосуда, при котором уровень жидкости в сосуде постепенно меняется (уменьшается) по мере вытекания жидкости.

У становившееся движение – такое, при котором в любой точке потока скорость движения и давление с течением времени не изменяются, т.е. u и P зависят только от координат точки в потоке, но не зависят от момента времени, в который определяются характеристики движения:

и ,

и, следовательно, , , , .

Пример установившегося движения — вытекание жидкости из сосуда с постоянным уровнем, который не меняется (остаётся постоянным) по мере вытекания жидкости.

В случае установившегося течения в процессе движения любая частица, попадая в заданное, относительно твёрдых стенок, место потока, всегда имеет одинаковые параметры движения. Следовательно, каждая частица движется по определённой траектории.

Траекторией называется путь, проходимый данной частицей жидкости в пространстве за определенный промежуток времени.

При установившемся движении форма траекторий не изменяется во время движения. В случае неустановившегося движения величины направления и скорости движения любой частицы жидкости непрерывно изменяются, следовательно, и траектории движения частиц в этом случае также постоянно изменяются во времени.

Поэтому для рассмотрения картины движения, образующейся в каждый момент времени, применяется понятие линии тока.

Линия тока — это кривая, проведенная в движущейся жидкости в данный момент времени так, что в каждой точке векторы скорости u_i совпадают с касательными к этой кривой.

Н ужно различать траекторию и линию тока. Траектория характеризует путь, проходимый одной определенной частицей, а линия тока направление движения в данный момент времени каждой частицы жидкости, лежащей на ней.

П ри установившемся движении линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости. При неустановившемся движении они не совпадают, и каждая частица жидкости лишь один момент времени находится на линии тока, которая сама существует лишь в это мгновение. В следующий момент возникают другие линии тока, на которых будут располагаться другие частицы. Еще через мгновение картина опять меняется.

Если выделить в движущейся жидкости элементарный замкнутый контур площадью dω и через все точки этого контура провести линии тока, то получится трубчатая поверхность, которую называют трубкой тока. Часть потока, ограниченная поверхностью трубки тока, называетсяэлементарной струйкой жидкости. Таким образом, элементарная струйка жидкости заполняет трубку тока и ограничена линиями тока, проходящими через точки выделенного контура с площадью dω. Если dω устремить к 0, то элементарная струйка превратится в линию тока.

Из приведённых выше определений вытекает, что в любом месте поверхности каждой элементарной струйки (трубки тока) в любой момент времени вектора скоростей направлены по касательной (и, следовательно, нормальные составляющие отсутствуют). Это означает, что ни одна частица жидкости не может проникнуть внутрь струйки или выйти наружу.

При установившемся движении элементарные струйки жидкости обладают рядом свойств:

· площадь поперечного сечения струйки и ее форма с течением времени не изменяются, так как не изменяются линии тока;

· проникновение частиц жидкости через боковую поверхность элементарной струйки не происходит;

· во всех точках поперечного сечения элементарной струйки скорости движения одинаковы вследствие малой площади поперечного сечения;

· форма, площадь поперечного сечения элементарной струйки и скорости в различных поперечных сечениях струйки могут изменяться.

Трубка тока является как бы непроницаемой для частиц жидкости, а элементарная струйка представляет собой элементарный поток жидкости.

При неустановившемся движении форма и местоположение элементарных струек непрерывно изменяются.

Кроме того, установившееся движение подразделяется на равномерное и неравномерное.

Равномерное движение характеризуется тем, что скорости, форма и площадь сечения потока не изменяются по длине потока.

Неравномерное движение отличается изменением скоростей, глубин, площадей сечений потока по длине потока.

Среди неравномерно движущихся потоков следует отметить плавно изменяющиеся движения, характеризующееся тем, что:

· линии тока искривляются мало;

· линии тока почти параллельны, и живое сечение можно считать плоским;

· давления в живом сечении потока зависят от глубины.

В гидравлике различают течение (движение) жидкости:

1. установившееся (стационарное),
2. неустановившееся (нестационарное) .

Установившееся движение – такое, при котором давление и скорость являются функциями только координат и не зависят от времени: ,

.

Установившееся движение жидкости можно наблюдать, например, при ее вытекании из емкости с постоянным уровнем.

Неустановившееся движение – такое, все характеристики которого (или некоторые из них) изменяются с течением времени в точках рассматриваемого пространства:

Неустановившимся будет движение жидкости, вытекающей из емкости с постепенно понижающимся уровнем.

Установившееся движение жидкости поддается контролю и управлению и может быть использовано в приводах и системах технологического оборудования в машиностроении. Неустановившееся движение является практически неконтролируемым и неуправляемым.

Установившееся движение может быть:

Равномерным называют движение, при котором частицы жидкости не изменяют своей скорости при перемещении вдоль всего потока (от одной произвольной точки к другой), например, движение потока в трубе постоянного диаметра. При этом постоянными остаются форма и площадь сечения потока.

Неравномерным называют движение, при котором живое сечение, средняя скорость и давление изменяются по длине потока (при переходе частиц жидкости от одних произвольных точек к другим), например, движение потока в конфузоре (конической сужающейся трубе) или в диффузоре (конической расширяющейся трубе).

Различают несколько типов движения (потоков) жидкости.

Напорным называют движение (потоки) жидкости в закрытых гидравлических линиях без свободной поверхности, например, в трубопроводах с повышенным или пониженным давлением, когда жидкость полностью занимает поперечное сечение трубы. Давление вдоль напорного потока обычно переменное и уменьшается пропорционально пройденному пути.

Безнапорным называют движение (потоки) жидкости со свободной поверхностью, например, в дренажных линиях, отводящих внутренние утечки из гидравлических машин и аппаратов в бак. В безнапорном потоке давление (на свободной поверхности) постоянное и чаще всего равно атмосферному.

Свободная струя не имеет ограничивающих ее твердых стенок. Движение жидкости происходит под действием сил инерции и веса жидкости. Давление в таком потоке практически равно атмосферному. Свободную струю можно наблюдать при подаче смазывающе-охлаждающей жидкости в зону резания.

При изучении гидравлических приводов и систем, применяемых в машиностроении, рассматривают установившееся равномерное напорное движение жидкости.

Кинематика жидкости — раздел гидромеханики, в котором изучают только геометрические свойства движения жидкости. Вследствие этого все основные выводы кинематики справедливы, как для идеальной, так и для вязкой жидкости.

13.Для описания движения жидкости используется математическая модель. В гидравлике наибольшее распространение получила модель Эйлера, суть которой можно объяснить следующим образом. Предположим, что точка М движется по некоторой траектории в системе неподвижных координат. Мгновенное значение составляющих скорости вдоль осей координат будет зависеть от положения точки, т.е. от величины координат x, y, zи времени t. Для составляющих скоростей течения жидкости в рассматриваемой точке (см. рис. 2.32), можно записать функциональные зависимости:

Рис. 2.32. Скорость в точке

(2.29)

Зная для конкретного случая течения значения этих функций, можно для любого момента времени получить распределение скоростей течения жидкости.

Расход – количество жидкости, проходящей в единицу времени через данное сечение трубопровода. Различают объемный и массовый расходы.

Объемный расход – объем жидкости, проходящий в единицу времени через данное сечение трубопровода:

(2.30)

где V– объем жидкости.

Массовый расход – масса жидкости, проходящая в единицу времени через данное сечение:

(2.31)

Соответственно, , где ρ – плотность жидкости.

Траектория– кривая, вдоль которой происходит перемещение частицы жидкости.

Линия тока – кривая, в каждой точке которой вектор скорости движения частицы направлен по касательной к ней (см. рис. 2.33).

Рис.2.33. Линия тока

Трубка тока – поверхность, очерченная вдоль небольшого контура внутри которой вдоль линии тока перемещаются частицы жидкости. Стенки трубки тока непроницаемы. Площадь поперечного сечения трубки тока мала, поэтому скорости движения в каждой точке равны (см. рис. 2.34).

Рис. 2.34. Трубка тока

Элементарная струйка – поток жидкости, протекающий в трубке тока Элементарную струйку можно представить также как совокупность линий тока, проходящих через бесконечно малое сечение ds, а разность скоростей соседних линий тока бесконечно мала. Расход элементарной струйки dq = uds. Поток жидкости можно представить как совокупность трубок тока, в которых движутся элементарные струйки.

Средняя скорость потока– скорость, одинаковая в каждой точке потока в данном сечении, соответствует реальному расходу

,где – скорость в точке в данном сечении; i– количество точек.

Для потока жидкости, состоящего из нескольких трубок тока можно записать

где S – площадь сечения потока жидкости.

14. Уравнение неразрывности

Движение жидкостей называется течением,а совокупность частиц движущейся жидкости — потоком.Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока,которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 45). Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Линии тока в жидкости можно «проявить», например, подмешав в нее какие-либо заметные взвешенные частицы.

Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока.Течение жидкости называется установившимся(или стационарным),если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S₁ и S₂, перпендикулярные направлению скорости (рис. 46).

За время Dt через сечение S проходит объем жидкости SvDt; следовательно, за 1 с через S₁ пройдет объем жидкости S₁v₁, где v₁ — скорость течения жидкости в месте сечения S₁. Через сечение S₂ за 1 с пройдет объем жидкости S₂v₂, где v₂ — скорость течения жидкости в месте сечения S₂. Здесь предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость несжимаема (r=const), то через сечение S₂пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S₁, т. е.

Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Соотношение (29.1) называется уравнением неразрывностидля несжимаемой жидкости.

Уравнение бернулли

Уравнение Бернулли является основным уравнением гидродинамики, устанавливающим связь между средней скоростью потока и гидродинамическим давлением в установившемся движении.

Р ассмотрим элементарную струйку в установившемся движении идеальной жидкости. Выделим двумя сечениями, перпендикулярными к направлению вектора скоростиu, элемент длиной dl и площадью dF. Выделенный объем будет находиться под действием силы тяжести

и сил гидродинамического давления .

Так как , то .

Учитывая, что в общем случае скорость выделенного элемента , его ускорение

.

Применив к выделенному элементу весом уравнение динамики в проекции на траекторию его движения, получим

.

Учитывая то, что и что при установившемся движении , после интегрирования и деления на получим полный напор потока в рассматриваемом сечении:

,

где — геометрический напор (высота), выражающий удельную потенциальную энергию положения частички жидкости над некоторой плоскостью отсчета, м,

— пьезометрический напор, выражающий удельную энергию давления, м,

— скоростной напор, выражающий удельную кинетическую энергию, м,

— статический напор, м.

Это и есть уравнение Бернулли. Трехчлен этого уравнения выражает напор в соответствующем сечении и представляет собой удельную (отнесенную к единице веса) механическую энергию, переносимую элементарной струйкой через это сечение.

В практике технических измерений уравнение Бернулли используют для определения скорости жидкости .

Уравнение Бернулли можно получить еще и следующим образом. Представим себе, что рассматриваемый нами элемент жидкости является неподвижным. Тогда на основании основного уравнения гидростатики потенциальная энергия жидкости в сечениях 1 и 2 будет

.

Движение жидкости характеризуется появлением кинетической энергии, которая для единицы веса будет равна для рассматриваемых сечений и . Полная энергия потока элементарной струйки будет равна сумме потенциальной и кинетической энергии, поэтому

.

Таким образом, основное уравнение гидростатики является следствием уравнения Бернулли.

Уравнение бернулли для реальной жидкости

Уравнение Бернулли в установившемся движении идеальной жидкости имеет вид:

.

где — геометрический напор (высота), м, — пьезометрический напор, м,

— скоростной напор, м, — статический напор, м.

В случае реальной жидкости полный напор для разных струек в одном и том же сечении потока не будет одинаковым, так как неодинаковым будет скоростной напор в разных точках одного и того же сечения потока. Кроме того, в виду рассеяния энергии из-за трения напор от сечения к сечению будет убывать.

Однако для сечений потока, взятых там, где движение на его участках плавно меняющееся, для всех проходящих через сечение элементарных струек будет постоянным статический напор

.

Если уравнение Бернулли для элементарной струйки распространить на весь поток и учесть потери напора на сопротивление движению, то получим

,

где α – коэффициент кинетической энергии, равный для турбулентного потока 1,13, а для ламинарного – 2; v – средняя скорость потока; h – уменьшение удельной механической энергии потока на участке между сечениями 1 и 2, проходящее в результате сил внутреннего трения.

Расчет дополнительного члена h в уравнении Бернулли является основной задачей инженерной гидравлики.

Графическое представление уравнения Бернулли для нескольких сечений потока реальной жидкости имеет вид:

Л иния А, которая проходит по уровням в пьезометрах, измеряющих в точках избыточное давление, называетсяпьезометрической линией. Она показывает изменение отсчитанного от плоскости сравнения статического напора Н_с по длине потока. Пьезометрическая линия отделяет область измерения потенциальной и кинетической энергии.

Полный напор Н уменьшается по длине потока (линия В – линия полного напора реальной жидкости).

Градиент напора по длине потока называется гидравлическим уклоном и выражается формулой

,

т.е. гидравлический уклон численно равен синусу угла между горизонталью и линией полного напора реальной жидкости.

Расходомер Вентури

Р асходомер Вентури представляет собой устройство, устанавливаемое в трубопроводах и осуществляющее сужение потока – дросселирование. Расходомер состоит из двух участков – плавно сужающегося (сопла) и постепенно расширяющегося (диффузора). Скорость потока в суженном месте возрастает, а давление падает. В наибольшем и наименьшем сечениях трубы установлены пьезометры, показания которых позволяют определить перепад пьезометрического напора между двумя сечениями трубы и записать

.

В этом уравнении неизвестными являются v₁ и v₂. Из уравнения неразрывности следует , что позволяет определить скоростьv₂ и расход жидкости через трубу

,

где С – константа расходомера, учитывающая также и потери напора, так как определяется опытом.

Аналогично ведется расчет расходомерной шайбы, обычно выполняемой в виде кольца. Расход определяется по замеренной разности уровней в пьезометрах.

Уравнение Бернулли и уравнение неразрывности потока являются основными при расчете гидравлических систем.

Уравнение Бернулли для движения вязкой жидкости

Элементарная струйка при установившемся движении вязкой жидкости

Уравнение для этого случая имеет вид (приводим его без вывода, поскольку его вывод сопряжен с применением некоторых операций, приведение которых усложнило бы текст)

Потеря напора (или удельной энергии) hПp – результат того, что часть энергии превращается из механической в тепловую. Поскольку процесс необратим, то имеет место потеря напора.

Этот процесс называется диссипацией энергии.

Другими словами, hПp можно рассматривать как разность между удельной энергией двух сечений, при движении жидкости от одного к другому происходит потеря напора. Удельная энергия – это энергия, которую содержит единичная масса.

Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости

При движении вязкой жидкости вдоль твердой стенки, например, в трубе происходит торможение потока вследствие влияния вязкости и в результате сил молекулярного сцепления между жидкостью и стенкой. Реализуется неравномерное распределение скоростей: у стенки скорость потока уменьшается до нуля (у смачиваемой жидкости), а в центральной части потока она максимальна (это применительно к течению в трубе). Кроме того движение вязкой жидкости часто сопровождается вращением макрочастиц жидкости, вихреобразованием и перемешиванием. Все это требует затрат энергии, поэтому удельная энергия жидкости (т.е. полный напор) не остается постоянной, как в случае идеальной жидкости, а постепенно расходуется на преодоление сопротивлений и, следовательно, уменьшается вдоль потока. Сказанное можно выразить следующим балансовым уравнением:

где Н_ср1 и Н_ср2 – средние значения полного напора в сечении 1 и 2 соответственно, ∑h – суммарная потеря напора (удельной энергии жидкости) на участке между рассматриваемыми сечениями.

Используя это уравнение, запись уравнения Бернулли для случая течения вязкой жидкости представляется в следующем виде

, (5)

где Σh – суммарная потеря удельной энергии жидкости (напора) на участке между рассматриваемыми сечениями.

Энергия, теряемая жидкостью на рассматриваемом участке течения, не исчезает бесследно, а превращается в другую форму – тепловую. Эта энергия непрерывно рассеивается, поэтому повышение температуры жидкости практически мало заметно.

Гидравлические потери (общие сведения). Потери напора или, как их часто называют, гидравлические потери зависят от формы, размеров и шероховатости канала (трубы), от скорости течения и вязкости жидкости, но практически не зависят от абсолютного значения давления в жидкости.

Как показывает опыт, во многих случаях гидравлические потери приблизительно пропорциональны квадрату скорости потока. Поэтому в гидравлике с давних времен принят следующий общий способ выражения гидравлических потерь полного напора в линейных единицах:

(6)

Такое выражение удобно тем, или в единицах давления

.

Такое выражение удобно тем, что включает в себя безразмерный коэффициент пропорциональности ξ, называемый коэффициентом сопротивления,и скоростной напор, входящий в уравнение Бернулли.

Гидравлические потери обычно подразделяют на два вида: местные потери и потери на трение.

Местные потери обусловлены так называемыми местными гидравлическими сопротивлениями, т.е. местными изменениями формы и размеров канала (трубы), вызывающими деформацию потока. При этом происходят изменения скорости потока, возникают вихреобразования. Примерами местных сопротивлений могут служить устройства типа задержек потока, сопел, диафрагм, отверстий (шайб), поворотов, вентилей, кранов, другой стендовой арматуры. Местные потери энергии (напора) определяются по формулам:

или (7)

Последнее уравнение часто называют формулой Вейсбаха. В этих формулах W – средняя по сечению скорость в трубопроводе, в котором установлено местное сопротивление. Каждое местное сопротивление характеризуется своим значением коэффициента сопротивления ξ_М, которое во многих случаях приближенно можно считать постоянным для данного вида местного сопротивления.

Потери на трение, или потери по длине, — это потери энергии, которые в чистом виде возникают в прямых трубах постоянного сечения, т.е. при установившемся течении, и возрастают пропорционально длине трубы. Этот вид потерь обусловлен трением о поверхность и внутренним трением в жидкости, а поэтому они (потери) имеют место в трубах со сколь угодно малой шероховатостью стенок.

Потерю давления на трение можно выразить по общей формуле для гидравлических потерь, т.е. , однако более удобнее будет коэффициент ξ_ТР связать с относительной длиной трубы ℓ/d соотношением ξ_ТР = λℓ/d.

Тогда (8)

(9)

Формулу (9) обычно называют формулой Дарси. Безразмерный коэффициент λ называется коэффициентом потерь на трение или коэффициентом сопротивления трения.

Гидравлические потери в напорных потоках происходят за счет уменьшения вдоль потока удельной потенциальной энергии жидкости (Z + Р/γ). Удельная кинетическая энергия жидкости в этом случае если и меняется вдоль потока при заданном расходе, то не за счет потерь энергии, а вследствие изменения поперечного сечения канала, так как она зависит только от скорости, а скорость определяется объемным расходом Q и площадью сечения S: W = Q/S. Следовательно, в трубе постоянного сечения средняя скорость и удельная кинетическая энергия остаются строго постоянными, несмотря на наличие гидравлических потерь напора.

Расчет гидравлических потерь для разных конкретных случаев представляет собой один из основных вопросов гидравлики.

2. РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ В ТРУБАХ

Возможны два режима или два вида течения жидкостей в трубах: ламинарное, т.е. слоистое, течение и турбулентное, т.е. бурное, возмущенное.

Ламинарное течение – это течение без перемешивания слоев и частиц (макрочастиц) жидкости, без пульсаций скорости. Это течение является вполне упорядоченным и при постоянном напоре строго установившимся. Однако ламинарнре течение нельзя считать безвихревым. Хотя в нем нет ярко выраженных вихрей, но одновременно с поступательным движением жидкости имеет место упорядоченное вращательное движение отдельных частиц жидкости вокруг своих мгновенных центров вращения.

Турбулентное течение – это течение, сопровождающееся интенсивным перемешиванием жидкости и пульсациями скоростей и давлений. Движение отдельных частиц оказывается неупорядоченным, траектории фрагментов жидкости имеют подчас вид замысловатых кривых. Это объясняется тем, что при турбулентном течении наряду с продольным перемещением массы жидкости имеют место поперечное и вращательное движения отдельных , как бы автономных, объемов жидкости.

Смена режима течения данной жидкости в трубе происходит при определенной скорости течения, которую называют критической (W_кр). Как показывают эксперименты, значение этой скорости прямо пропорционально кинематическому коэффициенту вязкости (ν) и обратно пропорционально диаметру трубы (d), т.е. W_кр = kν/d. Оказывается, что входящий в предыдущее соотношение безразмерный коэффициет k имеет универсальное значение, т.е. он одинаков для всех жидкостей и труб любых диаметров. Это означает, что смена режимов течения происходит при вполне определенном соотношении, которое можно выразить числом, между скоростью, диаметром трубы и вязкостью жидкости. Это безразмерное число называется критическим числом Рейнольдса по имени английского ученого, который экспериментально установил этот критерий:

(10)

Как показывает опыт, критическое число Рейнольдса приблизительно равно 2300. Однако можно говорить не только о критическом числе Рейнольдса, определяющим смену режима течения, но и о числе Рейнольдса, характеным для того или иного потока, и выражать его через фактическую скорость потока, т.е.

(11)

Таким образом, мы получили критерий, позволяющий судить о режиме течения жидкости в трубе. При значениях числа Rе Rе_КР течение обычно турбулентное.

Смена режимов течения при достижении числа Rе_КР объясняется тем, что один режим течения теряет устойчивость, а другой ее приобретает. При Rе Rе_КР, наоборот, турбулентный поток устойчив, а ламинарный – неустойчив. В связи с этим критическое число Рейнольдса, соответствующее переходу от ламинарного режима к турбулентному, может получиться несколько больше, чем для обратного перехода.

Гидродинамическое подобие. Гидродинамическое подобие – это подобие потоков несжимаемой жидкости, включающее в себя подобие геометрическое, кинематическое и динамическое.

Геометрическое подобие, как известно из геометрии, означает пропорциональность сходственных размеров и равенство соответствующих углов. В гидравлике под геометрическим подобием понимается подобие поверхностей, которые ограничивают потоки жидкостей, т.е. подобие трубных каналов.

Кинематическое подобие – это геометрическое подобие канала и пропорциональность скоростей в сходственных сечениях.

Динамическое подобие означает пропорциональность сил, действующих на сходственные элементы кинематически подобных потоков

Осуществление на практике полного гидродинамического подобия оказывается весьма затруднительным, поэтому имеют, обычно, дело с частичным (неполным) подобием, при котором наблюдается пропорциональность лишь главных, основных для процесса, сил.

Физический смысл числа Рейнольдса заключается в том , что это – величина, пропорциональная отношению динамического давления к напряжению трения или, что то же самое, отношение сил инерции к силам вязкости. Поэтому закон гидродинамического подобия формулируется следующим образом: для гидродинамического подобия геометрически подобных потоков с учетом сил вязкости требуется равенство чисел Рейнольдса, подсчитанных для любой пары сходственных сечений этих потоков.

МЕСТНЫЕ ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ

Мы уже говорили, что гидравлические потери энергии делятся на две категории: местные потери и потери на трение. Рассмотрим более подробно потери, обусловленные местными гидравлическими сопротивлениями, т.е. такими элементами трубопровода, в которых вследствие изменения размеров или конфигурации канала происходит изменение скорости потока и возникают вихреобразования. Общий способ их выражения основан на экспериментальных данных и имеет следующий вид:

, (12)

где Q – объемный расход, м 3 /с.

Задача теперь заключается в том, чтобы научиться определять коэффициенты сопротивления для различных трубных элементов, т.е. местных сопротивлений.

Простейшие местные гидравлические сопротивления можно разбить на следующие группы и подгруппы:

1. Расширение трубопровода (канала) – внезапное, плавное.

2. Сужение трубопровода (канала) – внезапное, плавное.

3. Поворот трубопровода (канала) – внезапный, плавный.

Более сложные случаи местных сопротивлений представляют собой комбинации перечисленных простейших сопротивлений. Рассмотрим некоторые местные сопротивления при турбулентном режиме течения. Следует отметить, что коэффициенты сопротивления ξ_М при турбулентном течении определяются почти исключительно формой гидравлического элемента и очень мало меняются с изменением размеров канала, скорости потока и вязкости жидкости. Поэтому их считают независящими от числа Рейнольдса, что означает автомодельность по числу Rе.

Значения коэффициентов местных сопротивлений в большинстве случаев получают экспериментальным путем, а затем пользуются обобщенными формулами или графиками. Однако для некоторых типов местных сопротивлений, а именно для внезапного расширения или для течения в диффузоре расчетные значения коэффициентов сопротивления имеют удовлетворительную точность. ДАЛЕЕ СЛЕДУЕТ ДЕМОНСТРАЦИЯ РИСУНКОВ МЕСТНЫХ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ, ВКЛЮЧАЯ СХЕМУ ВЕНТИЛЯ(рис.2)

Местные гидравлические сопротивления при ламинарном режиме.

Расчет потери напора на местных сопротивлениях при ламинарном режиме имеет особенности. Во — первых, местные сопротивления ври этом режиме играют меньшую роль по сравнению с потерями трения. Во – вторых, закон сопротивления в этом случае является более сложным и исследован в меньшей степени, чем при турбулентном режиме.

Если при турбулентном режиме потери напора на мастном сопротивлении не зависят от числа Рейнольдса, то при ламинарном режиме потерю напора h_м следует рассматривать как сумму:

где h_тр – потеря напора, обусловленная непосредственным действием сил трения (вязкости) в данном местном сопротивлении, пропорциональная вязкости жидкости и скорости в первой степени;

h_вихр – потеря, связанная с отрывом потока и вихреобразованиями, возникающими в самом местном сопротивлении или за ним, и пропорциональная квадрату скорости. Так, например, при течении через жиклер (рис. 3) слева от сечения 1. – 1 возникает потеря напора на трение, а справа – на вихреобразования. Формулу (12) можно представить в следующем виде:

, (14)

где А и В – безразмерные константы, зависящие от формы местного сопротивления. Разделив, согласно общему принципу определения коэффициента сопротивления, h_м на скоростной напор, получим общее выражение для коэффициента местного сопротивления при ламинарном режиме

(15)

Соотношение между первым и вторым членами в формулах (14 и 15) зависит от формы местного сопротивления и числа Rе.

При широком диапазоне изменения числа Рейнольдса в одном и том же местном сопротивлении возможны как линейный (при малых числах Rе) так и квадратичный (при больших числах Rе) законы сопротивления, а также переходная между ними область сопротивления при средних числах Rе. Типичный график, иллюстрирующий сказанное, приведен на рис. . Такого рода графики для конкретных сопротивлений обычно строят на основе экспериментальных данных.

Иногда вместо двухчленной формулы выражения местных гидравлических потерь применяют степенной одночлен вида

h_м = kQ m , (16)

где k – размерная величина; m – показатель степени, зависящий от формы местного сопротивления и числа Рейнольдса и изменяющийся в пределах от 1 до 2.

ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

Ламинарное течение жидкости в круглой трубе.Как уже говорилось,ламинарное течение является строго упорядоченным слоистым течением без перемешивания жидкости; оно подчиняется закону трения Ньютона, суть которого в следующем: касательное напряжение в жидкости зависит от рода жидкости и характера течения и при слоистом течении изменяется прямо пропорционально поперечному градиенту скорости, т.е.

,

где μ – динамический коэффициент вязкости; наряду с динамическим коэффициентом вязкости μ применяется в гидравлике кинематический коэффициент вязкости ν, равный ν = μ/ρ, где ρ – плотность жидкости. (Размерность μ, н·сек / м 2 ; размерность ν, м 2 /сек).

Используя этот закон, находится распределение скоростей по сечению круглой трубы в ламинарном режиме течения жидкости и формула для определения расхода:

, (17)

где Р_тр – перепад давления на участке трубы длиной ℓ, т.е. это потери от трения (потери трения).

Зная, что потери напора за счет трения определяются как h_тр = Р_тр/γ, находим

(18)

Заменяя μ через νρ и γ через ρg , а также переходя от r₀ к d = 2r₀, окончательно находится выражение

(19)

Полученный закон сопротивления показывает, что при ламинарном течении жидкости в круглой трубе потеря напора на трение пропорциональна расходу (скорости) и вязкости в первой степени и обратно пропорциональна диаметру в четвертой степени. Этот закон, часто называемый законом Пуазейля – Хагена, используется для расчета трубопроводов с ламинарным режимом течения.

Так как по общему принципу (закон Дарси) _{тр ,} тогда, заменяя Q = W_ср π , окончательно получим . (20)

Связь средней скорости с потерей напора

Сопоставляя полученное выражение с формулой Дарси, видим,

что (21)

Эту зависимость называют законом Пуазейля.

Зная закон распределения скоростей по сечению трубы и связь средней скорости с потерей напора, возможно определить значение коэффициента α, учитывающего неравномерность распределения скоростей в уравнении Бернулли (5).

Для ламинарного течения α₁ = α₂ =2

Теория ламинарного течения жидкости в круглой трубе, элементы которой были изложены в данном курсе, в общем хорошо подтверждается опытом. Полученные законы сопротивления и распределения скоростей не нуждаются в каких-либо поправках, за исключением следующих случаев.

1. При течении в начальном участке трубы, где происходит постепенное установление параболического профиля скоростей. Сопротивление на этом участке получается больше, чем на последующих участках трубы. Но это обстоятельство учитывается только при расчете очень коротких труб.

2. При течении со значительным теплообменом.

3. При очень высоких перепадах давления.

Потеря напора на участке трубы, длина которого ℓ меньше длины начального участка ℓ_нач, определяется по формулам (20 и 21), но с поправочным коэффициентом К, большим единицы. Так при ℓ = ℓ_нач К = 1,09. Для коротких труб значение поправочного коэффициента К существенно отличается от единицы. Определить длину начального участка можно по приближенной формуле Шиллера:

В литературных источниках встречаются и другие оценочные зависимости для определения длины начального участка

В том случае, когда длина трубы ℓ больше длины начального участка ℓ_нач, потеря напора будет складываться из потери на начальном участке и потери на участке стабилизированного течения:

или с учетом (21) и (22)

Если относительная длина трубопровода ℓ/d достаточно велика, то дополнительный член в скобках, равный 0,165 можно не учитывать.

Течение с теплообменом.При течении жидкости, которое сопровождается ее охлаждением, слои жидкости, непосредственно прилегающие к стенке, имеют температуру более низкую, а вязкость более высокую, чем в основном ядре потока. Это ведет к более сильному торможению пристенных слоев жидкости и уменьшению градиента скорости у стенки.

При течении, сопровождающемся нагреванием жидкости через стенку, ситуация меняется наоборот: вязкость пристенных слоев уменьшается, пристенный градиент скорости возрастает.

Таким образом, в результате теплообмена через стенку трубы происходит нарушение обычного параболического закона распределения скоростей. Это показано на рис. . Здесь 1 – распределение скоростей при изотермическом течении, 2 – при течении с охлаждением, 3 – при течении с нагреванием. Это вызывает изменение коэффициента α в уравнении Бернулли: охлаждение ведет к усилению неравномерности распределения скоростей (α > 2), нагревание ослабляет эту неравномерность (α 6 , α = 1,025,т.е. α асимптотически приближается к единице.

В большинстве случаев для практических расчетов, связанных с турбулентным течением жидкостей в трубах, пользуются экспериментальными данными, систематизированными на основе гидродинамической теории подобия. Основной расчетной формулой для турбулентного течения в круглых трубах является уже рассмотренная нами универсальная формула:

,здесь λ ≡ λ_Т – коэффициент потерь на трение при турбулентном режиме

или ,

если скорость потока выразить через расход.

Видим, что при турбулентном течении потеря напора на трение пропорциональна квадрату скорости потока (и квадрату расхода). Но из закона гидродинамического подобия следует, что коэффициент λ_Т как и коэффициент λ_Л должен являться функцией числа Рейнольдса, содержащего скорость потока, вязкость жидкости и диаметр трубы

Существует ряд эмпирических и полуэмпирических формул, представляющих эту зависимость для турбулентного течения в гладких трубах. Одной из наиболее удобных и употребительных зависимостей является формула Конакова, которая имеет следующий вид:

(24)

Эта формула применима от Rе = Rе_кр до Rе, равного нескольким миллионам. При числах Рейнольдса от 2300 до ≈ 10 5 можно пользоваться формулой Блазиуса

(25)

Из формул (24) и (25) видно, что коэффициент λ уменьшается с увеличением числа Рейнольдса, но это уменьшение гораздо менее значительно, чем при ламинарном режиме.

Приведенные формулы для определения коэффициента потерь на трение через число Rе справедливы для так называемых технически гладких (гидравлически гладких) труб, т.е. для таких, шероховатость которых столь мала, что практически не влияет на сопротивление. Именно такие трубы применяются в стендовой практике.

Экспериментально установлено, что при турбулентном режиме существуют три области, в которых коэффициент λ по-разному зависит от числа Rе:

1. Область гидравлически гладких труб.

2. Переходная область.

3. Область гидравлически шероховатых труб.

Физическая картина существования этих областей в одной и той же трубе объясняется следующим образом. У всякой трубы на стенке имеются выступы шероховатости. Их высота зависит от материала труб технологии их изготовления, времени эксплуатации и др. факторов. В турбулентном потоке скорости непосредственно у стенки равны нулю. Поэтому вблизи стенок образуется тонкий слой жидкости толщиной δ, где скорости столь малы, что в его пределах движение жидкости близко к ламинарному. Этот слой, толщина которого измеряется долями миллиметра, называется вязким (ламинарным) подслоем (рис. 4). Если через Δ обозначить среднюю высоту выступов шероховатости, то возможны следующие соотношения δ и Δ. При δ > Δ выступы шероховатости прикрыты вязким подслоем, турбулентная часть потока не касается выступов и скользит по ламинарному слою, как по гладкой трубе. В этом случае трубы рассматриваются как гидравлически гладкие и потери давление на трение не зависят от шероховатости трубы. Если δ