1 Динамика жидкости и газа Лекционный материал
Главная > Документ
Информация о документе | |
Дата добавления: | |
Размер: | |
Доступные форматы для скачивания: |
Уравнение Бернулли для газа
Рассмотрим поток газа, проходящий по трубопроводу переменного сечения (рис. 27). В первом сечении приведённое полное давление равно p пр.п1 . При прохождении по трубе часть p пр.п1 необратимо потеряется из-за проявления сил внутреннего трения газа и во втором сечении энергетическая характеристика уменьшится до p пр.п2 на величину потерь давления D p пот .
Уравнение Бeрнулли для газа в простейшем виде записывается так:
p пр.п1 = p пр.п2 + D p пот ,
то есть это уравнение для двух сечений потока в направлении его движения, выраженное через приведённые полные давления и отражающее закон сохранения энергии (часть энергии переходит в потери) при движении газа.
Уравнение Бeрнулли в традиционной записи получим, если в последнем равенстве раскроем значения приведённых полных давлений p пр.п1 и p пр.п2 :
.
Энергетический смысл уравнения Бeрнулли для газа заключается в том, что оно отражает закон сохранения энергии, а геометрический не рассматривается, так как величины в нём выражаются в единицах давления ( Па ), а не напора ( м ).
Разность давлений и потери давления
Особенности терминов «разность давлений» и «потери давления » поясним на примерах.
Движение газа происходит только при наличии разности приведённых полных давлений
p пр = p пр.п1 — p пр.п2
от точки с большим давлением p пр.п1 к точке с меньшим p пр.п2 . Например, это является условием работы систем естественной вентиляции зданий: для удаления воздуха из помещения давление p пр.п внутри должно быть больше, чем снаружи.
Потери давления p пот отражают потерю полной энергии потока при движении газа. Например, чем длиннее воздуховод, меньше его проходное сечение, шероховатее его стенки, тем больше будут потери давления в системе вентиляции, что может ухудшить удаление несвежего воздуха из помещений. В покоящемся газе никаких потерь давления нет.
При установившемся движении газа разность давлений равна потерям давления:
p пр = p пот ,
что является уравнением Бернулли в простейшей записи.
Таким образом, «разность давлений » является причиной движения газа, а «потери давления »- следствием. При движении газа они численно равны. Измеряются они в одних и тех же единицах СИ: паскалях ( Па ).
Два режима движения жидкости (газа) .
Исследование вопроса о механизме движения жидкости (газа) показывает, что в природе существуют два вида (режима) движения жидкости: во-первых, слоистое, упорядоченное или ламинарное движение, при котором отдельные слои жидкости скользят друг относительно друга, не смешиваясь между собой, и, во-вторых, неупорядоченное или турбулентное движение, при котором частицы жидкости движутся по сложным, постоянно меняющимся траекториям и в потоке происходит интенсивное перемешивание микро- и макромасс жидкости. Основной особенностью турбулентного режима течения является наличие поперечных к основному направлению движения составляющих скоростей, накладывающихся на основную скорость в продольном направлении.
Выяснению условий существования ламинарного или турбулентного режима течения жидкости, влияния физических характеристик жидкости на переход из одного режима в другой были посвящены опыты Рейнольдса.
Рейнольдс установил, что основными факторами, определяющими характер режима, являются: средняя скорость движения жидкости , диаметр трубопровода , плотность жидкости , абсолютная вязкость , а переход от ламинарного режима к турбулентному происходит при определенной скорости – критической скорости, различной для труб разных диаметров и возрастающей с увеличением вязкости жидкости и уменьшающейся с уменьшением диаметра трубы.
Для характеристики режима движения жидкости Рейнольдсом был выведен безразмерный параметр , учитывающий влияние перечисленных выше факторов и называемый числом (критерием) Рейнольдса
(1.53)
Так как отношение где — коэффициент кинематической вязкости жидкости (газа), то выражение (1.52) можно записать в виде
(1.54)
Границы существования того или иного режима движения жидкости определяются двумя критическими значениями числа Рейнольдса: нижним критическим числом и верхним критическим числом . При значениях чисел Рейнольдса возможен только ламинарный режим, а при — только турбулентный режим; при наблюдается неустойчивое состояние потока. Таким образом, для определения режима течения необходимо в каждом случае вычислять по выражению (1.53 или 1.54) число Рейнольдса и сопоставлять его с критическим значением.
В опытах самого Рейнольдса значение были следующие: . Последующие эксперименты показали, что критические числа Рейнольдса не являются вполне постоянной величиной и что при определенных условиях неустойчивая зона может быть значительно шире. В настоящее время при практических расчетах принято исходить из одного значения критического числа Рейнольдса, равного , считая, что при всегда имеет место ламинарный режим, а при – всегда турбулентный. При этом движение в неустойчивой зоне исключается из рассмотрения, что приводит к некоторому запасу и большей надежности при гидравлических расчетах в том случае, если в этой зоне в действительности имеет место ламинарный режим течения.
Проведенные исследования особенностей различных режимов движения жидкости показывают, что одновременно с переходом от ламинарного режима к турбулентному изменяется характер распределения скоростей по поперечному сечению потока, а также зависимость потерь энергии (напора). Установлено, что для ламинарного режима характерен параболический закон распределения скоростей по поперечному сечению: скорость жидкости равна нулю непосредственно у стенок трубопровода, а при удалении от них плавно и непрерывно возрастает, достигая максимума на оси трубопровода (рис.3а).
Рисунок 3. Характер распределения скоростей по перечному сечению потока при ламинарном (а) и турбулентном (б) режиме движения.
Турбулентному режиму движения присущ более сложный закон распределения скоростей по поперечному сечению: в пределах большей части поперечного сечения скорость весьма незначительно отличается от максимального значения на оси трубопровода, но при этом начинает резко падать вблизи стенок трубопровода (рис.3б).
Причиной такого более равномерного закона распределения скоростей при турбулентном режиме является наличие поперечных составляющих скоростей частиц жидкости. В результате этого частицы жидкости с большими скоростями на оси потока и с меньшими скоростями на удалении от оси непрерывно сталкиваются, что приводит к выравниванию их скоростей. В тоже время вблизи стенок трубопровода такое взаимное перемещение частиц друг относительно другу нейтрализуется наличием твердой границы (стенки трубопровода), что и обуславливает более интенсивное падение скорости жидкости.
Если обеспечить протекание жидкости по трубопроводу с различной скоростью и замерить при этом величину потерь напора, то графическая зависимость будет иметь следующий вид (рис.4).
Тема 3. Кинематика и динамика жидкостей и газов, Лекция 11. Уравнение Бернулли и следствия из него
Тема 3. Кинематика и динамика жидкостей и газов
Лекция 11. Уравнение Бернулли и следствия из него
1. Основные положения гидродинамики. Уравнение неразрывности струи.
2. Уравнение Бернулли.
3. Истечение жидкости из отверстия. Принцип реактивного движения.
ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 часа.
1. Суханов курс физики. — М.: 1996.
2. Савельев общей физики. Том 1. — M: — Наука, 1996. § 72,73,74.
3. Трофимова физики. – М.: Высшая школа, 1999. § 28,29,30.
4. , Детлаф по физике. — М.: Наука, 1996. Отдел III.
Современные летательные аппараты способны выполнять саше разнообразные задачи и осуществлять полет в различных физических условиях. Физическими условиями полета называется совокупность физических свойств атмосферы и физических явлений, возникающих во время полета летательных аппаратов. Физические условия полета определяются, в первую очередь, назначением летательного аппарата и могут значительно, а порой и быстро, изменяться в процессе полета. Ярким примером являются пилотируемые космические корабли многоразового использования, способные осуществлять полет как в околоземном космическом пространстве, т. е. в практически безвоздушном пространстве, так и в нижних плотных слоях атмосферы.
В безвоздушном пространстве полет летательных аппаратов основан на реактивном принципе движения, т. е. на законах движения тел с переменной массой, вытекающих из основных законов динамики поступательного движения твердых тел.
Полет летательных аппаратов в воздушной среде подчиняется законам аэродинамики, начало которой положено трудами русского ученого () и его ученика . В основе аэродинамики, как науки, лежит гидродинамика — физическая теория движения несжимаемых жидкостей с твердыми телами.
Основные положения и выводы гидродинамики применимы не только к жидкостям, но и к газам в том случае, когда сжимаемостью их можно пренебречь. Соответствующие расчеты показывают, что при движении жидкостей и газов со скоростями меньшими скорости звука, их с достаточной степенью точности можно считать несжимаемыми. Следовательно, движение твердых тел, в том числе летательных аппаратов, в воздушной среде при указанных Скоростях подчиняется законам гидродинамики.
Для выяснения физической сущности процессов, определяющих полет летательных аппаратов, необходимо уяснить основные положения гидродинамики.
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ СТРУИ
Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 1).
Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Линии тока в жидкости можно «проявить», например, подмешав в нее какие-либо заметные взвешенные частицы.
Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока.
Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.
Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S1 и S2, перпендикулярные направлению скорости (рис. 2).
За время Δt через сечение S проходит объем жидкости SvΔt; следовательно, за 1с через S1 пройдет объем жидкости S1v1, где v1 — скорость течения жидкости в месте сечения S1. Через сечение S2 за 1с пройдет объем жидкости S2v2, где v2 — скорость жидкости в месте сечения S2. Здесь предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость несжимаема (ρ=const), то через сечение S2 пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S1, т. е.
Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Соотношение 1 называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости.
2. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S1 и S2, по которой слева направо течет жидкость (рис. 3).
Пусть в месте сечения S1 скорость течения v1 давление Р1 и высота, на которой это сечение расположено, h1. Аналогично, в месте сечения S2 скорость течения v2, давление Р2 и высота сечения h2. За малый промежуток времени Δt жидкость перемещается от сечения S1 к сечению S’1, от S2 к S’2.
Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии E2-E1 идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы жидкости:
где E1 и Е2 — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S1 и S2 соответственно.
С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S1 и S2, за рассматриваемый малый промежуток времени Δt. Для перенесения массы m от S1 до S’1 жидкость должна переместиться на расстояние l1 =v1 Δt и от S2 до S’2 — на расстояние l2 =v2 Δt. Отметим, что 11 и 12 настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 3, приписывают постоянные значения скорости v, давления Р и высоты h. Следовательно,
где F1=P1S1 и F2=-P2S2 (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; рис. 3).
Полные энергии Е1 и Е2 будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:
(4)
(5)
Подставляя (4) и (5) в (2) и приравнивая (2) и (3), получим
(6)
Согласно уравнению неразрывности струи для несжимаемой жидкости (1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.
Разделив выражение (6) на , получим
,
где ρ — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать
=const. (7)
Выражение (7) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальныхжидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.
Величина Р в формуле (7) называется статическим давлением (давление жидкости поверхность обтекаемого ею тела), величина — динамическим давлением. Величина представляет собой гидростатическое давление.
Для горизонтальной трубки тока (h1=h2) выражение (7) принимает вид
=const, (8)
— называется полным давлением.
Из уравнения Бернулли (8) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (1) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис. 4).
В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.
Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито — Прандтля (рис. 5).
Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. I помощью одной из трубок измеряется полное давление (Р0), с помощью другой — статическое (Р). Манометром измеряют разность давлений:
, (9)
где — плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:
(10)
Из формул (9) и (10) получаем искомую скорость потока жидкости:
Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис. 6).
Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом, можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст.= 133,32 Па).
Уравнение Бернулли позволяет описать физические явления лежащие в основе работы целого ряда устройств и приборов: карбюратор, пульверизатор (рис. 7) и др.
3. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЯ. ПРИНЦИП РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис. 8).
Рассмотрим два сечения (на уровне h1 свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h2 выхода ее из отверстия) и напишем уравнение Бернулли:
Так как давления Р1 и Р2 в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. Р1=Р2 , то уравнение будет иметь вид
.
Из уравнения неразрывности (1) следует, что v1/v2 = S1/S2, где S1 и S2 — площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S1>>S2, то членом можно пренебречь и
(11)
Это выражение получило название формулы Торричелли (Э. Торричелли (1608 – 1647) – итальянский физик и математик.
Итак, скорость истечения жидкости из отверстия, расположенного на глубине h под открытой поверхностью, совпадает со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h. Следует помнить, что этот результат получен в предположении, что жидкость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличается от значения (11), чем больше вязкость жидкости.
Струя жидкости, вытекающая из отверстия в сосуде (рис. 9), уносит с собой за время Δt импульс (— плотность жидкости, S — площадь отверстия, v — скорость истечения струи).
Этот импульс сообщается вытекающей жидкости сосудом. По третьему закону Ньютона сосуд получает, от вытекающей жидкости за время Δt импульс, равный — , т. е. испытывает действие силы
(12)
Эта сила называется реакцией вытекающей струи. Если сосуд поставить на тележку, то под действием силы Fr он придет в движение в направлении, противоположном направлению струи.
Найдем значение силы Fr, воспользовавшись выражением (11) для скорости истечения жидкости из отверстия:
(13)
Если бы, как это может показаться на первый взгляд, сила Fr совпадала по величине с силой гидростатического давления, которое жидкость оказывала бы на пробку, закрывающую отверстие, то Fr была бы равна . На самом деле сила Fr оказывается в 2 раза большей. Это объясняется тем, что возникающее при вытекании струи движение жидкости в сосуде приводит к перераспределению давления, причем давление вблизи стенки, лежащей против отверстия, оказывается несколько большим, чем вблизи стенки, в которой сделано отверстие.
На реакции вытекающей струи газа основано действие реактивных двигателей и ракет. Реактивное движение, не нуждаясь для своего осуществления в наличии атмосферы, используется для полетов в космическом пространстве.
Основоположником теории межпланетных сообщений является выдающийся русский ученый и изобретатель (1857—1935). Он дал теорию полета ракеты и обосновал возможность применения реактивных аппаратов для межпланетных сообщений. В частности, Циолковским была разработана теория движения составных ракет, в которых каждая последующая ступень вступает в действие после того, как предыдущая ступень, израсходовав полностью топливо, отделится от ракеты. Идеи Циолковского получили дальнейшее развитие и были осуществлены учеными и инженерами для освоения космического пространства.
Элементы теории движения реальных газов
При движении газа на каждый его объем будут действовать не только те силы, которые характерны для статики, но и другие, сильно усложняющие как явление в целом, так и его математическое описание. Для движения идеального газа этими дополнительными силами будут силы инерции, а для реального газа — силы инерции и трения (вязкости). В механике сплошных сред большое внимание уделяется выводу и использованию соответствующих математических уравнений, описывающих движение идеальных (уравнения Эйлера) и реальных сред (уравнения Навье — Стокса). Уравнения Навье — Стокса настолько сложны, что к настоящему времени решены лишь для крайне ограниченного числа случаев. Эта сложность вызвана сильным влиянием вязкости среды на различные аспекты процесса движения. В силу этого в допустимых случаях прибегают к решению уравнений Эйлера для движения идеальных сред с введением необходимых поправок и уточнений. Таким образом, получено одно из важнейших уравнений гидро- и аэродинамики — уравнение (закон) Бернулли.
Уравнение Бернулли. В практических условиях крайне распространенным является движение в трубах и каналах, когда газ через боковые стенки не расходуется. В таких случаях для расчетов применяется уравнение Бернулли, полученное для струйки тока (трубка тока), характерной тем, что расход газа в любом ее сечении остается неизменным (обмен газом между всем потоком и струйкой тока через ее боковые границы отсутствует).
Для несжимаемого газа (r = const) уравнение Бернулли при условии, что все его члены отнесены к единице объема, имеет вид
rgz +р +rw 2 /2 = const. (14)
В соответствии сэтим величина р является статическим давлением, величина rgz — геометрическим давлением, величина rw 2 /2 — динамическим давлением.
Уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения энергии, поскольку сумма р + rgz характеризует потенциальную, а величина rw 2 /2 — кинетическую энергию.
Как отмечалось выше, в металлургической теплотехнике в подавляющем большинстве случаев пользуются давлением, избыточным над атмосферным. Поэтому полезно уравнение Бернулли привести к такому виду, при котором все члены его были бы выражены в избыточных давлениях. Для этого представим себе канал, окруженный воздухом плотностью rв, по которому движется газ плотностью rг. Принимая плотности газа и воздуха неизменными, напишем уравнение Бернулли и для газа и воздуха применительно к сечениям канала z1и z2.
Уравнение для газа
Уравнение для воздуха (считаем, что воздух находится в спокойном состоянии)
Вычитая из первого второе, получаем уравнение Бернулли для газа в избыточных давлениях:
Если перейти к ранее принятому обозначению через h, то уравнение можно соответственно переписать в таком виде:
(15¢)
Однако равенство hS1 = hS2 строго справедливо лишь для идеальной среды, полностью лишенной вязкости. Но если по каналу перемещается реальная (вязкая) жидкость (газ), то часть энергии тратится на преодоление различных сопротивлений и происходит потеря энергии.
В этом случае при движении от сечения I к сечению II
и окончательно закон Бернулли формулируется следующим образом: «При установившемся течении несжимаемой жидкости (газа) для различных сечений канала сумма давлений всех видов является постоянной».
Рассмотрим, что представляет собой потерянное давление, входящее в уравнение Бернулли.
При движении реального газа часть его энергии расходуется на преодоление различных сопротивлений.
Различают потери на трение и потери на преодоление местных сопротивлений. Потери на местные сопротивления возникают при резком изменении величины и направления скорости, при резком изменении сечения канала, при повороте канала или усложнении его сечения (трубчатый пучок). Величину потерь напора выражают в долях динамического давления.
Потери на трение Лтр можно определить по формуле (Па)
(17)
где l — коэффициент трения; l — длина канала, м; dг— гидравлический диаметр канала, м (для некруглого сечения канала dг =4F/П, F — площадь сечения канала, м 2 ; П — периметр канала, м); r0 и w0 — плотность и скорость жидкости (газа) при нормальных условиях, т. е. при атмосферном давлении и температуре Т0, равной 273 К; Т — действительная температура жидкости или газа, К.
При ламинарном движении (Rе
Дата добавления: 2015-11-10 ; просмотров: 1206 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
http://pandia.ru/text/77/441/80135.php
http://helpiks.org/5-100959.html