Уравнение бернулли для газов имеет вид

1 Динамика жидкости и газа Лекционный материал

Главная > Документ

Уравнение Бернулли для газа

Рассмотрим поток газа, проходящий по трубопроводу переменно­го се­че­ния (рис. 27). В первом сечении приведённое полное давление ра­вно p пр.п1 . При прохождении по трубе часть p пр.п1 необратимо потеря­ется из-за проявле­ния сил внутреннего трения газа и во втором сечении энергетиче­ская хара­к­теристика уменьшится до p пр.п2 на величину потерь давле­ния D p пот .

Уравнение Бeрнулли для газа в простейшем виде записы­вается так:

p пр.п1 = p пр.п2 + D p пот ,

то есть это уравнение для двух сечений потока в направлении его движения, выраженное через приведённые полные давления и отражающее закон со­хра­нения энергии (часть энергии переходит в потери) при движении газа.

Уравнение Бeрнулли в традиционной записи получим, если в по­следнем ра­венстве раскроем значения приведённых полных давлений p пр.п1 и p пр.п2 :

.

Энергетический смысл уравнения Бeрнулли для газа заключается в том, что оно отражает закон сохранения энергии, а геометрический не рассматривается, так как величины в нём выражаются в единицах дав­ления ( Па ), а не на­пора ( м ).

Разность давлений и потери давления

Особенности терминов «разность давлений» и «поте­ри давле­ния » поясним на примерах.

Движение газа происходит только при наличии разности приве­дённых полных давлений

p пр = p пр.п1 — p пр.п2

от точки с большим давлением p пр.п1 к точке с ме­ньшим p пр.п2 . Например, это является условием работы систем естественной вентиляции зданий: для удаления воз­духа из помещения давление p пр.п внутри должно быть боль­ше, чем снару­жи.

Потери давления p пот отражают потерю полной энергии потока при движении газа. Например, чем длиннее воздуховод, меньше его про­ходное сечение, шероховатее его стенки, тем больше будут потери давления в системе вентиляции, что может ухудшить удаление несвежего воздуха из помещений. В покоящемся газе никаких потерь давле­ния нет.

При установившемся движении газа разность давлений равна потерям давления:

p пр = p пот ,

что является уравнением Бернулли в простейшей записи.

Таким образом, «разность давлений » является причиной движения газа, а «потери давления »- следствием. При движении газа они чис­ленно равны. Измеряются они в одних и тех же единицах СИ: паскалях ( Па ).

Два режима движения жидкости (газа) .

Исследование вопроса о механизме движения жидкости (газа) показывает, что в природе существуют два вида (режима) движения жидкости: во-первых, слоистое, упорядоченное или ламинарное движение, при котором отдельные слои жидкости скользят друг относительно друга, не смешиваясь между собой, и, во-вторых, неупорядоченное или турбулентное движение, при котором частицы жидкости движутся по сложным, постоянно меняющимся траекториям и в потоке происходит интенсивное перемешивание микро- и макромасс жидкости. Основной особенностью турбулентного режима течения является наличие поперечных к основному направлению движения составляющих скоростей, накладывающихся на основную скорость в продольном направлении.

Выяснению условий существования ламинарного или турбулентного режима течения жидкости, влияния физических характеристик жидкости на переход из одного режима в другой были посвящены опыты Рейнольдса.

Рейнольдс установил, что основными факторами, определяющими характер режима, являются: средняя скорость движения жидкости , диаметр трубопровода , плотность жидкости , абсолютная вязкость , а переход от ламинарного режима к турбулентному происходит при определенной скорости – критической скорости, различной для труб разных диаметров и возрастающей с увеличением вязкости жидкости и уменьшающейся с уменьшением диаметра трубы.

Для характеристики режима движения жидкости Рейнольдсом был выведен безразмерный параметр , учитывающий влияние перечисленных выше факторов и называемый числом (критерием) Рейнольдса

(1.53)

Так как отношение где — коэффициент кинематической вязкости жидкости (газа), то выражение (1.52) можно записать в виде

(1.54)

Границы существования того или иного режима движения жидкости определяются двумя критическими значениями числа Рейнольдса: нижним критическим числом и верхним критическим числом . При значениях чисел Рейнольдса возможен только ламинарный режим, а при — только турбулентный режим; при наблюдается неустойчивое состояние потока. Таким образом, для определения режима течения необходимо в каждом случае вычислять по выражению (1.53 или 1.54) число Рейнольдса и сопоставлять его с критическим значением.

В опытах самого Рейнольдса значение были следующие: . Последующие эксперименты показали, что критические числа Рейнольдса не являются вполне постоянной величиной и что при определенных условиях неустойчивая зона может быть значительно шире. В настоящее время при практических расчетах принято исходить из одного значения критического числа Рейнольдса, равного , считая, что при всегда имеет место ламинарный режим, а при – всегда турбулентный. При этом движение в неустойчивой зоне исключается из рассмотрения, что приводит к некоторому запасу и большей надежности при гидравлических расчетах в том случае, если в этой зоне в действительности имеет место ламинарный режим течения.

Проведенные исследования особенностей различных режимов движения жидкости показывают, что одновременно с переходом от ламинарного режима к турбулентному изменяется характер распределения скоростей по поперечному сечению потока, а также зависимость потерь энергии (напора). Установлено, что для ламинарного режима характерен параболический закон распределения скоростей по поперечному сечению: скорость жидкости равна нулю непосредственно у стенок трубопровода, а при удалении от них плавно и непрерывно возрастает, достигая максимума на оси трубопровода (рис.3а).

Рисунок 3. Характер распределения скоростей по перечному сечению потока при ламинарном (а) и турбулентном (б) режиме движения.

Турбулентному режиму движения присущ более сложный закон распределения скоростей по поперечному сечению: в пределах большей части поперечного сечения скорость весьма незначительно отличается от максимального значения на оси трубопровода, но при этом начинает резко падать вблизи стенок трубопровода (рис.3б).

Причиной такого более равномерного закона распределения скоростей при турбулентном режиме является наличие поперечных составляющих скоростей частиц жидкости. В результате этого частицы жидкости с большими скоростями на оси потока и с меньшими скоростями на удалении от оси непрерывно сталкиваются, что приводит к выравниванию их скоростей. В тоже время вблизи стенок трубопровода такое взаимное перемещение частиц друг относительно другу нейтрализуется наличием твердой границы (стенки трубопровода), что и обуславливает более интенсивное падение скорости жидкости.

Если обеспечить протекание жидкости по трубопроводу с различной скоростью и замерить при этом величину потерь напора, то графическая зависимость будет иметь следующий вид (рис.4).

Уравнение бернулли для газов имеет вид

Документальные учебные фильмы. Серия «Физика».

Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli; 29 января (8 февраля) 1700 — 17 марта 1782), швейцарский физик-универсал, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750). Сын Иоганна Бернулли.

Закон (уравнение) Бернулли является (в простейших случаях) следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

— плотность жидкости, — скорость потока, — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости, — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости, — ускорение свободного падения.

Уравнение Бернулли также может быть выведено как следствие уравнения Эйлера, выражающего баланс импульса для движущейся жидкости.

В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли(не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли или интегралом Бернулли.

Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.

Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»).

Соотношение, близкое к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли. В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.

Для горизонтальной трубы высота постоянна и уравнение Бернулли принимает вид: .

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности : .

Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового , статического и динамического давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для приближённого описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений), в магнитной гидродинамике, феррогидродинамике.

В статье были спользованны материалы Wikipedia

Уравнение Бернулли ( формула пример)

Уравнение Бернулли Статическое и динамическое давление

Силы притяжения между молекулами в жидкости больше, чем в газах, но значительно меньше, чем в твердых телах. Частицы жидкости легко взаимно смещаются и под действие тления легко перемещаются из области более высокого давления в сторону более низкого. Это называется тече нием жидкости.

Вследствие наличия сил притяжения взаимное смещение частиц жидкости сопровождается некоторым сопротивлением, которое подобно механическому трению между мелкими частицами твердого вещества и называется внутренним трением, или вязкостью, жидкости. Вязкость жидкости проявляется, например, сопротивлением при помешивании жидкости, замедлением при падении в жидкости предметов и т. д.

Рассмотрим вначале стационарное течение идеальной жидкости (идеальной называется несжимаемая жидкость, не имеющая вязкости; стационарным называется течение, при котором величина скорости в любой точке жидкости со временем не изменяется). Установим для этих условий соотношение между давлением р в жидкости, скоростью движения v ее частиц и положением их в поле силы тяжести, характеризуемое высотой Л над некоторым уровнем отсчета (рис. 2).

Уравнение Бернулли

В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия некоторой массы m (имеющей объем V) идеальной жидкости при течении остается неизменной, так как в ней отсутствуют потери на внутреннее трение.

Полная энергия составляется из потенциальной энергии давления (Е_n = pV), потенциальной энергии тяжести (E«_п = mgh) и кинетической энергии (Е_к = m υ 2 /2). На основании сказанного: pV + mgh + (m υ 2 /2) = const.

Соответственно для каких-либо двух положений массы т идеальной жидкости, например в точках А и Б (рис. 2):

Если предпоследнее уравнение разделить почленно на объем V жидкости, то учитывая, что m/V есть плотность ρ жидкости, получим:

Это и есть уравнение Бернулли.

Для движения жидкости в горизонтальных трубках силу тяжести можно не учитывать и тогда уравнение Бернулли принимает вид:

Из этого уравнения следует вывод, называемый правилом Бернулли: давление невязкой жидкости, текущей по горизонтальной трубе, выше там, где скорость ее меньше, и наоборот.

Пример расчета по формуле

Рассмотрим течение жидкости по трубе с неодинаковым сечением. Течение называется непрерывным, если через любое сечение трубы в единицу времени протекает одинаковое количество (объем) жидкости. При этом скорость движения жидкости на участках трубы обратно пропорциональна площади их сечений.

Действительно не трудно доказать, что объем V₀ жидкости, протекающей в единицу времени через любое сечение трубы, может быть выражен произведением площади S сечения трубы на скорость υ течения жидкости: V₀=Sυ. По условию этот объем постоянен для любого сечения трубы, следовательно,

т. е. произведение скорости течения жидкости на поперечное сечение струи есть величина постоянная. Это соотношение называют уравнением неразрывности струи.

Если обозначить сечение и скорость движения на участках трубы соответственно S₁ и υ₁ S₂ и υ₂, то согласно сказанному:

Скорость течения жидкости в трубе с переменным сечением обратно пропорциональна площади этих сечений.

При этом в соответствии с правилом Бернулли на участках меньшего сечения трубы давление будет ниже, на участках большего сечения — выше (рис. , а). Поясним механизм этого явления. При переходе на участок трубы меньшего сечения (линия ab на рис. , б) частицы жидкости ускоряются, на что затрачивается часть силы Р₄, создающей давление на более широком участке (по условию равновесия частиц жидкости Р₁= Р₂+F_у, где Р₂ — сила, создающая давление на суженном участке, F_у — сила, обеспечивающая ускорение частиц).

Наоборот, при переходе на участок с большим сечением (линия cd на рис. 82, б) частицы жидкости набегают на лежащую впереди и более медленно двигающуюся массу жидкости и, затормаживаясь, создают дополнительную силу F_т, повышающую давление на более широком участке (аналогично P₃=P₂ + F_т).

Можно подобрать условия, при которых давление жидкости в сужен ном участке трубы станет ниже атмосферного и тогда в этом месте струя будет обладать всасывающим действием. Всасывающее действие струи газа, пара или воды, выходящей из суженного отверстия с большой скоростью, используется в ряде приборов, применяемых в медицинской практике (ингалятор, водоструйный насос и др.).

Паровой ингалятор

Это прибор для вдыхания жидких лекарственных веществ в распыленном виде. Он состоит из кипятильника В, стакана К с лекарственной жидкостью и вставленной в него тонкой трубкой Т и направляющего патрубка С. Струя пара выходит из трубки кипятильника с большой скоростью. Вследствие этого давление около ее отверстия падает и лекарственная жидкость, всасываясь по трубке Т, поступает в струю, распыляется и, смешиваясь с паром, вдыхается больным через патрубок С

Водоструйный насос состоит из стеклянного сосуда Н, в который впаяно три трубки. Трубка имеет на конце коническое сужение. Насос присоединяется к водоводу и колбе К, из которой производится отсасывание. Вода, имеющая достаточно высокое давление, выходит из суженного конца трубки 1 с большей скоростью. Давление у отверстия трубки резко снижается и в сосуд А через трубку 2 засасывается воздух или жидкость, которые вместе с водой удаляются через трубку 3. Водоструйный насос удобен тем, что он не имеет вращающихся частей, требующих смазки, бесшумен и гигиеничен. Поэтому он часто применяется в лабораториях, операционных и т. п.

В уравнении Бернулли давление р называется статическим давлением р_с жидкости. Оно может быть измерено обычным манометром, который двигается вместе с жидкостью, или практически при помощи неподвижной манометрической трубки, плоскость отверстия которой расположена параллельно направлению движения жидкости.

Второй член уравнения Бернулли (ρυ₂/2)также имеет размерность давления и называется динамическим давлением р_д в жидкости. Сумма статического и динамического давлений называется полным давлением р в жидкости:

Для измерения его применяют манометрическую трубку, изогнутую под прямым углом и помещенную отверстием навстречу движению жидкости. Частицы жидкости, заходящие в отверстие трубки полностью тормозятся в ней: скорость υ₂ частиц жидкости в отверстии рав няется нулю: υ ₂=0. Тогда по уравнению Бернулли

Следовательно, давление р₂ в трубке:

где р₁ — давление и υ₁ — скорость движущейся жидкости

Если в струю жидкости поставить рядом две такие трубки, то разность уровней в трубках будет соответствовать динамическому давлению. На этом основан способ измерения скорости движения жидкости или газа В струю погружают две скрепленные вместе измерительные трубки, прямую и изогнутую (подобное устройство называется трубкой Пито), которые соединяются с U= образным манометром. Манометр покажет динамическое давление, по величине которого, пользуясь приведенной выше формулой, вычисляют искомую скорость:

Статья на тему Уравнение Бернулли

Похожие страницы:

Понравилась статья поделись ей

Leave a Comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.