Уравнение бернулли для идеальных газов

Уравнение бернулли для идеальных газов

С учетом выражений для кинетической энергии и энергии силы давления потока запишем уравнение Бернулли в виде

В соответствии с уравнением неразрывности массовый расход

Для идеального несжимаемого газа
= сonst.

Поэтому для идеального несжимаемого газа уравнение Бернулли запишем в виде

где
– скоростной напор ( динамическое давление, Па);
p – статическое давление, (Па).

Для идеального несжимаемого газа сумма скоростного напора и статического давления в струйке есть величина постоянная, т.е. с увеличением скорости V давление в струйке p падает, и наоборот.

Знание основных законов аэродинамики позволяет построить математическую модель картины обтекания тела свободным потоком (без учета пограничного слоя) и определить значения аэродинамических сил, зависящих от распределения давления по поверхности тела.

1 Динамика жидкости и газа Лекционный материал

Главная > Документ

Уравнение Бернулли для газа

Рассмотрим поток газа, проходящий по трубопроводу переменно­го се­че­ния (рис. 27). В первом сечении приведённое полное давление ра­вно p пр.п1 . При прохождении по трубе часть p пр.п1 необратимо потеря­ется из-за проявле­ния сил внутреннего трения газа и во втором сечении энергетиче­ская хара­к­теристика уменьшится до p пр.п2 на величину потерь давле­ния D p пот .

Уравнение Бeрнулли для газа в простейшем виде записы­вается так:

p пр.п1 = p пр.п2 + D p пот ,

то есть это уравнение для двух сечений потока в направлении его движения, выраженное через приведённые полные давления и отражающее закон со­хра­нения энергии (часть энергии переходит в потери) при движении газа.

Уравнение Бeрнулли в традиционной записи получим, если в по­следнем ра­венстве раскроем значения приведённых полных давлений p пр.п1 и p пр.п2 :

.

Энергетический смысл уравнения Бeрнулли для газа заключается в том, что оно отражает закон сохранения энергии, а геометрический не рассматривается, так как величины в нём выражаются в единицах дав­ления ( Па ), а не на­пора ( м ).

Разность давлений и потери давления

Особенности терминов «разность давлений» и «поте­ри давле­ния » поясним на примерах.

Движение газа происходит только при наличии разности приве­дённых полных давлений

p пр = p пр.п1 — p пр.п2

от точки с большим давлением p пр.п1 к точке с ме­ньшим p пр.п2 . Например, это является условием работы систем естественной вентиляции зданий: для удаления воз­духа из помещения давление p пр.п внутри должно быть боль­ше, чем снару­жи.

Потери давления p пот отражают потерю полной энергии потока при движении газа. Например, чем длиннее воздуховод, меньше его про­ходное сечение, шероховатее его стенки, тем больше будут потери давления в системе вентиляции, что может ухудшить удаление несвежего воздуха из помещений. В покоящемся газе никаких потерь давле­ния нет.

При установившемся движении газа разность давлений равна потерям давления:

p пр = p пот ,

что является уравнением Бернулли в простейшей записи.

Таким образом, «разность давлений » является причиной движения газа, а «потери давления »- следствием. При движении газа они чис­ленно равны. Измеряются они в одних и тех же единицах СИ: паскалях ( Па ).

Два режима движения жидкости (газа) .

Исследование вопроса о механизме движения жидкости (газа) показывает, что в природе существуют два вида (режима) движения жидкости: во-первых, слоистое, упорядоченное или ламинарное движение, при котором отдельные слои жидкости скользят друг относительно друга, не смешиваясь между собой, и, во-вторых, неупорядоченное или турбулентное движение, при котором частицы жидкости движутся по сложным, постоянно меняющимся траекториям и в потоке происходит интенсивное перемешивание микро- и макромасс жидкости. Основной особенностью турбулентного режима течения является наличие поперечных к основному направлению движения составляющих скоростей, накладывающихся на основную скорость в продольном направлении.

Выяснению условий существования ламинарного или турбулентного режима течения жидкости, влияния физических характеристик жидкости на переход из одного режима в другой были посвящены опыты Рейнольдса.

Рейнольдс установил, что основными факторами, определяющими характер режима, являются: средняя скорость движения жидкости , диаметр трубопровода , плотность жидкости , абсолютная вязкость , а переход от ламинарного режима к турбулентному происходит при определенной скорости – критической скорости, различной для труб разных диаметров и возрастающей с увеличением вязкости жидкости и уменьшающейся с уменьшением диаметра трубы.

Для характеристики режима движения жидкости Рейнольдсом был выведен безразмерный параметр , учитывающий влияние перечисленных выше факторов и называемый числом (критерием) Рейнольдса

(1.53)

Так как отношение где — коэффициент кинематической вязкости жидкости (газа), то выражение (1.52) можно записать в виде

(1.54)

Границы существования того или иного режима движения жидкости определяются двумя критическими значениями числа Рейнольдса: нижним критическим числом и верхним критическим числом . При значениях чисел Рейнольдса возможен только ламинарный режим, а при — только турбулентный режим; при наблюдается неустойчивое состояние потока. Таким образом, для определения режима течения необходимо в каждом случае вычислять по выражению (1.53 или 1.54) число Рейнольдса и сопоставлять его с критическим значением.

В опытах самого Рейнольдса значение были следующие: . Последующие эксперименты показали, что критические числа Рейнольдса не являются вполне постоянной величиной и что при определенных условиях неустойчивая зона может быть значительно шире. В настоящее время при практических расчетах принято исходить из одного значения критического числа Рейнольдса, равного , считая, что при всегда имеет место ламинарный режим, а при – всегда турбулентный. При этом движение в неустойчивой зоне исключается из рассмотрения, что приводит к некоторому запасу и большей надежности при гидравлических расчетах в том случае, если в этой зоне в действительности имеет место ламинарный режим течения.

Проведенные исследования особенностей различных режимов движения жидкости показывают, что одновременно с переходом от ламинарного режима к турбулентному изменяется характер распределения скоростей по поперечному сечению потока, а также зависимость потерь энергии (напора). Установлено, что для ламинарного режима характерен параболический закон распределения скоростей по поперечному сечению: скорость жидкости равна нулю непосредственно у стенок трубопровода, а при удалении от них плавно и непрерывно возрастает, достигая максимума на оси трубопровода (рис.3а).

Рисунок 3. Характер распределения скоростей по перечному сечению потока при ламинарном (а) и турбулентном (б) режиме движения.

Турбулентному режиму движения присущ более сложный закон распределения скоростей по поперечному сечению: в пределах большей части поперечного сечения скорость весьма незначительно отличается от максимального значения на оси трубопровода, но при этом начинает резко падать вблизи стенок трубопровода (рис.3б).

Причиной такого более равномерного закона распределения скоростей при турбулентном режиме является наличие поперечных составляющих скоростей частиц жидкости. В результате этого частицы жидкости с большими скоростями на оси потока и с меньшими скоростями на удалении от оси непрерывно сталкиваются, что приводит к выравниванию их скоростей. В тоже время вблизи стенок трубопровода такое взаимное перемещение частиц друг относительно другу нейтрализуется наличием твердой границы (стенки трубопровода), что и обуславливает более интенсивное падение скорости жидкости.

Если обеспечить протекание жидкости по трубопроводу с различной скоростью и замерить при этом величину потерь напора, то графическая зависимость будет иметь следующий вид (рис.4).

Элементы теории движения реальных газов

При движении газа на каждый его объем будут дейст­вовать не только те силы, которые характерны для стати­ки, но и другие, сильно усложняющие как явление в целом, так и его математическое описание. Для движения идеаль­ного газа этими дополнительными силами будут силы инер­ции, а для реального газа — силы инерции и трения (вяз­кости). В механике сплошных сред большое внимание уделяется выводу и использованию соответствующих мате­матических уравнений, описывающих движение идеальных (уравнения Эйлера) и реальных сред (уравнения Навье — Стокса). Уравнения Навье — Стокса настолько сложны, что к настоящему времени решены лишь для крайне огра­ниченного числа случаев. Эта сложность вызвана сильным влиянием вязкости среды на различные аспекты процесса движения. В силу этого в допустимых случаях прибегают к решению уравнений Эйлера для движения идеальных сред с введением необходимых поправок и уточнений. Та­ким образом, получено одно из важнейших уравнений гидро- и аэродинамики — уравнение (закон) Бернулли.

Уравнение Бернулли. В практических условиях крайне распространенным является движение в трубах и каналах, когда газ через боковые стенки не расходуется. В таких случаях для расчетов применяется уравнение Бернулли, полученное для струйки тока (трубка тока), характерной тем, что расход газа в любом ее сечении остается неизмен­ным (обмен газом между всем потоком и струйкой тока через ее боковые границы отсутствует).

Для несжимаемого газа (r = const) уравнение Бернул­ли при условии, что все его члены отнесены к единице объ­ема, имеет вид

rgz +р +rw 2 /2 = const. (14)

В соответствии сэтим величина р является статическим давлением, величина rgz — геометрическим давлением, величина rw 2 /2 — динамическим давлением.

Уравнение Бернулли представляет собой закон сохра­нения энергии, поскольку сумма р + rgz характеризует потенциальную, а величина rw 2 /2 — кинетическую энергию.

Как отмечалось выше, в металлургической теплотехни­ке в подавляющем большинстве случаев пользуются дав­лением, избыточным над атмосферным. Поэтому полезно уравнение Бернулли привести к такому виду, при котором все члены его были бы выражены в избыточных давлениях. Для этого представим себе канал, окруженный воздухом плотностью r_в, по которому движется газ плотностью r_г. Принимая плотности газа и воздуха неизменными, напи­шем уравнение Бернулли и для газа и воздуха примени­тельно к сечениям канала z₁и z₂.

Уравнение для газа

Уравнение для воздуха (считаем, что воздух находится в спокойном состоянии)

Вычитая из первого второе, получаем уравнение Бер­нулли для газа в избыточных давлениях:

Если перейти к ранее принятому обозначению через h, то уравнение можно соответственно переписать в таком виде:

(15¢)

Однако равенство h_S1 = h_S2 строго справедливо лишь для идеальной среды, полностью лишенной вязкости. Но если по каналу перемещается реальная (вязкая) жид­кость (газ), то часть энергии тратится на преодоление различных сопротивлений и происходит потеря энергии.

В этом случае при движении от сечения I к сечению II

и окончательно закон Бернулли формулируется следующим образом: «При установившемся течении несжимаемой жид­кости (газа) для различных сечений канала сумма давле­ний всех видов является постоянной».

Рассмотрим, что представляет собой потерянное давле­ние, входящее в уравнение Бернулли.

При движении реального газа часть его энергии расхо­дуется на преодоление различных сопротивлений.

Различают потери на трение и потери на преодоление местных сопротивлений. Потери на местные сопротивления возникают при резком изменении величины и направления скорости, при резком изменении сечения канала, при пово­роте канала или усложнении его сечения (трубчатый пу­чок). Величину потерь напора выражают в долях динами­ческого давления.

Потери на трение Л_тр можно определить по формуле (Па)

(17)

где l — коэффициент трения; l — длина канала, м; d_г— гидравлический диаметр канала, м (для некруглого сече­ния канала d_г =4F/П, F — площадь сечения канала, м 2 ; П — периметр канала, м); r₀ и w₀ — плотность и скорость жидкости (газа) при нормальных условиях, т. е. при атмос­ферном давлении и температуре Т₀, равной 273 К; Т — действительная температура жидкости или газа, К.

При ламинарном движении (Rе

Дата добавления: 2015-11-10 ; просмотров: 1204 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ