Гидродинамика. Линии тока. Уравнение Бернулли.
Гидродинамика — раздел физики сплошных сред, изучающий движение идеальных и реальных жидкости и газа. Как и в других разделах физики сплошных сред, прежде всего, осуществляется переход от реальной среды, состоящей из большого числа отдельных атомов или молекул, к абстрактной сплошной среде, для которой и записываются уравнения движения.
С точки зрения механики, жидкостью называется вещество, в котором в равновесии отсутствуют касательные напряжения. Если движение жидкости не содержит резких градиентов скорости, то касательными напряжениями и вызываемым ими трением можно пренебречь и при описании течения. Если вдобавок малы градиенты температуры, то можно пренебречь и теплопроводностью, что и составляет приближение идеальной жидкости. В идеальной жидкости, таким образом, рассматриваются только нормальные напряжения, которые описываются давлением. В изотропной жидкости, давление одинаково по всем направлениям и описывается скалярной функцией.
1) векторного поля р, линии, в каждой точке которых касательная имеет направление вектора поля в этой точке. Дифференциальные уравнения Л. т. имеют вид:
где p1, p2, p3 — координаты вектора поля, а х, у, z — координаты точки Л. т.
2) В гидроаэромеханике, линия, в каждой точке которой касательная к ней совпадает по направлению со скоростью частицы жидкости в данный момент времени. Совокупность Л. т. позволяет наглядно представить в каждый данный момент времени поток жидкости, давая как бы моментальный фотографический снимок течения. Они могут быть сделаны видимыми с помощью взвешенных частиц, внесённых в поток (например, алюминиевый порошок в воде, дым в воздухе)
Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:
— плотность жидкости,
— скорость потока,
— высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,
— давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,
— ускорение свободного падения.
Константа в правой части обычно называется напором, или полным давлением, а также интегралом Бернулли. Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости.
Это соотношение, выведенное Даниилом Бернулли в 1738 г., было названо в его честь уравнением Бернулли.
Для горизонтальной трубы h = 0 и уравнение Бернулли принимает вид: .
Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности ρ: .
Согласно закону Бернулли полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.
Полное давление состоит из гидростатического (ρgh), атмосферного (p) и динамического давлений.
Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа.
Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю, то есть таких жидкостей, которые не прилипают к поверхности трубы.
Уравнение бернулли для линии тока
Гидродинамика представляет собой раздел механики сплошных сред, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей и взаимодействие несжимаемых жидкостей с твердыми телами.
1.6.1. Линии и трубки тока. Неразрывность струи
Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени. Совокупность векторов , заданных для всех точек пространства, образует поле векторов скорости. Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала по направлению с вектором (Рис. 1.6.1). Эти линии называются линиями тока .
Рис. 1.6.1. Линии тока в жидкости
Густота линий (отношение числа линий к единичной площадке) пропорциональна величине скорости в данном месте.
Картина линий тока может непрерывно меняться. Если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным, то такое движение называется установившимся, или стационарным . Линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц.
Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока . Вектор скорости будет касательным к поверхности трубки тока; следовательно, частицы жидкости при своем движении не пересекают стенок трубки тока.
Возьмем перпендикулярное к направлению скорости сечение трубки тока S (Рис. 1.6.2).
Рис. 1.6.2. Трубка тока
Предположим, что скорость движения частиц жидкости одинакова во всех точках этого сечения. За время dt через сечение S пройдут все частицы, расстояние которых от S в начальный момент времени не превышает значения vdt. Следовательно, за время dt через сечение S пройдет объем жидкости, равный Svdt, а за единицу времени через сечение S пройдет объем жидкости, равный Sv. Возьмем трубку тока, настолько тонкую, что в каждом ее сечении скорость можно считать постоянной. Если жидкость несжимаема (ее плотность одинакова и не изменяется), то количество жидкости между сечениями S1 и S2 (Рис.1.6.3) будет оставаться неизменным.
Рис. 1.6.3. К теореме о неразрывности струи
Отсюда следует, что объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сечения S1 и S2, должны быть одинаковыми (считаем, что через боковую поверхность трубки тока частицы жидкости не проходят):
Данный результат представляет собой содержание теоремы о неразрывности струи . Из соотношения (1.6.1) следует, что при переменном сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением. В горизонтальной трубке тока (Рис.1.6.4) это ускорение может быть обусловлено только непостоянством давления вдоль оси трубки — в местах, где скорость меньше, давление должно быть больше, и наоборот.
Рис. 1.6.4. Изменение скорости струи
1.6.2. Уравнение Бернулли
Рассматривая движение жидкостей, во многих случаях можно считать, что перемещение одних частей жидкости относительно других не связано с трением. Жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной.
Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения (Рис.1.6.5). Рассмотрим малый объем жидкости, ограниченной стенками трубки тока и перпендикулярными сечениями S1 и S2. За время Δt этот объем переместится вдоль трубки тока (сечение S1 переместится в положение S1‘, пройдя путь Δl1, сечение S2 переместится в положение S2‘, пройдя путь Δl2). В силу неразрывности струи заштрихованные объемы будут иметь одинаковую величину: ΔV1 = ΔV2 =ΔV.
Рис. 1.6.5. К выводу уравнения Бернулли
Энергия каждой частицы жидкости складывается из ее кинетической энергии и потенциальной энергии в поле силы тяжести. Вследствие стационарности течения частица, находящаяся спустя время Δt в любой из точек незаштрихованного объема (например, в точке О), имеет такую же скорость, какую имела частица, находившаяся в той же точке в начальный момент времени. Поэтому приращение энергии ΔЕ можно вычислить как разность энергий заштрихованных объемов ΔV1 и ΔV2.
Возьмем сечение трубки тока и отрезки Δl настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объемов можно было приписать одно и то же значение скорости v, давления р и высоты h. Тогда приращение энергии запишется следующим образом (ρ — плотность жидкости):
В идеальной жидкости силы трения отсутствуют. Поэтому приращение энергии (1.6.2) должно равняться работе, совершаемой над выделенным объемом силами давления. Силы давления на боковую поверхность перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения частиц, к которым оно приложены, и работы не совершают. Отлична от нуля лишь работа сил давления, приложенных к сечениям S1 и S2:
Приравнивая (1.6.2) и (1.6.3), после упрощения получим:
Сечения S1 и S2 были взяты совершенно произвольно. Поэтому полученный результат можно сформулировать следующим образом: в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие:
Данное соотношение носит наименование уравнения Бернулли . Несмотря на то, что оно получено в приближении идеальности жидкости, оно достаточно хорошо выполняется для реальных жидкостей, внутреннее трение в которых не слишком велико.
Пусть жидкость течет так, что скорость имеет во всех точках одинаковую величину. Тогда будет выполняться равенство:
откуда следует, что распределение давления в этом случае будет таким же, как и в покоящейся жидкости.
Для жидкости, текущей горизонтально, выполняется:
т.е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше.
1.6.3. Силы внутреннего трения
Всем реальным жидкостям и газам присуща вязкость, или внутреннее трение. Вязкость проявляется в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается.
Рассмотрим такой опыт. Пусть в жидкость погружены две параллельные друг другу пластины (Рис. 1.6.6), линейные размеры которых значительно превосходят расстояние d между ними.
Рис. 1.6.6. Внутреннее трение в жидкостях
Считаем нижнюю пластину неподвижной, а верхняя приводится в движение относительно нижней с некоторой скоростью v0. Опыт показывает, что для перемещения верхней пластины с постоянной скоростью v0 необходимо действовать на нее с вполне определенной постоянной силой . Поскольку пластина не получает ускорения, то действие этой силы уравновешивается равное по величине, но противоположно направленной силой .
Из опыта следует, что выполняется:
где S — площадь пластин, h — коэффициент пропорциональности, зависящий от природы и состояния жидкости, называемы коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости.
Нижняя пластина при перемещении верхней пластины также оказывается подверженной действию силы , по величине равной силе . Чтобы нижняя пластина оставалась неподвижной, должно выполняться: . Воздействие пластин друг на друга осуществляется через жидкость, заключенную между пластинами, передаваясь от одного слоя к другому. Если в любом месте зазора провести плоскость, параллельную пластинам, то можно утверждать, что часть жидкости, лежащая над этой плоскостью, действует на часть жидкости, лежащую под плоскостью, с силой . Следовательно, соотношение (1.6.8) определяет не только силу трения, действующую на пластины, но и силу трения между соприкасающимися частями жидкости.
Если исследовать скорость частиц жидкости в разных слоях, то оказывается, что она изменяется в направлении z, перпендикулярном к пластинам, по линейному закону:
Действительно, частицы жидкости, непосредственно соприкасающиеся с пластинами, как бы прилипают к ним и движутся с той же скоростью, что и пластины. Из (1.6.9) следует:
Подставляя (1.6.10) в (1.6.8), имеем:
Следовательно, сила трения пропорциональна градиенту скорости.
Единицей вязкости в СИ является такая вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 м/с на 1 м, приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 Н на 1 м² поверхности касания слоев (1 Н·с/м²). В СГС единицей вязкости служит 1 пуаз (пз), равный такая вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 см/с на 1 см, приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 дин на 1 см² поверхности касания слоев. 1 Н·с/м² = 10 пз.
Коэффициент вязкости зависит от температуры, причем у жидкостей вязкость сильно уменьшается с температурой, у газов, напротив, коэффициент вязкости с температурой возрастает. Такое различие указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах. При повышении температуры сильно возрастает подвижность молекул в жидкости, что и влечет уменьшение ее вязкости.
© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2013
Уравнение Бернулли. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости
В движущейся идеальной жидкости, плотность которой , выделим элементарный параллелепипед размерами и запишем дифференциальные уравнения движения этого объема жидкости в координатной форме, рассматривая его как материальную точку.
На элемент действуют составляющие сил давления и массовых сил, интенсивность которых на единицу массы по направлению осей равна (рис. 6.1).
Рис. 6.1 |
На рисунке показаны только составляющая массовых сил по оси , давление на гранях перпендикулярных оси и составляющая ускорения по оси , что позволяет записать уравнение движения выделенного объема в направлении оси
. | (6.1) |
Так как масса элементарного объема легко определяется через массовую плотность
, | (6.2) |
то после деления обеих частей уравнения (6.1) на (6.2), получаем
. | (6.3) |
С учетом того, что , где – проекция скорости элементарного объема на ось , уравнение (6.3) принимает вид
. | (6.4) |
Действуя аналогично можно получить уравнения движения выделенного элемента в направлении осей и . Таким образом система дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид
, , | (6.5) |
Уравнение Бернулли для установившегося движения при действии
Последовательно умножим уравнения (6.5) на и сложим полученные результаты
(6.6) |
При установившемся движении
, | (6.7) |
тогда в рассматриваемый момент времени
. | (6.8) |
В движущейся жидкости размеры элементарного параллелепипеда можно определить через составляющие скорости частицы
. | (6.9) |
С учетом (6.9) правая часть уравнения (6.6) приводится к виду
(6.10) |
Если движение жидкости происходит в потенциальном силовом поле, то составляющие интенсивности массовых сил определяются через потенциальную энергию этого поля, приведенную к единице массы
(6.11) |
Принимая во внимание (6.11), первое слагаемое в левой части уравнения (6.6) можно записать так
(6.12) |
С учетом (6.8), (6.10), (6.12) уравнение (6.6) принимает следующий вид
(6.13) |
Так как идеальная жидкость – это несжимаемая жидкость, и (6.13) можно записать в виде
, | (6.14) |
. | (6.15) |
Уравнение (6.15) и является уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости при установившемся движении, когда элементарную струйку можно отождествлять с линией тока. Для различных линий тока значения константы в уравнении (6.15) будут разными.
Замечание. Более детальное изучение движения частицы жидкости позволяет установить, что при изменении положения в пространстве происходит изменение ее формы и объема. Движение можно представить как сумму трех движений: поступательного (вместе с полюсом), деформационного (за счет изменения размеров) и вращательного (вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс).
По характеру движения частиц различаютвихревое и потенциальное движения.
Вихревым движением называют такое движение, при котором движущиеся частицы жидкости вращаются вокруг осей, проходящих через их полюсы. Вихревое движение характеризуется вихревыми линиями – линиями, в каждой точке которых касательная совпадает с вектором угловой скорости .
Движение, при котором такое вращение отсутствует, называется безвихревым или потенциальным движением.
Уравнение Бернулли справедливо:
· вдоль линии тока;
· на вихревых линиях;
· при винтовом движении, когда векторы линейной и угловой скоростей параллельны (линия тока совпадает с вихревой линией);
· при потенциальном движении;
· при статическом равновесии жидкости.
Проведем детальное рассмотрение параметров, характеризующих движение жидкой частицы, но ограничимся только движением в плоскости xy (рис. 6.2).
Рис. 6.2 |
Частица жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 6.1) имеет в точке О локальную скорость, составляющие которой равны , . Если О полюс, движущейся частицы, за время сместится на расстояние в направлении оси x и на расстояние в направлении оси y, то за счет приращения скорости в направлении осей и ребра частицы получат абсолютные удлинения:
— по оси ; — по оси . | (6.16) |
Кроме деформаций удлинения частица в окрестности точки О претерпевает деформации сдвига, характеризуемые углами и
; . | (6.17) |
Суммарную деформацию сдвига в плоскости равную можно разложить на две составляющие:
деформацию сдвига, характеризуемую углами
(6.18) |
и поворот частицы относительно оси , проходящей через полюс О, на угол
(6.19) |
Следовательно, изменение положения и формы частицы в плоскости характеризуется:
скоростями линейных относительных деформаций
, | (6.20) |
скоростью деформации сдвига
(6.21) |
угловой скоростью вращения частицы относительно оси
(6.22) |
В общем случае деформационное движение частицы характеризуется:
скоростями линейных деформаций
, , ; | (6.23) |
скоростями угловых деформаций
; | (6.24) |
составляющими мгновенных угловых скоростей
; | (6.25) |
Вектор мгновенной угловой скорости направлен по нормали к плоскости в которой происходит вращение, а его модуль легко определяется по составляющим
. | (6.26) |
С направлением вектора связано определение вихревой линии – линии, в каждой точке которой вектор угловой скорости совпадает с направлением касательной к этой линии (рис.6.3).
Рис. 6.3 |
Дифференциальное уравнение вихревой линии имеет вид
, | (6.27) |
где рассматривается как параметр.
http://www.kgau.ru/distance/2013/et4/001/01_06.htm
http://helpiks.org/9-42492.html