Уравнение бернулли для невязкой жидкости

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли для струйки жидкости формулируется следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Уравнение Бернулли выглядит так:

Подробное описание всех входящих в состав уравнения параметров уже описан в этой статье.

Содержание статьи

Смысл уравнения Бернулли

По существу вывода уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости представляет собой закон сохранения механической энергии, составленный применительно к единице массового расхода жидкости. Это следует из того, что в процессе вывода значения работы сил, приложенных к выделенному объему струйки и значения кинетической энергии этого объема были поделены на величину ρqΔT.

Отсюда вытекает, что поскольку член υ 2 /2 является мерой кинетической энергии единицы массы движущейся жидкости, то сумма членов gz+p/ρ будет мерилом ее потенциальной энергии.

В отношении величины gz это очевидно, ведь если частица жидкости массы m расположена на высоте z относительно некоторой плоскости и находится под действием сил тяжести, то способность ее совершить работу, т.е. её потенциальная энергия относительно этой плоскости равняется mgz. Но если её поделить на массу частиц m, то эта часть потенциальной энергии даст величину gz.

Для более ясного физического представления о том, что потенциальная энергия измеряется величиной p/ρ рассмотрим такую схему: пусть к трубе, заполненной жидкостью с избыточным давлением p, присоединен пьезометр, снабженный на входе в него краном.

Кран сначала закрыт, т.е. пьезометр свободен от жидкости, а элементарный объем жидкости ΔV массой ρ*ΔV перед краном находится под давлением p.

Если затем открыть кран, то жидкость в пьезометре поднимется на некоторую высоту, равную

Таким образом, единица массы, находящейся под давлением p, как бы несет в себе ещё заряд потенциальной энергии, определяемой величиной p/ρ.

В гидравлике для характеристики удельной энергии обычно используется понятие напор, под которым понимают энергию жидкости, отнесенную к единице силы тяжести, а не её массы. В соответствии с этим уравнение Бернулли записанное в начале этой статьи примет вид

Такое уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости в другой форме, весьма удобно для гидравлических расчетов и может быть сформулировано следующим образом.

Для элементарной струйки идеальной жидкости полный напор, т.е. сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров, есть величина постоянная во всех её сечениях.

Отсюда следует, что между напором и удельной энергией существует очень простая зависимость

где э – удельная энергия

Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости

Если вместо идеальной жидкости рассматривать жидкость реальную, то уравнение Бернулли для реальной жидкости должно принять несколько другой вид.

При движении идеальной жидкости её полная удельная энергия или напор сохраняет постоянное значение по длине струйки, а при движении реальной жидкости эта энергия будет убывать по направлению движения. Причиной этого являются затраты энергии на преодоление сопротивлений движению, обусловленные внутренним трением в вязкой жидкости.

Если же мы рассмотрим два сечения для струйки идеальной жидкости: 1-1 в начале и 2-2 в конце струйки, то полная удельная энергия будет

Полная удельная энергия для сечения 1-1 всегда будет больше, чем полная удельная энергия для сечения 2-2 на некоторую величину потерь, и уравнение Бернулли в этом случае получается

Величина Э_1-2 представляет собой меру энергии, потерянную единицей массы жидкости на преодоление сопротивлений при её движениями между указанными сечениями.

Соответствующий этой потере удельной энергии напор называют потерей напора между сечениями 1-1 и 2-2 и обозначают h_1-2 . Поэтому уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости можно представить в виде

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости это еще только половина дела, ведь в при решении различных практических вопросов о движении жидкостей приходится иметь дело с потоками конечных размеров. Уравнение Бернулли в этом случае может быть получено, исходя из рассмотрения потока как совокупности множества элементарных струек.

Учитывая, что все струйки движутся с одной и той же средней скоростью форма записи уравнения Бернулли для потока идеальной жидкости становится идентичной его записи для элементарной струйки.

В таком виде уравнение Бернулли обычно и применяется при решении практических задач для потоков однородной несжимаемой жидкости при установившемся движении, происходящем под действием одной силы тяжести.

Такое уравнение составляется для различных живых сечений потока, вблизи которых движение жидкости должно удовлетворять условиям медленно изменяющегося движения, хотя на пути между этими сечениями движение может и не удовлетворять указанным условиям.

Слагаемое h_1-2 в этом уравнении показывает потери напора на преодоление сопротивлений движению жидкости. При этом в гидравлике различают два основных вида сопротивлений:
— h_лп — линейные потери — сопротивления, проявляющиеся по всей длине потока, обусловленные силами трения частиц жидкости друг о друга и о стенки, ограничивающие поток.
— h_мп — местные потери – местные сопротивления, обусловленные различного рода препятствиями, устанавливаемыми в потоке (задвижка, кран, колено), приводящими к изменениям величины или направления скорости течения жидкости

Поэтому полная потеря напора между двумя сечениями потока при наличии сопротивлений обоих видов будет

Видео по теме

Уравнение Бернулли подходит и для газов. Явление уменьшения давления при повышении скорости потока является основой работы различных приборов для измерения расхода. Закон Бернулли справедлив и для жидкостей вязкость которых равна нулю. При описании течения таких жидкостей используют уравнение Бернулли с добавлением слагаемых учитывающих потери на местные сопротивления.

Уравнение Бернулли для потоков вязкой и невязкой жидкостей

Для элементарной струйки в потоке жидкости уравнение Бернулли имеет вид: , так как для потока: e_к = av 2 /2g, где a » 1.1 — опытный коэффициент кинетической энергии, то: — основное уравнение гидродинамики. Уравнение Бернулли устанавливает связь между скоростью движения, давлением и геометрическим расположением точек живого сечения потока.

28 вопрос Энергетический и геометрический смысл уравнения Бернулли для потока жидкости

Энергетический смысл: — полная удельная энергия потока в живом сечении, так как — потенциальная удельная энергия давления, а z — потенциальная удельная энергия положения, то — удельная кинетическая энергия, где v — средняя скорость в сечении; hw_1-2 — затраты энергии на преодоление сил сопротивления.

Геометрический смысл: — полный напор, так как — пьезометрический напор, а z — напор положения, то — скоростной напор; hw_1-2 — потерянный напор.

Пьезометрическая линия — ГМТ концов отрезков суммы . Пьезометрический уклон — изменение пьезометрической линии на единицу длинны. Напорная линия — ГМТ концов отрезков суммы . Гидравлический уклон — изменение напорной линии на единицу длинны

Равномерным движением называют такое движение, параметры которого не изменяются ни во времени, ни в пространстве. Таким образом, равномерное движение всегда является установившимся.

При неравномерном движении параметры изменяются в пространстве. Неравномерное движение может быть как неустановившимся, так и установившимся. Неустановившееся движение всегда является неравномерным.

При напорном движении поток соприкасается со всеми точками периметра живого сечения и не имеет свободной поверхности.

При безнапорном движении поток движется со свободной поверхностью.

. Совместное использование ур-ия Бернулли и гидравлического уравнения неразрывности

Уравнения могут быть использованы совместно при условии постоянного расхода

Q = ωύ = const. При установившемся движении несжимаемой жидкости произведение площади живого сечения на среднюю скорость потока является постоянной величиной.

ω1ύ1= ω2ύ2= ωύ = const, ύ1\ ύ2= ω2\ω1. Средние скорости потока обратно пропорциональны площадям соответствующих живых сечений.

Общая запись ур-ния Бернулли z1+p1\ρg+α1 ύ21\2g= z2+p2\ρg+α2 ύ22\2g+hw

гидравлическое сопротивление — безвозвратные потери удельной энергии (переход её в теплоту) на участках гидравлических систем (системгидропривода, трубопроводах, другом гидрооборудовании), обусловленные наличием вязкого трения [1] [2] . Хотя потеря полной энергии — существенно положительная величина, разность полных энергий на концах учаска течения может быть и отрицательной (например, при эжекционном эффекте).

Гидравлические потери принято разделять на два вида:

потери на трение по длине — возникают при равномерном течении, в чистом виде — в прямых трубах постоянного сечения, они пропорциональны длине трубы;

местные гидравлические потери — обусловлены т. н. местными гидравлическими сопротивлениями — изменениями формы и размера канала, деформирующими поток. Примером местных потерь могут служить: внезапное расширение трубы, внезапное сужение трубы, поворот, клапан и т. п.

Гидравлические потери выражают либо в потерях напора в линейных единицах столба среды, либо в единицах давления : , где — плотность среды, g —ускорение свободного падения.

режимы движения жидкости

Число Рейнольдса: Re=V*R/ν, где V – скорость, м/с; R — гидравлический радиус, м; v — кинематический коэффициент вязкости, м2/с. Re крит=2320.

Режим движения жидкости, при котором наблюдалось плавное, слоистое движение жидкости был назван ламинарным режимом движения жидкости (Re 2320).

Опыты показали, что переход от турбулентного режима к ламинарному происходит при определенной скорости (эта скорость называется критической), которая различна для разных жидкостей и диаметров труб; при этом критическая скорость растет с увеличением вязкости жидкости и с уменьшением диаметра труб.

Рейнольдсом и рядом других ученых опытным путем было установлено, что признаком режима движения является некоторое безразмерное число, учитывающее основные характеристики потока – число Рейнольдса Re=V*R/ν, где V – скорость, м/с; R — гидравлический радиус, м; v — кинематический коэффициент вязкости, м2/с.

потери напора по длине при турбулентном движении

Потери напора на трение по длине потока, возникающие при равномерном напорном движении жидкости в трубах, определяют по уравнению hдл=(λ*L*V^2)/(d*2g), где l – длина участка трубы, м; d – внутренний диаметр трубопровода, м; v – средняя скорость потока, м/с; g – ускорение свободного падения, м/с2; λ– безразмерный коэффициент гидравлического трения. Эта формула носит название формулы Дарси-Вейсбаха и является одной из основных формул гидродинамики.

Было установлено, что при больших числах Рейнольдса и высокой шероховатости коэффициент гидравлического трения λ в трубах совсем не зависит от вязкости жидкости (числа Рейнольдса), а зависит только от относительной шероховатости (в этих условиях трубы и русла называют вполне шероховатыми). Трубы же, в которых коэффициент λ зависит только от числа Рейнольдса и не зависит от относительной шероховатости, что бывает при сравнительно малых Re и k/d, называют гидравлически гладкими. При этом один и тот же трубопровод в одних условиях может быть гидравлически гладким, а в других – вполне шероховатым. Условия, в которых λ зависит и от числа Рейнольдса и от относительной шероховатости, называются переходной областью. Это объясняется тем, что при малых числах Рейнольдса вблизи стенок сохраняется сравнительно толстый ламинарный слой, и выступы шероховатости обтекаются жидкостью без образования и отрыва вихрей. Свойства поверхности стенок трубопровода в этом случае не влияют на сопротивление.

Коэффициент потерь напора по длине будет равен: ξ=λ*l/d

Коэффициент трения Дарси: λ=8*(U/V)^2

местные гидравлические сопротивления

Местные потери напора вызываются сопротивлениями в арматуре, фасонных частях и оборудовании, вследствие сужения и расширения потока, изменения направления движения жидкости, слияния и разделения потока и т. п.

Местные потери напора определяют как произведение скоростного напора непосредственно вблизи местного сопротивления ξ, по формуле hм=(ξ*V^2)/(2*g)

Коэффициенты местных сопротивлений, как правило, находят опытным путем.

Внезапное расширение потока. Этот случай поддается теоретическому обоснованию. Из опытов установлено, что поток жидкости, вытекающий из узкой трубы, не сразу заполняет все сечение широкой трубы; он отрывается от стенок и дальше двигается в виде расширяющейся струи. В кольцевом пространстве между струей и стенками трубы жидкость образует завихрения. На некотором расстоянии l от расширения трубопровода струя вновь заполняет все сечение. В результате вихревых движений жидкости между сечениями 1-1 и 2-2 идет постоянный обмен между струей и жидкостью в кольцевом пространстве. В результате этих явлений происходит переход механической энергии в тепловую, что и является причиной потерь напора. Диффузор.

формула Борда h вн.р.=(V1-V2)^2/2g

При внезапном сужении канала поток жидкости отрывается от стенок входного участка и лишь затем (в сечении 2 — 2) касается стенок канала меньшего размера. В этой области потока образуются две зоны интенсивного вихреобразования (как в широком участке трубы, так и в узком), в результате чего, как и в предыдущем случае, потери напора складываются из двух составляющих (потерь на трение и при сужении). Коэффициент потерь напора при гидравлическом сопротивлении внезапного сужения потока можно определить по эмпирической зависимости, предложенной Идельчиком: ξ=0,5*(1-ω2/ω1). Конфузор.

1) по параметрам, определяющим изменение площади живого сечения по длине потока:

(на непризматические и призматические (и цилиндрические).У непризматических русел форма и (или) геометрические размеры поперечного профиля меняются по длине русла. Поэтому площадь живого сечения потока является функцией длины русла и функцией глубины потока вдоль русла. В таком русле движение неравномерное. В призматических руслах форма и размеры элементов поперечного профиля по длине сохраняются неизменными. Площадь живого сечения потока может изменяться только в связи с изменением глубины потока.

2)По форме профиля поперечного сечения: правильной и неправильной формы. Призматические русла имеют правильную форму. Они могут быть прямоугольные, треугольные, трапецеидальные. Если поперечный профиль русла правильной формы очерчен кривой линией, окружностью или параболой определяемой по всей длине русла одним уравнением, то такое русло называется цилиндрическим . Правильную форму чаще всего имеют искусственные русла. К руслам неправильной формы относятся полигональные (составные) русла (рис. и русла естественных потоков

3)Открытые русла в зависимости от продольного уклона дна делятся на русла с положительным (прямым)геометрическим уклоном i >0, когда дно русла понижается в направлении движения потока; горизонтальные русла при i = 0 и русла с отрицательным (обратным) уклоном дна i Q и Q₀

Уравнение Бернулли ( формула пример)

Уравнение Бернулли Статическое и динамическое давление

Силы притяжения между молекулами в жидкости больше, чем в газах, но значительно меньше, чем в твердых телах. Частицы жидкости легко взаимно смещаются и под действие тления легко перемещаются из области более высокого давления в сторону более низкого. Это называется тече нием жидкости.

Вследствие наличия сил притяжения взаимное смещение частиц жидкости сопровождается некоторым сопротивлением, которое подобно механическому трению между мелкими частицами твердого вещества и называется внутренним трением, или вязкостью, жидкости. Вязкость жидкости проявляется, например, сопротивлением при помешивании жидкости, замедлением при падении в жидкости предметов и т. д.

Рассмотрим вначале стационарное течение идеальной жидкости (идеальной называется несжимаемая жидкость, не имеющая вязкости; стационарным называется течение, при котором величина скорости в любой точке жидкости со временем не изменяется). Установим для этих условий соотношение между давлением р в жидкости, скоростью движения v ее частиц и положением их в поле силы тяжести, характеризуемое высотой Л над некоторым уровнем отсчета (рис. 2).

Уравнение Бернулли

В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия некоторой массы m (имеющей объем V) идеальной жидкости при течении остается неизменной, так как в ней отсутствуют потери на внутреннее трение.

Полная энергия составляется из потенциальной энергии давления (Е_n = pV), потенциальной энергии тяжести (E«_п = mgh) и кинетической энергии (Е_к = m υ 2 /2). На основании сказанного: pV + mgh + (m υ 2 /2) = const.

Соответственно для каких-либо двух положений массы т идеальной жидкости, например в точках А и Б (рис. 2):

Если предпоследнее уравнение разделить почленно на объем V жидкости, то учитывая, что m/V есть плотность ρ жидкости, получим:

Это и есть уравнение Бернулли.

Для движения жидкости в горизонтальных трубках силу тяжести можно не учитывать и тогда уравнение Бернулли принимает вид:

Из этого уравнения следует вывод, называемый правилом Бернулли: давление невязкой жидкости, текущей по горизонтальной трубе, выше там, где скорость ее меньше, и наоборот.

Пример расчета по формуле

Рассмотрим течение жидкости по трубе с неодинаковым сечением. Течение называется непрерывным, если через любое сечение трубы в единицу времени протекает одинаковое количество (объем) жидкости. При этом скорость движения жидкости на участках трубы обратно пропорциональна площади их сечений.

Действительно не трудно доказать, что объем V₀ жидкости, протекающей в единицу времени через любое сечение трубы, может быть выражен произведением площади S сечения трубы на скорость υ течения жидкости: V₀=Sυ. По условию этот объем постоянен для любого сечения трубы, следовательно,

т. е. произведение скорости течения жидкости на поперечное сечение струи есть величина постоянная. Это соотношение называют уравнением неразрывности струи.

Если обозначить сечение и скорость движения на участках трубы соответственно S₁ и υ₁ S₂ и υ₂, то согласно сказанному:

Скорость течения жидкости в трубе с переменным сечением обратно пропорциональна площади этих сечений.

При этом в соответствии с правилом Бернулли на участках меньшего сечения трубы давление будет ниже, на участках большего сечения — выше (рис. , а). Поясним механизм этого явления. При переходе на участок трубы меньшего сечения (линия ab на рис. , б) частицы жидкости ускоряются, на что затрачивается часть силы Р₄, создающей давление на более широком участке (по условию равновесия частиц жидкости Р₁= Р₂+F_у, где Р₂ — сила, создающая давление на суженном участке, F_у — сила, обеспечивающая ускорение частиц).

Наоборот, при переходе на участок с большим сечением (линия cd на рис. 82, б) частицы жидкости набегают на лежащую впереди и более медленно двигающуюся массу жидкости и, затормаживаясь, создают дополнительную силу F_т, повышающую давление на более широком участке (аналогично P₃=P₂ + F_т).

Можно подобрать условия, при которых давление жидкости в сужен ном участке трубы станет ниже атмосферного и тогда в этом месте струя будет обладать всасывающим действием. Всасывающее действие струи газа, пара или воды, выходящей из суженного отверстия с большой скоростью, используется в ряде приборов, применяемых в медицинской практике (ингалятор, водоструйный насос и др.).

Паровой ингалятор

Это прибор для вдыхания жидких лекарственных веществ в распыленном виде. Он состоит из кипятильника В, стакана К с лекарственной жидкостью и вставленной в него тонкой трубкой Т и направляющего патрубка С. Струя пара выходит из трубки кипятильника с большой скоростью. Вследствие этого давление около ее отверстия падает и лекарственная жидкость, всасываясь по трубке Т, поступает в струю, распыляется и, смешиваясь с паром, вдыхается больным через патрубок С

Водоструйный насос состоит из стеклянного сосуда Н, в который впаяно три трубки. Трубка имеет на конце коническое сужение. Насос присоединяется к водоводу и колбе К, из которой производится отсасывание. Вода, имеющая достаточно высокое давление, выходит из суженного конца трубки 1 с большей скоростью. Давление у отверстия трубки резко снижается и в сосуд А через трубку 2 засасывается воздух или жидкость, которые вместе с водой удаляются через трубку 3. Водоструйный насос удобен тем, что он не имеет вращающихся частей, требующих смазки, бесшумен и гигиеничен. Поэтому он часто применяется в лабораториях, операционных и т. п.

В уравнении Бернулли давление р называется статическим давлением р_с жидкости. Оно может быть измерено обычным манометром, который двигается вместе с жидкостью, или практически при помощи неподвижной манометрической трубки, плоскость отверстия которой расположена параллельно направлению движения жидкости.

Второй член уравнения Бернулли (ρυ₂/2)также имеет размерность давления и называется динамическим давлением р_д в жидкости. Сумма статического и динамического давлений называется полным давлением р в жидкости:

Для измерения его применяют манометрическую трубку, изогнутую под прямым углом и помещенную отверстием навстречу движению жидкости. Частицы жидкости, заходящие в отверстие трубки полностью тормозятся в ней: скорость υ₂ частиц жидкости в отверстии рав няется нулю: υ ₂=0. Тогда по уравнению Бернулли

Следовательно, давление р₂ в трубке:

где р₁ — давление и υ₁ — скорость движущейся жидкости

Если в струю жидкости поставить рядом две такие трубки, то разность уровней в трубках будет соответствовать динамическому давлению. На этом основан способ измерения скорости движения жидкости или газа В струю погружают две скрепленные вместе измерительные трубки, прямую и изогнутую (подобное устройство называется трубкой Пито), которые соединяются с U= образным манометром. Манометр покажет динамическое давление, по величине которого, пользуясь приведенной выше формулой, вычисляют искомую скорость:

Статья на тему Уравнение Бернулли

Похожие страницы:

Понравилась статья поделись ей

Leave a Comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.