Уравнение бернулли для вертикальной трубы постоянного диаметра

Уравнение бернулли для вертикальной трубы постоянного диаметра

13-я лекция, 2010

13. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПРОСТЫХ ТРУБОПРОВОДОВ

13.1. Простой трубопровод постоянного сечения.

Общий вид расчетного уравнения простого трубопровода

13.2.Простой трубопровод между двумя резервуарами.

13.3. Простой трубопровод при истечении в атмосферу.

13.4.Сифонный трубопровод. Вакуум на участке трубопровода.

13.5. Использование приблизительных зависимостей при расчете простого трубопровода.

Замена местных сопротивлений.

13.6. Три задачи на расчет простого трубопровода.

13.7 Графики напоров

13.1. Простой трубопровод постоянного сечения

1.Трубопровод называют простым, если жидкость транспортируется по нему от питателя к приемнику без ответвлений потока, но может иметь различные диаметры и включать местные сопротивления.

2.Трубопроводы, содержащие последовательные, параллельные соединения и разветвления простых трубопроводов называются сложными.

Жидкость движется по трубопроводу благодаря тому, что ее энергия в начале трубопровода больше, чем в конце.

Разность в уровнях энергии может быть обеспечена разностью уровней жидкости, работой насоса или давлением газа, например, за счет применения гидроаккумуляторов.

Движение жидкости за счет разности уровней (разности геометрических высот) применяется в гидротехнике и водоснабжении.

В машиностроении движение жидкости обеспечивается работой насоса и гидроаккумуляторами. Гидроаккмуляторы — емкости с разделителем, с одной стороны, использующие давление газа для создания запаса энергии, с другой стороны, рабочую жидкость, заправленную в гидроаккумулятор и находящуюся под действием давления газа.

На рис.13.1 изображен простой трубопровод постоянного сечения расположенный произвольно в пространстве, состоящий из нескольких участков с длиной l_i и диаметром d_i и содержащий местные сопротивления.

В сечении «1 – 1» геометрическая высота равна z ₁ и избыточное давление Р₁, скорость V ₁, а в сечении «2 — 2», соответственно z ₂ и Р₂, V ₂..

Уравнение Бернулли для сечений «1- 1» и «2 – 2»:

(13.1)

Σ h – сумма потерь на трение по длине и в местных сопротивлениях, а также потерь на входе и выходе из трубопровода.

3. Гидростатическим напором называется сумма геометрического и пьзометрического напора в данном сечении трубопровода.

где Z – геометрический напор, — пьезометрический напор.

4. Разность гидростатических напоров в в сечениях 1 и 2, называется располагаемым напором Нрасп, если величины Нг_СТ для сечений 1 и 2 заданы .

5. Разность гидростатических напоров называется потребным напором, Нпотр, если величины Н_ГСТ не заданы. Таким образом, разность

(13.2)

может быть располагаемым или потребным напором, в зависимости от исходных данных.

Используя разность гидростатических напоров из уравнения баланса напоров Бернулли, получаем :

6. Общий вид расчетного уравнения простого трубопровода

( 13.3 )

Если площади питателя и приемника или длины трубопроводов велики по сравнению с сечением трубопровода, скоростными напорами можно пренебречь.

Уравнение простого трубопровода принимает вид

(13.4)

В этом случае, потребный напор равен сумме сопротивлений трубопровода, а весь располагаемый напор затрачивается на их преодоление гидравлических сопротивлений. Такое уравнение можно использовать, и когда длина трубопровода велика и скоростные напоры малы по сравнению с потерями на трение по длине.

Правая часть равенства (13.4) называется характеристикой трубопровода. Уравнение баланса напоров можно записать в виде

,(13.4 ‘)

где Σ h – есть характеристика трубопровода, которая является степенной функцией расхода. Величина К – коэффициент сопротивления трубопровода, а показатель степени m имеет значение, зависящее от режима течения жидкости(ламинарный или турбулентный).

Используя формулу (13.4′) можно построить кривую потребного напора в координатах Н= f ( Q ), т.е. зависимость напора от расхода жидкости в трубопроводе.

Величина Нст определяет положение характеристики трубопровода относительно начала координат Н- Q .

13.2.Простой трубопровод между двумя резервуарами.

Используем уравнение располагаемого напора для расчета простого трубопровода, который соединяет два резервуара с постоянными уровнями жидкости и состоит из k последовательных участков длиной l_i и диаметром d_i , а также включает местные сопротивления.

Показанные на рисунке уровни жидкости в резервуарах следует рассматривать, как пьезометрические уровни в питателе и в приемнике, поскольку геометрические напоры в их сечениях равны z ₁ = z ₂.

Выражая потери на трение по длине и в местных сопротивлениях формулами

,

получим уравнение простого трубопровода в виде:

(13.5)

где λ _i и ξ _i – коэффициент сопротивления трению и суммарный коэффициент местных сопротивлений на каждом участке, Vi – средняя скорость на каждом участке, Vk – скорость потока на выходе из трубопровода в резервуар, α _k V 2 _k /2 g – скоростной напор при выходе из трубопровода в резервуар (потеря напора в выходном сечении трубопровода), α _k = 1 – для турбулентного режима течения, α _k = 2 для ламинарного режима течения.

И используя уравнение неразрывности потоков

получим расчетное уравнение простого трубопровода в виде

, ( 13.6 )

где Fk – площадь выходного сечения трубопровода с диаметром d к, Fi – площадь трубопровода с диаметром di .

Если трубопровод имеет длину l и диаметр d , при турбулентном режиме α _k = 1, уравнение упрощается

( 13.7 ),

где Σξ – сумма коэффициентов потерь в местных сопротивлениях.

Откуда можно выразить скорость

и расход ,

где , μ – коэффициент расхода, а F – площадь сечения трубопровода.

Выражая скорость V = Q / F через расход и использовав значение g = 9,81 м/с 2 , получим простого трубопровода через расход в виде

(13.8),

где l , d , H в м, Q в м 3 /с.

13.3. Простой трубопровод при истечении в атмосферу.

При истечении из резервуара в атмосферу (рис.13.3) уравнение Бернулли имеет вид

(13.9)

где Н – располагаемый напор трубопровода, определяемый высотой пьезометрического уровня, – скоростной напор в выходном сечении, Σ h п — сумма потерь.

Так как потери напора при выходе в атмосферу отсутствуют, уравнение (13.9) при подстановке в него потерь переходит в уравнение (13.6),

поэтому уравнение (13.6 ) является общим при истечении под уровень и в атмосферу.

13.4.Сифонный трубопровод. Вакуум на участке трубопровода.

Если часть длины трубопровода находится под вакуумом (например, сифонный трубопровод, область С, рис.13.4),

необходимо проверить наибольший вакуум в опасном сечении С:

(13.10)

где h — высота сечения С над начальным уровнем пьезометрическим уровнем в баке питателе; V – скорость в этом сечении; Σ h пС – сумма потерь напора на участке трубопровода до этого сечения. Для обеспечения нормальной бескавитационной работы трубопровода должно выполняться условие

где РвС — вакуум в точке С, Рат – атмосферное давление , Рн.п. – давление насыщенных паров жидкости при данной температуре.

13.5. Использование приблизительных зависимостей при расчете простого трубопровода. Замена местных сопротивлений.

При достаточно большой длине трубопровода можно пренебречь скоростным напором V 2 /2 g по сравнению с потерями на трение по длине и использовать для расчета приблизительные зависимости, введя в них, если это необходимо замену коэффициентов местных сопротивлений на потери по длине по соотношению

(13.12)

при такой замене получаем

(13.14)

Для трубопровода, состоящего из k – последовательных участков с различными диаметрами di и длинами Li

(13.15)

13.6 Определение коэффициентов трения

в зависимости от режима течения жидкости.

Расчет трубопроводов связан с выбором коэффициентов ξ местных сопротивлений и коэффициента трения λ.

1. Ламинарный режим число Re для ламинарного режима равен λ=64/ Re . Для определения потерь используем формулу Дарси: . (13.17)

При подстановке в эту формулу λ=64/ Re потеря на трение в трубопроводе равна

(13 . 18)

Если скорость определить через расход V = Q / F = 4 Q /(π d 2 ) вторая часть при подстановке расхода

(13.19)

2.Турбулентный режим Re >= 3000.

А.Область гидравлически гладких труб. К-т сопротивления по формуле Канакова

(13.20)

и по формуле Блазуиса

(13.21)

Подставляя формулу Блазиу c а в формулу Дарси с учетом системы СИ

(13.22)

Зависимость λ от Re для гидравлически гладких труб дана в справочниках, или ее можно взять в задачнике на стр.228. К этой области относятся технически гладкие трубы , цельнотянутые из цветных металлов, во всем диапазоне их практического применения по числам Re , а также стальные трубы до чисел Re ориентировочно равных Re _гл = 20 d / Δ .

Величина Re _гл = 20 d / Δ является нижней границей режима гидравлически гладких труб. Верхняя граница режима гидравлически гладких труб – Re _кв = 500 d /Δ. , здесь Δ –эквивалентная абсолютная шероховатость.

Б. Переходная область. В переходной области λ зависит и от числа Re и от шероховатости.

Значения λ в функции Re и относительной гладкости d /Δ по данным Мурина-теплотехнического института, приведены в справочниках в виде графика и в задачнике.

Можно применять для определения λ формулу Альтшуля во всех областях турбулентного режима.

Средние значения эквивалентной шероховатости для новых труб Δ =0,1мм, для бывших в употреблении Δ = 0,2 мм

(13.23)

В. Область гидравлически шероховатых труб, λ зависит только от шероховатости. Для определения значений λ можно использовать формулу Никурадзе

(13.24 )

Или формулу Шифринсона

( 13.24 )

Для старых стальных и чугунных труб, эквивалентная шероховатость до Δ = 1 мм , применимо выражение, где d в м

( 13.24 )

Зависимость λ от d /Δ для квадратичной области дается по таблицам, пример такой таблицы приведен в задачнике на стр.229.

Для труб некруглого сечения

Где D г = 4 F /П, отношение учетверенной площади к периметру, что для круглой трубы совпадает с геометрическим диаметром D г = d .

Модно выделить три основные задачи расчета простого трубопровода, методика которых поясняется на примере трубопровода постоянного диаметра.

13.6. Три задачи на расчет простого трубопровода.

Задача 1. Даны: расход жидкости Q , кинематическая вязкость жидкости ν, размеры трубопровода l , d шероховатость стенок — Δ .

Найти требуемый напор – Н

1.По известным Q , d , ν находится число Рейнольдса — Re и определяется режим движения.

1.1 При ламинарном режиме, напор определяется по ф-ле

( 13. 2 5 ),

где L = l + Σl _э – приведенная длина трубопровода, эквивалентные длины l э местных сопротивлений при ламинарном режиме в трубопроводе существенно зависят от числа Рейнольдса: l э/ d = f ( Re ) .

1.2.При турбулентном режиме Н определяется по формулам:

(6) – короткий трубопровод или

(12) — длинный трубопровод с преобладающими потерями на трение, в котором по известным Re , d и Δ выбирают λ, ξ и l э, которые позднее войдут в L = l + Σl _э.

Задача 2. Даны: располагаемый напор – Н, размеры трубопровода: l , d , Δ — шероховатость свойства жидкости. Найти расход – Q .

Задача 3. Даны располагаемый напор – Q , длина трубопровода l , шероховатость стенок – Δ. Найти диаметр трубопровода – d .

Из уравнения располагаемого напора определяются искомые величины

13.7 Построение диаграмм напоров в трубопроводе

При построении диаграмм следует иметь в виду следующие обстоятельства.

1. Надо выделить в трубопроводе участки, в которых происходят изменения сечения или участки с местными сопротивлениями.

2. Начало первого участка диаграммы определяет начало трубопровода и величина напора в питателе. Если начало трубопровода связано с потерями, как например, при входе в трубу, начало участка немнго смещают влево, чтобы показать качественный участок сжатия струи.

3. Первый участок — вход в трубопровод, в котором происходит сужение потока и увеличение скорости до значения . В конце первого участка от располагаемого напора откладываем потери в данном местном сопротивлении (в сужении) — , а от величины h мп откладываем величину скоростного напора в конце участка. В конце первого участке величина располагаемого напора равна:

Потери, связанные с деформацией потока, входят в величину .

График напоров, построение которого дано на рис.13.7 показывает изменение по длине трубопровода полного напора потока и его составляющих.

Линия напора (удельной механической энергии потока ) строится путем последовательного вычитания потерь, нарастающих вдоль потока из начального напора потока (заданного пьезометрическим уровнем в питающем резервуаре).

На участках местной деформации потока, где ход изменения напоров может быть показан только качественно, линии напоров даны штриховой линией).

Построение графика напоров для вертикального трубопровода дано на рис. 13.8.

1. Напоры в каждом сечении откладываются по горизонтали таким образом, чтобы ось трубы являлась началом отсчета пьезометрических напоров.

2.Графики напоров, показывают изменение по длине трубопровода полного напора потока и его составляющих.

2.1. Из начального напора потока (заданного пьезометрическим уровнем в питающем резервуаре) вычитаются потери, нарастающие вдоль трубопровода, таким образом, потеря в конце участка формирует (пьезометрический) уровень напора на следующий участок.

3. Пьезометрическая линия (линия изменения гидростатического напора потока) строится путем вычитания скоростного напора в каждом сечении полного напора потока.

3.1.Пьезометрический напор P и/( ρg ) в каждом сечении ( Ри – избыточное давление) определяется на графике вертикальным расстоянием от центра сечения до пьезометрической линиии;

4. Скоростной напор -вертикальное расстояние между пьезометрической линией и линией напора. (На участках местной деформации потока, где ход изменения напоров может быть показан только качественно, линии напоров даны штриховой линией).

График напора для длинного трубопровода строится упрощенно (рис.9.6), поскольку малость скоростных напоров позволяет рассматривать линию напора и пьезометрическую линию, как совпадающие.

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли для струйки жидкости формулируется следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Уравнение Бернулли выглядит так:

Подробное описание всех входящих в состав уравнения параметров уже описан в этой статье.

Содержание статьи

Смысл уравнения Бернулли

По существу вывода уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости представляет собой закон сохранения механической энергии, составленный применительно к единице массового расхода жидкости. Это следует из того, что в процессе вывода значения работы сил, приложенных к выделенному объему струйки и значения кинетической энергии этого объема были поделены на величину ρqΔT.

Отсюда вытекает, что поскольку член υ 2 /2 является мерой кинетической энергии единицы массы движущейся жидкости, то сумма членов gz+p/ρ будет мерилом ее потенциальной энергии.

В отношении величины gz это очевидно, ведь если частица жидкости массы m расположена на высоте z относительно некоторой плоскости и находится под действием сил тяжести, то способность ее совершить работу, т.е. её потенциальная энергия относительно этой плоскости равняется mgz. Но если её поделить на массу частиц m, то эта часть потенциальной энергии даст величину gz.

Для более ясного физического представления о том, что потенциальная энергия измеряется величиной p/ρ рассмотрим такую схему: пусть к трубе, заполненной жидкостью с избыточным давлением p, присоединен пьезометр, снабженный на входе в него краном.

Кран сначала закрыт, т.е. пьезометр свободен от жидкости, а элементарный объем жидкости ΔV массой ρ*ΔV перед краном находится под давлением p.

Если затем открыть кран, то жидкость в пьезометре поднимется на некоторую высоту, равную

Таким образом, единица массы, находящейся под давлением p, как бы несет в себе ещё заряд потенциальной энергии, определяемой величиной p/ρ.

В гидравлике для характеристики удельной энергии обычно используется понятие напор, под которым понимают энергию жидкости, отнесенную к единице силы тяжести, а не её массы. В соответствии с этим уравнение Бернулли записанное в начале этой статьи примет вид

Такое уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости в другой форме, весьма удобно для гидравлических расчетов и может быть сформулировано следующим образом.

Для элементарной струйки идеальной жидкости полный напор, т.е. сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров, есть величина постоянная во всех её сечениях.

Отсюда следует, что между напором и удельной энергией существует очень простая зависимость

где э – удельная энергия

Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости

Если вместо идеальной жидкости рассматривать жидкость реальную, то уравнение Бернулли для реальной жидкости должно принять несколько другой вид.

При движении идеальной жидкости её полная удельная энергия или напор сохраняет постоянное значение по длине струйки, а при движении реальной жидкости эта энергия будет убывать по направлению движения. Причиной этого являются затраты энергии на преодоление сопротивлений движению, обусловленные внутренним трением в вязкой жидкости.

Если же мы рассмотрим два сечения для струйки идеальной жидкости: 1-1 в начале и 2-2 в конце струйки, то полная удельная энергия будет

Полная удельная энергия для сечения 1-1 всегда будет больше, чем полная удельная энергия для сечения 2-2 на некоторую величину потерь, и уравнение Бернулли в этом случае получается

Величина Э_1-2 представляет собой меру энергии, потерянную единицей массы жидкости на преодоление сопротивлений при её движениями между указанными сечениями.

Соответствующий этой потере удельной энергии напор называют потерей напора между сечениями 1-1 и 2-2 и обозначают h_1-2 . Поэтому уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости можно представить в виде

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости это еще только половина дела, ведь в при решении различных практических вопросов о движении жидкостей приходится иметь дело с потоками конечных размеров. Уравнение Бернулли в этом случае может быть получено, исходя из рассмотрения потока как совокупности множества элементарных струек.

Учитывая, что все струйки движутся с одной и той же средней скоростью форма записи уравнения Бернулли для потока идеальной жидкости становится идентичной его записи для элементарной струйки.

В таком виде уравнение Бернулли обычно и применяется при решении практических задач для потоков однородной несжимаемой жидкости при установившемся движении, происходящем под действием одной силы тяжести.

Такое уравнение составляется для различных живых сечений потока, вблизи которых движение жидкости должно удовлетворять условиям медленно изменяющегося движения, хотя на пути между этими сечениями движение может и не удовлетворять указанным условиям.

Слагаемое h_1-2 в этом уравнении показывает потери напора на преодоление сопротивлений движению жидкости. При этом в гидравлике различают два основных вида сопротивлений:
— h_лп — линейные потери — сопротивления, проявляющиеся по всей длине потока, обусловленные силами трения частиц жидкости друг о друга и о стенки, ограничивающие поток.
— h_мп — местные потери – местные сопротивления, обусловленные различного рода препятствиями, устанавливаемыми в потоке (задвижка, кран, колено), приводящими к изменениям величины или направления скорости течения жидкости

Поэтому полная потеря напора между двумя сечениями потока при наличии сопротивлений обоих видов будет

Видео по теме

Уравнение Бернулли подходит и для газов. Явление уменьшения давления при повышении скорости потока является основой работы различных приборов для измерения расхода. Закон Бернулли справедлив и для жидкостей вязкость которых равна нулю. При описании течения таких жидкостей используют уравнение Бернулли с добавлением слагаемых учитывающих потери на местные сопротивления.

Уравнение бернулли для вертикальной трубы постоянного диаметра

Уравнение Бернулли для реальной и идеальной жидкости

Уравнение Бернулли позволяет выполнить расчет водоснабжения и отопления: Подобрать диаметры и насосы. В этой статье будет расписан энергетический и геометрический смысл уравнения Бернулли.

График Бернулли и уравнение Бернулли для идеальной жидкости:

График Бернулли и уравнение Бернулли для реальной жидкости:

Смысл уравнения Бернулли

Смысл уравнения Бернули в том, чтобы показать, что внутри системы заполненной жидкостью (участка трубопровода) сохраняется общая энергия между разными точками. То есть на участке трубопровода необходимо выделить две точки, и эти две точки равны друг другу по значению полной энергии. Полная энергия состоит из потенциальной и кинетической энергии.

Назначение уравнения Бернули

Понять, как распределяется давление в системе трубопроводов. А также с помощью уравнения находить неизвестные параметры внутри системы. Например, найти давление в каждой течке пространства системы заполненной жидкостью.

Подробнее на видео: (для запуска видео кликните по окошку) На видео намного больше информации

Решая задачу с уравнением Бернулли, Вы фактически занимаетесь гидравлическим расчетом. О том, как делать гидравлический расчет — написано тут: Конструктор водяного отопления

Задача. Пример решения уравнения Бернулли

По решению задачи необходимо найти давление в точке 2 при известных параметрах: давление и расход.

Как понять уравнение Бернулли?

Для расчета уравнения Бернулли необходимо выбрать две точки в пространстве

Точка 1 – это место где известно давление

Точка 2 – это место где нужно узнать давление

Поймите, что каждый кусок формулы измеряется давлением: м.в.ст. (метр водяного столба)

То есть для того, чтобы быстро считать гидравлику систем водоснабжения и отопления, необходимо меньше всего выражаться в Барах, Паскалях и тому подобное.

Проще выражать давление в единице измерения: м.в.ст. (метр водяного столба)

Вы этим самым упростите себе жизнь… просто другая единица это еще один процесс, который отнимает время.

Сборка формулы уравнения Бернулли

Как избавится от минуса?

Как избавится от множителя (-1)?

Необходимо множитель (-1) помножить на каждый слагаемый член. Знак каждого слагаемого члена меняется на противоположный. То есть (+ на -) (- на +). Далее перестановка слагаемых.

Что такое идеальная жидкость?

Идеальная жидкость — это жидкость, не обладающая внутренним трением. То есть такая жидкость не создает гидравлическое сопротивление.

Реальная жидкость — это жидкость, которая обладает вязкостью. То есть внутренним сопротивлением.

Формула Бернулли для реальной жидкости

Коэффициент Кориолиса – это поправка кинетической энергии на реальную жидкость.

Потому что реальная жидкость движется не равномерно

У реальной жидкости серединная струйка воды движется быстрее остальных. При ламинарном режиме градиент: Чем ближе к стенке, тем медленнее движется поток воды.

Формула коэффициента Кориолиса

Что такое коэффициент Кориолиса?

Коэффициент Кориолиса характеризует отношение действительной кинетической энергии потока жидкости в данном сечении к той кинетической энергии потока, которую он имел бы, если бы все частицы двигались с одинаковой скоростью, равной средней скорости потока.

Чему равен коэффициент Кориолиса?

Нд.п. – Это динамические потери. Это потери вызванные движением воды.

Имеются дополнительные задачи с уравнением Бернули на реальную жидкость:

Посмотрите видеоурок по составлению уравнения Бернулли:

Как сделать гидравлический расчет погружного насоса?