Уравнение бернулли для воздуха в авиации

Элементы гидро- и аэродинамики

Для того, чтобы описать такой сложный процесс, как движение жидкостей или газов, применяют разного рода упрощенные модели. Например, для упрощения используется предположение, что жидкость или даже газ несжимаемы и идеальны, не имеют внутреннее трение между слоями, которые движутся. Когда такая идеальная жидкость находится в движении, отсутствует переход механической энергии во внутреннюю, т.е. имеет место выполнение закона сохранения механической энергии. В свою очередь, из этого закона для стационарного потока идеальной и несжимаемой жидкости вытекает уравнение (принцип) Бернулли, которое было сформулировано в 1738 г.

Элементы гидродинамики. Уравнение Бернулли

Стационарный поток жидкости – это поток без образования вихрей. В этом случае частицы жидкости осуществляют перемещение по постоянным во времени траекториям, называемым линиями тока.

В рамках имеющегося опыта можно утверждать, что возникновение стационарных потоков возможно лишь тогда, когда скорость движения жидкости достаточно мала.

Возьмем для рассмотрения стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости по трубе переменного сечения (рис. 1 . 22 . 1 ). Различные части трубы располагаются на разных высотах.

Рис. 1 . 22 . 1 . Поток идеальной жидкости в трубе переменного сечения.

Рассматриваемая труба имеет два сечения: S 1 и S 2 ; Δ t — это время прохождения жидкости в трубе. Так, за Δ t через сечение S 1 жидкость осуществит перемещение на l 1 = υ 1 Δ t ; через сечение S 2 – на l 2 = υ 2 Δ t ( υ 1 и υ 2 – обозначение скоростей частиц жидкости в трубе соответствующих сечений). Условие несжимаемости будет иметь следующую запись: Δ V = l 1 S 1 = l 2 S 2 или υ 1 S 1 = υ 1 S 1 , где Δ V является объемом жидкости, прошедшей через сечения S 1 и S 2 .

С переходом жидкости из участка трубы большего сечения в участок меньшего сечения скорость движения потока увеличивается: жидкость перемещается с ускорением. Это означает, что жидкость испытывает воздействие силы. Если речь идет о движении потока в горизонтальной трубе, можно утверждать, что возникновение этой силы возможно только как следствие разности давления в широком и узком участках трубы (в широком участке давление должно быть больше, чем в узком). В случае же, когда различные участки трубы располагаются на разной высоте, ускорение потока обусловлено совокупным воздействием силы тяжести и силы давления.

Сила давления есть упругая сила сжатия жидкости.

Явление несжимаемости жидкости означает только то, что возникновение упругих сил имеет место при пренебрежимо малом изменении объема любой части жидкости.

Поскольку действует предположение, что жидкость идеальна, ее протекание по трубе происходит без трения, а значит к ее движению уместно применять закон сохранения механической энергии.

В процессе движения жидкости силы давления выполняют работу, которую запишем так:

Δ A = p 1 S 1 l 1 – p 2 S 2 l 2 = p 1 S 1 υ 1 Δ t — p 2 S 2 υ 2 Δ t = ( p 1 – p 2 ) Δ V .

Работа Δ A сил давления есть изменение потенциальной энергии упругой деформации жидкости, взятое с обратным знаком.

Те изменения, которые происходят за промежуток времени Δ t в выделенной части жидкости, помещенной между участками трубы с сечениями S 1 и S 2 в начальный момент времени, в случае стационарного течения заключаются в перемещении массы жидкости Δ m = ρ Δ V из участка с сечением S 1 в участок сечением S 2 ( ρ – плотность жидкости). На рисунке 1 . 22 . 1 соответствующие объемы обозначены штриховкой. Закон сохранения механической энергии для этой массы будет иметь запись: E 2 – E 1 = Δ A = ( p 1 – p 2 ) Δ V . E 1 и E 2 здесь являются полными механическими энергиями массы Δ m в поле тяготения и записываются так:

E 1 = ∆ m v 1 2 2 + ∆ m g h 1 ; E 2 = ∆ m v 2 2 2 + ∆ m g h 2 .

Откуда можно вывести:

p v 1 2 2 + p g h 1 + p 1 = p v 2 2 2 + p g h 2 + p 2 .

Выражение p v 1 2 2 + p g h 1 + p 1 = p v 2 2 2 + p g h 2 + p 2 называется уравнением Бернулли.

Из уравнения Бернулли следует, что: p v 2 2 + p g h + p = c o n s t на всей протяженности рассматриваемой трубы. В частном случае, когда труба расположена горизонтально, уравнение Бернулли принимает вид: p v 2 2 + p = c o n s t .

Величина p обозначает статическое давление в жидкости, которое возможно измерить, используя манометр, двигающийся вместе с жидкостью. В практике давление в различных сечениях трубы определяют при помощи манометрических трубок, размещаемых через боковые стенки в поток жидкости таким образом, чтобы нижние концы трубок были параллельны скоростям частиц жидкости (рис. 1 . 22 . 2 ). Из уравнения Бернулли следует:

Давление в жидкости, проходящей по горизонтальной трубе переменного сечения, больше в тех сечениях потока, в которых скорость ее движения меньше, и наоборот, давление меньше в тех сечениях, в коих скорость больше.

Рис. 1 . 22 . 2 . Использование манометров для определения давления в потоке.

В случае, когда сечение потока жидкости достаточно велико, уравнение Бернулли необходимо применять к линиям тока, т. е. линиям, вдоль которых происходит перемещение частиц жидкости при стационарном течении.

Мы имеем широкий сосуд с отверстием в боковой стенке, в котором течет идеальная несжимаемая жидкость. При движении потока из отверстия линии тока начинаются вблизи свободной поверхности жидкости и проходят через отверстие (рис. 1 . 22 . 3 ).

Рис. 1 . 22 . 3 . Истечение жидкости из широкого сосуда.

Так как скорость жидкости вблизи поверхности в широком сосуде является пренебрежимо малой, уравнение Бернулли примет вид: p v 2 2 + p = c o n s t ,

где p 0 – атмосферное давление, h – перепад высоты вдоль линии тока. Тогда: v = 2 g h .

v = 2 g h — это формула, выражающая скорость истечения потока и называемая формулой Торричелли. Скорость истечения идеальной жидкости из отверстия в сосуде такая же, как и при свободном падении тела с высоты h без начальной скорости.

Элементы аэродинамики

Отличительной чертой газов от жидкостей является возможность значимо изменять свой объем. Расчеты позволяют утверждать, что сжимаемостью газов можно пренебречь, когда наибольшие скорости в потоке являются малыми по сравнению со скоростью звука в этом газе. Следовательно, уравнение Бернулли возможно использовать для достаточно широкого класса задач аэродинамики.

В числе подобных задач — исследование сил, осуществляющих воздействие на крыло самолета. Строго теоретически решить эту задачу достаточно затруднительно, и обычно для изучения сил используют экспериментальные методы. Уравнение Бернулли дает возможность только качественно объяснить появление подъемной силы крыла.

Рис. 1 . 22 . 4 демонстрирует линии тока воздуха, обтекающего крыло самолета. Особый профиль крыла и наличие угла атаки (угла наклона крыла по отношению к набегающему потоку воздуха) определяют тот факт, что скорость течения воздуха над крылом становится больше, чем под крылом. В связи с этим на рис. 1 . 22 . 4 линии тока над крылом расположены ближе друг к другу, чем под крылом. Выводом из принципа Бернулли является то, что давление в нижней части крыла будет больше, чем в верхней, и в итоге мы имеем силу F → , осуществляющую действие на крыло.

F y → – вертикальная составляющая силы F → , называемая подъемной силой.

F x → — горизонтальная составляющая силы F → , называемая силой сопротивления среды.

Подъемная сила дает возможность компенсации силы тяжести, осуществляющей действие на самолет, и этим она и определяет саму возможность движения тяжелых летательных аппаратов в воздушной среде.

Рис. 1 . 22 . 4 . Линии тока при обтекании крыла самолета и возникновение подъемной силы. α – угол атаки.

Теорию подъемной силы крыла самолета сформулировал Н. Е. Жуковский в 1904 г., и она получила название теоремы Жуковского:

Подъёмная сила сегмента крыла бесконечного размаха равна произведению плотности газа (жидкости), скорости газа (жидкости), циркуляции скорости потока и длины выделенного отрезка крыла. Направление действия подъёмной силы получается поворотом вектора скорости набегающего потока на прямой угол против циркуляции.

Жуковский продемонстрировал, что при обтекании крыла значимое влияние оказывают силы вязкого трения в поверхностном слое. Итогом их воздействия является возникновение кругового движения или циркуляции воздуха вокруг крыла (обозначено стрелками зеленого цвета на рис. 1 . 22 . 4 ). В верхней части крыла скорость циркулирующего воздуха соединяется со скоростью набегающего потока, в нижней же части эти скорости противоположно направлены. Подобный эффект и служит причиной появления разности давлений и образования подъемной силы.

Циркуляция воздуха, определяемая силами вязкого трения, появляется и вокруг тела, которое вращается. Практически значимым, к примеру, является вращение цилиндра.

При вращении цилиндра само тело влечет за собой примыкающие слои воздуха, создавая циркуляцию воздушного потока. Когда цилиндр установлен в набегающем потоке, возникает сила бокового давления, подобная подъемной силе крыла самолета. Такое явление носит название эффекта Магнуса.

На рис. 1 . 22 . 5 проиллюстрировано обтекание цилиндра, осуществляющего вращение, набегающим потоком. Примером эффекта Магнуса служит полет закрученного мяча при игре в теннис или футбол.

Рис. 1 . 22 . 5 . Обтекание вращающегося цилиндра набегающим потоком воздуха.

Таким образом, на множество явлений аэродинамики оказывают значимое влияние силы вязкого трения. Они дают толчок к возникновению циркулирующих потоков воздуха вокруг крыла самолета или вокруг вращающегося тела, к появлению силы сопротивления среды и т. д. Уравнение Бернулли не берет в расчет силы трения. Вывод Бернулли опирается на закон сохранения механической энергии при течении жидкости или газа. Поэтому при помощи принципа Бернулли невозможно исчерпывающе объяснить явления, в которых имеется проявление сил трения. В подобных случаях возможно опираться лишь на качественные соображения – чем больше скорость, тем меньше давление в потоке газа.

Особо заметное проявление имеют силы вязкого трения в потоке жидкостей. Некоторые жидкости обладают вязкостью такой значимой величины, что использование уравнения Бернулли может привести к качественно неверным результатам.

К примеру, в случае истечения жидкости высокой вязкости через отверстие в стенке сосуда ее скорость может быть в десятки раз меньше той, что будет рассчитана по формуле Торричелли. Когда сферическое тело движется в идеальной жидкости, оно не должно встречать лобового сопротивления. Когда такое тело перемещается в вязкой жидкости, появляется сила сопротивления, и ее модуль будет пропорционален скорости υ и радиусу сферы r (закон Стокса) F с о п р

Коэффициент пропорциональности в этом выражении имеет зависимость от свойств жидкости. Т.е., если шарик значимого веса бросить в высокий сосуд, содержащий вязкую жидкость (к примеру, глицерин), то спустя некоторое время скорость шарика установится на уровне определенного значения, не изменяющегося при последующем движении шарика. Когда движение будет происходить на некой установившейся скорости, силы, влияющие на шарик (сила тяжести m g → , выталкивающая сила F А → и сила сопротивления среды F с о п р ), оказываются скомпенсированными, и их равнодействующая будет равна нулю.

Уравнение Бернулли

Чем выше скорость потока идеальной жидкости, тем ниже ее давление.

Вам не приходило в голову, почему самолеты весом несколько сот тонн, разогнавшись, отрываются от взлетно-посадочной полосы и устремляются ввысь? Если нет, то для начала, когда в следующий раз будете в аэропорту, внимательно приглядитесь к разрезу крыла самолета. Прежде всего, обратите внимание, что крыло в разрезе представляет собой сочетание двух выпуклых линий, причем кривизна верхнего контура больше, чем кривизна нижнего, в результате чего площадь верхней поверхности крыла больше площади его нижней поверхности. Именно эта малозаметная для непосвященных деталь конструкции и позволяет самолету отрываться от поверхности земли.

А основополагающая идея здесь такова: воздушный поток разрезается надвое передней кромкой крыла, и часть его обтекает крыло вдоль верхней поверхности, а вторая часть — вдоль нижней. Чтобы двум потокам сомкнуться за задней кромкой крыла, не образуя вакуума, воздух, обтекающий верхнюю поверхность крыла, должен двигаться быстрее относительно самолета, чем воздух, обтекающий нижнюю поверхность, поскольку ему нужно преодолеть большее расстояние. И тут в действие вступает эффект, открытый Даниилом Бернулли, одним из представителей настоящей потомственной династии неутомимых научных гениев родом из Швейцарии. (В авторитетном «Словаре научных биографий», Dictionary of Scientific Biography, упомянуто не меньше восьми представителей фамилии Бернулли.). Отец Даниила — Иоганн Бернулли — был видным профессором математики в Университете г. Гронинген (позже Иоганн Бернулли переехал в Базель и возглавил кафедру греческого языка местного университета, однако после смерти брата вернулся в Гронинген, чтобы сменить его на посту заведующего кафедрой математики. Книга Даниила «Гидродинамика» (Hydrodynamica) была опубликована в 1738 году, практически одновременно с книгой Иоганна Бернулли «Гидравлика» (Hydraulica), которая по взаимной договоренности между сыном и отцом была, однако, специально датирована 1732 годом, чтобы, в случае чего, в семье не возникло недоразумений относительно приоритетов в открытиях. Вот такая семья!).

Объединив законы механики Ньютона с законом сохранения энергии (см. Первое начало термодинамики) и условием неразрывности жидкости, Даниил Бернулли смог вывести уравнение, согласно которому давление со стороны текучей среды падает с увеличением скорости потока этой среды (понятие «текучая среда» включает жидкость или газ). В случае с самолетом воздух обтекает крыло самолета снизу медленнее, чем сверху. И благодаря этому эффекту обратной зависимости давления от скорости давление воздуха снизу, направленное вверх, оказывается больше давления сверху, напрвленного вниз. В результате, по мере набора самолетом скорости, возрастает направленная вверх разность давлений, и на крылья самолета действует нарастающая по мере разгона подъемная сила. Как только она начинает превышать силу гравитационного притяжения самолета к земле, самолет в буквальном смысле взмывает в небо. Эта же сила удерживает самолет в горизонтальном полете: на крейсерской скорости и высоте подъемная сила уравновешивает силу тяжести.

Если вы часто летаете самолетом, вы не могли не заметить и еще одного явления, напрямую связанного с эффектом Бернулли. Самолет в аэропорту вашего родного города в разные дни берет разгон по взлетно-посадочной полосе в противоположных направлениях, и садится на нее также то в одном, то в другом направлении. Выбор направления не произволен: он зависит от направления ветра. При движении навстречу преобладающему ветру скорость воздушного потока, обтекающего крыло самолета, равна скорости самолета относительно земли плюс скорость самого ветра относительно земли. Поэтому при движении навстречу ветру, скорость отрыва от земли, при которой подъемная сила, описываемая уравнением Бернулли, начинает превышать силу тяжести, оказывается ниже, и самолету требуется меньшая длина разбега или торможения после посадки. Тем самым снижается риск выхода за пределы взлетно-посадочной полосы и экономится горючее за счет того, что часть подъемной силы создается за счет энергии встречного ветра.

С эффектом Бернулли вы можете встретиться также, когда сидите ненастным вечером дома у камина. Во время особенно сильных порывов ветра языки пламени взмывают вверх, в дымоход. А происходит следующее: когда скорость ветра у выходного отверстия трубы возрастает, давление в этом месте падает. Более высокое давление внутри дома буквально «выталкивает» пламя из камина в дымоход. Вы, наверное, замечали спиральные лопатки вокруг выходных отверстий заводских труб. Они установлены там с той же целью: направляя ветер вокруг и над отверстием трубы, они способствуют белее эффективному выбросу отработанных газов.

Сам я использую эффект Бернулли весьма неожиданным образом. Для поддержания физической формы я у себя в Вашингтоне регулярно совершаю пробежки на роликовых коньках по специальной заасфальтированной дорожке, идущей вдоль реки Потомак. На трек я выхожу неподалеку от Национального аэропорта, и, еще паркуя свою машину, я первым делом смотрю, в каком направлении взлетают или приземляются авиалайнеры. Если они садятся или взлетают в том направлении, куда я собираюсь прокатиться, значит, всё в порядке, и на обратном пути мне будет помогать попутный ветер. Если же они садятся мне навстречу, значит, дистанцию пробежки лучше сократить, поскольку на обратном пути ветер будет дуть мне в лицо, а я этого не люблю. Тем самым эффект Бернулли позволяет мне точно дозировать ежедневные физические нагрузки.

Швейцарский математик, физик и физиолог. Родился в Гронингене (Нидерланды) в семье потомственных математиков и интеллектуалов. Первоначально получил медицинское образование, и в 1725 году принял приглашение Петербургской академии наук и занял пост профессора кафедры физиологии. Обнаружив в этой области множество нерешенных задач из области теоретической физики и, в частности, динамики движения жидкости (крови) в сосудах, вернулся к математическому описанию физических процессов и в 1730 году возглавил кафедру чистой математики Петербургской академии. В 1733 году вернулся на родину в Базель, где возглавил кафедру анатомии и ботаники местного университета, а с 1750 года — кафедру экспериментальной физики, которой и руководил до своей смерти. В результате изучения гидродинамических зависимостей сформулировал так называемый принцип Бернулли и на столетие предвосхитил зарождение молекулярно-кинетической теории газов.

1 Вязкость воздуха. Пограничный слой

При обтекании поверхности набегающим потоком воздуха со скоростью V вблизи от этой поверхности скорость частиц воздуха уменьшается вплоть до полного торможения частиц, непосредственно контактирующих с неровностями поверхности (см. рисунок 1 [1]) . Разделим условно поток по вертикали к поверхности на отдельные слои. В этом случае слой, находящийся ближе к поверхности будет двигаться с меньшей скоростью, чем смежный с ним слой, расположенный выше. Нижний слой будет оказывать сопротивление верхнему слою. В этом явлении проявляется вязкость воздуха, т. е. его способность сопротивляться смещению слоев, их относительному перемещению, вызванная силами внутреннего трения. Вязкость не проявляется при отсутствии взаимного перемещения слоев воздуха.

Рисунок 1 — Пограничный слой

Пограничный слой — это слой воздуха вблизи обтекаемой поверхности, в котором проявляется его вязкость и происходит увеличение скорости от 0 до скорости обтекающего невозмущенного потока.

На носке обтекаемого тела толщина пограничного слоя минимальна и возрастает вдоль потока (см. рисунок 2 [1]). Толщина пограничного слоя в несколько раз меньше характерного линейного размера обтекаемого тела (у поверхности самолета от нескольких миллиметров до нескольких сантиметров).

Рисунок 2 — О бтекание тела газом (толщина пограничного слоя демонстративно увеличена)

Касательные напряжения, возникающие в пограничном слое

(1)

μ — коэффициент динамической вязкости, Па·с,

— градиент скорости.

При увеличении температуры возрастает скорость хаотического теплового движения молекул, поэтому возрастает динамическая вязкость воздуха.

Коэффициент кинематической вязкости воздуха, м 2 /с

(2)

отсюда коэффициент динамической вязкости

Коэффициент кинематической вязкости возрастает одновременно с высотой полета.

Из-за градиента скорости в пограничном слое частицы начинают вращаться тем сильнее, чем больше градиент скорости, то есть чем ближе к обтекаемой поверхности. Поэтому пограничный слой абсолютно всегда завихрен и называется слоем поверхностного завихрения.

При небольшой скорости набегающего потока или небольшой длине обтекаемой поверхности слои газа в пограничном слое не смешиваются, образуя ламинарный пограничный слой.

При увеличении скорости или длины обтекаемой поверхности слои газа начинают энергично перемешиваться между собой, весь пограничный слой беспорядочно завихряется, образуя турбулентный слой. Толщина турбулентного слоя значительно больше, чем ламинарного. Требуется много энергии на перемещение струек газа во всех направлениях, поэтому сопротивление потока газа в турбулентном слое увеличивается.

Чем больше градиент скорости, тем больше касательные напряжения, возникающие в пограничном слое, и сопротивление движению поверхности относительно воздуха. При турбулентном обтекании градиент скорости у поверхности значительно выше и, поэтому, сопротивление так же значительно выше, чем при ламинарном обтекании. Структура пограничного слоя показана на рисунке 3 [2].

Рисунок 3 — Структура пограничного слоя:1 — ламинарный пограничный слой, 2 — переходный; 3 — турбулентный; 4 – ламинарный подслой: x – координата точки перехода ламинарного слоя в турбулентный

При определенных условиях может возникнуть отрицательный градиент скорости, возникает срыв потока, например при околокритических углах атаки. При срыве потока давление на крыло сверху возрастает, поэтому крыло теряет свои несущие свойства.

Так как скорость при турбулентном обтекании у поверхности нарастает быстрее, то и срыв потока может произойти значительно позже, чем при ламинарном обтекании. Поэтому на крылья применяют турбулизаторы, вызывающие переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный.

Точка перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный определяется числом Рейнольдса

(4)

где l – линейный (вдоль потока) размер, м.

Подставим коэффициент кинематической вязкости

(5)

(6)

Критическим числом Рейнольдса называется такое Re _кр при котором пограничный слой переходит из ламинарного пограничного слоя в турбулентный. Оно примерно равно

Критическая скорость — это скорость при которой в данных условиях происходит переход условий обтекания в пограничном слое из ламинарного в турбулентный.

Вопрос: при увеличении угла атаки куда смещается точка перехода из ламинарного в турбулентный к носку крыла или к хвостику?

Ответ: При увеличении угла атаки возрастает верхняя обтекаемая длина профиля, поэтому возрастает скорость и Re, поэтому точка перехода из ламинарного в турбулентный смещается ближе к носку крыла, предотвращая тем самым срыв потока до какой-то степени.

2 Несжимаемая, сжимаемая жидкость

При малых скоростях ( M воздух принимается несжимаемой жидкостью, т. е. плотность не изменяется (ρ = const). При скоростях близких к скорости Маха воздух сжимается, поэтому давление увеличивается (ρ ≠ const), воздух принимается сжимаемой жидкостью.

3 Число Маха

, (7)

где V – скорость полета, м/с;

a – скорость звука на данной высоте, м/с.

С ростом высоты полета скорость звука уменьшается, а число Маха возрастает.

По таблице стандартной атмосферы скорость звука на нулевой высоте

a = 340,294 м/с = 340,294*3,6 км/ч = 1225,0584 км/ч.

При M = 1 возникает волновой кризис и скорость на нулевой высоте

V = 1225,0584 км/ч.

На высоте 10000 м скорость звука становится равной

a = 299,532 м/с = 299,532*3,6 км/ч = 1078,3152 км/ч.

Критическое число М _кр — это такое M∞, при котором на поверхности летательного аппарата возникают местные скорости потока равные скорости звука, то есть возникают местные скачки уплотнения. Мкр ≤ 1.

4 Уравнение Бернулли

В аэродинамике при изучении движения воздуха иногда удобнее использовать не модель сплошной среды, а модель, рассматривающую среду как совокупность множества частиц. В этой модели движение частиц представляют в виде траекторий и линий тока [1], которые совпадают при установившемся движении. Установившимся называется движение, при котором в фиксированной точке вектор скорости не изменяется по величине и направлению с течением времени.

Линия тока — это линия, в каждой точке которой вектор скорости частицы направлен по касательной к этой линии (см. рисунок 4 [1]) .

Рисунок 4 — Линия тока и траектория частицы, совпадающие при установившемся движении

В плоскости, перпендикулярной линии тока, проведем замкнутую линию. Через множество точек этой линии проведем бесконечно много линий тока, образующих замкнутую поверхность — трубку тока. Скорости частиц направлены по касательной к линиям тока и к поверхности трубки тока, поэтому частицы не пересекают поверхность и не покидают трубку тока. Частицы, движущиеся в трубке тока, образуют струйку. Струйка называется элементарной, если ее поперечное сечение настолько мало, что можно считать равными скорости частиц в этом сечении в каждый фиксированный момент времени. Рассмотрим элементарную струйку (см. рисунок 5 [ 1 ] ).

Рисунок 5 — Элементарная струйка

Поскольку поверхность трубки тока непроницаема для частиц воздуха, то при установившемся течении через каждое поперечное сечение элементарной струйки в единицу времени будет протекать одна и та же масса воздуха. Это вытекает из закона сохранения массы, если принять, что трубка тока не имеет разрывов, через которые может поступать или уходить воздух. Поэтому формула, описывающая это явление, называется уравнением неразрывности

m = ρVF = const, ( 8 )

где m – масса воздуха, протекающего через поперечное сечение струйки в единицу времени, кг/с;

ρ – плотность воздуха в данном сечении струйки, кг/м 3 ;

V – скорость воздуха в данном сечении струйки, м/с;

F – площадь поперечного сечения струйки, м 2 .

Для малых скоростей течения (при М

Из этого уравнения можно сделать важный вывод: при уменьшении площади поперечного сечения струйки скорость течения воздуха в ней возрастает, а при увеличении – падает. Но это справедливо только для дозвуковых течений (М

Важное место в аэродинамике отводится также закону сохранения энергии, который используется для получения взаимосвязи давления и скорости воздуха в струе. На рисунке 6 [ 1 ] показана элементарная струйка на виде сбоку.

Рисунок 6 — Движение воздуха в струйке

Рассмотрим относительно некоторого уровня баланс энергии масс воздуха, проходящих через сечения 1 и 2 за одинаковый промежуток времени Δt. Движение воздуха в струйке будем считать установившимся, а сжимаемость и трение учитывать не будем. Выделим для рассмотрения некоторую массу воздуха m, проходящую через сечение 1 со скоростью V ₁ за время Δt. Эта масса обладает кинетической энергией, равной

(11)

и имеет потенциальную энергию, равную потенциальной работе силы тяжести mgh ₁ и силы давления воздуха p ₁ F ₁ левее сечения 1. Потенциальная работа силы давления равна произведению силы на перемещение, которое равно произведения скорости V ₁ на промежуток времени Δt, в течение которого рассматриваемая масса воздуха проходит через сечение 1. Потенциальная энергия в сечении 1

Если не учитывать потери, то по закону сохранения энергии суммарная энергия рассматриваемой массы воздуха при прохождении ею сечения 2 не изменится, поэтому можно записать:

( 15 )

В соответствии с уравнением (10) объем воздуха, проходящий через сечение 1 должен быть равен объему воздуха, проходящего через сечение 2:

Поделим уравнение (15) на уравнение (17) и получим:

( 18 )

( 19 )

Мы получили уравнение Бернулли для газа без учета сжимаемости. Если пренебречь действием силы тяжести или предположить, что движение воздуха происходит в горизонтальной плоскости, то потенциальная энергия рассматриваемой массы воздуха не изменится, и из выражения (19) произведение ρgh можно исключить:

( 20 )

Слагаемое p называется статическим давлением, а слагаемое динамическим давлением или скоростным напором. Сумма же статического и динамического давлений называется полным давлением и обозначается p₀:

( 21 )

При внимательном рассмотрении уравнения Бернулли можно заметить, что при увеличении скорости потока динамическое давление будет расти, а статическое соответственно – падать, т.к. их сумма изменяться не должна. Так, при обтекании тела набегающим потоком воздуха (см. рисунок 7 [ 1 ] ) на его носке существует точка А (критическая точка), в которой скорость потока из-за полного торможения равна 0. В этой точке динамическая составляющая равна нулю, а статическое давление максимально и равно полному давлению. В любой другой точке поверхности тела скорость потока будет больше 0, а это значит, что статическое давление будет меньше, чем в критической точке.

Рисунок 7 — Обтекание тела набегающим потоком

Увеличение скорости дозвукового потока происходит при уменьшении площади поперечного сечения потока и сопровождается уменьшением статического давления.

Взаимосвязь статического и динамического давлений хорошо иллюстрируется на примере функционирования прибора, который носит название трубка Пито-Прандтля, или в технике – приемник воздушного давления (ПВД). Этот прибор широко используется в авиации для определения скорости полета. Схематично трубка Пито – Прандтля изображена на рисунке 8 [ 1 ] . Прибор имеет две полости, соединенных с манометром. Когда трубка выставлена вдоль вектора скорости набегающего потока, то в полости 1 давление воздуха будет равно полному давлению, т.к. это критическая точка и поток в ней полностью тормозится. Полость 2 сообщается с потоком через боковое отверстие в трубке, при этом линии тока проходят мимо этого отверстия, не искажаясь. За счет этого в полости 2 действует только статическое давление, а влияние динамического давления исключено. Разность давлений в полостях 1 и 2, измеряемая с помощью манометра, будет равна скоростному напору:

( 22 )

Отсюда, зная плотность воздуха, легко определить скорость набегающего потока (или скорость полета).

Рисунок 8 — Схема трубки Пито-Прандтля

С подъемом на высоту плотность воздуха уменьшается, поэтому требуется большая скорость полета и минимальная скорость увеличивается.

С увеличением высоты максимальная скорость уменьшается. При достижении теоретического потолка минимальная и максимальная скорости становятся равными.

5 Скоростная система координат

Скоростная система координат имеет нижние индексы a O X _aY_aZ_a. На рисунке ниже показаны знаки подъемной силы Y_a для различных профилей в зависимости от направления скорости потока (угла атаки). Угол атаки — это угол между хордой крыла и вектором скорости потока.

6 Аэродинамический фокус

Фокус — точка, относительно которой не изменяется аэродинамический момент при изменении угла атаки. Различают фокус крыла и фокус самолета. Фокус крыла — точка, относительно которой не изменяется аэродинамический момент, действующий на крыло при изменении угла атаки. Фокус самолета — точка, относительно которой не изменяется аэродинамический момент, действующий на самолет при изменении угла атаки.

7 Стреловидность

При увеличении скорости полета в потоке, окружающем самолет возникают участки, в которых скорость становится равной скорости звука на данной высоте полета. Это вызывает появление местных скачков уплотнения и как следствие значительный рост сопротивления.

Для уменьшения скорости на крыле применяют стреловидность

8 Сужение

9 Действия пилота при отскоке самолета от земли после грубой посадки

Если при грубой посадке самолет отскочил от взлетно-посадочной полосы и угол атаки не достиг критического значения, то нельзя опускать нос самолета, отдавая штурвал ( ручку или джойстик) от себя. Перед посадкой двигатели работают на малых оборотах, поэтому горизонтальная скорость, как правило, уже снижена, а после отскока она становится еще меньше. Уменьшение скорости полета V приводит к уменьшению подъемной силы Y _a в квадрате в соответствии с уравнением

где c _ya – коэффициент подъемной силы;

ρ — плотность воздуха, кг/м 3 ;

V – скорость воздушного потока, м/с;

S – площадь крыла, м 2 .

Если при падении горизонтальной скорости еще и штурвал подать от себя, уменьшая угол атаки, то самолет будет быстрее падать и большая вертикальная скорость при посадке может разрушить шасси или другие конструктивные части самолета. Поэтому после отскока самолета при грубой посадке нельзя отдавать ручку от себя при не критическом угле атаке. Ручку следует оставить в прежнем положении, не двигая от себя. Самолет сам опустится вниз из-за низкой горизонтальной скорости и сядет мягче из-за меньшей вертикальной скорости.

Если отскок при слишком грубой посадке самолета оказался большим и самолет взлетел метров на 10, то есть смысл перевести двигатели на взлетный режим, отдавая ручки газа от себя, и уйти на второй круг.

Не соблюдение этих положений при грубой посадке SSJ-100 5 мая 2019 года в Шереметьево могло быть одной из ошибок пилотов и привести к значительной вертикальной скорости перед вторым касанием самолета, разрушению топливных баков и катастрофе.

10 Авиационные сайты

Виртуально-общественное КБ летательных аппаратов «Кукушка» http://www.vokb-la.spb.ru/

Авиационные документы ИКАО, правила, сертификаты типа http://www.aviadocs.net/

Перечень условных обозначений, символов, единиц и терминов

b _А – средняя аэродинамическая хорда (САХ), м;

b _СГХ — средняя геометрическая хорда (СГХ), м;

— относительная координата центра масс (Ц.М.);

x _Т – расстояние центра масс самолета от носка (САХ), м;

χ — угол стреловидности крыла по 1/4 хорд, градусы;

b _го — средняя хорда горизонтального оперения, м;

— относительная толщина горизонтального оперения;

ℓ _го — размах горизонтального оперения, м;

S _го – площадь горизонтального оперения, м 2 ;

λ_го – удлинение горизонтального оперения, м;

L _го – плечо горизонтального оперения (расстояние от ц. м. до 0,25 b _го), м;

b _во — средняя хорда вертикального оперения, м;

— относительная толщина вертикального оперения;

ℓ _во — размах вертикального оперения, м;

S _во – площадь вертикального оперения, м 2 ;

λ_во – удлинение вертикального оперения, м;

L _во – плечо вертикального оперения (расстояние от ц. м. до 0,25 b _во), м;

n _р – расчетный коэффициент перегрузки;

α _закл – угол заклинения крыла – угол между хордой крыла и осью фюзеляжа, градусы;

H – высота шасси, м;

λ – угол выноса шасси, градусы;

φ — стояночный угол, градусы;

φ₁ – угол опрокидывания (угол между плоскостью ВПП и касательной к основным и предохранительной опорам), градусы.

Список использованных источников

1.Ефимов В.В. Основы авиации. Часть I. Основы аэродинамики и динамики полета летательных аппаратов: Учебное пособие. – М.: МГТУ ГА, 2003. – 64 с.

2.Демонова Т.В., Медведев В.П. Основы аэродинамики и гидромеханики: учеб. пособие. Таганрог: ТАВИАК, 2011. 283 с.

Вы можете поддержать развитие сайта, оплатить консультационные услуги Ольшевского Андрея Георгиевича