Уравнение бернулли онлайн теория вероятности

Вероятность возникновения некоторого числа событий при проведении нескольких испытаний. Испытания Бернулли.

Используя формулу Бернулли, вычисляет вероятность возникновения нескольких событий. Таблица и график функции биноминального распределения показывает вероятность всех возможных случаев.

Предположим у нас есть ящик с 5-ю шарами четыре белых и один черный. Каждый раз мы берем один шар из ящика и возвращаем его обратно. Как определить какова вероятность того, что за 10 повторений мы 2 раза достанем черный шар?
Подобные задачи легко решаются, при помощи формулы Бернулли, определяющей вероятность того, что в n независимых испытаниях будет ровно k раз наблюдаться событие, вероятность которого = p.
Формула имеет вид:

где p — вероятность возникновения события, — количество сочетаний n по k.
Подробности — сразу за калькулятором.

Испытания по схеме Бернулли

Производится n опытов по схеме Бернулли с вероятностью успеха p . Пусть X — число успехов. Случайная величина X имеет область значений <0,1,2. n>. Вероятности этих значений можно найти по формуле: , где C m _n — число сочетаний из n по m .
Ряд распределения имеет вид:

Этот закон распределения называется биноминальным.

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для построения биноминальным ряда распределения и вычисления всех характеристик ряда: математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения. Отчет с решением оформляется в формате Word .

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Числовые характеристики случайной величины, распределенной по биноминальному закону

Дисперсия случайной величины Х, распределенной по биноминальному закону.
D[X]=npq

Пример №1 . Изделие может оказаться дефектным с вероятностью р = 0.3 каждое. Из партии выбирают три изделия. Х – число дефектных деталей среди отобранных. Найти (все ответы вводить в виде десятичных дробей): а) ряд распределения Х ; б) функцию распределения F(x) .
Решение. Случайная величина X имеет область значений <0,1,2,3>.
Найдем ряд распределения X.
P₃(0) = (1-p) n = (1-0.3) 3 = 0.34
P₃(1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0.3) 3-1 = 0.44

P₃(3) = p n = 0.3 3 = 0.027

Математическое ожидание находим по формуле M[X]= np = 3*0.3 = 0.9
Проверка: m = ∑x_ip_i.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 0*0.34 + 1*0.44 + 2*0.19 + 3*0.027 = 0.9
Дисперсию находим по формуле D[X]=npq = 3*0.3*(1-0.3) = 0.63
Проверка: d = ∑x 2 _ip_i — M[x] 2 .
Дисперсия D[X].
D[X] = 0 2 *0.34 + 1 2 *0.44 + 2 2 *0.19 + 3 2 *0.027 — 0.9 2 = 0.63
Среднее квадратическое отклонение σ(x).

Функция распределения F(X).
F(x 3) = 1

1. Вероятность появления события в одном испытании равна 0.6 . Производится 5 испытаний. Составить закон распределения случайной величины Х – числа появлений события.
2. Составить закон распределения случайной величины Х числа попаданий при четырех выстрелах, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.8 .
3. Монету подбрасывают 7 раз. Найти математическое ожидание и дисперсию числа появлений герба. Примечание: здесь вероятность появление герба равна p = 1/2 (т.к. у монеты две стороны).

Пример №2 . Вероятность появления события в отдельном испытании равна 0.6 . Применяя теорему Бернулли, определите число независимых испытаний, начиная с которого вероятность отклонения частоты события от его вероятности по абсолютной величине меньше 0.1 , больше 0.97 . (Ответ: 801)

Пример №3 . Студенты выполняют контрольную работу в классе информатики. Работа состоит из трех задач. Для получения хорошей оценки нужно найти правильные ответы не меньше чем на две задачи. К каждой задаче дается 5 ответов из которых только одна правильная. Студент выбирает ответ наугад. Какая вероятность того, что он получит хорошую оценку?
Решение. Вероятность правильно ответить на вопрос: p=1/5=0.2; n=3.
Эти данные необходимо ввести в калькулятор. В ответ см. для P(2)+P(3).

Пример №4 . Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна (m+n)/(m+n+2) . Производится n+4 выстрела. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз.

Примечание. Вероятность того, что он промахнется не более двух раз включает в себя следующие события: ни разу не промахнется P(4), промахнется один раз P(3), промахнется два раза P(2).

Пример №5 . Определите распределение вероятностей числа отказавших самолётов, если влетает 4 машины. Вероятность безотказной работы самолета Р=0.99 . Число отказавших в каждом вылете самолётов распределено по биноминальному закону.

Задача 4. Среди 11 изделий 7 изделия первого сорта. Наудачу выбрали четыре изделия. случайная величина X – число первосортных изделий среди выбранных четырех изделий.
1. Составить закон распределения случайной величины X .
2. Построить полигон относительных частот.
3. Найти функцию распределения F(x) случайной величины X , построить ее график.
4. Найти характеристики случайной величины X :
а) математическое ожидание M(X) ;
б) дисперсию D(X) , среднее квадратическое отклонение σ( Х );
в) моду M₀.
Случайная величина X имеет область значений (0,1,2. n). Вероятности этих значений можно найти по формуле:
P_n(m) = C m _np m q n-m
где C m _n — число сочетаний из n по m.

Найдем ряд распределения X.
P₄(0) = (1-p) n = (1-0.636) 4 = 0.0176
P₄(1) = np(1-p) n-1 = 4(1-0.636) 4-1 = 0.12

P₄(4) = p n = 0.636 4 = 0.16

Полигон относительных частот

Мода равна тому значению X, при котором вероятность максимальная. В данном примере максимальная вероятность p =0,37 соответствует X = 3.

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x_ip_i.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 0*0.0176 + 1*0.12 + 2*0.32 + 3*0.37 + 4*0.16 = 2.54
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 _ip_i — M[x] 2 .

Дисперсия D[X].
D[X] = 0 2 *0.0176 + 1 2 *0.12 + 2 2 *0.32 + 3 2 *0.37 + 4 2 *0.16 — 2.54 2 = 0.92601646

Среднее квадратическое отклонение σ(x).

Функция распределения F(X).
F(x≤0) = 0
F(0 4) = 1

Пример 1 . Вероятность того, что трамвай подойдет к остановке строго по расписанию, равна 0,7. X — число трамваев, прибывших по расписанию из 4 исследуемых. Составить закон распределения дискретной случайной величины X, вычислить M(X), D(X), σ(X), построить многоугольник распределения и график функции распределения F(X).
Решение. Случайная величина X имеет область значений (0,1,2. n). Вероятности этих значений можно найти по формуле:
P_n(m) = C m _np m q n-m
где C m _n — число сочетаний из n по m.

Найдем ряд распределения X.
P₄(0) = (1-p) n = (1-0.7) 4 = 0.0081
P₄(1) = np(1-p) n-1 = 4(1-0.7) 4-1 = 0.0756

P₄(4) = p n = 0.7 4 = 0.2401

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x_ip_i.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 0*0.0081 + 1*0.0756 + 2*0.2646 + 3*0.4116 + 4*0.2401 = 2.8
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 _ip_i — M[x] 2 .
Дисперсия D[X].
D[X] = 0 2 *0.0081 + 1 2 *0.0756 + 2 2 *0.2646 + 3 2 *0.4116 + 4 2 *0.2401 — 2.8 2 = 0.84
Среднее квадратическое отклонение σ(x).

Пример 2 . Вероятность того, что телевизор проработает гарантийный срок без поломки, равна 0.8. Закупили 4 телевизора. Какова вероятность того, что три телевизора не проработают гарантийный срок?
Решение. В поле вероятность вводим значение p = 1- 0 .8 = 0.2 , поскольку нас интересует вероятность поломки.

Формула Бернулли

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A определённое количество раз при нескольких независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, который вывел эту формулу.

Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна, то вероятность P_n(k) того, что событие A наступит ровно k раз в n независимых испытаниях, равна P_n(k) = C _k n p k q n-k , где q = 1 — p.

Онлайн калькулятор позволяет рассчитать вероятность появления события A ровно k раз при n независимых испытаний.

Онлайн калькуляторы

Calculatorium.ru — это бесплатные онлайн калькуляторы для самых разнообразных целей: математические калькуляторы, калькуляторы даты и времени, здоровья, финансов. Инструменты для работы с текстом. Конвертеры. Удобное решение различных задач — в учебе, работе, быту.

Актуальная информация

Помимо онлайн калькуляторов, сайт также предоставляет актуальную информацию по курсам валют и криптовалют, заторах на дорогах, праздниках и значимых событиях, случившихся в этот день. Информация из официальных источников, постоянное обновление.