Уравнение бернулли с учетом сил инерции

Уравнение Бернулли для относительного движения

Уравнение Бернулли в формулах и справедливо в тех случаях установившегося течения жидкости, когда из массовых сил на жидкость действует лишь сила тяжести. Однако иногда приходится рассматривать такие течения, при расчете которых кроме силы тяжести следует учитывать силы инерции переносного движения. Если инерционная сила постоянна по времени, то течение жидкости относительно стенок русла может быть установившимся, и для него можно вывести уравнение Бернулли

делали и. В левую часть уравнения к работе сил давления и тяжести следует добавить работу силы инерции, действующую на элемент струйки весом dG при его перемещении из сечения 1—1 в сечение 2—2. Затем эту работу, как и другие члены уравнения делим на dG, т. е. относим к единице веса, и, получив некоторый напор, переносим его в правую часть уравнения. Получим уравнение Бернулли для относительного движения, которое в случае реального потока принимает вид

где δНин — так называемый инерционный напор, который представляет собой работу силы инерции, отнесенную к единице веса и взятую с обратным знаком (обратный знак обусловлен тем, что эта работа перенесена из левой части уравнения в правую).

Прямолинейное равноускоренное движение русла. Если русло, по которому течет жидкость, движется прямолинейно с постоянным ускорением α (рис. 1.30, а), то на все частицы жидкости действует одинаковая и постоянная по времени сила инерции переносного движения, которая может способствовать или препятствовать течению. Если эту силу отнести к единице массы, то она будет равна соответствующему ускорению α и направлена в сторону, обратную ему, а на каждую единицу веса жидкости будет действовать сила инерции alg. Работа этой силы при перемещении жидкости из сечения 1— 1 в сечение 2—2 (так же, как и работа силы тяжести) не зависит от формы пути, а определяется лишь разностью координат, отсчитываемых в направлении ускорения а, следовательно,

где 1_а — проекция рассматриваемого участка русла на направление ускоре­ния а.

Если уско­рение α направлено от сечения 1—1 к сечению 2—2, а сила инерции — наоборот, то эта сила препятствует течению жидкости, и инерционный напор должен иметь знак плюс. В этом случае инерционный напор уменьшает напор в сечении

2—2 по сравнению с напором в сечении 1—1 и, следовательно, аналогичен гидравлическим потерям Σ h_a, которые всегда входят в правую часть уравнения Бернулли со знаком плюс. Если же ускорение α направлено от сечения 2—2 к сечению 1—1, то сила инерции способствует течению и инерционный напор должен иметь знак минус. В этом случае инерционный напор будет увеличивать напор в сечении 2—2, т. е. будет как бы уменьшать гидравлические потери.

2. Вращение русла вокруг вертикальной оси. Пусть русло, по которому движется жидкость, вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω (рис. 1.30, б). Тогда на жидкость действует сила инерции враща­тельного движения, являющаяся функцией радиуса. Поэтому для подсчета работы этой силы или изменения потенциальной анергии, обусловленной ее действием, необходимо применить интегрирование.

Дата добавления: 2015-04-18 ; просмотров: 17 ; Нарушение авторских прав

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли для струйки жидкости формулируется следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Уравнение Бернулли выглядит так:

Подробное описание всех входящих в состав уравнения параметров уже описан в этой статье.

Содержание статьи

Смысл уравнения Бернулли

По существу вывода уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости представляет собой закон сохранения механической энергии, составленный применительно к единице массового расхода жидкости. Это следует из того, что в процессе вывода значения работы сил, приложенных к выделенному объему струйки и значения кинетической энергии этого объема были поделены на величину ρqΔT.

Отсюда вытекает, что поскольку член υ 2 /2 является мерой кинетической энергии единицы массы движущейся жидкости, то сумма членов gz+p/ρ будет мерилом ее потенциальной энергии.

В отношении величины gz это очевидно, ведь если частица жидкости массы m расположена на высоте z относительно некоторой плоскости и находится под действием сил тяжести, то способность ее совершить работу, т.е. её потенциальная энергия относительно этой плоскости равняется mgz. Но если её поделить на массу частиц m, то эта часть потенциальной энергии даст величину gz.

Для более ясного физического представления о том, что потенциальная энергия измеряется величиной p/ρ рассмотрим такую схему: пусть к трубе, заполненной жидкостью с избыточным давлением p, присоединен пьезометр, снабженный на входе в него краном.

Кран сначала закрыт, т.е. пьезометр свободен от жидкости, а элементарный объем жидкости ΔV массой ρ*ΔV перед краном находится под давлением p.

Если затем открыть кран, то жидкость в пьезометре поднимется на некоторую высоту, равную

Таким образом, единица массы, находящейся под давлением p, как бы несет в себе ещё заряд потенциальной энергии, определяемой величиной p/ρ.

В гидравлике для характеристики удельной энергии обычно используется понятие напор, под которым понимают энергию жидкости, отнесенную к единице силы тяжести, а не её массы. В соответствии с этим уравнение Бернулли записанное в начале этой статьи примет вид

Такое уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости в другой форме, весьма удобно для гидравлических расчетов и может быть сформулировано следующим образом.

Для элементарной струйки идеальной жидкости полный напор, т.е. сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров, есть величина постоянная во всех её сечениях.

Отсюда следует, что между напором и удельной энергией существует очень простая зависимость

где э – удельная энергия

Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости

Если вместо идеальной жидкости рассматривать жидкость реальную, то уравнение Бернулли для реальной жидкости должно принять несколько другой вид.

При движении идеальной жидкости её полная удельная энергия или напор сохраняет постоянное значение по длине струйки, а при движении реальной жидкости эта энергия будет убывать по направлению движения. Причиной этого являются затраты энергии на преодоление сопротивлений движению, обусловленные внутренним трением в вязкой жидкости.

Если же мы рассмотрим два сечения для струйки идеальной жидкости: 1-1 в начале и 2-2 в конце струйки, то полная удельная энергия будет

Полная удельная энергия для сечения 1-1 всегда будет больше, чем полная удельная энергия для сечения 2-2 на некоторую величину потерь, и уравнение Бернулли в этом случае получается

Величина Э_1-2 представляет собой меру энергии, потерянную единицей массы жидкости на преодоление сопротивлений при её движениями между указанными сечениями.

Соответствующий этой потере удельной энергии напор называют потерей напора между сечениями 1-1 и 2-2 и обозначают h_1-2 . Поэтому уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости можно представить в виде

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости это еще только половина дела, ведь в при решении различных практических вопросов о движении жидкостей приходится иметь дело с потоками конечных размеров. Уравнение Бернулли в этом случае может быть получено, исходя из рассмотрения потока как совокупности множества элементарных струек.

Учитывая, что все струйки движутся с одной и той же средней скоростью форма записи уравнения Бернулли для потока идеальной жидкости становится идентичной его записи для элементарной струйки.

В таком виде уравнение Бернулли обычно и применяется при решении практических задач для потоков однородной несжимаемой жидкости при установившемся движении, происходящем под действием одной силы тяжести.

Такое уравнение составляется для различных живых сечений потока, вблизи которых движение жидкости должно удовлетворять условиям медленно изменяющегося движения, хотя на пути между этими сечениями движение может и не удовлетворять указанным условиям.

Слагаемое h_1-2 в этом уравнении показывает потери напора на преодоление сопротивлений движению жидкости. При этом в гидравлике различают два основных вида сопротивлений:
— h_лп — линейные потери — сопротивления, проявляющиеся по всей длине потока, обусловленные силами трения частиц жидкости друг о друга и о стенки, ограничивающие поток.
— h_мп — местные потери – местные сопротивления, обусловленные различного рода препятствиями, устанавливаемыми в потоке (задвижка, кран, колено), приводящими к изменениям величины или направления скорости течения жидкости

Поэтому полная потеря напора между двумя сечениями потока при наличии сопротивлений обоих видов будет

Видео по теме

Уравнение Бернулли подходит и для газов. Явление уменьшения давления при повышении скорости потока является основой работы различных приборов для измерения расхода. Закон Бернулли справедлив и для жидкостей вязкость которых равна нулю. При описании течения таких жидкостей используют уравнение Бернулли с добавлением слагаемых учитывающих потери на местные сопротивления.

Уравнение Бернулли для неустановившегося движения вязкой жидкости

Уравнение Бернулли для неустановившегося движения вязкой жидкости

Уравнение Бернулли для неустановившегося движения вязкой жидкости. Рассмотрены уравнения Навье-Стокса в виде гломеки для нестационарного движения несжимаемой вязкой жидкости при наличии потенциальных условий возникновения массовых сил. = 2(yyyuh-ihyuy). Если вы умножите уравнение на yx, yy, yg соответственно и получите его на линии потока, а затем добавите уравнение, вы получите. Рассмотрим движение вдоль Streamline.

В этом случае определитель равен нулю. И yx = yyy1 \ yy = = yuy1 \ yy-yy1、 (5.26） (5.26)рассматривается также работа вязкой силы А, которая учитывается при основном движении единицы массы жидкости вдоль обтекаемой линии. Если только гравитация действует от силы массы (I § 2+ SOP81), то все термины (5.26) относятся к единице 105 21. P1 R B2§ 2-й. ЧД. „Р-Н“ Б ^ в> (5.27） Больше• Жидкий вес, мы находим Д1. Где N’T-инерционное давление. Простое число A ^ n означает, что рассматривается элементарный поток.

Инерционное давление определяет изменение во времени (удельной кинетической энергии жидкости в обтекаемом сечении от 1 \до 2. Это изменение кинетической энергии обусловлено локальным ускорением. Давление инерции имеет линейный размер. Картина удельной энергии (давления) в нестационарном движении обозначается как Нтрп. При нестационарном движении сила инерции на основе единицы массы жидкости Ди. Первый член-это локальная сила инерции, а второй-конвекция.

Так как площадь поперечного сечения элементарной струйки бесконечно мала, то величины скорости и давления для всех точек данного поперечного сечения в данный момент времени одинаковы. Людмила Фирмаль

• Полученное уравнение(5.2) — уравнение Бернулли для основного течения вязкой несжимаемой жидкости с нестационарным движением). При переходе к уравнению Бернулли течения с нестационарным движением вязкой несжимаемой жидкости принято рассматривать только те случаи нестационарного движения, в которых форма линии течения не изменяется со временем(величина скорости будет равна 106).по сути, это течения, ограниченные недеформируемыми стенками.

Чтобы перейти к уравнению Бернулли течения, необходимо усреднить все члены уравнения Бернулли, полученные для основной струйки (обтекаемой) нестационарного движения с живым поперечным сечением section. In в этом случае инерционное давление Elementary элементарного потока и инерционное давление/ gш1 потока присваиваются единице веса жидкости. В данный момент, в связи с инвариантностью линии потока и несжимаемостью жидкости, расход c1 = ico не изменяется по длине потока.

• То есть, это не зависит от длины. Величина перемещения потока рассчитывается при локальной скорости. По аналогии с вышеизложенным (в случае кинетической энергии) получаем представление импульса потока, полученное в предположении, что скорость одинакова и равна средней скорости во всех точках поперечного сечения организма. 107. (KDX,= P Потому что| Am ^ω= 0 по вышесказанному.

Очевидно, что фактор импульса a ’ меньше, чем фактор кинетической энергии a、 [ср. ’(5.17) и (5’29 ^ * Людмила Фирмаль

• Средняя скорость V является функцией времени, а длина не изменяется）」 Ли Ди. Д1(К Д(Я Далее определяется среднее инерционное давление в Живом сечении ЛЮТЕЦИЙ. ® &’ Уравнение Бернулли для течения несжимаемой жидкости с нестационарным движением в прямой цилиндрической трубе имеет вид、 d.+ 〜 + = * 2 +〜+ d, r. n + Ln,(5.30） Ре ре 2У 2У Куда? а, я ду В этом случае Йоу.

Важно отметить, что инерционное давление Lp может быть как положительным, так и отрицательным. Если движение ускоряется (yi / U, то Lin>0.Если движение медленное ((IV /Ш

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института