Формула уравнения Бернулли
Определение и формула уравнения Бернулли
При рассмотрении движения жидкости очень часто считают, что перемещение одних частей жидкости относительно других не порождает сил трения. При этом жидкость, у которой вязкость (внутреннее трение) равна нулю, носит название идеальной.
Сжимаемой называют жидкость, плотность которой изменяется и может зависеть от температуры и давления.
Баротропной называют жидкость (или газ), плотность которой валяется функцией давления (не является функцией температуры).
Течение жидкости или газа называют стационарным, если скорость и давление жидкости остаются постоянными в каждой точке жидкости (газа).
Установившееся течение идеальной баротропной жидкости в потенциальном поле сил подчиняется уравнению Бернулли:
где $\varphi_
Частные случаи уравнения Бернулли
При воздействии на жидкость только силы тяжести (нет других массовых сил), то потенциал поля можно представить:
где g – ускорение свободного падения, ось OZ имеет направление вверх (z – координата (или высота) по данной оси), тогда уравнение Бернулли можно записать как:
В том случае, если идеальную жидкость можно считать несжимаемой, уравнение Бернулли применяют в виде:
где $\frac<\rho v^<2>><2>$ – называют скоростным напором или динамическим давлением; p – статическое давление в той точке пространства, где расположен центр массы исследуемого элемента жидкости; $\frac
><\rho g>$ – носит название пьезометрической высоты; $\frac
Расчеты, которые проводят для реальных жидкостей с применением уравнения Бернулли, дают неплохие результаты.
Следствие уравнения Бернулли
1. Пусть все точки текущей жидкости имеют одинаковые величины скоростей. В таком случае для любых произвольных точек, относящихся к одной линии тока, выполняется равенство:
где p1 и p2 – давления в точках жидкости, находящихся на высоте z1 и z2, соответственно по вертикальной оси OZ.
Выражение (5) означает, что распределение давления является таким же, как в жидкости, находящейся в покое.
2. Для линии тока, если она горизонтальна уравнение Бернулли (3) примет вид:
что означает: давление оказывается меньше там, где скорость больше.
Примеры решения задач
Задание. Какова скорость течения воды в горизонтальной трубе рис.1? Если в манометрических трубках, указанных на том же рис.1 разность уровней жидкости равна h. Считайте, что диаметры трубок одинаковы.
Решение. В качестве основы для решения задачи используем уравнение Бернулли в виде:
Запишем уравнение Бернулли для трубки тока в месте нахождения манометрических трубок (1) и (2) (используем (1.1)):
Для линии тока при постоянной скорости течения жидкости выполняется:
$$\frac<\rho v^<2>><2>=\rho g\left(h_<2>-h_<1>\right)=\rho g h \rightarrow v=\sqrt<2 g h>$$
Ответ. $v=\sqrt<2 g h>$
Задание. Используя уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости, рассматривая истечение ее из маленького отверстия в широком открытом сосуде, получите формулу Торричелли: $v=\sqrt<2 g h>$, где h=h2-h1 — высота открытой поверхности жидкости над отверстием, v – скорость истечения жидкости из отверстия.
Решение. Сделаем рисунок.
Рассмотрим рис.2. Выделим в жидкости трубку тока с сечениями S1 – площадь открытой поверхности жидкости, S2 – площадь сечения струи из отверстия. Будем считать, что для всех точек каждого из данных сечений скорость жидкости (v) и высота (h) над избранным начальным уровнем одинаковы. Значит к рассматриваемым сечениям применимо уравнение Бернулли:
где для двух рассматриваемых сечений давления p1=p2=p (p — атмосферное давление), скоростью перемещения открытой поверхности можно пренебречь, так как она мала. Уравнение (2.1) двух сечений трубки тока в таком случае упрощается до равенства:
$$\rho g h_<1>=\frac<\rho v^<2>><2>+\rho g h_ <2>\rightarrow \frac
здесь v – скорость, с которой вытекает жидкость из отверстия.
Тема 3. Кинематика и динамика жидкостей и газов, Лекция 11. Уравнение Бернулли и следствия из него
Тема 3. Кинематика и динамика жидкостей и газов
Лекция 11. Уравнение Бернулли и следствия из него
1. Основные положения гидродинамики. Уравнение неразрывности струи.
2. Уравнение Бернулли.
3. Истечение жидкости из отверстия. Принцип реактивного движения.
ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 часа.
1. Суханов курс физики. — М.: 1996.
2. Савельев общей физики. Том 1. — M: — Наука, 1996. § 72,73,74.
3. Трофимова физики. – М.: Высшая школа, 1999. § 28,29,30.
4. , Детлаф по физике. — М.: Наука, 1996. Отдел III.
Современные летательные аппараты способны выполнять саше разнообразные задачи и осуществлять полет в различных физических условиях. Физическими условиями полета называется совокупность физических свойств атмосферы и физических явлений, возникающих во время полета летательных аппаратов. Физические условия полета определяются, в первую очередь, назначением летательного аппарата и могут значительно, а порой и быстро, изменяться в процессе полета. Ярким примером являются пилотируемые космические корабли многоразового использования, способные осуществлять полет как в околоземном космическом пространстве, т. е. в практически безвоздушном пространстве, так и в нижних плотных слоях атмосферы.
В безвоздушном пространстве полет летательных аппаратов основан на реактивном принципе движения, т. е. на законах движения тел с переменной массой, вытекающих из основных законов динамики поступательного движения твердых тел.
Полет летательных аппаратов в воздушной среде подчиняется законам аэродинамики, начало которой положено трудами русского ученого () и его ученика . В основе аэродинамики, как науки, лежит гидродинамика — физическая теория движения несжимаемых жидкостей с твердыми телами.
Основные положения и выводы гидродинамики применимы не только к жидкостям, но и к газам в том случае, когда сжимаемостью их можно пренебречь. Соответствующие расчеты показывают, что при движении жидкостей и газов со скоростями меньшими скорости звука, их с достаточной степенью точности можно считать несжимаемыми. Следовательно, движение твердых тел, в том числе летательных аппаратов, в воздушной среде при указанных Скоростях подчиняется законам гидродинамики.
Для выяснения физической сущности процессов, определяющих полет летательных аппаратов, необходимо уяснить основные положения гидродинамики.
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ СТРУИ
Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 1).
Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Линии тока в жидкости можно «проявить», например, подмешав в нее какие-либо заметные взвешенные частицы.
Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока.
Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.
Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S1 и S2, перпендикулярные направлению скорости (рис. 2).
За время Δt через сечение S проходит объем жидкости SvΔt; следовательно, за 1с через S1 пройдет объем жидкости S1v1, где v1 — скорость течения жидкости в месте сечения S1. Через сечение S2 за 1с пройдет объем жидкости S2v2, где v2 — скорость жидкости в месте сечения S2. Здесь предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость несжимаема (ρ=const), то через сечение S2 пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S1, т. е.
Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Соотношение 1 называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости.
2. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S1 и S2, по которой слева направо течет жидкость (рис. 3).
Пусть в месте сечения S1 скорость течения v1 давление Р1 и высота, на которой это сечение расположено, h1. Аналогично, в месте сечения S2 скорость течения v2, давление Р2 и высота сечения h2. За малый промежуток времени Δt жидкость перемещается от сечения S1 к сечению S’1, от S2 к S’2.
Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии E2-E1 идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы жидкости:
где E1 и Е2 — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S1 и S2 соответственно.
С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S1 и S2, за рассматриваемый малый промежуток времени Δt. Для перенесения массы m от S1 до S’1 жидкость должна переместиться на расстояние l1 =v1 Δt и от S2 до S’2 — на расстояние l2 =v2 Δt. Отметим, что 11 и 12 настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 3, приписывают постоянные значения скорости v, давления Р и высоты h. Следовательно,
где F1=P1S1 и F2=-P2S2 (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; рис. 3).
Полные энергии Е1 и Е2 будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:
(4)
(5)
Подставляя (4) и (5) в (2) и приравнивая (2) и (3), получим
(6)
Согласно уравнению неразрывности струи для несжимаемой жидкости (1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.
Разделив выражение (6) на , получим
,
где ρ — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать
=const. (7)
Выражение (7) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальныхжидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.
Величина Р в формуле (7) называется статическим давлением (давление жидкости поверхность обтекаемого ею тела), величина — динамическим давлением. Величина представляет собой гидростатическое давление.
Для горизонтальной трубки тока (h1=h2) выражение (7) принимает вид
=const, (8)
— называется полным давлением.
Из уравнения Бернулли (8) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (1) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис. 4).
В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.
Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито — Прандтля (рис. 5).
Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. I помощью одной из трубок измеряется полное давление (Р0), с помощью другой — статическое (Р). Манометром измеряют разность давлений:
, (9)
где — плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:
(10)
Из формул (9) и (10) получаем искомую скорость потока жидкости:
Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис. 6).
Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом, можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст.= 133,32 Па).
Уравнение Бернулли позволяет описать физические явления лежащие в основе работы целого ряда устройств и приборов: карбюратор, пульверизатор (рис. 7) и др.
3. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЯ. ПРИНЦИП РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис. 8).
Рассмотрим два сечения (на уровне h1 свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h2 выхода ее из отверстия) и напишем уравнение Бернулли:
Так как давления Р1 и Р2 в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. Р1=Р2 , то уравнение будет иметь вид
.
Из уравнения неразрывности (1) следует, что v1/v2 = S1/S2, где S1 и S2 — площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S1>>S2, то членом можно пренебречь и
(11)
Это выражение получило название формулы Торричелли (Э. Торричелли (1608 – 1647) – итальянский физик и математик.
Итак, скорость истечения жидкости из отверстия, расположенного на глубине h под открытой поверхностью, совпадает со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h. Следует помнить, что этот результат получен в предположении, что жидкость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличается от значения (11), чем больше вязкость жидкости.
Струя жидкости, вытекающая из отверстия в сосуде (рис. 9), уносит с собой за время Δt импульс (— плотность жидкости, S — площадь отверстия, v — скорость истечения струи).
Этот импульс сообщается вытекающей жидкости сосудом. По третьему закону Ньютона сосуд получает, от вытекающей жидкости за время Δt импульс, равный — , т. е. испытывает действие силы
(12)
Эта сила называется реакцией вытекающей струи. Если сосуд поставить на тележку, то под действием силы Fr он придет в движение в направлении, противоположном направлению струи.
Найдем значение силы Fr, воспользовавшись выражением (11) для скорости истечения жидкости из отверстия:
(13)
Если бы, как это может показаться на первый взгляд, сила Fr совпадала по величине с силой гидростатического давления, которое жидкость оказывала бы на пробку, закрывающую отверстие, то Fr была бы равна . На самом деле сила Fr оказывается в 2 раза большей. Это объясняется тем, что возникающее при вытекании струи движение жидкости в сосуде приводит к перераспределению давления, причем давление вблизи стенки, лежащей против отверстия, оказывается несколько большим, чем вблизи стенки, в которой сделано отверстие.
На реакции вытекающей струи газа основано действие реактивных двигателей и ракет. Реактивное движение, не нуждаясь для своего осуществления в наличии атмосферы, используется для полетов в космическом пространстве.
Основоположником теории межпланетных сообщений является выдающийся русский ученый и изобретатель (1857—1935). Он дал теорию полета ракеты и обосновал возможность применения реактивных аппаратов для межпланетных сообщений. В частности, Циолковским была разработана теория движения составных ракет, в которых каждая последующая ступень вступает в действие после того, как предыдущая ступень, израсходовав полностью топливо, отделится от ракеты. Идеи Циолковского получили дальнейшее развитие и были осуществлены учеными и инженерами для освоения космического пространства.
Уравнение Бернулли и следствия из него
Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S1и S2, по которой слева направо течет жидкость (рис.6.3). Пусть в месте сечения S1 скорость течения v1, давление р1и высота, на которой это сечение расположено, h1. Аналогично, в месте сечения S2скорость течения v2, давление p2 и высота сечения h2. За малый промежуток времени Δt жидкость перемещается от сечений S1 и S2 к сечениям S′1 и S′2.
Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии W2– W1 идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы т жидкости:
С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S1и S2,за рассматриваемый малый промежуток времени Δt. Для перенесения массы т от S1 до S’1жидкость должна переместиться на расстояние l1 = υ1Δt и от S2 до S’2— на расстояние l2 = υ2Δt. Отметим, что l1и l2настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис.6.3, приписывают постоянные значения скорости υ, давления р и высоты h. Следовательно,
Полные энергии W1и W2будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы т жидкости:
Подставляя (6.5) и (6.6) в (6.3) и приравнивая (6.3) и (6.4), получим
Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (6.2), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.
Разделив выражение (6.5) на ΔV, получим
где ρ — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать
ρυ 2 /2 + ρgh + p = const. (6.8)
Выражение (6.8) называется уравнением Бернулли.Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.
Величина р в формуле (6.8) называется статическим давлением(давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина ρυ 2 /2 — динамическим давлением.Как уже указывалось выше, величина ρgh представляет собой гидростатическое давление.
Для горизонтальной трубки тока (h1= h2) выражение (6.8) принимает вид
где p + ρυ 2 /2называется полным давлением.
Из уравнения Бернулли (6.9) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (6.2) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров(рис.6.4). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.
Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито — Прандтля (рис.6.5). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р0), с помощью другой — статическое (р). Манометром измеряется разность давлений:
где ρ0— плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:
Из формул (6.10) и (6.11) получаем искомую скорость потока жидкости:
υ = . (6.12)
Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса(рис.6.6). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм.рт.ст.
Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис.6.7).
Рассмотрим два сечения (на уровне h1 свободной поверхности жидкости в сосуде на уровне h2 выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли:
Так как давления р1и р2в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. p1 = p2, то уравнение будет иметь вид
υ1 2 /2 + gh1 = υ2 2 /2 + gh2.
υ2 = . (6.13)
Это выражение получило название формулы Торричелли.
http://pandia.ru/text/77/441/80135.php
http://helpiks.org/6-65743.html