Уравнение биссектрисы треугольника онлайн калькулятор

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Биссектриса треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти биссектрису треугольника. Для нахождения длины биссектрисы треугольника введите длины сторон треугольника, выберите сторону, к которой проведена биссектриса и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Определение 1. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны называется биссектрисой треугольника (Рис.1).

Биссектриса треугольника также называют биссектрисей угла треугольника или биссектрисей внутреннего угла треугольника.

Биссектриса внешнего угла треугольника − это биссектриса угла, которая является смежным с внутренним углом треугольника (Рис.2).

Любой треугольник имеет три биссектрисы.

Теорема 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Проведем биссектрисы AA₁, BB₁ и обозначим через O точку их пересечения (Рис.3). Из точки O проведем перпендикуляры OK, OM и OL по сторонам треугольника ABC. По теореме 1 статьи Биссектриса угла. Свойства − OK=OL OK=OM. Следовательно OL=OM. Но последнее равенство означает, что точка O равноудалена от сторон AC и BC, т.е. находится на биссектрисе CC₁ (Определение 2 статьи Биссектриса угла. Свойства).

Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром треугольника. Инцентр треугольника является центром вписанной в треугольник окружности (Рис.4).

Доказательство следует из теоремы 1, поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC и, следовательно, является центром окружности равной OK=OL=OM.

Длина биссектрисы треугольника

Рассмотрим треугольник на Рис.5.

Длина биссектрисы треугольника можно вычислить следующими формулами:

где p − полупериметр треугольника ABC, \( \small \gamma -\) угол между биссектрисой \( \small l_c\) и вершиной \( \small h_c:\)

,

Доказательство. 1) Из теоремы Стюарта следует:

(1)

А из теоремы о биссектрисе треугольника следует, что если l_c является биссектрисей треугольника ABC (Рис.5), то имеет место следующее соотношение:

(2)

Поскольку то (2) можно переписать так:

(3)

(4)

(5)

Подставим (4) и (5) в (1):

.

(6)

.

Доказательство. 2) Подставим (4) и (5) в (6):

,

.

(7)

.

(8)

Доказательство. 3) Сделаем следующее обозначение:

.

(9)

Сделаем преобразования формулы (7), учитывая (9):

.

.

(10)

Доказательство. 4) Для доказательства четвертой формулы, снова обратимся к рисунке Рис.5. Запишем формулы площадей треугольников ABC, ADC и BDC:

,

,

.

Учитывая, что , получим:

.

.

(11)

Для \( \small \sin C \) применим формулу синуса двойного угла:

.

(12)

Подставляя (12) в (11) получим:

.

.

(13)

Доказательство. 5) Докажем пятую формулу. Из вершины C проведена вершина CH. Имеем прямоугольный треугольник CHD, для которого имеет место следующее равенство:

.

.

Остается показать, что .

Поскольку биссектриса l_c делит угол C пополам, то:

Биссектриса треугольника

Онлайн калькулятор для расчёта биссектрисы треугольника

Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла который делит этот угол на два равных угла. Биссектрисе также можно дать определение, что это геометрическое место точек внутри угла, которые равноудалены от сторон этого угла.

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам.

В старом советском мультфильме для упрощения изучения данного термина, биссектрисе давалось такое определение: Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.

Формула биссектрисы треугольника

Для расчёта длины биссектрисы треугольника применяется следующая формула: