Уравнение биссектрисы треугольника по координатам онлайн

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Уравнение перпендикулярной биссектрисы

Перпендикуляром является линия или луч, который делит отрезок на две равные части под углом 90 градусов. Биссектриса — линия или луч, который делит отрезок на две равные части.

Рассчитать онлайн уравнения перпендикулярной биссектрисы при заданных значениях координат X и Y для точек A и B.

В приведенном ниже изображении, АВ перпендикуляр линии PQ и точка F является серединой, отрезка АВ.

Пример

Найти уравнение перпендикуляра биссектрисы для отрезка с точками Р (5,7), Q (6,6).

Для начала необходимо вычислить среднюю точку линии PQ, точку F

Шаг 1

Рассчитываем координаты средней точки отрезка по формуле:

Середина отрезка = x1 + x2 / 2, y1 + y2 / 2

Середины отрезка PQ = 5 + 6/2, 7 + 6/2 = (11/2, 13/2)

Шаг 2

Далее, мы должны найти наклон линии PQ, используя формулу
y2-y1 / X2-X1.

Обратите внимание, что наклон обозначается буквой «М».
Наклон PQ (м) = 6-7 / 6-5 = -1.

Шаг 3

Теперь, давайте вычислить наклон перпендикуляра (AB) линии PQ.Наклон перпендикуляре = -1 / наклон линии.
Поэтому для AB = -1 / -1 = 1

Шаг 4

После того, как мы находим наклон, как описано выше, мы можем найти уравнение с наклоном и серединой. Найдем уравнение АВ с серединой (11/2, 13/2) и наклоном 1.

Формулы для нахождения уравнения

Получим уравнение х + у = 1.

Биссектриса треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти биссектрису треугольника. Для нахождения длины биссектрисы треугольника введите длины сторон треугольника, выберите сторону, к которой проведена биссектриса и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Определение 1. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны называется биссектрисой треугольника (Рис.1).

Биссектриса треугольника также называют биссектрисей угла треугольника или биссектрисей внутреннего угла треугольника.

Биссектриса внешнего угла треугольника − это биссектриса угла, которая является смежным с внутренним углом треугольника (Рис.2).

Любой треугольник имеет три биссектрисы.

Теорема 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Проведем биссектрисы AA₁, BB₁ и обозначим через O точку их пересечения (Рис.3). Из точки O проведем перпендикуляры OK, OM и OL по сторонам треугольника ABC. По теореме 1 статьи Биссектриса угла. Свойства − OK=OL OK=OM. Следовательно OL=OM. Но последнее равенство означает, что точка O равноудалена от сторон AC и BC, т.е. находится на биссектрисе CC₁ (Определение 2 статьи Биссектриса угла. Свойства).

Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром треугольника. Инцентр треугольника является центром вписанной в треугольник окружности (Рис.4).

Доказательство следует из теоремы 1, поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC и, следовательно, является центром окружности равной OK=OL=OM.

Длина биссектрисы треугольника

Рассмотрим треугольник на Рис.5.

Длина биссектрисы треугольника можно вычислить следующими формулами:

где p − полупериметр треугольника ABC, \( \small \gamma -\) угол между биссектрисой \( \small l_c\) и вершиной \( \small h_c:\)

,

Доказательство. 1) Из теоремы Стюарта следует:

(1)

А из теоремы о биссектрисе треугольника следует, что если l_c является биссектрисей треугольника ABC (Рис.5), то имеет место следующее соотношение:

(2)

Поскольку то (2) можно переписать так:

(3)

(4)

(5)

Подставим (4) и (5) в (1):

.

(6)

.

Доказательство. 2) Подставим (4) и (5) в (6):

,

.

(7)

.

(8)

Доказательство. 3) Сделаем следующее обозначение:

.

(9)

Сделаем преобразования формулы (7), учитывая (9):

.

.

(10)

Доказательство. 4) Для доказательства четвертой формулы, снова обратимся к рисунке Рис.5. Запишем формулы площадей треугольников ABC, ADC и BDC:

,

,

.

Учитывая, что , получим:

.

.

(11)

Для \( \small \sin C \) применим формулу синуса двойного угла:

.

(12)

Подставляя (12) в (11) получим:

.

.

(13)

Доказательство. 5) Докажем пятую формулу. Из вершины C проведена вершина CH. Имеем прямоугольный треугольник CHD, для которого имеет место следующее равенство:

.

.

Остается показать, что .

Поскольку биссектриса l_c делит угол C пополам, то: