Уравнение блэка шоулза в частных производных

Уравнение блэка шоулза в частных производных

Введение. Опцион

Опцион — один из самых интересных производных финансовых инструментов (ПФИ), и надо сказать, не из самых простых для понимания.

Опционам посвящены три статьи сайта Rusforexclub:

Освежим в памяти толкование опциона и его ключевых характеристик.

Опцион — срочный контракт, дающий его владельцу право на покупку или продажу базового актива по оговоренной цене на определенную дату (на протяжении определенного срока).

Страйк (страйк-цена) опциона — цена исполнения опциона (покупки/продажи базового актива).

Премия опциона — его стоимость.

Колл-опцион, колл — опцион на покупку.

Пут-опцион, пут — опцион на продажу.

Американский опцион можно предъявить к исполнению в любой день до окончания периода его обращения.

Европейский опцион исполняется только на конкретную дату, указанную в контракте.

Между премией европейского опциона и стоимостью базового актива, а также его волатильностью, существует связь. Она отражена в модели Блэка-Шоулза.

Частные производные и дифференциальные уравнения

Перед тем, как начать знакомство с моделью Блэка-Шоулза полезным будет вспомнить несколько понятий из курса математического анализа.

Частные производные

Предполагая, что читатель помнит, что такое производная первого и более высокого порядков от функции одной переменной, остановимся на частных производных.

Опуская строгое определение, использующее предел при исчислении бесконечно малых величин, воспользуемся практическим правилом взятия частной производной по функции с несколькими переменными. Рассмотрим функцию от трех переменных — f(x, y, z).

Для нахождения частной производной функции f по аргументу x, достаточно найти обыкновенную производную f по x, считая f функцией одного аргумента x. Другими словами, полагая, что при дифференцировании, переменные y и z выполняют роль констант. Аналогично — по другим аргументам.

Обозначается частная производная, как f’_x или ∂f/∂x.

Применим данное правило на конкретном примере.

Пусть f(x, y, z)=2x 2 +y 2 -3z 2 -3xy-2xz.

Частные производные — суть функции, в общем случае от тех же трех аргументов: x, y, z. В каждой конкретной точке трехмерного пространства найденные частные производные будут иметь числовые значения.

Допустим в точке (0;0;1):

Частные производные высших порядков

Производная от производной дает производную второго порядка, производная от производной второго порядка — производную третьего порядка и т.д. Принцип дифференцирования функции одной переменной распространяется (со своими особенностями) на взятие частных производных высших порядков по функции от нескольких аргументов,.

Вот как выглядит полный набор частных производных второго порядка функции двух переменных z=f(x, y):

(формулы 1, М. Выгодский)

Вначале (1 и 2) берутся производные по x и y от ∂z/∂x. Далее (3 и 4) — производные по x и y от ∂z/∂y. Производные 1 и 4 называются “чистыми”, производные 2 и 3 — “смешанными”.

Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение — “Уравнение, содержащее производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций)” (М. Выгодский).

Общий вид дифференциального уравнения (ДУ) n-го порядка с одной функцией одной переменной имеет следующий вид:

(формула 2, М. Выгодский)

Под порядком n ДУ понимается порядок (номер) наивысшей из производных, входящих в данное ДУ.

Функция φ(x) является решением ДУ, если ДУ обращается в тождество при подстановке φ(x). Простейший случай решения ДУ — нахождение неопределенного интеграла, поэтому решение ДУ именуется также его интегралом, а процесс поиска всех решений — интегрированием ДУ.

Пример 2. Решение ДУ первого порядка.

Пусть требуется найти все решения ДУ первого порядка вида:

Решением такого уравнения есть неопределенный интеграл:

Следовательно, полный набор решений ДУ выглядит так:

где C — константа.

В общем виде решение ДУ первого порядка содержит одну константу.

Пример 3. Решение ДУ второго порядка.

Теперь попытаемся найти все решения ДУ второго порядка вида:

Перепишем его так:

Умножив обе части на dx, и взяв неопределенный интеграл от обеих частей уравнения, получим:

Еще раз проинтегрировав, выходим на полное решение ДУ второго порядка:

В общем виде решение ДУ второго порядка содержит две константы.

Постоянные величины C из примера 2 и C₁, C₂ из примера 3 вычисляются под конкретные начальные условия — заданные значения x₀, y₀ и y’₀.

Безусловно, приведенные случаи взятия производных и решения дифференциальных уравнений крайне примитивны и не преследуют иной цели, кроме, как помочь понять суть вопроса. На практике все существенно сложнее и подавляющее большинство ДУ даже первого порядка могут не иметь четкого аналитического вида.

В таком случае применяется широкий арсенал приблизительных вычислений. Многим методикам уже не одна сотня лет. Среди классических — приближенное интегрирование ДУ первого порядка по методу Эйлера и решение той же задачи путем разложения в ряд, предложенное Ньютоном.

Краткая история создания и авторы модели Блэка-Шоулза

Главные принципы модели ценообразования опционов ее авторы Фишер Блэк и Майрон Шоулз представили в статье “Оценка опционов и коммерческих облигаций”, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, вышедшей в журнале Политической экономики (экономии), Journal of Political Economy в номере 3 от 1973 г., том 81, стр. 637-654.

Как это часто водится в научной среде, модель получила название по имени своих создателей — модель Блэка-Шоулза. В дальнейшем, возможности модели были существенно расширены экономистом Робертом Мертоном. Именно Р. Мертон ввел термин “Модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза”.

В обобщенном варианте теория известна, как “модель Блэка-Шоулза-Мертона”. В англоязычной литературе применяется конструкция Black–Scholes Option Pricing Model, кратко — OPM. В дальнейшем, по тексту в качестве аббревиатуры модели Блэка-Шоулза будет использоваться данный англоязычный вариант — OPM.

Несколько слов об авторах OPM.

Слева направо — Ф. Блэк, М. Шоулз и Р. Мертон

Фишер Блэк, Fischer Sheffey Black (1938-95).

Окончил Гарвард, с 1971 г. работал в Чикагском университете, далее — в школе менеджмента Массачусетского технологического института (МТИ). С 1984 года и до конца жизни — в Goldman Sachs. В 1994 году признается финансовым инженером года по версии International Association of Financial Engineers. В 2002 г. Американская ассоциация финансов, American Finance Association учредила премию Фишера Блэка, которая каждые два года присуждается молодым экономистам.

Майрон Сэмюэл Шоулз, Myron Samuel Scholes (1941 г.р.).

Высшее образование получил в университете Мак-Мастера (Гамильтон, Канада) и Чикагском университете (степень PhD). Академическая карьера связана с МТИ, Чикагским и Стэнфордском университетами. В инвестиционном бизнесе отметился в Salomon Brothers.

Роберт Кокс Мертон, Robert Cox Merton (1944 г.р.).

Учился в Колумбийском университете, Калифорнийском технологическом институте и МТИ, где в 1970 г. под руководством Пола Самуэльсона получил докторскую степень по экономике. Преподавал в МТИ и Гарварде.

Помимо всего прочего, Шоулза и Мертона объединяют две вещи — Нобелевская премия и работа в хедж-фонде LTCM.

В 1997 году оба удостаиваются Нобелевской премии по экономике (премии по экономике памяти А. Нобеля) с формулировкой “За метод оценки производных финансовых инструментов”. Так международная научная экономическая общественность признала вклад лауреатов в развитие теории ценообразования опционов и прочих ПФИ.

Увы, в среду 10 декабря 1997 года Ф. Блэк не оказался рядом с коллегами в Стокгольмской ратуше в ожидании награды от шведского короля. К тому времени его уже не было в живых более двух лет, а посмертно, как известно, Нобеля не присуждают. Тем не менее, Нобелевский комитет упомянул его весомый вклад в разработку OPM. Это максимум, что может сделать комитет в отношении умершего потенциального кандидата в лауреаты.

Теперь о хедж-фонде Long-Term Capital Management (LTCM). Ему посвящен отдельный материал на Rusforexclub.

Шоулз и Мертон трудились в нем, как раз на момент получения Нобелевской премии. Фонд, как комета прочертил небосвод над Уолл-стрит. Четыре года (1994-98) его результаты поражали воображение торгующей публики. Рост чистых активов в семь раз, двузначные показатели годовой доходности, достигающие 40% годовых. Звездная команда управленцев, костяк которой составляли выходцы из легендарного Salomon Brothers.

И среди стратегов — звезды мировой экономики М. Шоулз и Р. Мертон.

К сожалению, в 1998 году все закончилось большим крахом. Азиатско-тихоокеанский кризис и технический дефолт в России подкосили LTCM. “Вечные двигатели” по производству прибыли фонда полностью разбалансировались и пошли вразснос. LTCM понес совокупные убытки в $4,6 млрд, в том числе, $1,6 млрд на свопах, $430 млн на инвестициях в российский и другие развивающиеся рынки и т.д. В сентябре 1998 года под контролем ФРС фонд проходит процедуру финансового оздоровления итогом которого стала смена владельцев LTCM, а в скором будущем — прекращение деятельности.

Творцы модели ценообразования опционов, ученые с мировым именем, ничем не смогли помочь. Скандал вокруг LTCM, связанный, в том числе, и в уклонении от уплаты налогов, выглядит не самой приятной страницей послужного списка авторов OPM.

Гипотезы в основе OPM

Любая (или почти любая) теория, будь-то математика, физика или экономика строится на неких допущениях, предположениях или постулатах. В математике принят термин “аксиома”.

Речь идет об утверждениях, принимаемых без доказательств, которые используются для доказательств (построений) более сложных конструкций. В математике — теорем.

Например, физики в начале XX века ломали голову над объяснением движения электрона в атоме, не подчинявшееся классической ньютоновой механике. Окончательно противоречия сняла квантовая механика, но между ней и классической физикой была промежуточная, полуквантовая/полуклассическая планетарная боровская модель атома.

В ее фундаменте лежали два постулата Бора[1]:

1. Атом может находиться только в особенных стационарных или квантовых состояниях. Каждому такому состоянию отвечает определенный уровень энергии. Электрон не излучает электромагнитных волн при движении по стационарным орбитам.
2. При скачкообразном переходе между орбитами электрон (атом) излучает или поглощает кванты энергии.

Постулаты Бора, предложенные в 1913 году, позволили физикам перевести дух до создания квантовой механики в середине 1920-х годов.

Модель Блэка-Шоулза не исключение. Она опирается на семь гипотез. Три относятся к активам (ценным бумагам, деривативам), торгующимся на рынке, четыре — собственно к рынку.

Гипотезы по активам:

1. В течение срока действия опциона существует постоянная безрисковая процентная ставка, норма прибыли на безрисковый актив, допустим на гособлигацию.
2. Цены на финансовые инструменты изменяются на рынке согласно гипотезе случайного блуждания. Экономисты уточняют — в соответствии с моделью геометрического броуновского движения[2].
3. По акциям, являющимся базовым активом опциона, на протяжении срока его действия, дивиденды не выплачиваются.

Гипотезы по рынку:

1. Арбитраж (безрисковые сделки) невозможен.
2. Каждый покупатель ценных бумаг может взять кредит по безрисковой ставке для оплаты любого, сколь угодно малого пакета бумаг.
3. Трейдер вправе покупать и продавать любое количество (в том числе, дробное) ценных бумаг. Короткие продажи без покрытия проходят без ограничений. Продавец, открывающий short, немедленно получает деньги по текущей рыночной котировке.
4. Отсутствуют комиссии, сборы и иные транзакционные издержки при проведении сделок.

Уравнение Блэка-Шоулза

Математический фундамент модели Блэка-Шоулза — одноименное уравнение.

Уравнение Блэка-Шоулза связывает цену (премию) европейского опциона[3], как функцию двух переменных (стоимости базового актива и времени) с ценой базового актива, его волатильностью (среднеквадратичным отклонением) и действующей безрисковой ставкой доходности. Выводится уравнение, исходя из положений случайного блуждания (геометрического броуновского движения).

Дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза в частных производных имеет вид:

(формула 3, источник 3)

t — время от начала срока обращения опциона, в начале t=0, в конце t=T, где T — период обращения опциона;

S(t) — стоимость базового актива, как функция времени;

V(S,t) — цена (премия) опциона, как функция цены базового актива и времени;

σ — волатильность, среднеквадратичное отклонение (СКО) стоимости базового актива;

r — безрисковая ставка доходности.

Уравнение Блэка-Шоулза содержит четыре слагаемых.

Первое, ∂V/∂t — частная производная премии опциона по времени.

(В дальнейшем, прилагательное “частная” при слове “производная” может опускаться).

— производная второго порядка премии опциона по цене базового актива, умноженная на 1/2σ 2 S 2 .

Третье, rS∂V/∂S — произведение производной премии по цене базового актива на саму величину базового актива S и безрисковую ставку r.

Наконец, четвертое слагаемое не содержит никаких производных. просто произведение безрисковой ставки на цену опциона, rV — безрисковый доход при вложении суммы V, в годовом исчислении.

Первые три члена входят в уравнение с одним знаком, при данной группировке слагаемых — со знаком плюс, четвертый — с противоположным знаком (минус).

Формулы Блэка-Шоулза

От уравнения Блэка-Шоулза перейдем к его важным следствиям, именуемым “формулами Блэка-Шоулза”. Они в явном виде представляют цены европейских опционов колл и пут. Говоря языком теории дифференциальных уравнений, находятся решения (интегралы) уравнения Блэка-Шоулза по функции V(S,t).

Цена колл-опциона

Премия (цена)[4] опциона колл, выведенная из формулы Блэка-Шоулза, записывается следующим образом:

(формула 4, источник 2)

Что есть что в приведенном соотношении?

C — цена колл-опциона;

S — по-прежнему, стоимость базового актива, как функция времени, S=S(t);

r — безрисковая ставка доходности;

σ — волатильность, среднеквадратичное отклонение (СКО) стоимости базового актива;

T — время, оставшееся до исполнения (экспирации) опциона;

X — страйк-цена опциона;

N — интегральная функция распределения случайной величины, плотность вероятности которой задана нормальным распределением — стандартная нормальная функция распределения.

Остановимся подробнее на стандартной нормальной функции распределения N.

Вначале, что такое (интегральная) функция распределения?

Функция распределения в теории вероятности — “Вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х — произвольное действительное число”.

(Прилагательное “интегральная” часто опускается).

Записывается функция распределения F(x) так:

где P — вероятность события.

Стандартная нормальная функция распределения N(x) имеет вид:

(формула 6, источник 3)

Ее производная N’(x) дает функцию плотности вероятность стандартной нормально распределенной величины или, кратко. стандартное нормальное распределение:

(формула 7, источники 3 и 15)

Аргументом x для функции N выступают сложные конструкции d₁ и d₂ (см. формулу 4), включающие натуральный логарифм от отношения стоимости базового актива к страйку, ln(S/X).

Цена пут-опциона

Цены (премия) P пут опциона по Блэку-Шоулзу:

(формула 8, источник 2)

Обозначения те же, что и в формуле 4 для колл-опциона.

Беглый взгляд на формулы 8 и 4 обнаруживает зеркальную связь между ними.

P=-C с заменой знаков аргументов функции N: d₁ на (-d₁), а d₂ на (-d₂). Подобная зависимость обусловлена симметрией между коллом и путом.

Греки опционов

Помимо расчета теоретических цен колл и пут-опционов, важнейшее значение для стратегии и тактики опционной торговли имеет вычисление специальных опционных коэффициентов, прозванных “греками”. Греки — так как используются буквы греческого алфавита.

Греки определяются непосредственно из формул Блэка-Шоулза путем взятия соответствующих частных производных от цен C и P колл и пут опционов.

Греческие коэффициенты показывают, насколько чувствительны премии к изменению тех или иных величин.

Ниже приведена таблица с пятью ключевыми греками: дельтой (Δ). гаммой (Г), вегой[5], тетой (Θ) и ро (ρ).

(здесь и далее в этом разделе формулы из источника 2)

Под “c” в таблице понимают стоимость V опциона (C для кола и P для пута), K — страйк-цена (X в формулах 4 и 8). Для теты и ро запись r(V) означает rV.

Разберем по порядку.

Дельта (Δ)

Самый известный грек. Первая производная премии опциона по стоимости базового актива, ∂c/∂S.

Дельта — скорость изменения премии опциона по цене базового актива. Чем она выше, тем более чувствительна премия данного опциона к изменению стоимости базового актива, чем ниже — тем менее восприимчива. При Δ=0 цена опциона никак не реагирует на движение цены базового актива.

Согласно источнику 16, при Δ→1 велика вероятность исполнения опциона “в деньгах”, то есть владелец опциона получит прибыль при его экспирации (для колла — страйк будет ниже цены базового актива, для пута — выше). При Δ→0 ситуация меняется на противоположную, скорей всего при истечении срока действия опцион будет “вне денег”.

Гамма (Г)

Вторая частная производная премии опциона по стоимости базового актива, ∂ 2 c/∂S 2 или производная дельты по S: ∂Δ/∂S.

Для колл и пут опциона Г одинаковы и равны:

N’ — стандартное нормальное распределение, см. формулу 7.

Максимальных значений гамма достигает в точках резких изменений дельты.

Используя дельту и гамму и применив разложение в ряд Тейлора до двух членов, можно вывести удобную формулу для приближенных, оценочных вычислений:

Изменение премии линейно связано с изменением цены базового актива через дельту и квадратично — через гамму.

Производная цены опциона по волатильности (СКО) базового актива, ∂c/∂σ — скорость изменения премии по волатильности базового актива.

Как и гамма, вега имеет одинаковое значение для коллов и путов:

Вега всегда положительна, поскольку увеличение волатильности базового актива приводит к росту стоимости опциона. С приближением даты исполнения контракта вега снижается (источник 16).

Вега — один из, так называемых, bastard греков. Смысл bastard греков заключается в том, что они выводятся путем дифференцирования премии по параметру, считавшемуся константой в формуле Блэка-Шоулза. В данном случае — по σ. Использование bastard греков чревато серьезными ошибками в опционном трейдинге.

Идентичность гамма и вега греков для колл и пут-опционов не случайна. Она обусловлена явлением, именуемым “паритетом пут-колл-опционов”, Put–call parity. Портфели, содержащие колл и пут-опцион на один и тот же актив эквивалентны. Если на момент экспирации цена базового актива выше страйка исполняется колл, в противном случае — пут.

Тета (Θ)

Производная премии опциона по времени, ∂c/∂t — скорость изменения премии во времени.

Здесь формулы посложнее.

Тета для колла имеет вид:

Первые слагаемые в соотношениях одинаковы, второе слагаемое у колла входит со знаком плюс, у пута — минус, и меняется знак аргумента у функции N: N(d₂)→N(-d₂).

При неизменной стоимости базового актива цена опциона имеет тенденцию к снижению. Происходит “временной распад опциона”. Снижается “временная стоимость” опциона, зависящая от периода до погашения контракта[6].

Поведение теты можно истолковать так (источник 16).

Максимальной по модулю тета становится накануне экспирации, когда опцион резко теряет в цене. В том случае, если тэта относительна невелика, то несмотря на временной распад, существует вероятность перепродажи контракта в зоне резких колебаний его цены. Кода тэта значительна, подобная возможность, скорей всего, не представится.

Заключительный в приведенном списке пятый грек, ро — производная премии опциона по величине безрисковой ставки r, ∂c/∂r. Наряду с вегой, еще один bastard грек. Формально дифференцирование происходит по константе r.

Как и ранее, налицо колл-пут симметрия. Ро для пута получается из ро для колла путем умножения на (-1) и замены знака аргумента у функции N.

Конечно, на практике никто вручную не считает теоретические премии, греки и прочие параметры опционов. Данные функции в онлайн-режиме выполняют приложения, поддерживающие торговый терминал трейдера опционами.

Ниже приведен скриншот фрагмента доски опционов с греками дельта и тета (источник 16):

В заключении покажем, как выглядит уравнение Блэка-Шоулза, записанное с помощью разобранных греков:

Θ+1/2σ 2 S 2 Г+rSΔ-rV=0

Лаконично и красиво.

На заставке — Hoplites fight Louvre, файл из Wikimedia Commons.

(гоплит — древнегреческий тяжеловооруженный пеший воин)

В подготовке статьи использованы материалы “Справочника по высшей математике” М. Я. Выгодского, Москва, АСТ, Астрель, 2006.

Первоисточниками определений терминов, понятий, явлений, вводимых по тексту, являются профильные статьи Википедии/Wikipedia, указанные в Списке источников к публикации, если не оговорено иное.

1. Нильс Бор (1885-1962) — датский физик-теоретик, один из создателей современной физики, лауреат Нобелевской премии.
2. Геометрическое броуновское движение, GBM (экспоненциальное броуновское движение, экономическое броуновское движение) — случайный процесс с непрерывным временем, логарифм которого представляет собой броуновское движение.
3. В модели Блэка-Шоулза речь идет только о европейских опционах. В дальнейшем по тексту, под словом “опцион” понимается только европейский опцион.
4. Формулы Блэка-Шоулза дают теоретическую, расчетную цену опционов.
5. Вега — не входит в греческий алфавит.
6. Текущая цена опциона формируется двумя составляющими: внутренней и временной стоимостью. Внутренняя стоимость определяется соотношением между страйком опциона и спотовой ценой базового актива. Если опцион “в деньгах”, его внутренняя стоимость положительна, в противном случае — равна нулю. Временная стоимость равна разнице между текущей рыночной ценой опциона и его внутренней стоимостью.

Список источников (Википедия/Wikipedia, если не оговорено иное)

1. “Гоплит”.
2. “Модель Блэка-Шоулза”.
3. “Black–Scholes model”.
4. “Блэк, Фишер”.
5. “Шоулз, Майрон”.
6. “Robert Cox Merton”.
7. “Journal of Political Economy”.
8. “Доктор философии”.
9. “Список лауреатов премии по экономике памяти Альфреда Нобеля”.
10. “Премия по экономике памяти Альфреда Нобеля”.
11. “Боровская модель атома”.
12. “Бор, Нильс”.
13. “Геометрическое броуновское движение”.
14. “Функция распределения”.
15. “Нормальное распределение”.
16. “Что такое греки опционов”, ihodl.
17. “Put–call parity”.

Список представленных формул

LTCM — Long-Term Capital Management (хедж-фонд)

OPM — Black–Scholes Option Pricing Model, модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза

PhD — Philosophiæ Doctor, доктор философии, аналог степени кандидата наук в России

ДУ — дифференциальное уравнение

МТИ — Массачусетский технологический институт

Модель Блэка-Шоулза

Введение

Модель ценообразования опционов была впервые представлена общественности в 1973 году двумя учеными: Фишером Блэком (Fisher Black) и Майраном Шоулзом (Myron Scholes). В настоящее время она широко известна как «модель Блэка-Шоулза» (англ. Black-Scholes Option Pricing Model). Авторами была предложена математическая модель описывающая рынок финансовых деривативов. Практическим результатом модели стала формула Блэка-Шоулза, которая позволила рассчитать цену опциона колл европейского типа. Ее появление привело к буму торговли опционами, а сама она получила широкое применение среди участников рынка. Как и любая математическая модель, она имеет свои преимущества и недостатки, с которыми мы сейчас попытаемся разобраться.

Исходные предположения модели Блэка-Шоулза

К исходным предположениям, на которых основывается модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза, относятся.

1. Отсутствие арбитража. Ни один из участников рынка не может получить прибыль за счет разницы цен на один и тот же актив на разных рынках. Другими словами, цена актива одинакова на всех рынках.
2. Безрисковая процентная ставка. Любой участник рынка может взять в долг или одолжить любую сумму в любой момент времени под безрисковую процентную ставку.
3. Отсутствие ограничений на торговлю. В любой момент времени у участников рынка есть возможность купить или продать любое количество акций, включая дробное. Также не существует ограничений на короткую продажу.
4. Отсутствие транзакционных издержек. При осуществлении покупки или продажи участники рынка не несут каких-либо дополнительных затрат, как, например, комиссионные или налоги.
5. Цена актива изменяется случайным образом. Изначально предполагается, что курс акций изменяется случайным образом (подчиняется закону нормального распределения) с постоянным направлением и волатильностью.
6. Отсутствие дивидендов. Предполагается, что по акции, являющейся базовым активом для опциона, не выплачиваются дивиденды.
7. Нейтральность к риску. Все участники рынка являются нейтральными по отношению к риску, то есть принимают решение в пользу актива с максимальной доходностью не принимая при этом во внимание фактор риска. Другими словами, если существует два актива с одинаковой доходностью, но разным уровнем риска, нейтральному к риску инвестору будет безразлично какой из них выбрать. При этом, не склонный к риску инвестор (англ. Risk Averse Investor) выберет актив с меньшим риском, а склонный к риску инвестор (англ. Risk Seeking Investor) остановится на активе с большим риском.

При условии выполнения всех этих предположений модель Блэка-Шоулза показывает, что существует возможность формирования портфеля путем продажи опциона колл и покупки акций, стоимость которого не будет зависеть от курса акций.

По мере развития и дополнения модели некоторые из этих исходных предположений были исключены. В современных вариациях модели Блэка-Шоулза учитывается динамическое изменение процентных ставок, транзакционные издержки, налоги и выплата дивидендов.

Уравнение Блэка-Шоулза

Само по себе, уравнение Блэка-Шоулза является дифференциальным уравнением в частных производных (англ. Partial Differential Equation), которое описывает цену опциона колл во времени. Главная идея уравнения состоит в том, что существует возможность идеально хеджировать опцион, правильным способом покупая и продавая базовый актив, то есть устранить риск. Такое хеджирование, в свою очередь, подразумевает, что существует только одна истинная цена опциона колл, которая рассчитывается по формуле Блэка-Шоулза.

В общем виде уравнение Блэка-Шоулза может быть записано так:

где V – цена опциона как функция от времени и цены базовой акции;
t – время в годах (в настоящий момент равна 0, при истечении срока действия опциона равна T);
σ – волатильность доходности акции (среднеквадратическое отклонение доходности, рассчитанное по выборке цен акции за определенный период).
S –цена акции;
r – годовая безрисковая процентная ставка (непрерывно начисляемая).

С учетом исходных предположений модели Блэка-Шоулза, это дифференциальное уравнение в частных производных подходит для любого типа опционов, пока его функция цены (V) дважды дифференцируема относительно S и один раз относительно t. Различные формулы ценообразования для различных опционов возникают в зависимости от выбора функции выплаты при истечении срока действия и соответствующих граничных условий.

Формула Блэка-Шоулза

Формула Блэка-Шоулза позволяет рассчитать цену опциона колл европейского типа. Она выводится из приведенного выше уравнения в результате его решения при соответствующих предельных и граничных условиях.

Без выплаты дивидендов

Цена опциона колл [C(S_t, t)] для базовой акции, по которой не выплачиваются дивиденды, рассчитывается по формуле:

где S_t – спотовая цена базового актива в момент времени t;
K – цена исполнения опциона (англ. Strike Price);
e – константа (число Эйлера), приблизительно равная 2,718281828;
r – годовая безрисковая процентная ставка;
(T-t) – время до истечения срока действия опциона в годах.

N(d₁) является вероятностью того, что опцион колл окажется «в деньгах», то есть спотовая цена базового актива на момент исполнения T будет выше или равна страйку (S_T ≥ K). В свою очередь N(d₂) является вероятностью того, что опцион колл окажется «вне денег», то есть (S_T 2)(T-t)d₁ =K2σ√ T-t

где σ – среднеквадратическое отклонение доходности базовой акции.

Рассчитать значение N(d₁) и N(d₂) удобнее всего в Excel воспользовавшись функцией НОРМ.СТ.РАСП (см. Пример расчета).

Формула для расчета цены соответствующего опциона пут выводится из уравнения пут-колл паритета:

С выплатой дивидендов

Дискретные дивиденды

В результате выплаты дивидендов цена акции снижается, следовательно цена опциона колл также уменьшается, а цена соответствующего ему опциона пут увеличивается. Чтобы учесть это в формуле текущая спотовая цена акции (S_t) должна быть уменьшена на величину приведенной стоимости ожидаемых дивидендов, которые будут выплачены до наступления даты исполнения опциона.

Где F – форвардная цена акции, D_i – ожидаемый размер дивиденда в i-ом периоде, T_i – время в годах до i-ой выплаты дивидендов, N – ожидаемое количество выплат дивидендов до истечения срока действия опциона колл.

В этом случае формула Блэка-Шоулза с учетом дивидендов приобретает следующий вид:

Важно! Формула расчета параметров d₁ и d₂ остается без изменений!

Непрерывные дивиденды

В случае с опционом колл на индекс делается предположение о непрерывной выплате дивидендов, поскольку индекс включает в себя множество акций, дивиденды по которым выплачиваются в разное время. Вторым предположением является постоянная ставка дивидендной доходности (q). В этом случае формула Блэка-Шоулза для опциона колл приобретает следующий вид:

Цена соответствующего опциона пут рассчитывается так:

При этом F является модифицированной форвардной ценой, которая рассчитывается по формуле:

Важно! Предположения о непрерывности дивидендных выплат и постоянной ставке дивидендной доходности должны быть учтены при расчете параметров d1 и d2.

Греки

Так называемые «греки» используются для оценки чувствительности стоимости опциона к изменению одного из параметров, в то время как остальные параметры остаются неизменными. Они применяются трейдерами и финансовыми институтами для оценки и управления рисками. В граничных условиях модели Блэка-Шоулза формулы для расчета греков опционов колл и пут европейского типа приведены ниже.

Дельта

Дельта (англ. Delta) считается наиболее важной из «греков», поскольку она оценивает чувствительность цены опциона к изменению цены базового актива. Например, если дельта опциона колл равна 0,75, и цена базовой акции увеличивается на $1, то цена этого опциона увеличится на $0,75. Для расчета значения этого коэффициента используются следующие формулы.

Гамма

Гамма (англ. Gamma) является первой производной от дельты опциона и оценивает скорость ее изменения при изменении цены базового актива на 1 пункт (обычно $0,01). Например, если гамма опциона равна 2, то при росте цены базового актива на 1 пункт, дельта опциона вырастет на 2 пункта.

Исходя из пут-колл паритета гамма одинакова для опциона колл и соответствующего опциона пут:

где N’(x) – функция плотности вероятности.

Вега (англ. Vega) используется для оценки чувствительности цены опциона к изменению среднеквадратического отклонения доходности базового актива. Этот коэффициент показывает на сколько изменится цена опциона при изменении среднеквадратического отклонения на 1%. Например, если вега равна 0,5, то при изменении среднеквадратического отклонения с 11% до 12% цена опциона вырастет на $0,5.

Исходя из пут-колл паритета вега одинакова для опциона колл и соответствующего опциона пут.

Тета (англ. Theta) является коэффициентом, который характеризует изменение цены опциона по мере приближения даты его экспирации. Например, если тета опциона равна 0,75, то на следующий день его цена должна снизиться на $0,75.

Для расчета теты опциона колл и соответствующего опциона пут используются следующие формулы:

Следует также отметить, что гамма и тета опциона всегда имеют противоположные знаки. Также для теты характерен рост по мере приближения даты экспирации.

Ро (англ. Rho) используется в качестве меры чувствительности опциона к изменению безрисковой процентной ставки, в качестве которой обычно используют ставку по Казначейским векселям США (англ. Treasury Bill, T-bill). Формула для ее расчета выглядит следующим образом:

Этот коэффициент показывает на сколько изменится цена опциона при изменении безрисковой процентной ставки на 1%. Предположим, что ро опциона колл равна 0,35 и -0,25 для соответствующего опциона пут. Если ставка по Казначейским векселям возрастает с 2,50% до 3,50%, то цена опциона колл увеличится на $0,35, а цена опциона пут снизится на $0,25. В случае снижения процентных ставок цена опциона колл будет снижаться, а опциона пут расти.

Примеры

Пример расчета цены европейского опциона на акции без выплаты дивидендов

В настоящий момент инвестор имеет возможность приобрести европейский опцион пут на акции корпорации Apple Inc. по цене $4.57. Необходимо определить, следует ли инвестору приобретать этот опцион, если он располагает следующей информацией:

• спотовая цена акции Apple Inc. в настоящий момент составляет $196,16;
• цена исполнения опциона $192,50;
• до экспирации опциона остается 21 день;
• среднеквадратическое отклонение годовой доходности акций составляет 26,07%;
• процентная ставка по 12-ти месячному Казначейскому векселю (Treasury Bill) составляет 2,50%;
• до наступления даты экспирации опциона выплата дивидендов производиться не будет.

Чтобы воспользоваться приведенной выше формулой Блэка-Шоулза нам необходимо рассчитать параметры d₁ и d₂.

d₂ = 0,355464 — 0,2607√ 0,057534 = 0,292932

Для расчета значений N(d₁) и N(d₂) воспользуемся функцией Excel НОРМ.СТ.РАСП.

1. В ячейку B1 и B2 введем полученные значения d₁ и d₂.
2. Выберите ячейку B4.
3. Нажмите кнопку fx, в поле Категория выберите Полный алфавитный перечень, в открывшемся списке выберите функцию НОРМ.СТ.РАСП.
4. В поле Z выберите ячейку B1, а в поле Интегральная введите значение 1 (логическая переменная для выбора интегральной функции распределения, если ввести 0 то будет выбрана функция плотности вероятности!).
5. Нажмите кнопку OK.

Полученное значение интегральной функции распределения N(d₁) составляет 0,638879. Аналогичным образом рассчитывается и значение N(d₂), которое составляет 0,615213.

Рассчитаем цену опциона колл на акции Apple Inc. приняв ставку по Казначейским векселям в качестве безрисковой процентной ставки:

С(S_t,t) = 0,638879×196,16 — 0,615213×192,5×2,718282 -0,025×0,057534 = $7,06

Рассчитаем цену соответствующего опциона пут воспользовавшись уравнением пут-колл паритета:

P(S_t,t) = 192,5×2,718282 -0,025*0,057534 — 196,16 + 7,06 = $3,13

Поскольку справедливая цена опциона пут составляет $3,13, инвестору не стоит принимать предложение об его покупке по цене $4,57.

Пример расчета цены европейского опциона на акции с выплатой дивидендов

Предположим, что на рынке есть европейский опцион колл на акции General Motors Company с ценой исполнения $35.00, экспирация которого наступает через 173 дня. В настоящий момент акции этой компании торгуются по цене $38.86, среднеквадратическое отклонение их годовой доходности равно 14,57%, а ставка по 12-ти месячным Казначейским векселям составляет 2,50%. При этом ожидается, что до истечения срока действия опциона будет произведено две выплаты дивидендов в размере $1,52 на акцию. Первая из них ожидается через 64 дня, а вторая через 151 день.

Чтобы рассчитать цену этого опциона колл необходимо воспользоваться формулой Блэка-Шоулза с учетом дивидендных выплат. Для этого рассчитаем форвардную цену акций F приняв процентную ставку по Казначейским векселям в качестве безрисковой.

d₂ = 1,21124 — 0,1457√ 0,474 = 1,11094

Значения интегральной функции распределения рассчитываются в Excel: N(d₁) = 0,8871 и N(d₂) = 0,8667.

С(S_t,t) = 2,718282 -0,025×0,474 (35,84×0,8871 — 35×0,8667) = $1,44

Для расчета цены соответствующего опциона пут рассчитаем в Excel N(-d1) = 0,1129 и N(-d2) = 0,1333.

P(S_t,t) = 2,718282 -0,025×0,474 (35×0,1333 — 35,84×0,1129) = $0,61

Пример расчета цены европейского опциона на индекс с выплатой дивидендов

Текущее значение индекса S&P 500 составляет 2 878,20. Необходимо определить цену европейского опциона колл на этот индекс с ценой исполнения 2 650,50, который истекает через 55 дней. При этом годовое среднеквадратическое отклонение индекса составляет 11,54%, а процентная ставка по 12-ти месячным Казначейским векселям 2,50%. Постоянная ставка дивидендной доходности (q) равняется 5,78%.

Рассчитаем модифицированное форвардное значение индекса (F) и параметры d₁ и d₂.

F = 2 878,20×2,718282 (0,025-0,0578)×0,1507 = 2 864,01

d₂ = 1,7519 — 0,1154√ 0,1507 = 1,7071

N(d₁) = 0,9601 и N(d₂) = 0,9561 были рассчитаны в Excel.

С(S_t,t) = 2,718282 -0,025×0,1507 (2 864,01×0,9601 — 2 650,50×0,9561) = $214,80

Для расчета цены соответствующего опциона пут рассчитаем в Excel N(-d₁) = 0,0399 и N(-d₂) = 0,0439.

P(S_t,t) = 2,718282 -0,025×0,1507 (2 650,50×0,0439 — 2 864,01×0,0399) = $2,09

Модель Блэка-Шоулза-Мертона

Модель ценообразования, используемая для определения справедливой цены опционов на акции на основе шести переменных.

Что такое модель Блэка-Шоулза-Мертона?

Модель Блэка-Шоулза-Мертона (BSM) — это модель ценообразования для финансовых инструментов. Он используется для оценки опционов на акции. Модель BSM используется для определения справедливых цен на опционы на акции на основе шести переменных: волатильность, тип, базовая цена акции, цена исполнения, время и безрисковая ставка. Он основан на принципе хеджирования и направлен на устранение рисков, связанных с волатильностью базовых активов и опционов на акции.

Уравнение Блэка-Шоулза-Мертона

Модель Блэка-Шоулза-Мертона может быть описана как уравнение в частных производных второго порядка.

Уравнение описывает цену опционов на акции во времени.

Цена опциона колл

Цена опциона C определяется по следующей формуле:

Цена опциона пут

Цена опциона пут P определяется по следующей формуле:

• N — Кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения. Он представляет собой стандартное нормальное распределение со средним значением = 0 и стандартным отклонением = 1.
• T-t — Время до погашения (в годах)
• St — спотовая цена базового актива
• K — Цена исполнения
• r — безрисковая ставка
• Ó — Волатильность доходности базового актива

Предположения модели Блэка-Шоулза-Мертона

• Логнормальное распределение: модель Блэка-Шоулза-Мертона предполагает, что цены на акции следуют логнормальному распределению, основанному на принципе, что цены на активы не могут принимать отрицательное значение; они ограничены нулем.
• Без дивидендов: модель BSM предполагает, что акции не приносят дивидендов или прибыли.
• Дата истечения: модель предполагает, что опционы могут быть исполнены только по истечении срока их действия или срока погашения. Следовательно, он не дает точной оценки американских опционов. Он широко используется на европейском рынке опционов.
• Случайное блуждание: фондовый рынок является очень волатильным, и, следовательно, предполагается состояние случайного блуждания, поскольку направление рынка никогда нельзя точно предсказать.
• Рынок без трения: в модели BSM не предполагается никаких транзакционных издержек, включая комиссионные и брокерские услуги.
• Безрисковая процентная ставка: предполагается, что процентные ставки постоянны, что делает базовый актив безрисковым.
• Нормальное распределение: доходность акций обычно распределяется. Это означает, что волатильность рынка постоянна во времени.
• Нет арбитража: нет арбитража. Это позволяет избежать возможности получения безрисковой прибыли.

Ограничения модели Блэка-Шоулза-Мертона

• Ограничено европейским рынком: как упоминалось ранее, модель Блэка-Шоулза-Мертона является точным детерминантом европейских цен опционов. Он не дает точной оценки опционов на акции в США. Это потому, что он предполагает, что опционы могут быть исполнены только в дату истечения / срока погашения.
• Безрисковые процентные ставки: модель BSM предполагает постоянные процентные ставки, но это редко бывает реальностью.
• Предположение о рынке без трения: Торговля обычно сопряжена с транзакционными издержками, такими как брокерские сборы, комиссионные и т. Д. Однако модель Блэка-Шоулза-Мертона предполагает рынок без трения, что означает отсутствие транзакционных издержек. На торговом рынке такое бывает редко.
• Нет возврата: модель BSM предполагает, что нет возврата, связанного с опционами на акции. Дивидендов и процентных доходов нет. Однако на реальном торговом рынке это не так. Покупка и продажа опционов в первую очередь ориентированы на прибыль.

Дополнительные ресурсы:

Finansistem предлагает программу сертификации специалистов по финансовому моделированию и оценке (FMVA) ™ для тех, кто хочет вывести свою карьеру на новый уровень. Чтобы продолжать учиться и продвигаться по карьерной лестнице, вам будут полезны следующие ресурсы:

• Непрерывно увеличивающийся доход
• Опционы: коллы и путы
• Безрисковая ставка
• Спотовая цена