Идеальный газ и уравнение Бойля-Мариотта. Пример задачи
Изучение свойств идеального газа является важной темой в физике. Знакомство с характеристиками газовых систем начинают с рассмотрения уравнения Бойля-Мариотта, поскольку оно является первым экспериментально обнаруженным законом идеального газа. Рассмотрим его подробнее в статье.
Что понимают под идеальным газом?
Прежде чем говорить о законе Бойля-Мариотта и уравнении, которое его описывает, дадим определение идеальному газу. Под ним принято понимать текучую субстанцию, в которой составляющие ее частицы друг с другом не взаимодействуют, и их размеры пренебрежимо малы в сравнении со средними межчастичными расстояниями.
В действительности любой газ является реальным, то есть составляющие его атомы и молекулы имеют определенный размер и между собой с помощью Ван-дер-ваальсовых сил не взаимодействуют. Однако, при высоких абсолютных температурах (больше 300 К) и низких давлениях (меньше одной атмосферы) энергия кинетическая атомов и молекул намного превышает энергию Ван-дер-ваальсовых взаимодействий, поэтому реальный газ при указанных условиях с высокой точностью может считаться идеальным.
Уравнение Бойля-Мариотта
Свойства газов европейские ученые активно исследовали в течение XVII-XIX веков. Самым первым газовым законом, который был открыт экспериментально, стал закон, описывающий изотермические процессы расширения и сжатия газовой системы. Соответствующие опыты были проведены Робертом Бойлем в 1662 году и Эдмом Мариоттом в 1676 году. Каждый из этих ученых независимо показал, что во время изотермического процесса в закрытой газовой системе изменяется давление объему обратно пропорционально. Полученное экспериментально математическое выражение процесса записывается в следующем виде:
Где P и V — давление в системе и ее объем, k — некоторая постоянная, значение которой от количества вещества газа и от его температуры зависит. Если построить зависимость функции P(V) на графике, то она будет представлять собой гиперболу. Пример этих кривых показан ниже.
Записанное равенство называется уравнением (законом) Бойля-Мариотта. Этот закон кратко можно сформулировать так: расширение идеального газа при постоянной температуре приводит к пропорциональному уменьшению давления в нем, наоборот, изотермическое сжатие газовой системы сопровождается пропорциональным повышением давления в ней.
Уравнение состояния газа идеального
Бойля-Мариотта закон частным случаем является более общего закона, который носит фамилии Менделеева и Клапейрона. Эмиль Клапейрон, обобщая экспериментальную информацию поведения газов при различных внешних условиях, в 1834 году получил следующее уравнение:
Иными словами, произведение объема V газовой системы на давление P в ней прямо пропорционально произведению абсолютной температуры T на количество вещества n. Коэффициент этой пропорциональности обозначен буквой R и называется газовой универсальной постоянной. В записанном уравнении величина R появилась благодаря замене ряда констант, которую сделал Дмитрий Иванович Менделеев в 1874 году.
Из универсального уравнения состояния легко увидеть, что постоянство температуры и количества вещества гарантирует неизменность правой части равенства, а значит, левая часть равенства также будет оставаться постоянной. В таком случае мы получаем уравнение Бойля-Мариотта.
Другие законы газовые
Записанное в пункте выше Клапейрона-Менделеева уравнение содержит три термодинамических параметра: P, V и T. Если каждый из них фиксировать, а двум остальным позволять меняться, то мы получим уравнения Бойля-Мариотта, Шарля и Гей-Люссака. Шарля закон говорит о прямой пропорциональности между объемом и температурой для изобарного процесса, а Гей-Люссака закон утверждает, что в случае изохорного перехода давление газа растет или уменьшается абсолютной температуре прямо пропорционально. Соответствующие уравнения выглядят так:
P/T = const при V = const.
Таким образом, Бойля-Мариотта закон является одним из трех основных газовых законов. Тем не менее он отличается от остальных в плане графической зависимости: функции V(T) и P(T) являются прямыми линиями, функция P(V) — это гипербола.
Пример задачи на применение Бойля-Мариотта закона
Объем газа в цилиндре под поршнем в начальном положении составлял 2 литра, и его давление было равно 1 атмосфера. Чему стало равно давление газа, после того как поршень поднялся, и объем газовой системы увеличился на 0,5 литра. Процесс считать изотермическим.
Поскольку нам даны давление и объем идеального газа, а также известно, что температура в процессе его расширения остается неизменной, то мы вправе воспользоваться уравнением Бойля-Мариотта в следующей форме:
Это равенство говорит о том, что произведение на объем давления является постоянным для каждого состояния газа при данной температуре. Выражая из равенства величину P2, получаем конечную формулу:
При выполнении вычислений давления можно использовать внесистемные единицы в данном случае, поскольку литры сократятся, и мы получим давление P2 в атмосферах. Подставив данные из условия, приходим к ответу на вопрос задачи: P2 = 0,8 атмосферы.
Изопроцессы в газах. Закон Бойля-Мариотта.
Закон Бойля-Мариотта — один из основных газовых законов, он описывает изотермические процессы в газе.
Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянной температуре называется изотермическим. Закон Бойля-Мариотта гласит:
Для данной массы произведение давления газа на его объем постоянно, если температура газа не меняется.
Этот закон был экспериментально открыт английским ученым Р. Бойлем в 1662 г., в 1676 г. его сформулировал также французский ученый Э. Мариотт.
Закон строго выполняется только для идеальных газов. Для реальных газов он выполняется достаточно хорошо при небольших давлениях и высоких температурах. Так, при давлении 100 атм и температуре 0 °С отклонение измеренного значения pV от расчетного составляет 7%. Закон Бойля-Мариотта, как и другие газовые законы, является следствием уравнения состояния идеального газа.
Графики зависимости p(V) при Т = const (р = const/V) называются изотермами и представляют собой равносторонние гиперболы (площади S1 = S2). Чем выше температура, тем выше лежит соответствующая ей изотерма
Объединенный газовый закон и изопроцессы
теория по физике 🧲 молекулярная физика, МКТ, газовые законы
Объединенный газовый закон был открыт экспериментально. Он также является следствием основного уравнения состояния идеального газа. Согласно ему:
При постоянной массе газа и его неизменной молярной массе отношение произведения давления на объем к его абсолютной температуре остается величиной постоянной:
p V T . . = c o n s t и л и p 1 V 1 T 1 . . = p 2 V 2 T 2 .
Объединенный газовый закон применительно к изопроцессам
Объединенный газовый закон объединяет три независимых газовых закона: Бойля — Мариотта, Шарля и Гей-Люссака. Газовые законы действуют в частных случаях — изопроцессах.
Изопроцессы — термодинамические процессы, во время которых количество вещества и один из параметров состояния: давление, объём, температура или энтропия — остаётся неизменным.
Изотермический процесс. Закон Бойля — Мариотта.
Изотермический процесс — термодинамический процесс, происходящий в системе при постоянной температуре и массе:
Для изотермического процесса действует закон Бойля — Мариотта:
Закон Бойля — Мариотта
Для газа данной массы произведение газа на его объем постоянно, если температура газа не меняется.
Изохорный процесс. Закон Шарля.
Изохорный процесс — термодинамический процесс, происходящий в системе при постоянном объеме и массе:
Для изохорного процесса действует закон Шарля:
Для газа данной массы отношение давления к температуре постоянно, если объем не меняется.
p T . . = c o n s t ( p 1 T 1 . . = p 2 T 2 . . )
Изобарный процесс. Закон Гей-Люссака.
Изобарный процесс — термодинамический процесс, происходящий в системе при постоянном давлении и массе:
Для газа данной массы отношение объема к температуре постоянно, если давление газа не меняется.
V T . . = c o n s t ( V 1 T 1 . . = V 2 T 2 . . )
Пример №1. Идеальный газ изобарно нагревают так, что его температура изменяется на ∆T = 240 К, а давление — в 1,6 раза. Масса газа постоянна. Найдите начальную температуру газа по шкале Кельвина.
Так как газ нагревают, то:
Запишем закон Шарля применительно к данному случаю:
p T 1 . . = 1 , 6 p 240 + T 1 . .
Сделаем некоторые преобразования и вычислим начальную температуру:
p T 1 . . = 1 , 6 p 240 + T 1 . .
240 + T 1 = 1 , 6 T 1
T 1 = 240 0 , 6 . . = 400 ( К )
Подсказки к задачам на газовые законы
 | |||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||
 | |||||||||||||||||
| Шар или понтон поднимается вверх в воздухе или жидкости | Архимедова сила больше силы тяжести: Пример №2. Поршень площадью 10 см 2 массой 5 кг может без трения перемещаться в вертикальном цилиндрическом сосуде, обеспечивая при этом герметичность. Сосуд с поршнем, заполненный газом, покоится на полу неподвижного лифта при атмосферном давлении 100 кПа, при этом расстояние от нижнего края поршня до дна сосуда 20 см. Каким станет это расстояние, когда лифт поедет вверх с ускорением, равным 2 м/с 2 ? Изменение температуры газа не учитывать. 10 см 2 = 10 –3 м 2 100 кПа = 10 5 Па Составим уравнения для 1 и 2 случая. Когда лифт находится в покое, давление газа равно сумме атмосферного давления и давления, оказываемое массивным поршнем: p 1 = p а т м + m g S . . Когда лифт начал двигаться, появилось дополнительное давление, связанное с увеличением веса поршня при ускоренном движении вверх: p 2 = p а т м + m g S . . + m a S . . Так как изменением температуры можно пренебречь, можно считать, что это процесс изотермический. Следовательно: Объемы в 1 и 2 случае будут определяться формулами: h1 — расстояние от нижнего края поршня до дна сосуда в первом случае. h2 — та же самая величина, но во втором случае (искомая величина). Запишем закон Бойля — Мариотта для обоих случаев с учетом объемов: p 1 V 1 = S h 1 ( p а т м + m g S . . ) p 2 V 2 = S h 2 ( p а т м + m g S . . + m a S . . ) Так как это изотермический процесс, правые части уравнений можно приравнять: S h 1 ( p а т м + m g S . . ) = S h 2 ( p а т м + m g S . . + m a S . . ) |
| Изопроцесс | График в координатах (p;V) | График в координатах (V;T) | График в координатах (p;T) |
| Изотермический (график — изотерма) |  Изотерма в координатах (p;V) — гипербола. Чем ближе изотерма к началу координат и осям, тем меньшей температуре она соответствует. Характер изменения переменных величин хорошо виден на графике. |  Изотерма в координатах (V;T) — прямая, перпендикулярная оси OT и параллельная оси OV. Чем ближе изотерма к оси OV, тем меньшей температуре она соответствует. С увеличением объема давление уменьшается. |  Изотерма в координатах (p;T) — прямая, перпендикулярная оси OT и параллельная оси Op. Чем ближе изотерма к оси Op, тем меньшей температуре она соответствует. С увеличением давления объем уменьшается. |
| Изохорный (график — изохора) |  Изохора в координатах (p;V) — прямая, перпендикулярная оси OV и параллельная оси Op. Чем ближе изохора к оси Op, тем меньшему объему она соответствует. С увеличением давления увеличивается температура. |  Изохора в координатах (V;T) — прямая, перпендикулярная оси OV и параллельная оси OT. Чем ближе изохора к оси OT, тем меньшему объему она соответствует. С увеличением температуры увеличивается давление. |  Изохора в координатах (p;T) — прямая, исходящая из начала координат. Чем меньше угол наклона изохоры к оси OT, тем меньшему объему она соответствует. Характер изменения переменных величин хорошо виден на графике. |
| Изобарный (график — изобара) |  Изобара в координатах (p;V) — прямая, перпендикулярная оси Op и параллельная оси OV. Чем ближе изобара к оси OV, тем меньшему давлению она соответствует. С увеличением объема температура растет. |  Изобара в координатах (V;T) — прямая, исходящая из начала координат. Чем меньше угол наклона изобары к оси OT, тем меньшему давлению она соответствует. Характер изменения переменных величин хорошо виден на графике. |  Изобара в координатах (p;T) — прямая, перпендикулярная оси Op и параллельная оси OT. Чем ближе изобара к оси OT, тем меньшему давлению она соответствует. С увеличением температуры объем растет. Пример №3. На рисунке представлен график циклического процесса. Вычертить его в координатах (p;T).
Определим характер изменения величин:
Теперь, зная, какими будут графики всех величин в координатах (p;T), можно построить сам график. Он примет следующий Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.
Алгоритм решения Решение График построен в координатах (V;Ek). Процесс 1–2 представляет собой прямую линию, исходящую из начала координат. Это значит, что при увеличении объема растет средняя кинетическая энергия молекул. Но из основного уравнения МКТ идеального газа следует, что мерой кинетической энергии молекул является температура: Следовательно, когда кинетическая энергия молекул растет, температура тоже растет. Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона: Так как количество вещества одинаковое для обоих состояния 1 и 2, запишем: ν R = p 1 V 1 T 1 . . = p 2 V 2 T 2 . . Мы уже выяснили, что объем и температура увеличиваются пропорционально. Следовательно, давление в состояниях 1 и 2 равны. Поэтому процесс 1–2 является изобарным, давление во время него не меняется. Процесс 2–3 имеет график в виде прямой линии, перпендикулярной кинетической энергии. Так как температуры прямо пропорциональна кинетической энергии, она остается постоянной вместе с этой энергией. Следовательно, процесс 2–3 является изотермическим, температура во время него не меняется. Мы видим, что объем при этом процессе уменьшается. Но так как объем и давление — обратно пропорциональные величины, то давление на участке 2–3 увеличивается. pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить 1 моль идеального газа изохорно охлаждают на 200 К, при этом его давление уменьшается в 2 раза. Какова первоначальная абсолютная температура газа? источники: http://www.calc.ru/Izoprotsessy-V-Gazakh-Zakon-Boylyamariotta.html http://spadilo.ru/obedinennyj-gazovyj-zakon-i-izoprocessy/ |
На графике представлена зависимость объёма постоянного количества молей одноатомного идеального газа от средней кинетической энергии теплового движения молекул газа. Опишите, как изменяются температура и давление газа в процессах 1−2 и 2−3. Укажите, какие закономерности Вы использовали для объяснения.