Уравнение брахистохроны в полярных координатах

Оптимизация. Обзор методов

Оптимизация — важный раздел современной прикладной математики, объединяющий широкий спектр разнообразный методов, позволяющих решать важные практические задачи.

Например, задачу о распределении инвестиций по разным проектам и предприятиям, нахождение оптимальных сроков замены и ремонта оборудования, если известны годовой доход и остаточная стоимость в зависимости от времени эксплуатации.

Именно такие задачи возникают в нефтедобывающей отрасли, когда необходимо обоснованно принимать решение о сроках ремонта или замены насосного оборудования. Это оборудование может выходить из строя в случайные моменты времени, что приводит к существенному ущербу и неоправданным потерям.

Очевидно, задачи оптимизации тесно связаны с теорией вероятностей, статистикой и анализом данных в самом широком смысле, так как требуется оценить состояние системы по реальным данным и далее применить принципы оптимального управления.

Имеется несколько важных принципов, которые нужно знать и с пользой применять на практике, например, принцип оптимальности Беллмана или принцип оптимальности Понтрягина и др.

Вы можете не знать детали методов, но должны понимать существо дела и основной стрим оптимизационных моделей, детали выяснятся позднее, их можно найти в справочниках и специализированных изданиях.

Мы начнем с увлекательной задачи о линии наискорейшего спуска или задачи о брахистохроне, в действительности это целый класс очень интересных задач.

Начнем с практического вопроса.

Представьте, вы возводите жилое здание и у вас возникает вопрос, как кратчайшим образом доставлять предметы с верхних этажей на нижние, используя только силу тяжести.

Естественно рассмотреть наклонный пандус, который позволяет за оптимальное время скатывать предметы с верхних этажей на нижние.

Задача о брахистохроне (линии наибыстрейшего ската).

Термин брахистохрон имеет греческое происхождение и состоит из двух слов хронос – время, брахисто – самый короткий (βραχιστoζ – короткий, χρoνoζ – время).

Формальная постановка задачи такая.

В вертикальной плоскости даны точки A и B. Определить путь, по которому под действием собственной тяжести, тело, начав двигаться из точки A, достигнет точку B за кратчайшее время.

Дадим набросок решения, стараясь выделить главный аналитический принцип.

Рассматривается идеальный случай, предмет скатывается только под действием силы тяжести.

Прежде всего мы можем предположить, что нам достаточно провести прямую линию, соединяющую точки А и В.

Отрезок прямой будет кратчайшим расстоянием между А и В, однако не факт, что время, затраченное на движение по этому отрезку будет наименьшим.

Из физических соображений ясно, что вначале тело должно максимально ускориться, чтобы затем это ускорение работало на всем пути. Двигаясь по прямой, тело имеет постоянное ускорение.

Это заставляет предположить, что есть траектории, которые позволяют спускать груза за время меньшее, чем при движении по прямой.

Введем декартову систему координат с центром в точке А, пусть точка В располагается, для определенности, в 4-м квадранте, ее координаты x1 > 0, y1 1 чтобы ломаная линия была линией наикратчайшего спуска. Какой принцип оптимальности здесь можно применить? Заметьте, что в точках излома отсутствуют производные.

Дальнейшие задачи для самостоятельных размышлений:

Найти плоскую кривую, соединяющую две заданные точки плоскости и лежащую выше оси x , которая при вращении вокруг этой оси образует поверхность наименьшей (наибольшей) площади.

Найти форму тяжелой однородной нерастяжимой нити, подвешенной за концы (изгиб нити возникает за счет силы тяжести).

В заключении заметим, что знаменитая задача Дидоны, описанная нами в разделе геометрия, также может быть решена аналитическими методами, попробуйте найти это решение.

Для этого, прежде всего, введите декартову систему координат и запишите функционал, экстремум которого нужно найти.

Далее примените принцип Эйлера для нахождения экстремума и проведите математические выкладки.

Визуализация брахистохроны

Изобразим графически задачу наискорейшего спуска, чтобы наглядно убедиться в том, что материальная точка быстрее спустится именно по брахистохроне, а не по прямой. Для этого напишем небольшой макрос в Microsoft Excel во встроенной среде разработки Visual basic for Application (VBA).

Для начала сделаем некоторую предварительную подготовку: построим графики брахистохроны и прямой в Microsoft Excel. Согласно теории, уравнение брахистохроны в декартовых координатах имеет вид:

Введем в первый столбец рабочего листа цифры от 0 до 2 с шагом 0.1.

Во второй столбец введем следующую формулу и растянем ее на 22 строки:

В итоге получим следующие данные:

Теперь займемся построением прямой, с которой будем сравнивать брахистохрону. Мы знаем, что данная прямая должна проходить через точки (0;0) и (2; 3.14). Воспользуемся уравнением прямой по двум точкам:

Получаем уравнение прямой: y = 1.57x

Теперь вбиваем в третий столбец следующую формулу, и растягиваем ее на 22 строки:

Получаем в итоге:

Построим точечный график по имеющимся столбцам. Для этого выделим прямоугольную область A1:С22, затем выберем пункт меню Вставить -> Диаграмма -> Точечная.

В результате у нас должен получиться следующий график:

Теперь займемся созданием шариков, которые будут скатываться по нашим кривым. Начальное положение шариков уже известно, это точка (2; 3.14). Чтобы шарики красиво, реалистично скатывались, сделаем координату по Oy немного побольше, чтобы шарики не были «нанизаны» на кривые, а находились на их поверхности.

Сделаем следующую табличку для координат шариков на брахистохроне (шарик БР) и на прямой (шарик ПР).

Кликнем правой кнопкой мыши на графике, выберем пункт «Выбрать данные».

Затем нажмем «Добавить ряд», в названии укажем «Шарик БР», в поле «Значения Х» укажем ячейку F2, в поле «Значения Y» укажем ячейку G2.

Аналогичным образом добавим шарик на прямой (ячейки будут соответственно H2 и I2).

Чтобы кривые были более красивыми и цельными, изменим тип диаграмм. Кликнем правой кнопкой мыши на кривой брахистохроны и прямой, выберем пункт «Изменить тип диаграммы для ряда…»:

И в том же меню Диаграмма -> Точечная, выберем третий по счету вид (Точечная с гладкими кривыми):

Получим такой график:

На следующем этапе сделаем наши шарики более круглыми и объемными. Нажмем на один из них правой кнопкой мыши, выберем «Формат ряда данных».

В следующем меню сделаем настройки:

Аналогичным образом сделаем синий объемный шарик на брахистохроне. Получим такой вид:

Теперь напишем макрос на VBA, который будет управлять нашими шариками. Нажмем Alt+F11, и перейдем в среду разработки VBA. В приложении приведен подробный листинг макроса с комментариями.

А вот и результат нашей работы:

Приложение

Dim BrahY(22), BrahX(22) As Double

Dim i As Double

Cells(2, 6) = 2 ‘начальное положение шариков

Математика, которая мне нравится

Математика для школьников и студентов, обучение и образование

Задача о брахистохроне

Задача о брахистохроне была поставлена Иоганном Бернулли в Acta Eruditorum в июне 1696 года. Он представил проблему следующим образом:

“Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым блестящим математикам в мире. Ничто не является более привлекательным для умных людей, чем честная, сложная задача, решение которой, возможно, дарует славу и останется вечным памятником. Следуя примеру Паскаля, Ферма и т.д., я надеюсь получить благодарность всего научного сообщества, указывая лучшим математикам нашего времени проблему, на которой они смогут проверить свои методы и силу своего интеллекта. Если кто-то представит мне решение предлагаемой задачи, я публично объявлю его достойным похвалы’’.

Задача была следующей:

Даны две точки и , лежащие в вертикальной плоскости. Какова траектория точки, движущейся только под действием силы тяжести, которая начинает двигаться из и достигает за кратчайшее время?

Возможно, мы слишком углубляемся в ссылки Иоганна Бернулли на Паскаля и Ферма, но интересно отметить, что самая известная задача Паскаля была связана с циклоидой, о которой на данный момент Иоганн Бернулли знал, что она является решением задачи о брахистохроне, и что его метод решения этой задачи использовал идеи Ферма.

Иоганн Бернулли не был первым, кто рассматривал задачу о брахистохроне. Галилей в 1638 году изучал эту проблему в своей знаменитой работе “Беседы о двух новых науках’’. Его вариант задачи был сначала таким: найти прямую линию, соединяющую точку с точкой на вертикальной прямой, которую можно достичь за наименьшее время. Он правильно рассчитал, что такая прямая из точки будет составлять угол в к вертикали при достижении необходимой вертикальной прямой в точке .

Он вычислил время, необходимое для точки, чтобы перейти от к по прямой линии, затем он показал, что точка достигнет быстрее, если она будет двигаться по двум отрезкам и , где — точка на окружности.

Лучшая прямая Галилея

Хотя Галилей был совершенно прав в этом, но он сделал ошибку, когда он далее утверждал, что путь наискорейшего спуска от до будет дугой окружности — неверное заключение.

Вернемся к Иоганну Бернулли. Он изложил задачу в Acta Eruditorum и хотя и знал сам, как ее решать, бросил вызов другим. Лейбниц убедил Иоганна Бернулли дать больше времени для решения задачи, чем шесть месяцев, которые тот изначально предполагал отвести на это, чтобы зарубежные математики также имели возможность принять участие в ее решении. Было получено пять решений: Ньютона, Якоба Бернулли, Лейбница и Лопиталя плюс решение самого Иоганна Бернулли.

Теперь Иоганн Бернулли и Лейбниц намеренно искушали Ньютона этой задачей. Учитывая спор о дифференциальном исчислении, неудивительно, что Иоганн Бернулли включил в свой вызов такие слова:

“…еще меньше тех, кто способен решить наши замечательные задачи, да, меньше даже среди истинных математиков, гордящихся тем, что [они] … удивительно расширили границы (примеч. мое: видимо, науки) с помощью золотых теорем, которые (они думали), были никому не известны, но которые на самом деле уже давно были опубликованы другими’’.

По словам Кондуитта, биографа Ньютона, он решил задачу в вечер после возвращения домой из Королевского монетного двора. Ньютон

“… в разгар спешной большой перечеканки он не приходил домой из Тауэра до четырех часов (дня), очень устал, но не лег спать, пока не решил задачу, что произошло в четыре часа утра’’.

Ньютон послал свое решение Чарльзу Монтегю, графу Галифаксу, который был министром финансов и основателем Английского банка. Монтегю был главным покровителем и другом Ньютона в течение всей его жизни и, кроме того, гражданским мужем племянницы Ньютона. Он был президентом Королевского общества в с 1695 по 1698 г., так что было естественно, что Ньютон отправить ему решение задачи о брахистохроне. Однако, как писал он впоследствии, этот эпизод не понравился Ньютону:

“Я не люблю, когда иностранцы пристают и дразнят меня вещами, относящимися к математике…’’

Королевское общество опубликовано решение Ньютона анонимно в Трудах Королевского общества в январе 1697 г. Его решение было объяснено Монтегю следующим образом:

“Задача. Требуется найти кривую , по которой вес, под действием своей тяжести наиболее быстро спустится из точки в точку .

Решение. Пусть из данной точки проведена неограниченная прямая линия параллельно горизонтали. Пусть на ней будет описана произвольная циклоида , пересекающая прямую (предполагается, что нарисованную и представленную при необходимости) в точке , и вторая циклоида , основание и высота которой относятся к основанию и высоте первой как к соответственно. Последняя циклоида будет проходить через точку , и она будет той кривой, по которой вес силой своей тяжести спустится наиболее быстро из точки в точку ’’.

Майский выпуск 1697 г. Acta Eruditorum содержал решение Лейбница задачи о брахистохроне на стр. 205, решение Иоганна Бернулли — на страницах 206-211, решение Якова Бернулли — на страницах 211-214, и латинский перевод решения Ньютона на стр. 223. Решение Лопиталя не было опубликовано до 1988 года, когда, почти 300 лет спустя, Жан Пейффер опубликовал его в Приложении 1 в P. Costabel and J. Peiffer (eds.), Bernoulli, Johann I Der Briefwechsel von Johann I Bernoulli. Band 2: Der Briefwechsel mit Pierre Varignon: Erster Teil: 1692-1702, Die Gesammelten Werke der Mathematiker und Physiker der Familie Bernoulli (Basel, 1988). Иоганн Бернулли представил тех, кто решал задачу, сказав:

“… мой старший брат является четвертым из тех, кого три великие страны — Германия, Англия и Франция, по одному из каждой, дали для объединения со мной в таких красивых поисках, в поисках одной истины’’.

В своем решение Иоганн Бернулли делит плоскость на полосы, и он предполагает, что частица движется по прямой в каждой полосе. Таким образом, путь ее кусочно-линейный. Задача состоит в определении угла, под которым направлен отрезок в каждой полосе, и для этого он обращается к принципу Ферма, а именно к тому, что свет всегда проходит расстояние за кратчайшее время. Если — скорость в одной полосе, направленная под углом к вертикали, и скорость в следующей полосе, направленная под углом к вертикали, то по обычному закону синуса

Циклоида как предел полос

В пределе, когда полосы становятся бесконечно узкими, отрезки становятся кривой, у которой в каждой точке угол отрезка с вертикалью становится углом касательной к кривой, который она составляет с вертикалью. Если — скорость в точке и — угол, который составляет касательная с вертикалью, то кривая удовлетворяет уравнению

Галилей показал, что скорость удовлетворяет условию

(где — ускорение силы тяжести). Подстановка дает уравнение кривой

Воспользуемся тем, что и , чтобы получить

для константы .

Циклоида удовлетворяет этому уравнению. Чтобы убедиться в этом, отметим, что

Гюйгенс в 1659 году показал (к этому его привела задача Паскаля о циклоиде), что циклоида является решением задачи о таутохроне, а именно задачи о нахождении кривой, для которой время, затраченное частицей, скользящей вниз по ней под действием однородной силы тяжести, в самой нижней точке не зависит от выбора начальной точки.

Иоганн Бернулли закончил свое решение задачи о брахистохроне такими словами:

“Прежде чем я закончу, я должен еще раз выразить восхищение, которое я чувствую по поводу неожиданного тождества таутохроны Гюйгенса и моей брахистохроны. Я считаю особенно замечательным то, что это совпадение может иметь место только при выполнении гипотезы Галилея, так что мы даже получаем из этого доказательство его правоты. Природа всегда стремится действовать самым простым способом, и поэтому здесь позволяет одной кривой выполнять две различные функции, в то время как при любом другом предположении нам понадобились бы две кривые…’’

Несмотря на добрые слова, которыми Иоганн Бернулли описал решение задачи о брахистохроне своего брата Якоба Бернулли (см. выше), между братьями разгорелся серьезный спор после публикации Acta Eruditorum в мае 1697 г. Именно Якоб Бернулли теперь спорил со своим братом. Возвращаясь к первоначальному вопросу Галилея о времени достижения вертикальной линии, а не точки, он спрашивал:

“Для данных начальной точки и вертикальной прямой, из всех циклоид с одной и той же начальной точкой с одним и тем же горизонтальным основанием которая позволит точке, подвергающейся действию только однородной силы тяжести тяжести, достичь вертикальной прямой наиболее быстро?’’

Иоганн Бернулли решил эту задачу, показав, что циклоида, которая позволит точке наиболее быстро достичь данной вертикали, — та, которая пересекает эту вертикаль под прямым углом. Существует огромное количество информации, согласно Вариньону (см. P. Costabel and J. Peiffer (eds.), Bernoulli, Johann I Der Briefwechsel von Johann I Bernoulli. Band 2: Der Briefwechsel mit Pierre Varignon: Erster Teil: 1692–1702, Die Gesammelten Werke der Mathematiker und Physiker der Familie Bernoulli (Basel, 1988)), Якоб Бернулли поставил перед Иоганном Бернулли изопериметрические задачи, и между двумя братьями возник ожесточенный спор об этих задачах, в котором также участвовал и Вариньон. Это был неприятный инцидент, но он имел большое значение для математики, так как задачи, о которых спорили, непосредственно привели к основанию вариационного исчисления. Ссоры между братьями Бернулли подробно рассмотрены в R. Thiele, Das Zerwürfnis Johann Bernoullis mit seinem Bruder Jakob, Natur, Mathematik und Geschichte, Acta Hist. Leopold. No. 27 (1997), 257–276, где наряду с математическими деталями автор рассматривает и психологические аспекты. Он убедительно доказывает, что плохие отношения между ними должны были начаться дома из-за строгого и недоброго отца.

Методы, которые братья разработали для решения задач и которые они оспаривали друг у друга, были обобщены Эйлером в Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti, опубликованных в 1744 году. В этой работе, русская версия названия которой “Метод нахождения плоских кривых, показывающий некоторые свойства максимумов и минимумов”, Эйлер обобщает задачи, исследованные братьями Бернулли, но сохраняет геометрический подход, разработанный Иоганном Бернулли для их решения. Он обнаружил то, что сейчас известно как уравнения Эйлера-Лагранжа для поиска стационарных точек и экстремумов функционалов.

Идея состоит в нахождении функции, на которой достигается максимум или минимум определенной величины, удовлетворяющей некоторым ограничениям. Например, Иоганн Бернулли перед Эйлером поставил определенные геодезические задачи, которые, как и задача о брахистохроне, были такого типа. Здесь задача состояла в нахождении кривых наименьшей длины, лежащих на данной поверхности. Эйлер, однако, отметил, что геометрический подход к таким задачам не был идеальным, и он давал только необходимые условия, которым должно удовлетворять решение. Вопрос о существовании решения не был решен Эйлером.

Лагранж в 1760 году опубликовал эссе о новом методе нахождения максимумов и минимумов неопределенных интегральных формул. Он дал аналитический метод, применимый к задачам вариационного исчисления. Во введении к своей работе Лагранж приводит историческое развитие идей, которые мы описали выше, но кажется целесообразным закончить эту статью, приведя слова Лагранжа, которые отражают в действительности все достижения:

“Первая задача этого типа [вариационного исчисления], которую решили математики — это задача о брахистохроне, или кривой наискорейшего спуска, предложенная Иоганном Бернулли в конце прошлого века. Ее решение было найдено рассмотрением частных случаев, и только спустя некоторое время, исследуя изопериметрические кривые, великий математик, о котором мы говорим, и его знаменитый брат Якоб Бернулли дали некоторые общие правила для решения ряда других задач того же типа. Поскольку, однако, правила не были достаточно общими, знаменитый Эйлер взял на себя задачу сведения всех этих исследований в общий метод, который он привел в своем “Рассуждении о новом методе определения максимумов и минимумов неопределенных интегральных формул’’ — оригинальной работе, в которой освещена глубокая наука исчисления. Тем не менее, несмотря на то что метод гениальный и мощный, надо признать, что он не так прост, как можно было бы надеяться в работе по чистому анализу…’’

Затем Лагранж переходит к описанию введенного им символа дифференциала . Он пишет:

“…метод, который требует только прямого использования принципов дифференциального и интегрального исчисления, но я должен настоятельно подчеркнуть, что поскольку мой метод требует, чтобы величину можно было изменять двумя различными способами, для различения этих двух вариантов я ввел новый символ в мои расчеты. Таким образом, выражает разность , отличную от , но которая, однако, будет удовлетворять тем же правилам, такую, что там, где имеем для любого уравнения , можно в равной степени записать , и так же в других случаях’’.

Уравнение брахистохроны в полярных координатах

Задача о брахистохроне в центральном поле тяготения является модификацией классической задачи о брахистохроне ( — кратчайший, — время ), предложенной в 1696г. Иоганном Бернулли и сыгравшей большую роль в развитии вариационного исчисления.

1. Классическая задача о брахистохроне

В этом случае время T = T [ y ( . )], необходимое материальной точке для движения вдоль кривой, которая является графиком функции y = y ( x ) ( x [0, x 1 ]), выражается следующей формулой:

T [ y ( . )] = dx

(1)

( g — ускорение свободного падения). Сформулированная проблема приводит к исследованию на экстремум функционала T [ y ( . )] .

2. Постановка задачи о брахистохроне в центральном поле тяготения

где r — расстояние от точки до центра тяготения.

Исследование данной задачи и вывод функционала времени движения удобно проводить в полярной системе координат, причем без ограничения общности можно упростить постановку задачи. Рассмотрим центральное поле тяготения на плоскости с центром в точке O . Пусть на плоскости дан круг B радиуса r 0 с центром в точке O . Рассмотрим две точки P , Q B , причем P B . Введем полярную систему координат (, r ) с центром в точке O так, чтобы точка P имела координаты (0, r 0 ). Пусть точка Q имеет координаты (, r 1 ) ( r 1 r 0 ) (рис.2).
Рис.2 Для простоты предположим, что рассматриваются только такие кривые, которые являются графиками функций r , где r ([0, 2) [0, r 0 ]) C 1 ([0, 2)) , причем функция r должна удовлетворять граничному условию

3. Вывод функционала времени движения

Будем исходить из закона сохранения энергии

Следовательно, закон сохранения энергии имеет вид :

откуда с помощью простых преобразований получаем, что

Дифференциал дуги в полярной системе координат выражается формулой

которую можно записать в виде

Интегрируя, получаем функционал

Таким образом, сформулированная задача о брахистохроне в центральном поле тяготения приводит к исследованию на минимум функционала T [ r ( . )]. Для нахождения минимума функционала T [ r ( . )] имеет смысл применять численные методы.

На рис.3 изображено поле оптимальных траекторий для r₀ = r₁ = 1 , построенное численное.

4. Изохроны

Ведутся работы

На рис.4 изображены изохроны — линии равного оптимального времени.

В создании этой страницы принимала участие студентка УрГУ Камнева Л.В.