Решения уравнения Бюргерса с периодическим возмущением на границе Текст научной статьи по специальности « Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Самохин Алексей Васильевич
Изучена асимптотика решений уравнения Бюргерса с начальными/граничными данными на конечном интервале с периодическим возмущением на границе. Уравнение описывает вязкую среду и первоначальный постоянный профиль переходит в бегущую волну с убывающей амплитудой. При малых значениях вязкости асимптотический профиль имеет пилообразный профиль с периодическими разрывами производной, похожий на известное решение Фэя на полупрямой.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Самохин Алексей Васильевич
SOLUTIONS TO THE BURGERS EQUATION WITH PERIODIC PERTURBATIONS ON BOUNDARY
The asymptotic behavior of solutions of the Burgers equation with initial value boundary problem on a finite interval with periodic boundary conditions is studied. The equation describes a dissipative medium, so a constant initial profile will evolve to a travelling-wave solution. Its asymptotic limit is periodic ’sawtooth’ solution with periodical breaks of derivative, similar to the Fay solution on a half-line.
Текст научной работы на тему «Решения уравнения Бюргерса с периодическим возмущением на границе»
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА С ПЕРИОДИЧЕСКИМ ВОЗМУЩЕНИЕМ НА ГРАНИЦЕ
Изучена асимптотика решений уравнения Бюргерса с начальными/граничными данными на конечном интервале с периодическим возмущением на границе. Уравнение описывает вязкую среду и первоначальный постоянный профиль переходит в бегущую волну с убывающей амплитудой. При малых значениях вязкости асимптотический профиль имеет пилообразный профиль с периодическими разрывами производной, похожий на известное решение Фэя на полупрямой.
Ключевые слова: уравнение Бюргерса, начально-граничная задача на отрезке, пилообразные решения.
ut (X, t) = e2uxx (x, t) — 2 • u (x, t )ux (x, t). (1)
описывает колебания вязкой среды. Вязкость гасит колебания (за исключением инвариантных относительно какой-либо подалгебры симметрий).
Начально-граничные данные на конечном интервале для уравнения Бюргерса имеют вид:
u(x, 0) = f (x), u(a, t) = l(t), u(b, t) = r(t), x e [a, b]. (2)
Нас интересует поведение решений в случае периодического возмущения на границе следующего вида:
u(x, 0) = a, u(0, t) = a + b sin(&t), u(L, t) = a, x e [0, L].
Для полубесконечного интервала x e [0, вопрос о виде таких решений хорошо
изучен. При значительной вязкости колебания экспоненциально затухают при (пространственном) удалении от источника возмущений. Однако во многих задачах нелинейной акустики возмущение u периодично по x, и нелинейные эффекты концентрируются вблизи источника и содержат там регулярно разнесённые в пространстве разрывы. Таким образом, при незначительной вязкости доминируют нелинейные эффекты и возникает убывающий пилообразный профиль, который постепенно расплывается (разрывы превращаются в скачки с увеличивающейся толщиной), превращаясь в затухающую волну — иногда на значительном удалении от источника. Достаточно адекватная асимптотика для таких решений предложена Фэем [].
Задача для конечного интервала, которая рассматривается в настоящей статье, приводит к аналогичным результатам, хотя решения имеют некоторые характерные особенности.
Работа является продожением [6], [7]. Численные расчёты проводились с использованием пакета Maple PDEtools.
2. ПИЛООБРАЗНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА
Как известно, для уравнения переноса общего вида ( x e R )
момент начала градиентной катастрофы может быть найден следующим образом. Пусть w = р( x) — начальный профиль. Решение задачи (17) может быть представлено в параметрической форме w = р(%), x = £ + F(£)t, где F(£) = f (р(4)) . Характеристики x = Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Квадратное уравнение (27) приобретёт теперь вид:
Л + ч02 +—Л— + Ч0 — = 0. (8)
Отсюда Л = (-к + ^/к2 + 4ч- + 2а2 + 4ч0к ) /2 , где к = Ь / Т .
Отметим, что при Т ^^ получим Л = ^Ч^ + , а ПРИ Ь ^^ получим, в согласии с
результатами для полубесконечного интервала, Л = Ч0.
Для рассчитанных примеров и(0, /) = 1 + 2 ) ^ Л
Перейдём к определению скорости распространения возмущения (или скорости ударной волны). Известно, что для нелинейных волн скорость определяется амплитудой начального возмущения, в рассматриваемом случае, высотой первого горба (см. рис. 2). Эта скорость
3 сохраняется, как это видно из рис. 4 — 6 и далее.
Для аналитического определения высоты первого горба можно также воспользоваться тем, что его форма хорошо описывается решением Р. Хохлова [4], [5]:
здесь R =-г — число Рейнольдса, $ = CO(t — x / u0) и X — безразмерная координата
Численные расчёты позволяют не только обнаруживать новые эффекты, возникающие при решении уравнения Бюргерса на конечном интервале, но и экспериментально проверять асимптотические оценки, полученные аналитически. Отметим, что численное моделирование функций с разрывной производной является непростым делом, поскольку вблизи разрывов стандартные методы теряют устойчивость. Потеря устойчивости приводит к мульти-осцилляциям и потере точности, не говоря уже о потере ясности. С этой проблемой удалось справиться за счёт адаптивной длины шага по пространственной координате (уменьшая шаг в 10-20 раз по сравнению со значениями по умолчанию).
1. Dubrovin B., Elaeva M. On critical behavior in nonlinear evolutionary PDEs with small viscosity // ArXiv: 1301.7216v1math-ph., 30.01.2013, 16 p.
2. Dubrovin B., Grava T. and Clein C. Numerical study of breakup in generalized Korteweg de Vries and Kawahara equations // Siam J. Appl. Math, 71: 4 (2011), pp. 983-1008.
3. Dubrovin B. On Hamiltonian Perturbations of Hyperbolic Systems of Conservation Laws, II: Universality of Critical Behaviour // Comm. Math. Phys., 267 (2006), pp. 117-139.
4. Fay R.D. J.Acoust. Soc. Am., Proc., 3, 1931, pp. 222-241.
5. Rudenko O.V. Nonlinear sawtooth-shaped waves // UFN, 9 (1995), pp. 1011-1035 (in Russian).
6. Samokhin A., Gradient catastrophes for a generalized Burgers equation on a finite interval // Geometry and Physics, Elsevier, the Netherlands, 85 (November 2014), pp. 177-184
SOLUTIONS TO THE BURGERS EQUATION WITH PERIODIC PERTURBATIONS ON BOUNDARY
The asymptotic behavior of solutions of the Burgers equation with initial value — boundary problem on a finite interval with periodic boundary conditions is studied. The equation describes a dissipative medium, so a constant initial profile will evolve to a travelling-wave solution. Its asymptotic limit is periodic ‘sawtooth’ solution with periodical breaks of derivative, similar to the Fay solution on a half-line.
Keywords: Burgers equation, initial value — boundary problem, finite interval, sawtooth solutions.
Сведения об авторе
Самохин Алексей Васильевич, 1947 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1971), доктор технических наук, профессор кафедры высшей математики МГТУ ГА, автор 40 научных работ, область научных интересов — уравнения математической физики, симметрии, законы сохранения.