Уравнение cosx a видео уроки

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Уравнение cos x = a.

С этого урока мы начинаем изучать уравнения и неравенства, которые содержат косинус, синус, тангенс и котангенс переменной. Решение таких уравнений и неравенств — нахождение значений переменной по заданному значению косинуса, синуса, тангенса или котангенса.

Начнем мы изучение тригонометрических уравнений с уравнения вида cos x = a.

Цели и задачи

• ввести систему знаний, связанных с уравнением вида cos x = a и начать формировать умения решать тригонометрические уравнения, содержащие косинус.

• ввести понятие тригонометрического уравнения;
• ввести общую формулу решения уравнения cos x = a;
• ввести понятие арккосинуса.

Узнаем, научимся, сможем

• что такое арккосинус числа;
• какую форму имеет решение уравнения cos x = a ;

• решать простейшие тригонометрические уравнения вида cos x = a;
• решать уравнения вида cos (kx+b) = a ;

• использовать несложные тождества с арккосинусом;
• решать тригонометрические уравнения, содержащие косинус.

Уравнение cos x = a

Сколько решений имеют уравнения на отрезке $[0; 2\pi]$:

Урок математики по теме «Арккосинус. Решение уравнений cosx = a». Комплект методических материалов

Презентация к уроку

Из опыта работы предлагается разработка методического комплекта для проведения серии уроков. Благодаря возможностям Microsoft PowerPoint с настройками анимации выполнена визуализация алгоритма нахождения арккосинуса, автоматизация процесса обучения. Статистика решений элементарных тригонометрических свидетельствует о формализме в усвоении знаний, отсутствии устойчивых навыков и понимания изучаемого материала. Подробность изложения (в рамках возможного времени), насыщение серии уроков наглядностью, внимание к деталям, разнообразное многократное повторение при изучении первой из обратных тригонометрических функций способствуют скоростному изучению арксинуса, арктангенса, арккотангенса. Актуализация базовых знаний, повторение алгоритмов по видеоряду, ведение индивидуального конспекта, продолжение работы с памяткой, чередование групповой, индивидуальной, фронтальной работы и др. позволяют эффективно использовать время урока для формирования понятия арккосинуса числа, умений и навыков решения уравнения cosx=a.

1) конспекты трех уроков,

2) печатная основа конспекта – Приложение 1,

3) памятка по тригонометрии (для определения места изучаемого материала) — Приложение 2,

4) презентация Microsoft PowerPoint,

5) сценарий максимально возможного применения презентации на уроке №1 — Приложение 3.

Автор успешно применил комплект в 2012/2013 и 2013/2014 учебных годах. На следующем уроке — самостоятельная работа по теме (Л.А. Александрова, С-18, 4 варианта. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные работы 10кл.,11кл.).

Учитель может сделать для каждого класса особую выборку из презентации с помощью заметок под слайдами. Темный фон, крупный шрифт, отсутствие излишеств в оформлении слайдов – результат многолетней борьбы за зрение учащихся.

Арккосинус. Решение уравнений cosx=a.

Алгебра и начала анализа (УМК А.Г. Мордковича, базовый уровень, 10 класс).

Цель: повышение культуры и результативности решения элементарных тригонометрических уравнений, создание условий для ускоренного прохождения понятий арксинус, арктангенс, арккотангенс. Пропедевтика, введение, закрепление понятия арккосинуса числа. Формирование умений и устойчивых навыков учащихся находить арккосинус числа, осмысленно выбирать алгоритм решения уравнений cosx=a в зависимости от значений а, анализировать практические ситуации применения арккосинуса числа для решения уравнений cosx=a.

Урок №1

Пропедевтика и формирование понятия арккосинуса числа. Актуализация опорных знаний и умений: определения косинуса, повторение точных значений косинуса, промежутков монотонности функции у=cosx, пошагового решения уравнения cosx=a для точных значений косинуса. Выделение известных случаев решений уравнения cosx=a и постановка задачи для других а. Определение арккосинуса числа и первичное закрепление. Чередование индивидуальной и групповой работы; работы на доске, в тетрадях и индивидуальном конспекте на печатной основе с медиаподдержкой.

Тип урока: урок изучения нового.

Повторение.

Актуализация знаний. Слайды №2-8, повторение промежутков монотонности косинуса, пошагового алгоритма решения уравнения для точных значений косинуса.

Проверка домашнего задания с устными объяснениями:

№6.16в) Решите уравнение cost=. Повторение определения косинуса; указать все координаты на числовой окружности, абсциссы которых равны . Ускоренная проверка– слайд 7.

№6.40а) Решите неравенство cost>0.-индивидуальный опрос ученика у доски.

№3.3 Для заданной функции найдите обратную; постройте график заданной функции и обратной функции: а) у= , х 0;

б) у=.-индивидуальный опрос ученика; дополнительные вопросы: признак обратимости функции, алгоритм получения обратной функции; D(f) и E(f) обратной функции, свойство графика обратной функции.

Повторение. Работа в индивидуальном конспекте на печатной основе — п.1,2,3., устный вывод визуализируется слайдом 9.

Постановка проблемы.

В треугольнике прилежащий катет равен 1, гипотенуза 3, тогда соsa=. Угол с величиной а существует, мы знаем его косинус, но чему равно а? Величина острого угла ?- один из корней уравнения cosx= . Выясним, как решать такое уравнение.

Решение проблемы. Слайды №10,11,12,13.

Запись словесной формулировки определения арккосинуса в конспекте (п.4).

Визуализация определения на математическом языке — слайд №14.

Дуга арккосинуса. “Arcus в переводе с латинского значит дуга (сравнить со словарем)”. [1, 1 часть, с.88]- слайд 15.

Закрепление нового понятия. Обсуждение характера изменения и множества значений выражения arccosa — слайды 16- 17.

Индивидуальный опрос у доски: 15.3б) Вычислить arccos — arccos, дополнительный вопрос: сравнить cos1 и cos2.

15.10 г) Имеет ли смысл выражение arcos(-)? Дополнительный вопрос: сравнить arccos0 и arccos1. Задания: доказать, что arccos 0,5= ,

вычислить:1)cos(arccos); 2) cos(arccos0);3)cos(arcos(-));4)cos(arccos?)

для тех, кто успевает работать быстрее: с поддержкой для ускоренной самопроверки и совместного вывода слайды 18, 19, 20.

Итог урока: действие нахождения обратно ; действие нахождения arccos обратно нахождению cos

1.05.2014

Синус и косинус равны не табличному значению. Как решить уравнение? Часть 2

Синус равен не стандартному значению

Но бывает так, что нужно решить уравнение, в котором синус равен не табличному значению. Например, как решить уравнение \(\sin⁡x= \frac<1><3>\)? Давайте обо всем по порядку.

Сначала действуем, как и при решении стандартных уравнений:
1. Чертим оси и тригонометрический круг
2. На оси синусов отмечаем нужное значение
3. Проводим к оси перпендикуляр

А что дальше? Какие значения будут получаться на круге? Не \(\frac<π><6>\), не \(\frac <π><4>\), и даже не \(\frac<π><7>\) — вообще никакие привычные числа не подходят. Однако при этом очевидно, что значения эти есть. Но как их записать? Вот тут-то на помощь и приходит арксинус! Значение правой точки равно \(\arcsin⁡\frac<1><3>\). Почему? Да потому что синус равен \(\frac<1><3>\) .

Ок, значение правой точки найдено, как найти значение левой? Давайте подумаем. Значение дуги от нуля до правой точки равно \(\arcsin⁡\frac<1><3>\).

Но дуга от \(π\) до левой точки имеет такую же длину:

Значит, если мы пройдем от \(π\) против часовой стрелки на величину \(\arcsin⁡\frac<1><3>\) мы попадем в левую точку. Иными словами, значение в левой точке равно \(π-\arcsin⁡\frac<1><3>\).

Теперь мы можем записать все корни уравнения: \( \left[ \begin x_1=\arcsin⁡\frac<1><3>+2πn\\ x_2=π-\arcsin⁡\frac<1><3>+2πn, \, n∈Z\end\right.\). Не понимаешь откуда появилось «\(2πn\)» и «\(n∈Z\)» ? Смотри это и это видео!

Без арксинусов решить уравнение \(\sin⁡x=\frac<1><3>\) не получилось бы, потому что мы не смогли бы записать итоговый ответ. Аналогично и с уравнением \(\sin⁡x=0,125\), \(\sin⁡x=-\frac<1><9>\), \(\sin⁡x=\frac<1><\sqrt<3>>\) и многими другими. Фактически без арксинуса мы можем решать только 9 простейших, базовых, уравнений с синусом:

С арксинусом – бесконечное количество.

Алгоритм решения простейших уравнений с синусом

Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов.

Шаг 2. Отметить на оси синусов значение, которому синус должен быть равен.

Шаг 3. Провести перпендикуляр и отметить точки пересечения перпендикуляра и круга. Если пересечений нет, то уравнение не имеет решений.

Шаг 4. Найти по одному значению каждой из полученных точек на круге. Если синус равен не стандартному числу, то правую точку на круге можно отметить, как \(\arcsin⁡a\), а левую как \(π-\arcsin⁡a\).

Шаг 5. Записать все значения каждой точки используя формулу \(x=t_0+2πn\), \(n∈Z\), где \(t_0\) – как раз те значения точек, которые вы нашли в шаге 4.

Или если воспользоваться свойством арксинуса \(\arcsin⁡(-a)=-\arcsin⁡a\):

Как делать не надо:

Это стандартное уравнение — его можно решить с помощью круга, либо просто вычислить \(\arcsin⁡\frac<1><2>= \frac<π><6>\). В любом случае корректным ответом здесь будет:

Запомните! В математике принято вычислять ответы до конца, поэтому если арксинус берется для стандартной точки и может быть посчитан – его надо вычислить. Потому что ответ с \(\arcsin⁡\frac<1><2>\) и тому подобным будет выглядеть столь же странно, как ответ \(x=\frac<6><3>\) в линейном уравнении \(3x=6\).

Больше примеров использования алгоритма читай в этой статье: простейшие уравнения с синусом и косинусом .

Косинус равен не стандартному значению

Предположим, надо решить уравнение \(\cos⁡x=\frac<1><3>\). Как это сделать?

Тут логика такая же, как и в уравнении с синусом: косинус одной трети равняться может, следовательно, и значение должно быть таким, при котором косинус будет равен \(\frac<1><3>\). Очевидное решение — использовать арккосинус.

Несложно заметить, что дуга от нуля до нижней точки имеет такую же длину, как и от нуля до верхней, но только она откладывается в отрицательном направлении (по часовой стрелке). Поэтому одно из значений второй точки: \(-\arccos⁡\frac<1><3>\)

И теперь можно записать общий ответ: \(x=±\arccos⁡\frac<1><3>+2πn\), \(n∈Z\).

Алгоритм решения простейших уравнений с косинусом

Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов.

Шаг 2. Отметить на оси косинусов значение, которому косинус должен быть равен.

Шаг 3. Провести перпендикуляр и отметить точки пересечения перпендикуляра и круга. Если пересечений нет, то уравнение не имеет решений.

Шаг 4. Найти по одному значению каждой из полученных точек на круге. Если косинус равен не стандартному числу, то верхнюю точку на круге можно отметить, как \(\arccos⁡a\), а нижнюю как \(-\arccos⁡a\).

Шаг 5. Записать все значения каждой точки используя формулу \(x=t_0+2πn\), \(n∈Z\), где \(t_0\) – как раз те значения точек, которые вы нашли в шаге 4.

Важно быть начеку, а не штампованно везде писать аркфункции. Пересечения с окружность нет, значит и решений нет.
Ответ: нет решений.

Или если применить формулу \(\arccos⁡(-a)=π-\arccos⁡a\)