Уравнение дайсона для функций грина

дайсона уравнения

ДАЙСОНА УРАВНЕНИЯ в квантовой теории — уравнения движения для квантовой системы с бесконечным числом степеней свободы (напр., системы квантовых полей), записанные не для операторных полевых ф-ций, а для пропагаторов (одночастичных Грина функций)и вершинных функций. Д. у. представляют собой бесконечную цепочку зацепляющихся нелинейных интегральных ур-ний, аналогичную цепочке ур-ний для корреляционных функций (многочастичных функций распределения)статистич. механики. Они могут быть получены либо из Швингера уравнений, либо графич. путём — суммированием вкладов Фейнмана диаграмм.

В квантовой электродинамике [где они впервые были получены Ф. Дайсоном (F. Dyson)] два первых Д. у. для «одетых взаимодействием» электронного G и фотонного D пропагаторов имеют вид

где — Дирака матрицы ,= 0, 1, 2, 3, G 0 и D 0 — «голые» пропагаторы (т. е. Грина функции свободных полей), A(x) — внеш. электромагн. поле (если оно отлично от нуля), одетое радиационными поправками, а — вершинная ф-ция квантовой электродинамики, для к-рой, в свою очередь, может быть выписано интегральное ур-ние, содержащее наряду с G, D и Г электрон-фотонную 4-концевую вершинную ф-цию , и т. д. (x, у, z — пространственно-временные точки). Т.о., любая конечная система Д. у. является незамкнутой.

Часто используют сокращённую символич. запись Д- у.:

Д. у. также могут быть записаны в интегро-дифференциальной форме. Действуя, напр., на второе из ур-ний (1) оператором Д-Аламбера по переменной х с учётом того, что (где — Кронекера символ, — дельта-функция Дирака), получаем

Здесь П — поляризац. оператор, к-рый, используя символич. форму записи, можно представить в виде

Ур-ние (2) является обобщением дифференциального ур-ния для D 0 на случай учёта квантового взаимодействия между полями. Из интегро-дифференциальных ур-ний для пропагаторов можно получить соответствующие однородные ур-ния для операторов взаимодействующих полей. Напр., из ур-ния (2) следует

С распространением квантовополевых методов Д. у. стали использоваться в квантовой статистич. физике, теории турбулентности и нек-рых др. областях теоретич. физики.

Лит.: Боголюбов H. H., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., M., 1984, p 38.

Справочный запрос об обработке уравнений Швингер-Дайсона

Есть ли обработка уравнений Швингер-Дайсона без упоминания о функциях Грина? Есть ли, возможно, чисто алгебраический аналог?

Я не соглашусь несколько с ответами Карло и Зураба. Просто, потому что идентичность, теперь известная как уравнение Швингер-Дайсона, была сначала обнаружена в контексте функций Грина, не означает, что это наиболее естественно выражается с точки зрения функций Грина (иначе функции корреляции QFT).

Let me refer to the excellent treatment of the Schwinger-Dyson equation in Chater 15 of Quantization of Gauge Systems by Henneaux & Teitelboim (PUP, 1994). Consider functionals $A[\phi]$ on the space of (off-shell) field configurations $\phi$. Let us suppose that all of these functionals are sufficiently regular so that we can use the variation formula $A[\phi + t\zeta] = A[\phi] + t \int \alpha_i[\phi](x) \zeta^i(x)\, dx + O(t^2)$, for some $\alpha_i[\phi](x)$ which we also denote by $\frac<\delta A[\phi]><\delta \phi^i(x)>$. One of these functionals is the action functional $S[\phi]$ and its variation $E_i[\phi](x) = \frac<\delta S[\phi]><\delta \phi^i(x)>$ gives the classical equations of motion of the field theory.

Для любого данного вне раковины функциональный, есть $A карты [\phi] \mapsto T ([\phi]) $, который выдерживает за время, заказанное квантизацию $A [\phi] $, так, чтобы $T ([\phi]) $ был элементом квантовой алгебры observables (на раковине) (или операторы). $T$ карты линеен, но очевидно не алгебраический гомоморфизм, потому что это наносит на карту классическую (коммутативную) алгебру в (квант) некоммутативный. Кроме того, так как это наносит на карту (классический) functionals вне раковины к (кванту) операторы на раковине, у этого должно быть ядро, которое так или иначе произведено уравнениями движения.

The Schwinger-Dyson equation precisely specifies the kernel of $T$ within the space of classical off-shell functionals: $$ T\left(A[\phi] \int \lambda^i(x) \frac<\delta S[\phi]><\delta \phi^i(x)>\, dx + \frac<\hbar> \int \frac<\delta A[\phi]> <\delta \phi^i(x)>\lambda^i(x)\, dx \right) = 0 , $$ for any $A[\phi]$ and $\lambda^i(x)$, where $\lambda^i$ needs to be $\phi$-independent. Note that the treatment in Henneaux & Teitelboim uses equations like $\langle T(-) \rangle = 0$ instead of $T(-) = 0$. However, they use $\langle \hat \rangle$ to stand for an arbitrary matrix element of the operator $\hat$ (evaluated using a path integral), so the two kinds of equalities are equivalent. As can be seen from the above formula, the kernel of $T$ is an $\hbar$-deformation of the subspace of off-shell functionals generated by $\int \lambda^i(x) E_i[\phi](x)\, dx$ for arbitrary $\lambda^i(x)$, which all vanish when restricted on-shell, to the solutions of $E_i[\phi](x) = 0$ among all possible field configurations. To get the full classical kernel of the restriction on-shell, we would need to allow $\lambda^i(x) = \lambda^i[\phi](x)$ to be $\phi$-dependent. But doing that naively breaks the above formula. So, when possible, arbitrary $\lambda^i[\phi](x)$ should be approximated by linear combinations of appropriate choices of $A[\phi]$ and $\lambda^i(x)$.

Одно заключительное замечание о более геометрическом способе переписать вышеупомянутую версию уравнения Швингер-Дайсона. Давайте интерпретировать $\\$ lambda^i(x), поскольку векторное поле на полевой конфигурации делает интервалы и обозначает соответствующую производную Ли $\\mathcal _ \lambda$. Уравнение Швингер-Дайсона тогда читает $$ T\left (\frac <\\hbar> <я>e^ <-[\phi]/\hbar>\mathcal _ \lambda ([\phi] e^ <[\phi]/\hbar>) \right), = 0. $$