Уравнение де бройля для электрона

Уравнение де бройля для электрона

Волны де Бройля
_{de Broglie waves}

Волны де Бройля – волны, связанные с любой движущейся материальной частицей. Любая движущаяся частица (например, электрон) ведёт себя не только как локализованный в пространстве перемещающийся объект — корпускула, но и как волна, причём длина этой волны даётся формулой λ = h/р, где h = 6.6·10 -34 Дж . сек – постоянная Планка, а р – импульс частицы. Эта волна и получила название волны де Бройля (в честь французского физика-теоретика Луи де Бройля, впервые высказавшего гипотезу о таких волнах в 1923 г.). Если частица имеет массу m и скорость v 2 − энергия покоя частицы массы m,
λ_{комптон} = h/mc − комптоновская длина волны частицы,
λ_{комптон} (электрон) = 2.4·10 -12 м = 0.024 Å,
λ_{комптон} (протон) = 1.32·10 -15 м = 1.32 фм.
Длина волны де Бройля фотона с энергией Е определяется из соотношения

λ(фм) = h/p = hc/E = 2π·197 МэВ·фм /E(МэВ).

Существование волн де Бройля доказано многочисленными экспериментами, в которых частицы ведут себя как волны. Так при рассеянии пучка электронов с энергией 100 эВ на упорядоченной системе атомов кристалла, играющего роль дифракционной решётки, наблюдается отчётливая дифракционная картина. Существование волн де Бройля лежит в основе работы электронного микроскопа, разрешающая способность которого намного порядков выше, чем у любого оптического микроскопа, что позволяет наблюдать молекулы и атомы, а также в основе методов исследования таких сверхмалых объектов, как атомные ядра и элементарные частицы, бомбардировкой их частицами высоких энергий. Метод дифракции частиц в настоящее время широко используется при изучении строения и свойств вещества.

Волновые свойства микрочастиц. Дифракция электронов

1923 год ознаменовался событием, значимо ускорившим развитие квантовой физики. Французским физиком Л. де Бройлем была предложена гипотеза, предполагающая универсальность корпускулярно-волнового дуализма. В своей концепции Де Бройль сформулировал утверждение о том, что, помимо фотонов и электроны, а также прочие частицы материи имеют как корпускулярные, так и волновые свойства.

Описание гипотезы де Бройля

Идеи де Бройля содержали мысль о том, что любой микрообъект имеет, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия E и импульс p , а с другой стороны, волновые характеристики – частота v и длина волны λ . При этом количественное соотношение корпускулярных и волновых характеристик аналогично тому же для фотона:

E = h v , p = h v c = h λ .

Как уже было сказано выше, в гипотезе французского физика шла речь о всех видах микрочастиц, соответственно и указанное выше соотношение применимо для любых из них, в том числе, и для обладающих массой m . Любая частица, обладающая импульсом, была сопоставлена с волновым процессом с длиной волны λ = h p .

Для частиц, имеющих массу: λ = h p = h 1 — v 2 / c 2 m v .

В нерелятивистском приближении ( υ c )

Основой идей де Бройля стали размышления о симметрии свойств материи, и в то время, увы, гипотеза не получила опытного подтверждения. Однако, она стала мощнейшим катализатором развития новых идей о природе материальных объектов. На протяжении последующих нескольких лет выдающиеся умы XX века (физики В. Гейзенберг, Э. Шредингер, П. Дирак, Н. Бор и др.) создавали теоретические основы новой науки, названной квантовой механикой.

Дифракция электронов

Впервые гипотеза де Бройля была экспериментально подтверждена в 1927 году, когда американские физики К. Девиссон и Л. Джермер выяснили, что пучок электронов, рассеивающийся на кристалле никеля, дает ясную дифракционную картину, похожую на возникающую тогда, когда на кристалле рассеивается коротковолновое рентгеновское излучение. В исследованиях физиков кристалл служил естественной дифракционной решеткой. По тому, какое положение имели дифракционные максимумы, выяснилась длина волны электронного пучка, и она полностью соответствовала той, что вычислялась по формуле де Бройля.

В 1928 году физик из Англии Г. Томсон (являющийся сыном Дж. Томсона, который открыл за 30 лет до этого электрон) вновь подтвердил гипотезу де Бройля. Эксперименты Томсона позволили наблюдать дифракционную картину, которая возникала, когда пучок электронов проходил через тонкую поликристаллическую фольгу из золота.

Рисунок 5 . 4 . 1 . Упрощенная схема опытов Г. Томсона по дифракции электронов. K – накаливаемый катод, A – анод, Ф – фольга из золота.

За фольгой установлена фотопластинка, на которой наблюдались явные концентрические светлые и темные кольца. Радиусы этих колец варьировались в зависимости от скорости электронов (т. е. длины волны) согласно де Бройлю (рис. 5 . 4 . 2 ).

Рисунок 5 . 4 . 2 . Картина дифракции электронов на поликристаллическом образце при длительной экспозиции ( a ) и при короткой экспозиции ( b ) .

В случае ( b ) видны точки попадания отдельных электронов на фотопластинку.

В последующие годы эксперимент Г. Томсона многократно повторяли и результат был неизменен даже в тех случаях, когда поток электронов был столь слабым, что через прибор единовременно проходила только одна частица (например, опыт В. А. Фабриканта в 1948 г.). Так была доказана идея, что волновые свойства характерны как для большой совокупности электронов, так и для каждого электрона в отдельности.

В последующем явления дифракции обнаружились и для нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков. Доказанное экспериментально наличие волновых свойств различных видов микрочастиц позволило сделать вывод об универсальности этого явления в природе, являющегося общим свойством материи. Если продолжать данное рассуждение, волновыми свойствами должны обладать и макроскопические тела. Но из-за больших показателей массы, присущих макроскопическим телам, их волновые свойства затруднительно доказать при помощи экспериментов.

К примеру, пылинка массой 10 – 9 г , которая движется со скоростью 0 , 5 м / с , обладает волной де Бройля с длиной примерно 10 – 21 м, т. е. меньше размера атома на 11 порядков. Подобная длина волны находится за границами области, которая доступна для наблюдения.

Приведенный пример демонстрирует, что для макроскопических тел доступно лишь проявление корпускулярных свойств.

Приведем еще пример.

U = 100 В , длину волны де Бройля для него мы можем определить по формуле: λ = h 2 m e U

Приведенный пример — нерелятивистский случай, поскольку разница между кинетической энергией электрона e U = 100 э В и энергией покоя m c 2 ≈ 0 , 5 М э В достаточно значима (кинетическая энергия значимо меньше энергии покоя).

В результате расчета получим: λ ≈ 0 , 1 н м , т. е. полученная длина волны примерно соответствует размерам атомов. Для таких электронов кристалл служит отличной решеткой для дифракции. Как раз подобные малоэнергичные электроны показывают четкую дифракционную картину при проведении экспериментов по дифракции электронов. Вместе с этим электрон с такими характеристиками, испытавший дифракционное рассеяние на кристалле как волна, осуществляет взаимодействие с атомами фотопластинки в качестве частицы и вызывает почернение фотоэмульсии в некоторой точке (рис. 5 . 4 . 2 ).

Резюмируя, еще раз отметим, что гипотеза де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме, доказанная экспериментально, глобально поменяла представления о том, какими свойствами обладают микрообъекты.

Все микрообъекты обладают и волновыми, и корпускулярными свойствами, но при этом не являются ни волной, ни частицей в стандартном представлении.

Одновременного проявления различных свойств микрообъектов не происходит: они являются дополнением друг друга, и лишь их совокупность характеризует микрообъект в целом.

Эти заключения были сформулированы датским физиком Н.Бором и получили название принципа дополнительности. Упрощенно возможно говорить о том, что микрообъекты распространяются как волны, а обмениваются энергией как частицы.

Если смотреть на вопрос с позиции волновой теории: существует соответствие максимумов в дифракционной картине электронов и максимальной интенсивности волн де Бройля. Наибольшее количество электронов находится в областях максимумов, зарегистрированных на фотопластинке. Однако схема попадания электронов в различные места на фотопластинке не индивидуальна. В принципе нет возможности заранее предположить, куда попадет очередной электрон после рассеяния; допустима только некоторая вероятность попадания электрона в то или иное место. Следовательно, описать состояние микрообъекта и его поведение возможно только, опираясь на понятие вероятности.

Факт, что необходимо использовать вероятностный подход, описывая микрообъекты, является важной отличительной чертой квантовой теории. Квантовая механика для характеристики состояний микрообъектов включает в себя понятие волновой функции Ψ (пси-функции).

Квадрат модуля волновой функции | Ψ | 2 пропорционален вероятности нахождения микрочастицы в единичном объеме пространства.

Определенный вид волновой функции задается внешними условиями, в которых находится микрочастица. Математический инструментарий квантовой механики дает возможность определять волновую функцию частицы, которая находится в заданных силовых полях. Безграничная монохроматическая волна де Бройля является волновой функцией свободной частицы, на которую не действуют никакие силовые поля.

Максимально четко явление дифракции наблюдается тогда, когда размерность препятствия, на котором происходит дифракция волн, соизмерима с длиной волны. Подобное поведение характерно для волн любой физической природы и, в частности, электронных волн. Для волн де Бройля естественная дифракционная решетка — это упорядоченная структура кристалла с пространственным периодом порядка размеров атома (приблизительно 0 , 1 н м ). Нет возможности создать искусственным образом препятствие указанного размера (к примеру, отверстие в непрозрачном экране), однако, чтобы уяснить природу волн де Бройля, возможно проводить, так сказать, мысленные эксперименты.

Для примера разберем дифракцию электронов на одиночной щели шириной D (рис. 5 . 4 . 3 )

Рисунок 5 . 4 . 3 . Дифракция электронов на щели. График справа – распределение электронов на фотопластинке.

Из общей массы электронов, проходящих через щель, свыше 85 % окажутся в центральном дифракционном максимуме. Угловая полуширина θ 1 этого максимума определится из условия

Указанная формула — часть волновой теории. Если рассуждать, опираясь на корпускулярные свойства, возможно сказать, что, когда электрон проходит через щель, он получает дополнительный импульс в перпендикулярном направлении. Можем пренебречь оставшимися 15 % электронов, попадающих на фотопластинку за пределами центрального максимума, и тогда будем считать, что максимальное значение p y поперечного импульса равно:

p у = p · sin θ 1 = h λ · sin θ 1

В этой формуле p является модулем полного импульса электрона, равным (по гипотезе де Бройля) h λ . Величина p , когда электрон проходит через щель, неизменна, поскольку неизменной является длина волны λ . Указанные выражения дают возможность записать следующее соотношение:

Для задач квантовой механики это несложное с виду соотношение, служащее следствием волновых свойств микрочастицы, имеет глубочайший смысл. Электроны проходят через щель, что есть эксперимент, где y – координата электрона – определяется с точностью Δ y = D .

Величина Δ y носит название неопределенности измерения координаты.

Вместе с тем, точность определения y – составляющей импульса электрона в момент прохождения через щель – равна p y или даже больше, учитывая побочные максимумы дифракционной картины.

Эта величина носит название неопределенности проекции импульса и обозначается как Δ p y .

Показатели Δ y и Δ p y связаны соотношением:

и оно названо соотношением неопределенностей Гейзенбурга.

Величины Δ y и Δ p y следует уяснить в том смысле, что микрочастицы не обладают одновременно точным значением координаты и соответствующей проекцией импульса. Соотношение неопределенностей не имеет отношения к несовершенству используемых приборов, чтобы одновременно измерить координаты и импульс микрочастицы. Соотношение Гейзенбурга есть проявление той самой дуальной корпускулярно-волновой природы материи микрообъектов. Соотношение дает возможность дать оценку тому, насколько применимы к микрочастицам постулаты классической механики. Оно также демонстрирует, что к микрообъектам невозможно применить понятие траектории в классическом понимании, поскольку характеристикой движения по траектории в любой момент времени являются определенные значения координат и скорости. В принципе нет возможности указать траекторию, по которой в некотором мысленном эксперименте двигался некий определенный электрон после прохождения щели до фотопластинки.

И все же определенные условия создают ситуацию, когда соотношение неопределенностей не является противоречием классическому описанию движения тел, в частности, микрочастиц.

К примеру, электронный пучок в кинескопе телевизора при вылете из электронной пушки имеет диаметр D около 10 – 3 с м . В телевизоре ускоряющее напряжение U ≈ 15 к В .

Нетрудно рассчитать импульс электрона: p = 2 m e U ≈ 6 , 6 · 10 — 23 к г · м / с

Данный импульс имеет направление вдоль оси трубки. Из соотношения неопределенностей вытекает, что электронам при формировании пучка сообщается неконтролируемый импульс Δ p , являющийся перпендикуляром к оси пучка: Δ p ≈ h D ≈ 6 , 6 · 10 – 29 к г · м / с .

Допустим, до экрана кинескопа электроны проходят расстояние L ≈ 0 , 5 м . В таком случае размытие Δ l пятна на экране, заданное волновыми свойствами электрона, составит:

∆ l ≈ ∆ p p L ≈ 5 · 10 — 5 с м

Так как Δ l D , возможно рассмотреть движение электронов в кинескопе телевизора при помощи основ классической механики.

Так, используя соотношение неопределенностей, есть возможность выяснять, насколько справедливы законы классической физики в отдельных случаях.

Проведем еще мысленный эксперимент: это будет дифракция электронного пучка на двух щелях
(рис. 5 . 4 . 4 ).

Структура эксперимента аналогична структуре оптического интерференционного опыта Юнга.

Рисунок 5 . 4 . 4 . Дифракция электронов на двух щелях.

Проанализировав данный эксперимент, мы можем отметить некоторые трудности логических умозаключений в квантовой теории. Собственно, то же затруднение имеет место быть при попытке объяснить оптический опыт Юнга на основе концепции фотонов.

Если в ходе нашего эксперимента закрыть одну из щелей, мы будем наблюдать исчезновение интерференционных полос, а на фотопластинке будет зарегистрировано распределение электронов, продифрагировавших на одной щели (рис. 5 . 4 . 3 ), т.е. долетая до фотопластинки, электроны проходят через одну щель. Открыв обе щели, мы вновь наблюдаем интерференционные полосы, и становится закономерным вопрос: так сквозь какую из щелей проходит каждый электрон?

Конечно, довольно затруднительно представить с точки зрения присущей нашему мышлению логике, что единственным ответом на указанный выше вопрос является факт, что электрон проходит через обе щели. Нашему мышлению свойственно представлять поток микрообъектов в виде направленного движения, например, маленьких шариков и соответственно описывать это движение, опираясь на законы классической физики. Однако для всех микрочастиц характерны как корпускулярные, так и волновые свойства. Нам легко представится, как электромагнитная световая волна пройдёт сквозь две щели в оптическом эксперименте Юнга, поскольку волна не имеет локализации в пространстве. Но при рассмотрении концепции фотонов приходится принять, что и каждый фотон не имеет локализации. Мы не имеем возможности указать, через какую щель прошел фотон, как и не имеем возможности отследить точную траекторию полета фотона до фотопластинки с указанием точной точки его попадания. Опыты демонстрируют такую картину, что, даже когда фотоны проходят сквозь интерферометр поштучно, интерференционная картина после прохождения многих независимых фотонов все равно имеет место быть. Таким образом, квантовая физика формулирует вывод: фотон интерферирует сам с собой.

Сказанное выше имеет отношение и к эксперименту по дифракции электронов на двух щелях. Все известные экспериментальные факты в своей совокупности могут быть объяснены, если признать, что волна по де Бройлю каждого конкретного электрона проходит одномоментно сквозь обе щели, и, как результат, имеет место явление интерференции.

Поштучный поток электронов также дает интерференцию при длительной экспозиции, т. е. электрон, как и фотон, интерферирует сам с собой.

В заключение приведем иллюстрации:

Рисунок 5 . 4 . 5 . Модель волновых свойств частиц.

Рисунок 5 . 4 . 6 . Модель дифракции электронов.

«Волновые свойства микрочастиц. Волны де Бройля»

Разделы: Физика

Цели урока:

1. Ознакомить учащихся с корпускулярно-волновой природой материи.
2. Сформировать представление о том, что поведение микрочастицы может существенным образом отличаться от поведения макроскопических тел.
3. Выработать у учащихся убеждение, что критерием истинности любой физической гипотезы является эксперимент.
4. Привить учащимся культуру оформления решения задач на расчёт длины волны де Бройля для релявистских и нерелятивистских частиц.
5. Показать учащимся практическое применение волновых свойств микрочастиц.
6. Сформировать у учащихся представление.

Волновые свойства микрочастиц. Волны де Бройля.

Французский физик Луи де Бройль – потомок королей и будущий Нобелевский лауреат, родился в 1892 году.

Как и многие во время I Мировой войны воевал, а после войны стал работать в лаборатории своего старшего брата Мориса. Его занимал всё тот же вопрос: “Почему атомы устойчивы? Почему на стационарных орбитах электроны не излучают?”
Третий постулат Бора выделял эти орбиты из набора всех мыслимых орбит правилом квантования:

; h= .

Де Бройль хотел найти разумные основания для этого условия, то есть пытался понять физический смысл правила квантования.

В 1923 году де Бройль выдвинул гипотезу: не только свет, но и все тела в природе должны обладать и волновыми, и корпускулярными свойствами одновременно.

Чтобы понять это, нужно иметь непредвзятый ум. Природа не создала зримых образов, которые помогли бы наглядно представить это.

Длина волны , присущая частицам вещества, получила название длины волны де Бройля, а сами такие волны – волны де Бройля.

Волны де Бройля для электрона.

Движение электрона вокруг ядра в атоме будет устойчивым тогда, когда на длине орбиты укладывается целое число n длин волн электрона.

, откуда . Домножим на h, имеем

, ;

.

Получили третий постулат Бора.

Рис. 1 Иллюстрация теории де Бройля

Новое понятие стационарной орбиты: это такая орбита, на которой укладывается целое число длин волн электрона.

Определим длину волны электрона.

; (*)

Выразим n из третьего постулата и подставим в (*). Получим:

;

– “длина волны” электрона на n орбите.

Пример: электрон в атоме движется со средней скоростью v=10 6 м/с, тогда длина волны электрона в атоме .

Волны де Бройля для частиц вещества.

I. Если частица релятивистская .

II. Если частица нерелятивистская, то есть v -10 м. – брегговский угол, то есть угол скольжения, под которым электроны падают на поверхность кристалла. Тогда . Расчетное значение длины волны равнялось =0,165 нм.
Это совпадение экспериментальных и расчетных значений служит прекрасным подтверждением гипотезы де Бройля о наличии у частиц волновых свойств.

Применение микрочастиц для исследования структуры вещества.

В настоящее время опыты по дифракции электронов и нейтронов и основанные на них приборы получили широкое распространение в науке и технике. Дифракция электронов применяется при исследовании структуры поверхности. Например, при изучении коррозии, при адсорбции газов на поверхностях.

Метод исследования структуры вещества, основанный на дифракции электронов, получил название электронография. Наличие у электронов заряда вызывает сильное взаимодействие с веществом, благодаря чему проникающая способность электронов намного меньше, чем у рентгеновских лучей. Это обстоятельство делает электронографию особенно ценной при исследовании структур поверхностей. Она позволяет изучать перестройку кристаллической структуры на поверхности и самые начальные стадии кристаллизации твёрдых тел.

Метод исследования структуры вещества, основанный на дифракции электронов, называется нейтронографией. Нейтрон не имеет электрического заряда и поэтому, в отличие от электрона, обладает высокой проникающей способностью, что позволяет исследовать свойства вещества во всём объёме. Поскольку дебройлевская длина волны ? тепловых нейтронов имеет тот же порядок, что и расстояния между атомами в конденсированных средах, дифракция нейтронов даёт возможность изучать взаимное расположение атомов, то есть структуру вещества.

Открытие волновых свойств электронов вызвало появление новой отрасли науки, получившей название электронной оптики, и нового прибора – электронного микроскопа. Разрешающая способность любого микроскопа определяется длинной волны применяемого излучения. Использование вместо световых лучей пучков электронов позволяет существенно, в тысячи раз, повысить разрешающую способность микроскопа благодаря чрезвычайно малому значению дебройлевской длины волны электрона. Действительно, для электронов, прошедших ускоряющую разность потенциалов U=10 кВ, длина волны де Бройля составляет =0,0122 нм, что на порядок меньше характерных размеров атомов.

С помощью ускорителей заряженных частиц оказывается возможным получать пучки электронов и протонов очень высоких энергий. В современных ускорителях энергия заряженных частиц может достигать порядка 10 3 ГэВ. Дебройлевская длина волны таких частиц очень мала. Электроны, ускоренные до таких энергий, использовались в экспериментах по изучению размеров и структуры атомных ядер, а также образующих ядра нуклонов – протонов и нейтронов.

В каких случаях волновые свойства играют решающую роль в поведении частицы, а в каких случаях они оказываются несущественными и их можно не учитывать?

Волновые свойства частиц будут наиболее ярко проявляться в тех случаях, когда дебройлевская длина волны частицы сравнима с характерными размерами области движения частицы L. Тоесть, . Например, при взаимодействии электрона с атомами, а так же при их движении в твёрдых телах, волновые свойства электронов будут проявляться максимальным образом, так как дебройлевская длина волны электрона и размеры атома, а также расстояние между атомами в кристалле имеют один и тот же порядок. В тех же случаях, когда длина волны 9.03.2009