Уравнение деление одночлена на одночлен

Деление одночлена на одночлен

Чтобы разделить один одночлен на другой, надо:

• Разделить коэффициент делимого на коэффициент делителя.
• Разделить степени с одинаковым основанием, то есть, из показателей степеней букв делимого вычесть показатели степеней таких же букв делителя.
• Переменные, которых нет в делителе, записать в частное без изменений.

Пример 1. Выполнить деление одночлена на одночлен:

Решение: Если мы воспользуемся свойством деления произведения на число, то получим:

Такой же результат мы получим, если запишем деление в виде дроби:

и разделим отдельно коэффициенты и степени с одинаковым основанием:

Правило деления степеней с одинаковыми основаниями вы можете посмотреть здесь.

Деление одночлена на одночлен: примеры, правило

Стандартные действия над одночленами — сложение, умножение, вычитание и деление. В данной статье мы рассмотрим, как делить одночлен на одночлен. Узнаем, всегда ли можно разделить одночлен на одночлен, приведем правило и покажем примеры.

Когда можно разделить одночлен на одночлен?

В самом общем случае результатом деления одночлена на одночлен является рациональная дробь. В редких случаях в результате получается еще один одночлен. Для того, чтобы в результате деления одночленов получился одночлен, нужно соблюдение нескольких условий. Перечислим их ниже, уточнив, что многочлены записаны в стандартном виде.

1. При делении одночлена на одночлен, который тождественно равен отличному от нуля числу, получается одночлен. К примеру, при делении одночлена 3 x 2 y на 1 , получается одночлен 3 x 2 y . Если этот же одночлен разделить на — 2 5 , мы получим одночлен — 7 1 2 x 2 y .

2. Делимый одночлен и одночлен и одночлен-делитель в своих записях должны иметь множители со всеми общими переменными. При этом показатели степеней этих переменных в делимом должны быть не меньше, чем в делителе. Так, одночлен — 2 x 3 y z 5 можно разделить на одночлен 4 y z 3 , так как первый одночлен содержит в своей записи переменные y и z , а их степени 1 и 5 не меньше, чем соответствующие степени 1 и 3 этих переменных в одночлене-делимом.

В остальных случаях результатом деления одночлена на одночлен является рациональная дробь. Отметим также, что деление на одночлен, тождественно равный нулю, в принципе невозможно.

Деление одночлена на одночлен. Правило

Деление одночленов выполняется с учетом свойств умножения и деления двух чисел на число и наоборот. Сформулируем правило:

Правило деления одночлена на одночлен

1. Одночлены нужно привести к стандартному виду, если они заданы в нестандартном виде.
2. При делении одночлены заключаются в скобки, а между ними ставится знак деления.
3. Одинаковые переменные (однородные члены) и числа группируются.
4. Выполняется деление с использованием правила деления степеней с одинаковыми основаниями и чисел.

Выполнение всех этих шагов в результате дает частное деления двух одночленов — рациональную дробь или новый одночлен.

Отношение одночленов также можно изначально записать в виде рациональной дроби и сократить ее. В результате также будет получено искомое частное.

Примеры деления одночленов

Рассмотрим практические примеры с использованием приведенного правила.

Пример 1. Деление одночлена на одночлен

Выполним деление одночленов 16 a b 7 и — 4 b 3 .

В соответствии с первым пунктом статьи убедимся, что в результате должен получится одночлен. Действительно, одночлен-делимое 16 a b 7 содержит переменную b . Причем ее степень больше, чем степень той же переменной в одночлене-делителе.

Начнем деление по пунктам правила.

Первый шаг уже выполнен, так как одночлены записаны в стандартном виде.

Запишем частное: 16 a b 7 ÷ — 4 b 3 .

Группируем числа: 16 a b 7 ÷ — 4 b 3 = 16 ÷ ( — 4 ) · a · b 7 ÷ b 3 .

Воспользуемся свойствами деления степеней с одинаковыми основаниями и запишем ответ:

16 ÷ ( — 4 ) · a · b 7 ÷ b 3 = — 4 · a · b 4 = — 4 a b 4 .

Теперь представим запись в виде рациональной дроби.

16 a b 7 — 4 b 3 = 16 — 4 · a · b 7 b 3 = — 4 a b 4 .

Для закрепления навыка рассмотрим еще пару примеров.

Пример 2. Деление одночлена на одночлен

Разделим 0 , 4 x · y 3 · x 2 · 0 , 8 z 5 · x на x · 0 , 12 · x .

Сначала приведем многочлены к стандартному виду:

0 , 4 x · y 3 · x 2 · 0 , 9 z 5 · x = 0 , 36 x 4 y 3 z 5 ;

x · 0 , 12 · x = 0 , 12 x 2 .

Теперь запишем деление: 0 , 36 x 4 y 3 z 5 ÷ 0 , 12 x 2 .

Можно посчитать как в предыдущем примере, но удобнее сразу записать частное в виде дроби:

0 , 36 x 4 y 3 z 5 0 , 12 x 2

Сократим эту дробь и получим ответ:

0 , 36 x 4 y 3 z 5 0 , 12 x 2 = 0 , 36 0 , 12 · x 4 x 2 · y 3 z 5 = 3 x 2 y 3 z 5 .

Деление одночлена на одночлен, формула

Формула деления одночлена на одночлен

Деление одночлена на одночлен производится в соответствии со свойствами деления чисел и степеней.

Правило деления одночлена на одночлен

Чтобы разделить одночлен на одночлен, надо разделить коэффициент делимого на коэффициент делителя и к полученному частному приписать сомножителями каждую букву делимого с показателем, равным разности показателей этой буквы в делимом и делителе

Деление одночленов нацело невыполнимо, если показатель какой — либо буквы в делителе больше показателей той же буквы в делимом или если делитель содержит букву, которой нет в делимом.

Пример

Примеры деления одночлена на одночлен

1. c 6 / c 2 = c 4 ;
a = c ;

2. m 12 / m 8 = m 4 ;
a = m ;

3. z 9 / z 9 = 1 ;
a = z ;

5. 15a 4 / 5a 2 = 3a 2 ;

6. (18 b 5 c 7 ) / (-6 b 3 c 4 ) =
-3 ( b 5 / b 3 ) • ( c 7 / c 4 ) =
-3 b 2 c 3 ;

7. (-50 q 8 ) / (-5 q) =
10 ( q 8 / q 1 ) =
10q 7 ;