Уравнение диагонали ромба через координаты

Графический метод решения задач с параметрами

Теперь вы узнали, что такое параметр, и увидели решение самых простых задач.

Но подождите — рано успокаиваться и говорить, что вы все знаете. Есть множество типов задач с параметрами и приемов их решения. Чтобы чувствовать себя уверенно, мало посмотреть решения трех незатейливых задач.

Вот список тем, которые стоит повторить:

1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».

Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому. Конечно, он не единственный. Но начинать лучше всего именно с него.

Мы разберем несколько самых простых задач, решаемых графическим методом. Больше задач — в видеокурсе «Графический метод решения задач с параметрами» (бесплатно).

1. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 2 различных решения?

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

В первом уравнении выделим полный квадрат:

Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом равным 2. Обратите внимание — графики будем строить в координатах х; а.

Уравнение задает прямую, проходящую через начало координат. Нам нужны ординаты точек, лежащих на окружности и не лежащих на этой прямой.

Для того чтобы точка лежала на окружности, ее ордината а должна быть не меньше 0 и не больше 4.

Кроме того, точка не должна лежать на прямой , которая пересекает окружность в точках и Координаты этих точек легко найти, подставим в уравнение окружности.

Точка С также не подходит нам, поскольку при мы получим единственную точку, лежащую на окружности, и единственное решение уравнения.

2. Найдите все значения a, при которых уравнение имеет единственное решение.

Уравнение равносильно системе:

Мы возвели обе части уравнения в квадрат при условии, что (смотри тему «Иррациональные уравнения»).

Раскроем скобки в правой части уравнения, применяя формулу квадрата трехчлена. Получаем систему.

Приводим подобные слагаемые в уравнении.

Заметим, что при прибавлении к правой и левой части числа 49 можно выделить полные квадраты:

Решим систему графически:

Уравнение задает окружность с центром в точке , где радиус

Неравенство задает полуплоскость, которая расположена выше прямой , вместе с самой этой прямой.

Исходное уравнение имеет единственное решение, если окружность имеет единственную общую точку с полуплоскостью. Другими словами, окружность касается прямой, заданной уравнением

Пусть С — точка касания.

На координатной плоскости отметим точки и , в которых прямая пересекает оси Y и Х.

Рассмотрим треугольник ABP. Он прямоугольный, и радиус окружности PC является медианой этого треугольника. Значит по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.

Из треугольника ABP найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора.

Решая это уравнение, получаем, что

3. Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.

График уравнения — окружность с центром и радиусом равным 2.

График уравнения — две симметричные окружности и радиуса 2 c центрами в точках и

Второе уравнение при задает окружность с центром в точке и радиусом a.

Вот такая картинка, похожая на злую птицу. Или на хрюшку. Кому что нравится.

Система имеет единственное решение в случаях, когда окружность , задаваемая вторым уравнением, касается только левой окружности или только правой

Если a — радиус окружности , то это значит, что (только правая) или (только левая).

Пусть А — точка касания окружности и окружности

, (как гипотенуза прямоугольного треугольника МNР с катетами 3 и 4),

В — точка касания окружности и окружности

длину MQ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника KMQ с катетами 7 и 4; Тогда для точки В получим:

Есть еще точки С и D, в которых окружность касается окружности или окружности соответственно. Однако эти точки нам не подходят. В самом деле, для точки С:

, но и это значит, что окружность с центром в точке М, проходящая через точку С, будет пересекать левую окружность и система будет иметь не одно, а три решения.

Аналогично, для точки D:

и значит, окружность с центром М, проходящая через точку D, будет пересекать правую окружность и система будет иметь три решения.

4. При каких значениях a система уравнений имеет 4 решения?

Конечно же, решаем графически. Только непуганый безумец возьмется решать такую систему аналитически : -)

И в первом, и во втором уравнении системы уже можно разглядеть известные «базовые элементы» (ссылка) — в первом ромбик, во втором окружность. Видите их? Как, еще нет? — Сейчас увидите!

Просто выделили полный квадрат во втором уравнении.

Сделаем замену Система примет вид:

Вот теперь все видно! Рисовать будем в координатах

Графиком первого уравнения является ромб, проходящий через точки с координатами и

Графиком второго уравнения является окружность с радиусом и центром в начале координат.

Когда же система имеет ровно 4 решения?

1) В случае, когда окружность вписана в ромб, то есть касается всех сторон ромба.

Запишем площадь ромба двумя способами — как произведение диагоналей пополам и как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Диагонали нашего ромба равны 8 и 6. Значит,

Сторону ромба найдем по теореме Пифагора. Видите на рисунке прямоугольный треугольник со катетами 3 и 4? Да, это египетский треугольник, и его гипотенуза, то есть сторона ромба, равна 5. Если h — высота ромба, то

При этом Мы помним, что если окружность вписана в ромб, то диаметр этой окружности равен высоте ромба. Отсюда

Мы получили ответ:

2) Есть второй случай, и мы его найдем.

Давайте посмотрим — если уменьшить радиус окружности, сделав , окружность будет лежать внутри ромба, не касаясь его сторон. Система не будет иметь решений, и нам это не подходит.

Пусть радиус окружности больше, чем , но меньше 3. Окружность дважды пересекает каждую из четырех сторон ромба, и система имеет целых 8 решений. Опять не то.

Пусть радиус окружности равен 3. Тогда система имеет 6 решений.

А что, если ? Окружность пересекает каждую сторону ромба ровно 1 раз, всего 4 решения. Подходит!

Значит, Объединим случаи и запишем ответ:

Больше задач и методов решения — на онлайн-курсе Анны Малковой. И на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве.

Составить уравнение диагонали ромба?

Математика | 10 — 11 классы

Составить уравнение диагонали ромба.

В общем случае уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки с координатам (х1 ; у1) и (х2 ; у2) :

(х — х1) / (х2 — х1) = (у — у1) / (у2 — у1),

если х1 не равно х2 и у1 не равно у2.

В данном случае с учетом того, что вершины А(2 ; 2) и С(4 ; 2) имеют одинаковые значения у1 = у2 = 2, уравнение прямой (диагонали ромба), проходящей через эти точки имеет вид у = 2.

Аналогично, уравнение прямой (второй диагонали), проходящей через точки В(3 ; 5) и D(3 ; — 1), у которых х1 = х2 = 3, имеет вид х = 3.

Постройте ромб по диагонали и противоположному углу?

Постройте ромб по диагонали и противоположному углу.

Как найти периметр ромба если даны диагонали?

Как найти периметр ромба если даны диагонали.

Диагонали ромба равнны 12 см и16 найдите площади и периметр ромба?

Диагонали ромба равнны 12 см и16 найдите площади и периметр ромба.

Диагонали ромба равны 12см и 16 см?

Диагонали ромба равны 12см и 16 см.

Найдите площадь и периметр ромба.

Проведи диагонали у ромба?

Проведи диагонали у ромба.

Диагонали ромба равны 14 дм и 48 дм?

Диагонали ромба равны 14 дм и 48 дм.

Найдите высоту ромба.

Диагонали ромба равны 14 и 48 см?

Диагонали ромба равны 14 и 48 см.

Найдите периметр ромба.

Диагонали ромба пропорциональны числам 2 и 3 ?

Диагонали ромба пропорциональны числам 2 и 3 .

Найти диагонали , если площадь ромба 12 см в квадрате.

Периметр ромба равен 100 а разность длина его диагонали равна 10 найдите длину меньшей диагонали этого ромба?

Периметр ромба равен 100 а разность длина его диагонали равна 10 найдите длину меньшей диагонали этого ромба.

Сторона ромба равна 10 см, а один из углов 120°?

Сторона ромба равна 10 см, а один из углов 120°.

Найдите диагонали ромба.

Вопрос Составить уравнение диагонали ромба?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Математика и соответствует программе для 10 — 11 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

Как найти диагональ ромба?

Как найти диагональ ромба?

Как найти диагональ ромба

1. Формулы диагоналей ромба через его сторону и угол Меньшая диагональ ромба равна удвоенному произведению стороны на синус половинного острого угла:
2. Формулы диагоналей через угол и другую диагональ: и:
3. Формулы диагоналей через угол и радиус вписанной окружности: и:
4. Шаг 2. Рассмотрим треугольник АОВ.
5. Шаг 3.
6. Шаг 4.

Чему равна диагонали ромба?

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.). Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма). Середины четырех сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Как найти короткую диагональ ромба?

е., короткая диагональ BD = 2a*sin(α/2).

Что делают диагонали ромба?

По определению, ромб — это параллелограмм, все стороны которого равны. Свойства ромба: Диагонали ромба перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Как найти углы ромба 8 класс?

1. Противоположные стороны ромба равны: AB = BC = CD = AD (т.
2. Противоположные углы ромба равны: ∢ A = ∢ C; ∢ B = ∢ D.
3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам: BO = OD; AO = OC.
4. Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180 ° : ∢ A + ∢ D = 180 ° .

В чем разница между квадратом и ромбом?

У квадрата и ромба все стороны равны, а диагонали пересекаются под прямым углом. Тем не менее, есть некоторые фундаментальные различия. У квадрата все внутренние углы равны и составляют 90 градусов, у ромба равны лишь противоположные углы.

В чем разница между квадратом и прямоугольником?

Квадратом называют параллелограмм, у которого все четыре внутренних угла прямые. Все четыре стороны квадрата равны, то есть имеют одинаковую длину. Прямоугольником называют параллелограмм, внутренние углы у которого прямые, и только противоположные стороны, которые параллельны друг другу, равны.

Почему ромб не является квадратом?

Ромб это четырехугольник с двумя парами параллельных сторон и все стороны у него равны. То есть ромб не всегда будет квадратом, только когда все углы прямые.

Что общего у квадрата и ромба?

Общие свойства квадрата и ромба: У них 4 угла, и у квадрата, и у ромба. Ромб – это четырёхугольная геометрическая фигура, все стороны которой равны. Внутренние углы. У квадрата все углы равны 90 градусов, у ромба данное значение может варьироваться.

Какие стороны у квадрата?

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата: Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.

Когда четырехугольник является ромбом?

Если две смежные стороны параллелограмма равны, то данный параллелограмм является ромбом. Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то данный параллелограмм является ромбом. 4. Если все стороны четырёхугольника равны, то данный четырёхугольник является ромбом.

Как доказать что ромб является квадратом?

Если в прямоугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, то этот прямоугольник является квадратом. Если ромба диагонали равны, то этот ромб является квадратом. Если в четырехугольнике все стороны равны и все углы равны, то этот четырехугольник является квадратом.

Как доказать что это ромб?

Признаки ромба используют, чтобы доказать, что некоторый параллелограмм или четырехугольник является ромбом. 1) Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом. 2) Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом.

Как доказать что прямоугольник является квадратом?

С помощью этих признаков можно определить, является ли прямоугольник или ромб квадратом.

1. Если две смежные стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник является квадратом.
2. Если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

Как доказать что четырехугольник является квадратом?

Если в четырехугольник можно вписать окружность и около него описать окружность, а противолежащие углы равны, то это квадрат. Если в прямоугольник можно вписать окружность, то он квадрат. Доказательство. Исходя из теоремы (если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противолежащих сторон равны), AB+CD = BC+AD.

Почему четырехугольник изображенный на рисунке не является квадратом?

Почему четырёхугольник, изображенный на рисунке не является квадратом? Потому что квадрат перевернутый только как ромб!

Как доказать что это квадрат?

1. Длины сторон квадрата равны.
2. Все углы квадрата прямые.
3. Противолежащие стороны квадрата параллельны друг другу.
4. Сумма всех углов квадрата равна 360 градусов.
5. Величина угла между диагональю и стороной равна 45 градусов.
6. Диагонали квадрата — тождественны, перпендикулярны и разделяются точкой пересечения пополам.

Как доказать что четырехугольник является прямоугольником?

Если в четырехугольнике все углы равны, то он является прямоугольником. Для этого признака необязательно убеждаться, что перед вами параллелограмм. В любом четырехугольнике сумма углов равна 360. Если все углы равны, то 360/4=90 градусов составляет каждый из углов.

Как доказать что фигура является прямоугольником?

1) Если в параллелограмме все углы равны, то он является прямоугольником. 2) Если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то он является прямоугольником. 3) Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником. 4) Если у четырехугольника три угла прямые, то он является прямоугольником.

Как доказать что четырехугольник выпуклый?

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону. В школьном курсе рассматриваются только выпуклые четырехугольники. Поэтому далее “выпуклый четырехугольник” будем сокращенно называть “четырехугольник”.

Как доказать что эта фигура параллелограмм?

Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.
2. Противоположные стороны попарно равны.
3. Противоположные углы попарно равны.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Как доказать что Авсд параллелограмм?

Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, в котором стороны попарно равны, проведем в нём диагональ AC. Доказательство: Треугольники ABC и ADC равны по трём сторонам.

Что такой параллелограмм?

Параллелогра́мм (др. -греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Как доказать равенство треугольников в параллелограмме?

4) Четырехугольник — параллелограмм, если у него противоположные стороны попарно равны. Чтобы воспользоваться этим признаком параллелограмма, нужно предварительно доказать, что AD=BC и AB=CD. Для этого доказываем равенство треугольников ABC и CDA или BCD и DAB.

Как доказать что треугольники равны по первому признаку?

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство: Доказывается наложением одного из треугольников на другой. Треугольники полностью совместятся, следовательно, по определению они равны.

Как доказать что это равнобедренный треугольник?

1. Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, и высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают;
2. Если в каком-то треугольнике найдутся два равных угла, или какие-то две из трех линий (биссектриса, медиана, высота) совпадут, то такой треугольник – равнобедренный.

Как найти все углы параллелограмма?

Параллелограмм представляет собой четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны и равны друг другу. Два угла, прилежащие к одной стороне параллелограмма, в сумме составляют 180°. Если известен один угол параллелограмма, несложно найти смежный с ним угол путем вычитания из 180° величину известного угла.

Как найти все стороны параллелограмма?

Зная диагонали параллелограмма и одну его сторону, можно найти вторую сторону. Для этого нужно извлечь квадратный корень из половины суммы квадратов диагоналей без удвоенного квадрата известной стороны.

Как найти диагональ параллелограмма зная его стороны?

1. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла β (по теореме косинусов) d1 = √a2 + b2 — 2ab·cosβ
2. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла α (по теореме косинусов)
3. Формула диагонали параллелограмма через две стороны и известную другую диагональ:

Как найти угол между диагоналями параллелограмма?

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, откуда AO = OC = AB = CD. Поскольку OC = CD, треугольник COD — равнобедренный, следовательно, ∠COD = ∠CDO = (180° − ∠ACD)/2 = 117°/2 = 58,5°. Угол COD является искомым углом между диагоналями параллелограмма.