Уравнение диаметра кривой 2 порядка
Глава 22. Диаметры линий второго порядка
В курсе аналитической геометрии доказывается, что середины параллельных хорд линии второго порядка лежат на одной прямой. Эта прямая называется диаметром линии второго порядка. Диаметр, делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллельные ей), называется сопряженным этой хорде (и всем хордам, который ей параллельны). Все диаметры эллипса и гиперболы проходят через центр. Если эллипс задан уравнением
(1)
то его диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением
.
Если гипербола задана уравнением
, (2)
то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением
.
Все диаметры параболы параллельны ее оси. Если парабола задана уравнением
,
то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением
.
Если один из двух диаметров эллипса или гиперболы делит пополам хорды, параллельные другому, то второй диаметр делит пополам хорды, параллельные первому. Такие два диаметра называются взаимно сопряженными.
Если k и k ’ — угловые коэффициенты двух взаимно сопряженных диаметров эллипса (1), то
(3)
Если k и k ’ — угловые коэффициенты дух взаимно сопряженных диаметров гиперболы (2), то
(4).
Соотношения (3) и (4) называются условиями сопряженности диаметров соответственно для эллипса и для гиперболы.
Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопряженным хордам, называется главным.
Уравнение кривой второго порядка
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Диаметры кривой. Главные оси. Асимптоты. Уравнение кривой, отнесенной к сопряженным направлениям; уравнение кривой, отнесенной к асимптотам.
Если в кривой второго порядка провести все хорды одного и того же направления, то геометрическое место середин этих хорд представит некоторую прямую, которую называют диаметром, сопряженным данным хордам. Уравнение диаметра:
где есть угловой коэффициент сопряженных хорд. Меняя , т.е. меняя направление хорд, получим бесчисленное множество диаметров; все они проходят через центр кривой. У параболы все диаметры параллельны между собой.
Направление хорд и направление сопряженного им диаметра называются сопряженными направлениями относительно данной кривой. Зависимость между двумя сопряженными направлениями следующая:
Сопряженными диаметрами называются такие два диаметра, из которых каждый делит пополам хорды, параллельные другому. У параболы сопряженных диаметров нет, так как все диаметры имеют одно и тоже направление.
Главными осями кривой называются диаметры, перпендикулярные к сопряженным хордам; их направления называются главными направлениями.
В случае прямоугольной системы координат главные направления определяются из уравнения:
где – угол между одним из главных направлений и направлением оси .
В случае косоугольной системы координат имеем:
Всякая кривая второго порядка имеет два главных направления, за исключением окружности, для которой главные направления неопределенные.
Угловой коэффициент определяется для всех диаметров параболы по формуле:
если для старших коэффициентов параболы введены обозначения:
Главная ось параболы как один из ее диаметров имеет это же направление и в случае прямоугольных координат она изображается уравнением
Второе главное направление параболы перпендикулярно к ее диаметрам, но второй главной оси у параболы нет. Если отнести кривую у двум сопряженным направлениям, т.е. выбрать за оси координат прямые, имеющие сопряженные направления относительно этой кривой, то в уравнение кривой не войдет член с произведением координат (). У параболы кроме того, исчезнет ещё один из старших членов ().
Если центральную кривую отнести к двум сопряженным диаметрам (или к главным осям), то уравнение ее примет вид:
Простейшее уравнение параболы мы получим, поместив начало координат в вершину, т.е. в точку пересечения параболы с главной осью (), выбрав главную ось за ось абсцисс (, и ) и касательную в вершине (она перпендикулярна к оси) за ось ординат:
При таком же выборе осей координат центральная кривая изобразится уравнением
Асимптоты кривой можно рассматривать как те ее диаметры, которые сами себе сопряжены. Угловые коэффициенты асимптот определяются из уравнения
Асимптоты могут быть только у центральных кривых: гипербола имеет две действительные асимптоты, эллипс – две мнимые; в случае пересекающихся прямых асимптоты совпадают с этими прямыми.
Если принять асимптоты гиперболы за оси координат, то уравнение этой гиперболы примет вид:
587. Найти два сопряженных диаметра кривой , из которых один проходит через начало координат.
Решение . Данная кривая центральная, потому что . Уравнение всякого ее диаметра будет где — угловой коэффициент сопряженного диаметра. Так как искомый диаметр проходит через начало координат, то свободный член его уравнения должен равняться нулю, т.е. откуда . Вставив это значение параметра в общее уравнение диаметра и преобразовав его, получим: . Это уравнение одного из искомых диаметров; его угловой коэффициент ; следовательно, уравнение сопряженного диаметра будет:
588. Через точку (1;-2) проведен диаметр кривой . Найти уравнение этого диаметра и диаметра ему сопряженного.
589. Дана кривая . Найти ее диаметр, параллельный оси абсцисс, и диаметр, ему сопряженный.
590. Найти два сопряженных диаметра кривой , из которых один параллелен оси ординат.
591. Дана кривая и один из ее диаметров . Найти диаметр, ему сопряженный.
592. Составить уравнение диаметра кривой , параллельного прямой .
593. Определить диаметр кривой , образующий угол в с осью абсцисс. Угол .
594. Дана кривая: . Найти геометрическое место середин ее хорд: 1) параллельных оси ; 2) параллельных оси ; 3) параллельных прямой .
595. Найти диаметр кривой , проходжящей через середину хорды, отсекаемой этой кривой на прямой .
596. Найти середину хорды, отсекаемой кривой на прямой .
597. Найти такие сопряженные диаметры кривой , которые образуют между собой угол в . Угол .
598. Найти зависимость между угловыми коэффициентами прямых, имеющих сопряженные направления относительно:
1) эллипса ; 2) гиперболы .
599. Через точку (1;-3) провести хорду эллипса , сопряженную диаметру .
600. Найти направления и длину двух сопряженных диаметров эллипса , из которых один проходит через точку (2;3).
601. Найти угол между двумя сопряженными диаметрами эллипса , из которых один образует угол в с большой осью.
602. Определить длину тех сопряженных диаметров эллипса , которые образуют между собой угол .
Указание . В этой задаче удобно воспользоваться теоремами Аполлония: и , где и – полуоси эллипса; и — сопряженные полудиаметры его; – угол между этими сопряженными диаметрами.
603. Даны размеры двух сопряженных диаметров эллипса и и угол между ними . Вычислить длину его осей.
604. Определить угол между двумя сопряженными диаметрами гиперболы , зная, что действительный из этих диаметров втрое больше действительной оси.
605. Найти уравнения двух сопряженных диаметров гиперболы , угол между которыми равняется .
606. Дана парабола: . Написать уравнение диаметра этой параболы:
1) проходящего через начало координат;
2) сопряженного хордам, параллельным оси ;
3) сопряженного хордам, параллельным оси ;
4) образующего угол с сопряженными хордами;
5) перпендикулярного к сопряженным хордам.
Во всех случаях угол
607. Найти диаметр параболы , сопряженный тем хордам, которые наклонены под углом в к оси параболы.
608. Написать уравнение диаметра параболы , сопряженного с прямой .
609. Найти главные оси кривых:
Во всех случаях угол
610. Каковы будут главные оси распавшейся центральной кривой?
611. Найти ось параболы .
Решение . Все диаметры данной параболы имеют угловой коэффициент . Ось параболы есть диаметр, сопряженный перпендикулярным хордам, т.е. хордам с угловым коэффициентом (система координат предполагается прямоугольной). Уравнение всякого диаметра этой параболы будет при мы получим уравнение оси: .
612. Найти ось симметрии и вершину каждой из следующих парабол:
Во всех случаях угол
Указание . Вершина параболы находится как точка пересечение параболы с ее осью.
613. Найти общий диаметр двух кривых:
614. Составить уравнение кривой второго порядка, проходящей через начало координат, если известны две пары сопряженных ее диаметров:
Решение . Угловые коэффициенты сопряженных диаметров удовлетворяют уравнению: . Угловые коэффициенты данных диаметров: и , , ; вставляя эти значения в указанное уравнение, получим:
Координаты центра искомой кривой мы можем определить, решая совместно уравнения двух диаметров: , . Эти координаты должны удовлетворять уравнениям: и которые данном случае перепишутся так: и ; вставим вместо : и вычисленные их значения и тогда получим: и . Кроме того, кривая проходит через начало координат; значит, , и уравнение кривой будет:
615. Две пары прямых:
служат сопряженными диаметрами кривой второго порядка. Составить уравнение этой кривой, зная, что она проходит через точку (1;1).
616. Выяснить особенности в выборе осей координат, если кривые даны следующими уравнениями:
617. Относительно некоторой прямоугольной системы координат кривая дана уравнением: . Преобразовать это уравнение, приняв за оси координат главные оси кривой.
618. Отнести к главным осям кривые, данные относительно прямоугольной системы координат уравнениями:
619. Уравнение кривой, отнесенной к двум сопряженным диаметрам, составляющим угол , имеет вид: . Найти уравнение той же кривой относительно ее главных осей.
620. Отнести к главным осям кривые:
621. Выяснить особенности в выборе осей координат, если параболы даны следующими уравнениями:
622. привести к простейшему виду уравнение параболы ; .
623. Привести к простейшему виду уравнения следующих парабол:
624. Отнести к вершине следующие центральные кривые:
Во всех случаях .
625. Найти асимптоты следующих гипербол:
626. Доказать, что все кривые, уравнения которых отличаются друг от друга только свободными членами, имеют общие асимптоты. Найти, например, асимптоты кривых при различных значениях параметра λ.
627. Доказать, что если две кривые имеют общие асимптоты, то все члены их уравнений, кроме свободных членов, имеют пропорциональные коэффициенты.
628. Составить общее уравнение для всех кривых. Имеющих прямые и своими асимптотами.
629. кривая второго порядка проходит через точку (1;-1) и имеет своими асимптотами две прямые: и . Составить уравнение этой кривой.
630. Составить уравнение кривой, касающейся прямой и имеющей прямые и своими асимптотами.
630*. Какому условию удовлетворяют коэффициенты общего уравнения гиперболы, если гипербола равносторонняя?
631. Какой вид имеет уравнение гиперболы, если одна из осей координат или обе оси параллельны асимптотам?
632. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точки (2;1), (-1;-2) и (), при условии, что одна из ее асимптот совпадает с осью абсцисс.
633. Уравнение гиперболы, отнесенной к главным осям, имеет вид: . Преобразовать это уравнение, приняв асимптоты гиперболы за новые оси координат.
634. Отнести гиперболу к ее асимптотам.
635. Как преобразуется уравнение гиперболы , если за оси координат принять ее асимптоты? Угол .
636. Сколько членов второй степени и какие именно могут войти в уравнение: 1) эллипса4 2) гиперболы; 3) параболы?
Преобразование уравнения кривой второго порядка с помощью инвариантов.
Если одна и та же кривая второго порядка, отнесенная к двум различным произвольно выбранным системам координат с координатными углами и , изображается уравнениями:
то имеют место следующие равенства:
т.е. существуют выражения, составленные из коэффициентов уравнения кривой и соответствующего координатного угла, которые не меняют своей величины ни при каком преобразовании декартовых координат. Такие выражения называются инвариантами кривой второго порядка. Мы можем пользоваться тремя вышеприведенными инвариантами:
для упрощения уравнений кривой второго порядка, если только уравнение кривой после преобразования содержит не более трех коэффициентов.
637. Пользуясь инвариантами, отнести к главным осям кривую , зная что .
Решение . Искомое уравнение имеет следующий вид:
Для прямоугольных систем координат инварианты упрощаются, так как и , и мы будем иметь: ; . Найдем числовое значение этих инвариантов, исходя из данного уравнения:
Составим теперь выражения этих же инвариантов через коэффициенты преобразованного уравнения: . Так как инварианты не меняют своей величины при преобразовании координат, то мы можем приравнять между собой найденные для них выражения, содержащие коэффициенты первоначального и преобразованного уравнения;. Из этой системы уравнений мы определяем неизвестные коэффициенты преобразованного уравнения: ;, и искомое уравнение будет . Таким образом, пользуясь инвариантами, можно привести уравнение кривой к простейшему виду, не отыскивая ее центра, осей и не составляя формул преобразования координат.
638. Пользуясь инвариантами, привести к простейшему виду уравнения следующих кривых:
при условии, что все они отнесены к прямоугольной системе координат.
639. Пользуясь инвариантами, упростить уравнения следующих кривых:
Во всех случаях .
640. Упростить уравнения следующих кривых:
640*. Отнести к главным осям кривую , если известно, что .
641. Отнести гиперболу к ее асимптотам, пользуясь инвариантами. Угол .
Решение . Уравнение кривой, отнесенной к асимптотам, имеет вид:
Нам надо найти два неизвестных коэффициента , и новый координатный угол , т.е. угол между асимптотами. Найдем числовую величину инвариантов, пользуясь данным уравнением, при , : . Выражения этих инвариантов в новых коэффициентах будут:
Для определения трех величин , и имеем три уравнения:
Решив их, получим: , ; и ; искомое уравнение будет: . Выбираем направление осей так, чтобы гипербола была расположена в нормальном угле и вертикальном к нему угле; тогда после упрощений получим: .
642. Отнести к асимптотам гиперболы, данные относительно прямоугольной системы координат уравнениями:
643. Относительно некоторой прямоугольной системы координат кривая изображается уравнением . Составить уравнение этой же кривой относительно ее вершины.
Указание . Отнести кривую к вершине – значит принять одну из осей кривой за ось абсцисс, перенести начало координат в вершину и принять касательную в вершине за ось ординат.
Линия второго порядка, заданная общим уравнением
Пересечение линии второго порядка и прямой.
Рассмотрим линию второго порядка, заданную общим уравнением
$$
Ax^<2>+2Bxy+Cy^<2>+2Dx+2Ey+F=0\label
$$
в декартовой системе координат, и исследуем пересечение этой линии с произвольной прямой
$$
x=x_<0>+\alpha t,\ y=y_<0>+\beta t.\label
$$
Значения параметра \(t\), соответствующие точкам пересечения, должны удовлетворять уравнению, получаемому подстановкой \eqref
$$
A(x_<0>+\alpha t)^<2>+2B(x_<0>+\alpha t)(y_<0>+\beta t)+C(y_<0>+\beta t)^ <2>+\\+ 2D(x_<0>+\alpha t)+2E(y_<0>+\beta t)+F=0.\label
$$
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, мы получим уравнение
$$
Pt^<2>+2Qt+R=0,\label
$$
в котором
$$
P=A\alpha^<2>+2B\alpha\beta+C\beta^<2>,\label
$$
$$
Q=(Ax_<0>+By_<0>+D)\alpha+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)\beta,\label
$$
или, при другой группировке слагаемых,
$$
Q=(A\alpha+B\beta)x_<0>+(B\alpha+C\beta)y_<0>+D\alpha+E\beta.\label
$$
Свободный член — это значение многочлена при \(t=0\), то есть
$$
R=Ax_<0>^<2>+2Bx_<0>y_<0>+Cy_<0>^<2>+2Dx_<0>+2Ey_<0>+F=0.\label
$$
Вообще говоря, уравнение \eqref
$$
A\alpha^<2>+2B\alpha\beta+C\beta^<2>=0,\label
$$
и, следовательно, уравнение \eqref
В равенство \eqref
Направление, определяемое вектором, компоненты которого удовлетворяют уравнению \eqref
Тип линии.
Выясним, сколько асимптотических направлений может иметь линия второго порядка. Обозначив
$$
\delta=\begin
A& B\\
B& C
\end
$$
сформулируем следующее утверждение.
Линия второго порядка имеет два асимптотических направления, если \(\delta 0\).
Рассмотрим несколько случаев.
- Пусть \(A=C=0\). Тогда \(B \neq 0\) и \(\delta=-B^ <2>0\).
- Случай \(A \neq 0\) исследуется аналогично случаю 2, только нужно рассматривать не угловой коэффициент, а отношение \(\alpha/\beta\).
Поскольку разобранные выше случаи исчерпывают все возможности, предложение доказано.
От противного нетрудно проверить, что и обратно число асимптотических направлений определяет знак \(\delta\).
Мы определили асимптотические направления при помощи аналитического условия \eqref
Используя канонические уравнения, легко проверить, что эллипс не имеет асимптотических направлений, парабола имеет одно, а гипербола — два асимптотических направления (рис. 9.1). Поэтому линии второго порядка называются линиями гиперболического, параболического или эллиптического типа, смотря по тому, имеют они два, одно или не имеют ни одного асимптотического направления.
Для линий гиперболического типа \(\delta 0\).
Рис. 9.1. Асимптотическое направление.
Диаметр линии второго порядка.
Назовем хордой любой отрезок, концы которого лежат на линии, а остальные точки на ней не лежат. Таким образом, хорда не может иметь асимптотического направления.
Предположим, что рассматриваемая линия второго порядка имеет по крайней мере одну хорду. Этому условию удовлетворяют эллипсы, гиперболы, пары пересекающихся прямых, параболы и пары параллельных прямых.
Фиксируем какое-нибудь неасимптотическое направление и исследуем множество середин хорд, имеющих это направление. Если начальная точка \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) секущей \eqref
$$
(A\alpha+B\beta)x+(B\alpha+C\beta)y+D\alpha+E\beta=0.\label
$$
Рис. 9.2. Хорды.
Прямая \eqref
Стоит обратить внимание на то, что диаметром называется вся прямая. Это не означает, что середины хорд заполняют ее целиком. Так может быть, но возможно также, что множество середин хорд есть, например, отрезок или луч.
Конечно, остается сомнение, действительно ли уравнение \eqref
$$
A\alpha+B\beta=0,\ B\alpha+C\beta=0.\nonumber
$$
Умножим первое из этих равенств на \(\alpha\), второе — на \(\beta\) и сложим. Мы получим равенство \eqref
Центр линии второго порядка.
Обозначим левую часть уравнения \eqref
По-видимому, это определение зависит от выбора системы координат, так как в нем участвует не линия, а многочлен, стоящий в левой части ее уравнения. Допустим, что координаты \(x_<0>, y_<0>\) точки \(O\) в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению \eqref
Ниже мы докажем, что в том случае, когда линия содержит хоть одну точку, центры линии и только они являются ее центрами симметрии. Однако понятие центра несколько более общее: линии, являющиеся пустыми множествами, имеют вполне определенные центры, хотя говорить об их центрах симметрии смысла нет. Например, каждая точка прямой \(y=0\) является центром линии с уравнением \(y^<2>+1=0\).
Получим систему уравнений для координат центра. С этой целью напишем подробнее равенство \eqref
$$
A(x_<0>+\alpha)^<2>+2B(x_<0>+\alpha)(y_<0>+\beta) +\\+ C(y_<0>+\beta)^<2>+2D(x_<0>+\alpha)+2E(y_<0>+\beta)+F.\nonumber
$$
Правая часть отличается от левой только знаками у \(\alpha\) и \(\beta\). Поэтому при вычитании \(\boldsymbol<\Phi>(x_<0>-\alpha, y_<0>-\beta)\) из \(\boldsymbol<\Phi>(x_<0>+\alpha, y_<0>+\beta)\) уничтожаются все члены, кроме тех, в которые \(\alpha\) и \(\beta\) входят в первой степени, а члены с первыми степенями удвоятся. После упрощений мы получаем
$$
(Ax_<0>+By_<0>+D)\alpha+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)\beta=0.\label
$$
Но равенство \eqref
$$
\left\<\begin
Ax_<0>+By_<0>+D=0,\\
Bx_<0>+Cy_<0>+E=0.
\end
$$
Легко видеть, что и обратно, если справедливы равенства \eqref
Исследуем, обязательно ли существуют центры у линии второго порядка, а если они существуют, то сколько их и как они расположены. Система уравнений \eqref
$$
\delta=\begin
A& B\\
B& C
\end
$$
Таким образом, условие \(\delta \neq 0\) необходимо и достаточно для того, чтобы линия второго порядка имела единственный центр.
Линии второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными.
Полученное условие показывает, что центральными являются линии эллиптического и гиперболического типов.
Условие \(\delta=0\) характеризует нецентральные линии. Это — линии параболического типа. При условии \(\delta=0\) система \eqref
Если линия второго порядка не является пустым множеством и имеет центр \(O(x_<0>, y_<0>)\), то он — ее центр симметрии.
В самом деле, рассмотрим произвольную точку линии \(M(x, y)\) и докажем, что симметричная ей относительно \(O\) точка \(M_<1>(x_<1>, y_<1>)\) также лежит на линии. Точка \(M_<1>\) определяется равенством \(\overrightarrow
Если линия содержит хотя бы одну точку и имеет центр симметрии \(O(x_<0>, y_<0>)\), то \(O\) является центром.
Рассмотрим пересечение линии с прямой, проходящей через \(O\), приняв эту точку за начальную точку прямой. Имеются две возможности:
- Точка \(O\) лежит на линии. Пусть прямая имеет неасимптотическое направление. Тогда \(O\) — единственная точка пересечения, так как иначе с учетом симметрии точек пересечения было бы не меньше трех. Следовательно, уравнение \eqref
имеет кратный корень \(t=0\), откуда вытекает \(Q=0\). Итак, координаты точки \(O\) удовлетворяют равенству (12) при любых \(\alpha\) и \(\beta\), соответствующих неасимптотическим направлениям. Выберем два различных неасимптотических направления \((\alpha, \beta)\) и \((\alpha’, \beta’)\) и рассмотрим равенства
$$
\begin
& (Ax_<0>+By_<0>+D)\alpha+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)\beta=0,\\
& (Ax_<0>+By_<0>+D)\alpha’+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)\beta’=0.
\end\nonumber
$$
как систему уравнений с коэффициентами \(\alpha\), \(\beta\), \(\alpha’\), \(\beta’\), причем \((\alpha\beta’-\alpha’\beta \neq 0)\). Мы получаем равенства \eqref, как и требовалось. - Точка \(O\) не лежит на линии. Если прямая пересекает линию в точке \(M\), которой соответствует значение параметра \(t_ <1>\neq 0\), то существует симметричная точка пересечения со значением параметра \(-t_<1>\). Тогда \(Pt_<1>^<2>+2Qt_<1>+R=0\) и \(Pt_<1>^<2>-2Qt_<1>+R=0\), откуда следует \(Q=0\).
Таким образом, если линия имеет точки пересечения с двумя различными прямыми, проходящими через \(O\), то, как и выше, мы можем получить равенства \eqref
Сопряженные направления.
Направление \((\alpha’, \beta’)\), определяемое диаметром, сопряженным направлению \((\alpha, \beta)\), называется сопряженным направлению \((\alpha, \beta)\). Компоненты \((\alpha’, \beta’)\), направляющего вектора диаметра \eqref
$$
(A\alpha+B\beta)\alpha’+(B\alpha+C\beta)\beta’=0\label
$$
или
$$
A\alpha\alpha’+B(\alpha’\beta+\alpha\beta’)+C\beta\beta’=0\label
$$
В последнее выражение пары чисел \((\alpha, \beta)\) и \((\alpha’, \beta’)\) входят симметричным образом. Поэтому имеет место следующее утверждение.
Если направление \((\alpha’, \beta’)\), сопряженное с \((\alpha, \beta)\), не является асимптотическим, то сопряженным для \((\alpha’, \beta’)\) будет направление \((\alpha, \beta)\) (рис. 9.3).
Рис. 9.3. Сопряженные направления.
Возникает вопрос, при каких условиях направление, сопряженное какому-нибудь направлению \((\alpha, \beta)\) может оказаться асимптотическим. Это легко выяснить. Из равенства \eqref
$$
A(B\alpha+C\beta)^<2>-2B(B\alpha+C\beta)(A\alpha+B\beta)+C(A\alpha+B\beta)^<2>=0.\nonumber
$$
После преобразований получаем \((AC-B^<2>) \times (A\alpha^<2>+2B\alpha\beta+C\beta^<2>)=0\). Поскольку исходное направление не асимптотическое, это произведение может обратиться в нуль только за счет первого сомножителя. Мы получаем новое утверждение.
Если линия не центральная \((\delta=0)\), то для любого направления \((\alpha, \beta)\) сопряженное направление — асимптотическое (рис. 9.4). Если линия центральная \((\delta \neq 0)\), то направление, сопряженное любому направлению, не асимптотическое.
Рис. 9.4. Сопряженные направления у параболы.
Главные направления.
Если диаметр перпендикулярен хордам, которым он сопряжен, то он является осью симметрии рассматриваемой линии.
Направление \((\alpha, \beta)\) и направление \((\alpha’, \beta’)\) сопряженного ему диаметра называются главными направлениями, если они перпендикулярны.
Если система координат декартова прямоугольная, то для главного направления компоненты \((\alpha, \beta)\) должны быть пропорциональны коэффициентам уравнения \eqref
$$
A\alpha+B\beta=\lambda\alpha,\ B\alpha+C\beta=\lambda\beta.\label
$$
Исключая \(\lambda\), мы получаем уравнение для \(\alpha\) и \(\beta\):
$$
(A-C)\alpha\beta+B(\beta^<2>-\alpha^<2>)=0.\label
$$
Если положить \(\alpha=\cos \varphi\), \(\beta=\sin \varphi\), то уравнение \eqref
Каждая линия второго порядка имеет хотя бы одну пару главных направлений.
Более подробное исследование уравнения \eqref
Касательная к линии второго порядка.
Как известно, касательной к какой-либо линии называется предельное положение секущей, когда хорда стягивается в точку. Выведем уравнение касательной к линии второго порядка, заданной уравнением \eqref
Особой точкой линии второго порядка называется ее центр, который лежит на линии.
Особыми точками являются: точка пересечения пары пересекающихся прямых, единственная точка пары мнимых пересекающихся прямых и каждая точка пары совпавших прямых. В особой точке касательная не определена. Если точка лежит на прямой, входящей в состав линии, то касательная в этой точке совпадает с прямой. Исключив эти случаи, мы фактически ограничиваемся рассмотрением касательных к эллипсам, гиперболам и параболам.
Рассмотрим точку \(M_<0>(x_<0, y_<0>>)\), лежащую на линии \(L\), и прямую с начальной точкой \(M_<0>\), заданную уравнением \eqref
Так как начальная точка принадлежит \(L\), в уравнении \eqref
$$
(Ax_<0>+By_<0>+D)\alpha+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)\beta=0.\label
$$
Так как \(M_<0>\) не особая точка, обе скобки здесь одновременно в нуль не обращаются, и условие \eqref
$$
(Ax_<0>+By_<0>+D)(x-x_<0>)+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)(y-y_<0>)=0.\label
$$
Это и есть уравнение касательной к линии \(L\) в точке \(M_<0>\), лежащей на линии. Уравнение \eqref
$$
(Ax_<0>+By_<0>+D)x_<0>+(Bx_<0>+Cy_<0>+E)y_<0>+Dx_<0>+Ey_<0>+F=0.\nonumber
$$
Прибавляя это равенство к \eqref
$$
Axx_<0>+B(xy_<0>+x_<0>y)+Cyy_<0>+D(x+x_<0>)+E(y+y_<0>)+F=0.\label
$$
Особые точки.
Напомним, что особая точка линии второго порядка — это ее центр, лежащий на линии. Исследуем, при каких условиях линия второго порядка имеет особую точку. Для координат \((x_<0>, y_<0>)\) особой точки должны быть справедливы равенства
$$
\begin
& Ax_<0>+By_<0>+D=0,\ Bx_<0>+Cy_<0>+E=0,\\
& Ax_<0>^<2>+2Bx_<0>y_<0>+Cy_<0>^<2>+2Dx_<0>+2Ey_<0>+F=0.
\end
$$
Умножим первое из них на \(x_<0>\), второе на \(y_<0>\) и вычтем из третьего. Мы получим эквивалентную систему уравнений
$$
\left\<\begin
Ax_<0>+By_<0>+D=0,\\
Bx_<0>+Cy_<0>+E=0,\\
Dx_<0>+Ey_<0>+F=0.
\end
$$
Выберем какой-нибудь базис в пространстве и рассмотрим вспомогательные векторы \(\boldsymbol
(A, B, D)\), \(\boldsymbol(B, C, E)\) и \(\boldsymbol
$$
x_<0>\boldsymbol
+y_<0>\boldsymbol=-\boldsymbol
$$
Отсюда следует, что при наличии особой точки векторы \(\boldsymbol
\), \(\boldsymbol\) и \(\boldsymbol
$$
\triangle=\begin
A& B& D\\
B& C& E\\
D& E& F
\end
$$
Если линия центральная, то векторы \(\boldsymbol
\) и \(\boldsymbol\) не коллинеарны, и условие компланарности \eqref
Центральная линия имеет особую точку тогда и только тогда, когда \(\triangle=0\).
Итак, сочетание \(\delta 0\), \(\triangle=0\) — пары мнимых пересекающихся прямых.
Рассмотрим нецентральные линии. Для них существует центр, хотя бы не являющийся особой точкой, тогда и только тогда, когда \(\triangle=0\). В этом (и только этом) случае векторы \(\boldsymbol
\) и \(\boldsymbol\) коллинеарны. Действительно, так как \(\delta=0\), по предложению 9 § 2 гл. II, если система уравнений \eqref
Обратно, пусть для нецентральной линии \(\triangle=0\). Докажем, что \(\boldsymbol
\) и \(\boldsymbol\) коллинеарны, что равносильно совместности уравнений центра. Действительно, в противном случае \(\boldsymbol
\) и \(\boldsymbol\) коллинеарны, и мы получаем противоречие.
Для нецентральных линий условие \(\triangle=0\) равносильно существованию центра.
Итак, сочетание \(\delta=\triangle=0\) характеризует пары параллельных прямых (вещественных, мнимых или совпавших).
Из последних двух утверждений следует, что равенство \(\triangle=0\) является инвариантным: оно не может измениться при переходе к другой системе координат.
http://infourok.ru/uravnenie-krivoy-vtorogo-poryadka-2812642.html
http://univerlib.com/analytic_geometry/second_order_lines_and_surfaces/second_order_line/