Уравнение диаметра окружности перпендикулярного прямой

Уравнение диаметра окружности перпендикулярного прямой

Глава 22. Диаметры линий второго порядка

В курсе аналитической геометрии доказывается, что середины параллельных хорд линии второго порядка лежат на одной прямой. Эта прямая называется диаметром линии второго порядка. Диаметр, делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллельные ей), называется сопряженным этой хорде (и всем хордам, который ей параллельны). Все диаметры эллипса и гиперболы проходят через центр. Если эллипс задан уравнением

(1)

то его диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением

.

Если гипербола задана уравнением

, (2)

то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением

.

Все диаметры параболы параллельны ее оси. Если парабола задана уравнением

,

то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением

.

Если один из двух диаметров эллипса или гиперболы делит пополам хорды, параллельные другому, то второй диаметр делит пополам хорды, параллельные первому. Такие два диаметра называются взаимно сопряженными.

Если k и k ’ — угловые коэффициенты двух взаимно сопряженных диаметров эллипса (1), то

(3)

Если k и k ’ — угловые коэффициенты дух взаимно сопряженных диаметров гиперболы (2), то

(4).

Соотношения (3) и (4) называются условиями сопряженности диаметров соответственно для эллипса и для гиперболы.

Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопряженным хордам, называется главным.

Задача 11414 Найти уравнение прямой, содержащей.

Условие

Найти уравнение прямой, содержащей диаметр окружности
х^2 + у^2 — 6х + 4у + 8 = 0, перпендикулярный прямой х — Зу + 2 = 0.

Решение

Найдем центр и радиус окружности
х^2 + у^2 — 6х + 4у + 8 = 0,
для этого выделяем полные квадраты
х^2 -6х + 9 + у^2 + 4у + 4 — 9 — 4 + 8 = 0,
(х-3)^2+(y+2)^2=5
Центр окружности в точке (3;-2)

Нормальные векторы взаимно перпендикулярных прямых перпендикулярны, значит их скалярное произведение равно 0.
Нормальный вектор прямой Ах+Ву+С=0 имеет координаты
(А;В)
Нормальный вектор прямой х-3у+2=0 имеет координаты
(1;-3).
Пусть прямая Ах+Ву+С=0 перпендикулярна данной.
Тогда скалярное произведение векторов (1;-3) и (А;В) равно 0
1*А+(-3)*В=0
Можно взять, например,
А=3 В=1
Уравнение прямой перпендикулярной х — Зу + 2 = 0 имеет вид
3х+у+С=0
Чтобы найти С подставим координаты точки О(3;-2) в это уравнение
3*3+1*(-2)+С=0
С=-7
О т в е т. 3x+y-7=0

Как найти диаметр окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости.

Круг — часть плоскости, лежащая внутри окружности, а также сама окружность.

Если говорить проще, окружность — это замкнутая линия, как, например, обруч и велосипедное колесо. Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, как блинчик или вырезанный из картона кружок.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней.

Как узнать диаметр. Формулы

В данной теме нам предстоит узнать три формулы:

1. Общая формула.

Исходя из основных определений нам известно, что значение диаметра равно двум радиусам: D = 2 × R, где D — диаметр, R — радиус.

2. Если перед нами стоит задача найти диаметр по длине окружности

D = C : π, где C — длина окружности, π — это константа, которая равна отношению длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Чтобы получить правильный ответ, можно поделить столбиком или использовать онлайн-калькулятор.

3. Если есть чертеж окружности

• Начертить внутри круга прямую горизонтальную линию. Ее месторасположение не играет значительной роли.

• Отметить точки пересечения прямой и окружности.

• Начертить при помощи циркуля две окружности одного радиуса (больше, чем радиус первоначальной окружности), первую — с центром в точке A, вторую — с центром в точке B.

• Провести прямую через две точки, в которых произошло пересечение. Отметить точки пересечения полученной прямой с окружностью. Диаметр равен этому отрезку.

• Теперь осталось измерить диаметр круга при помощи линейки. Получилось!

Эти простые формулы могут пригодиться не только на школьных уроках, но и если вы решите освоить профессию дизайнера интерьера, архитектора или модельера одежды.