Уравнение диффузии относится к типу

Тема №10 Кинетика диффузионных процессов в твердых телах. Определение диффузии. Первое и второе уравнения Фика

Кинетика диффузионных процессов в твердых телах.

Определение диффузии. Первое и второе уравнения Фика.

Определим диффузию как процесс переноса вещества из одной части системы в другую, происходящий под действием градиента концентрации. Отметим, однако, что градиент концентрации – важная, но не единственная причина, вызывающая перенос вещества в системе.

При свободной диффузии не взаимодействующих между собой частиц (в отсутствии приложенных внешних сил) в однородном и изотропном твердом теле поток диффузионных частиц пропорционален градиенту концентрации (для одномерного случая). Связь между ними определяется первым законом Фика:

, (10.1)

где — коэффициент диффузии атомов. Из выражения (10.1) можем определить коэффициент диффузии как скорость, с которой система способна при заданных условиях сделать нулевой разность концентраций. Знак “минус” в выражении означает, что поток атомов направлен из области с большей концентрацией в область с меньшей концентрацией. Для трехмерной задачи первое уравнение Фика имеет вид:

, (10.2)

где — оператор Набла, который записывается .

В случае независимости коэффициента диффузии от концентрации легирующих частиц, применение закона сохранения вещества при диффузии в форме уравнения непрерывности для потока частиц позволяет перейти ко второму уравнению Фика, устанавливающему связь между концентрацией диффундирующих частиц в различных точках тела и временем диффузии:

. (10.3)

Для трехмерного случая:

или , (10.4)

где — оператор Лапласа, который записывается .

Второй закон Фика, как закон сохранения вещества, можно записать в форме уравнения непрерывности:

. (10.5)

Размерность плотности потока вещества зависит от размерности концентрации. Если , то .

Одним из основных параметров диффузии является коэффициент диффузии, вводимый как коэффициент пропорциональности между потоком и градиентом концентрации вещества в уравнении (10.1). В зависимости от условий проведения диффузионного опыта, различают несколько типов коэффициента диффузии.

1. Для описания взаимной диффузии при контакте двух образцов неограниченно растворимых один в одном, пользуются понятием коэффициента взаимной диффузии , который зависит от подвижности взаимно диффундирующих компонентов и взаимодействия компонентов между собой.

2. Подвижность каждого компонента в свою очередь характеризуется собственным коэффициентом диффузии , равным коэффициенту взаимной диффузии, если собственные коэффициенты диффузии компонентов равны между собой, т. е. (в случае двух компонентов и ).

3. Кроме того, подвижность — того компонента сплава может быть охарактеризована порциальными коэффициентами диффузии , которые вводятся следующим образом:

. (10.6)

Порциальные коэффициенты можно определить как для собственной, так и для взаимной диффузии. Все введенные до сих пор коэффициенты являются коэффициентами гитеродиффузии (химической диффузии), т. е. такой диффузии, которая имеет место при наличии только градиента концентрации.

Диффузия в реальных кристаллах происходит вследствие четырех основных механизмов:

1. Для идеальных кристаллов процесс диффузии предполагает простой обмен местами между соседними атомами вещества. В этом случае необходимо затратить значительную энергию (порядка энергии связи между соседними атомами решетки).

2. Для примесей внедрения характерно перемещение атомов по междоузлиям из-за наличия в системе некоторой концентрации дефектов.

3. При вакансионном механизме диффузии один из соседних атомов занимает близлежащую вакансию. Вакансии могут образовываться вследствие того, что некоторые атомы, совершающие тепловые колебания около положения равновесия, могут иметь энергию, значительно превышающую среднюю энергию связи. Такие атомы уходят из узлов решетки в междуузельное пространство, образуя вакансию. Такая вакансия перемещается в кристалле путем последовательного заполнения ее другими атомами.

4. Возможна также диффузия по междоузлиям путем вытеснения, когда атом выталкивает одного из ближайших соседей в междоузлие, а сам занимает его место в решетке.

Таким образом, мы видим, что в твердых телах благодаря тепловому движению происходит непрерывное перемешивание частиц. Скорость перемешивания зависит от среднего времени нахождения частицы в одном из положений равновесия. Это время экспоненциально зависит от температуры:

, (10.7)

где — энергия активации диффузии; — постоянная, равная по порядку величины периоду собственных колебаний атомов в узлах решетки . Энергия активации диффузии представляет собой высоту потенциального барьера, который должна преодолевать частица, чтобы перейти из одного положения в другое. Так как с изменением температуры изменяются межатомные силы в кристаллах, то энергия активации сильно зависит от температуры. Приближенно эту зависимость можно представить соотношением , где — энергия активации при К, а коэффициент зависит от характера колебаний атомов.

В большинстве случаев коэффициент диффузии в твердых телах увеличивается с ростом температуры по закону, имеющему вид уравнения Аррениуса:

, (10.8)

где — предэкспоненциальный множитель (фактор), численно равный коэффициенту диффузии при бесконечно большой температуре.

Процессы взаимной диффузии в поликристаллических пленках металлов приводят к образованию интерметаллидов. При этом можно выделить следующие изменения их свойств:

1. Образуются металлические слои, структура которых имеет большое количество дефектов, через которые возможна диффузия примесей и газов.

2. Электронные характеристики пленок металлов из-за образования твердых растворов металлов и соединений изменяются.

3. Меняется толщина и состав переходного слоя.

4. Возможно развитие неоднородностей в слоях металлов и в переходном слое из-за неравномерности взаимной диффузии металлов через границу раздела.

Отмеченные выше процессы приводят к деградации электрических параметров и зависят от количества продиффундированного в структуру вещества. Поэтому особенно важно уметь находить зависимости распределения концентрации диффундирующих примесей в структурах от времени и температуры процесса диффузии. Это можно сделать, решив второе уравнение Фика или уравнение диффузии.

Уравнение диффузии представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных и для его решения необходимо сформулировать начальные и граничные условия, которым должна удовлетворять концентрация и первоначальное распределение диффундирующего вещества. Эти условия определяют на основе анализа конкретной ситуации, в которой происходит процесс диффузии. Здесь важно отметить, что внутри твердого тела концентрация является непрерывной функцией координат и времени, а ее первая производная по времени и первая и вторая производные по координатам , и также непрерывны. Указанные предположения не применимы для поверхности твердого тела, для внутренних границ раздела и для некоторого момента времени, с которого начинается поступление диффундирующего вещества. В этих точках и в этот моменты времени концентрация и ее производные могут претерпевать разрыв.

Начальное распределение концентрации может быть произвольным, но чаще всего эта функция постоянна либо равна нулю. Что касается граничных условий (условий на поверхности), то обычно в задачах диффузии задана либо концентрация на поверхности , либо поток . В частных случаях эти величины могут быть постоянными либо равными нулю.

Уравнение диффузии (в физике его чаще называют уравнением теплопроводности) можно решить различными методами. Обычно в практике пользуются следующими методами его решения:

1. Метод разделения переменных (Фурье).

2. Операторный метод (Лапласа – Карсона – Хевисайда).

3. Метод источника (метод функций Грина).

4. Численные методы.

5. Метод Монте – Карло.

Следует отметить, что в настоящее время сам процесс диффузии в технологии изготовления полупроводниковых приборов и ИМС усовершенствован до такой степени, что можно создавать переходы, глубина которых контролируется с точностью до долей микрометра.

Контрольные вопросы

1. Что такое диффузия?

2. Как записывается первое уравнение Фика?

3. Как записывается второе уравнение Фика?

4. Что такое коэффициент диффузии?

5. Какие различают типы коэффициентов диффузии?

6. Как записывается зависимость изменения коэффициента диффузии от температуры в твердом теле?

7. Как процессы взаимной диффузии и образование при этом интерметаллидов изменяют свойства пленок металлов?

8. Как можно задавать начальное распределение концентрации и граничные условия (условия на поверхности) при решении уравнения диффузии?

диффузии уравнение

ДИФФУЗИИ УРАВНЕНИЕ — дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка, описывающее процесс диффузии в случае, когда перенос вещества вызван лишь градиентом его концентрации (в отличие от термодиффузии и т. п.). Д. у. чаще всего записывают в виде

где и(x, t) — концентрация вещества в точке среды в момент времени t, D — коэф. диффузии, q — коэф. поглощения, a F — интенсивность источников вещества. Величины D, q и F обычно являются ф-циями x и t, а также могут зависеть от концентрации и(x, t). B последнем случае ур-ние (1) становится нелинейным. В анизотропной среде коэфф. диффузии D является тензорным полем.

Наиб. полно исследовано линейное Д. у., когда коэф. диффузии D и поглощения q — пост. величины. В этом случае ур-ние (1) является ур-нием параболич. типа, для к-poro в матем. физике разработаны разл. методы решения: метод разделения переменных, метод источников или функций Грина (см. также Винеровский функциональный интеграл), метод интегр. преобразований и т. д. Для выделения единств. решения линейного ур-ния (1) необходимо также задать нач. и граничные условия (если диффундирующее вещество заполняет конечный объём V, огранич. боковой поверхностью S). Обычно рассматривают след. линейные граничные условия для Д. у.: 1) на границе S поддерживается заданное распределение вещества u₀(x, t): на S поддерживается заданная плотность потока вещества, входящего в V через S:

где — внутр. нормаль к поверхности S; 3) S полупроницаема, и диффузия во внеш. среду с заданной концентрацией и₀(x, t)через S происходит по линейному закону

с нач. условием имеет решение вида

фундам. решение Д. у. (2).

Методы решения Д. у. с перем. коэф. диффузии менее развиты. В нек-рых частных случаях, напр. если D зависит только от концентрации и, можно аналитически найти точные решения Д. у. с перем. D.

Нелинейные матем. модели диффузии и теплопроводности (ур-ние и граничные условия) условно делят на след. классы: 1) от концентрации и зависят D или q (нелинейность 1-го рода); 2) нелинейность содержится в граничных условиях (нелинейность 2-го рода); 3) нелинейность возникает вследствие зависимости мощностей внутр. источников F от концентрации и (нелинейность 3-го рода, см. Диссипативные структуры).

Одномерные нелинейные Д. у. можно решить разл. приближёнными аналитич. методами. Двухмерные и трёхмерные нелинейные Д. у. при сложной конфигурации границ области и сложных законах изменения характеристик среды, внеш. и внутр. источников вещества, перем. границ области, где происходит диффузия, поддаются решению только числ. методами с применением ЭВМ. С матем. точки зрения Д. у., являясь частным случаем дифференц. ур-ния, описывающего процесс установления равновесного распределения, совпадает с ур-нием теплопроводности и аналогично Навъе — Стокса уравнению для ламинарного потока несжимаемой жидкости и т. д.

Лит.: Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., M., 1981; Коздоба Л. A., Методы решения нелинейных задач теплопроводности, M., 1975; Pайченко А. И., Математическая теория диффузии в приложениях, К., 1981; Crank J., The mathematics of diffusion, 2 ed., Oxf., 1975. С. Я. Азаков.

Диффузия — это что такое?

В школьной программе в курсе физики (приблизительно в седьмом классе) школьники узнают, что диффузия — это процесс, который представляет собой взаимное проникновение частиц одного вещества между частицами другого вещества, в результате чего происходит выравнивание концентраций во всем занимаемом объеме. Это достаточно сложное для понимания определение. Чтобы разобраться, что такое простая диффузия, закон диффузии, ее уравнение, необходимо подробно изучить материалы по этим вопросам. Однако если человеку достаточно общего представления, то приведенные ниже данные помогут получить элементарные знания.

Физическое явление — что это

В связи с тем, что многие люди путают или же вовсе не знают, что такое физическое явление и чем оно отличается от химического, а также к какому виду явлений относится диффузия, необходимо разобраться, что же такое физическое явление. Итак, как всем известно, физика является самостоятельной наукой, относящейся к области естествознания, которая занимается изучением общих природных законов о структуре и движении материи, а также изучает саму материю. Соответственно, физическое явление — это такое явление, в результате которого не образуется новых веществ, а лишь происходит изменение строения вещества. Отличие физического явления от химического заключается как раз в том, что в результате не получается новых веществ. Таким образом, диффузия — это физическое явление.

Определение термина диффузия

Как известно, формулировок того или иного понятия может быть много, однако общий смысл не должен изменяться. И явление диффузии не является исключением. Обобщенное определение имеет следующий вид: диффузия — это физическое явление, которое представляет собой взаимное проникновение частиц (молекул, атомов) двух и более веществ до равномерного распределения по всему занимаемому этими веществами объему. В результате диффузии не образуется новых веществ, поэтому она и является именно физическим явлением. Простой называют диффузию, в результате которой происходит перемещение частиц из области наибольшей концентрации в область меньшей концентрацией, которое обусловлено тепловым (хаотичным, броуновским) движением частиц. Иными словами, диффузия представляет собой процесс перемешивания частиц разных веществ, причем частицы при этом распределяются равномерно по всему объему. Это очень упрощенное определение, зато наиболее понятное.

Виды диффузии

Диффузию можно зафиксировать как при наблюдении за газообразными и жидкими веществами, так и за твердыми. Поэтому она включает несколько видов:

• Квантовая диффузия — это процесс диффузии частиц или точечных дефектов (локальных нарушений кристаллической решетки вещества), который осуществляется в твердых телах. Локальные нарушения — это нарушение в определенной точке кристаллической решетки.

• Коллоидная — диффузия, происходящая во всем объеме коллоидной системы. Коллоидная система представляет собой среду, в которой распределены частицы, пузырьки, капли другой, отличающейся по агрегатному состоянию и составу от первой, среды. Такие системы, а также протекающие в них процессы, подробно изучаются в курсе коллоидной химии.
• Конвективная — перенос микрочастиц одного вещества макрочастицами среды. Особый раздел физики, называемый гидродинамикой, занимается изучением движения сплошных сред. Оттуда можно почерпнуть знания о состояниях потока.
• Турбулентная диффузия — это процесс переноса одного вещества в другом, обусловленный турбулентным движением второго вещества (характерна для газов и жидкостей).

Подтверждается высказывание, что диффузия может протекать как в газах и жидкостях, так и в твердых телах.

Что такое закон Фика?

Немецким ученым, физиком Фиком, был выведен закон, показывающий зависимость плотности потока частиц через единичную площадку от изменения концентрации вещества на единицу длины. Этот закон и является законом диффузии. Закон можно сформулировать следующим образом: поток частиц, который направлен по оси, пропорционален производной от числа частиц по переменной, откладываемой вдоль той оси, относительно которой определяется направление потока частиц. Иными словами, движущийся в направлении оси поток частиц пропорционален производной от числа частиц по переменной, которая откладывается вдоль той же оси, что и поток. Закон Фика позволяет описать процесс переноса вещества во времени и пространстве.

Уравнение диффузии

Когда в веществе присутствуют потоки, происходит перераспределение самого вещества в пространстве. В связи с этим существует несколько уравнений, которые описывают этот процесс перераспределения с макроскопической точки зрения. Уравнение диффузии является дифференциальным. Оно вытекает из общего уравнения переноса вещества, которое также называют уравнением непрерывности. При наличии диффузии используется закон Фика, который описан выше. Уравнение имеет следующий вид:

Диффузионные методы

Метод диффузии, точнее метод ее осуществления в твердых материалах, широко используется в последнее время. Это связано с преимуществами метода, одним из которых является простота используемого оборудования и самого процесса. Сущность метода диффузии из твердых источников заключается в нанесении легированных одним или несколькими элементами пленок на полупроводники. Существует еще несколько методов осуществления диффузии, помимо метода твердых источников:

• в замкнутом объеме (ампульный способ). Минимальная токсичность является преимуществом метода, однако его дороговизна, обусловленная одноразовостью ампулы, является существенным недостатком;
• в незамкнутом объеме (термическая диффузия). Исключаются возможности использования многих элементов из-за высоких температур, а также боковая диффузия являются большими недостатками данного метода;
• в частично-замкнутом объеме (бокс-метод). Это промежуточный метод между двумя описанными выше.

Для того, чтобы больше узнать о методах и особенностях проведения диффузии, необходимо изучить дополнительную литературу, посвященную конкретно этим вопросам.