Уравнение диффузии теплопроводности и вязкости

Явления переноса. Диффузия, вязкость, теплопроводность. Коэффициенты диффузии, вязкости, теплопроводности.

Явления переноса в термодинамически неравновесных системах
В термодинамически неравновесных системах возникают особые необратимые процес­сы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространствен­ный перенос энергии, массы, импульса. К явлениям переноса относятся теплопровод­ность (обусловлена переносом энергии), диффузия (обусловлена переносом массы) и внутреннее трение (обусловленопереносом импульса). Для простоты ограничимся одномер­ными явлениями переноса. Систему отсчета выберем так, чтобы ось х была ориен­тирована в направлении переноса.

1. Теплопроводность. Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше,чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных сто­лкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, т. е., иными словами, выравнивание температур.
Перенос энергии в форме теплоты подчиняетсязакону Фурье:
(48.1)
где jE —плотность теплового потока — величина, определяемая энергией, переносимой в форме теплоты в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, l —теплопроводность, — градиент температуры, равный скорости изменения температуры на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак минус показывает, что при теплопроводности энергия переносится в направлении убывания температуры (поэтому знаки jE и – противоположны). Теплопроводность l численно равна плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице.
Можно показать, что
(48.2)
где сV— удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг газа на 1 К при постоянном объеме), r — плотность газа, — средняя скорость теплового движения молекул, — средняя длина сво­бодного пробега.
2. Диффузия. Явление диффузии заключается в том, что происходит самопроиз­вольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жид­костей и даже твердых тел; диффузия сводится к обмену масс частиц этих тел, возникает и продолжается, пока существует градиент плотности. Во время становления молекулярно-кинетической теории по вопросу диффузии возникли противоречия. Так как молекулы движутся с огромными скоростями, диффузия должна происходить очень быстро. Если же открыть в комнате сосуд с пахучим веществом, то запах распространяется довольно медленно. Однако противоречия здесь нет. Молекулы при атмосферном давлении обладают малой длиной свободного пробега и, сталкиваясь с другими молекулами, в основном «стоят» на месте.
Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется закону Фука:
(48.3)
где jm —плотность потока массы — величина, определяемая массой вещества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, D —диффузия (коэффициент диффузии), dr/dx — градиент плотности, равный скорости изменения плотности на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак минус показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности (поэтому знаки jm и dr/dx противоположны). Диффузия D численно равна плотности потока массы при градиенте плотности, равном единице. Согласно кинети­ческой теории газов,
(48.4)
Коэффициент диффузиив жидкости увеличивается с температурой, что обусловлено «разрыхлением» структуры жидкости при нагреве и соответствующим увеличением числа перескоков в единицу времени.

В твёрдом теле могут действовать несколько механизмов диффузии: обмен местами атомов с вакансиями(незанятыми узлами кристаллической решётки), перемещение атомов по междоузлиям, одновременное циклическое перемещение нескольких атомов, прямой обмен местами двух соседних атомов и т.д. Первый механизм преобладает, например, при образовании твёрдых растворов замещения, второй — твёрдых растворов внедрения.

Коэффициент диффузиив твёрдых телах крайне чувствителен к дефектам кристаллической решётки, возникшим при нагреве, напряжениях, деформациях и др. воздействиях. Увеличение числа дефектов (главном образом вакансий) облегчает перемещение атомов в твёрдом теле и приводит к росту коэффициента диффузии.Для коэффициента диффузии в твёрдых телах характерна резкая (экспоненциальная) зависимость от температуры. Так, коэффициент диффузиицинка в медь при повышении температуры от 20 до 300°С возрастает в 1014 раз.

3. Внутреннее трение (вязкость). Механизм возникновения внутреннего трения меж­ду параллельными слоями газа (жидкости), движущимися с различными скоростями, заключается в том, что из-за хаотического теплового движения происходит обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, движущегося медленнее — увеличивается, что приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее.
Согласно формуле (31.1), сила внутреннего трения между двумя слоями газа (жидкости) подчиняется закону Ньютона:
(48.5)
где h — динамическая вязкость (вязкость), dv/dx — градиент скорости, показывающий быстроту изменения скорости в направлении х, перпендикулярном направлению дви­жения слоев, S —площадь, на которую действует сила F.
Взаимодействие двух слоев согласно второму закону Ньютона можно рассматри­вать как процесс, при котором от одного слоя к другому в единицу времени передается импульс, по модулю равный действующей силе. Тогда выражение (48.5) можно пред­ставить в виде
(48.6)
где jp —плотность потока импульса — величина, определяемая полным импульсом, переносимым в единицу времени в положительном направлении оси х через единичную площадку, перпендикулярную оси х, — градиент скорости. Знак минус указывает, что импульс переносится в направлении убывания скорости (поэтому знаки jр и противоположны).
Динамическая вязкость h численно равна плотности потока импульса при градиенте скорости, равном единице; она вычисляется по формуле
(48.7)
Из сопоставления формул (48.1), (48.3) и (48.6), описывающих явления переноса, следует, что закономерности всех явлений переноса сходны между собой. Эти законы были установлены задолго до того, как они были обоснованы и выведены из молекулярно-кинетической теории, позволившей установить, что внешнее сходство их математи­ческих выражений обусловлено общностью лежащего в основе явлений теплопровод­ности, диффузии и внутреннего трения молекулярного механизма перемешивания молекул в процессе их хаотического движения и столкновений друг с другом.
Рассмотренные законы Фурье, Фика и Ньютона не вскрывают молекулярно-кинетического смысла коэффициентов l, D иh. Выражения для коэффициентов переноса выводятся из кинетической теории. Они записаны без вывода, так как строгое рассмот­рение явлений переноса довольно громоздко, а качественное — не имеет смысла. Формулы (48.2), (48.4) и (48.7) связывают коэффициенты переноса и характеристики теплового движения молекул. Из этих формул вытекают простые зависимости между l, D иh:

Используя эти формулы, можно по найденным из опыта одним величинам определить другие.

Вязкость.

Вязкость — сопротивление, оказываемое телом движению отдельной его части без нарушения связи целого. Такое движение составляет характеристику жидкостей, как «капельных», так и «упругих», т. е. газов.
Внутреннее трение жидкостей возникает при движении жидкости из-за переноса импульса в направлении, перпендикулярном к направлению движения. Перенос импульса из одного слоя в другой осуществляется при скачках молекул, о которых говорилось выше.
Очевидно, что жидкость будет тем менее вязкой, чем меньше время t между скачками молекул, и значит, чем чаще происходят скачки.

Дата добавления: 2015-01-15 ; просмотров: 1272 ; Нарушение авторских прав

Диффузия. Теплопроводность. Внутреннее трение (вязкость)

Необратимые процессы, в результате которых в системе, находящейся в неравновесном состоянии, происходит пространственный перенос какой-либо физической величины, называются явлениями переноса. Неравновесное состояние характеризуется градиентом физической величины, модуль которого определяется первыми производными по координатам, а направление совпадает с направлением наискорейшего возрастания. Перенос физической величины осуществляется в направлении, обратном ее градиенту, что приводит к выравниванию значений физической величины во всех точках. Система приближается к равновесному состоянию самопроизвольно вследствие хаотического движения молекул. Интенсивность переноса физической величины характеризуется ее потоком, т.е. значением физической величины, переносимым в единицу времени через некоторую поверхностью. Каждое из явлений переноса характеризуется своим кинетическим коэффициентом, который зависит от свойств вещества и параметров его состояния.

Элементарная теория явлений переноса в газах основана на понятии средней длины свободного пробега молекул, которая представляет из себя расстояние, проходимое молекулой за среднее время между столкновениями со средней скоростью :

где = — среднее число столкновений в единицу времени (средняя частота столкновений),

Замечание 1. Для сферических частиц

= ,

где n — концентрация молекул,

d — средний диаметр молекулы.

Рассмотрим три основных явления переноса: диффузию (перенос частиц или массы), теплопроводность (перенос энергии) и внутреннее трение (перенос импульса).

Диффузиейназывается процесс выравнивания концентрации частиц в различных частях вещества вследствие теплового движения (перенос вещества). За счет диффузии происходит взаимное проникновение одних веществ в другие (распределение запахов, дыма и т.д.). Наиболее быстро диффузия происходит в газах, медленнее — в жидкостях и, еще медленнее — в твердых телах. Диффузия в газах может быть описана наиболее просто, если принять ряд упрощающих предположений.

Во-первых, пусть за счет воздействия извне неравновесное состояние (разные концентрации в разных областях) поддерживается достаточно долго. Вследствие этого диффузия будет стационарной.

Во-вторых, будем считать, что нарушение равновесия невелико. Это означает, что изменение концентрации некоторого газа на длине свободного пробега значительно меньше самой концентрации: (dn/dx)· dt. Тогда поток молекул слева — направо будет равен

dN + /dt = (1/6)n + DS,

где n + — концентрация молекул слева от площадки DS и равная примерно концентрации n(x — ).

Аналогично поток молекул справа — налево будет равен:

dN — /dt =(1/6)n — DS = (1/6)n(x+ ) DS.

Суммарный поток найдем как сумму этих двух потоков, учитывая их противоположные направления:

dN/dt = dN + /dt — dN — /dt = (1/6) DS

dN = — (1/3) (dn/dx)DSdt. .

Из сравнения кинетический коэффициент диффузии будет равен:

D = (1/3) .

Теплопроводностьюназывается процесс выравнивания температуры в различных частях вещества вследствие теплового движения молекул (перенос энергии). При тех же упрощающих предположениях: стационарности процесса и малости отклонений от равновесия, теплопроводность описывается эмпирическимзаконом Фурье:

dQ = — k(dT/dx)DSdt,

где dQ — количество теплоты (энрегии), переносимое за время через площадку DS по направлению к ее нормали;

k — коэффициент теплопроводности.

Знак “ — ” обусловлен тем, что энергия переносится в сторону противоположную градиенту температуры. Пусть градиент температуры направлен против оси x (рис. 21).

Рис. 21. Теплопроводность

Поскольку температура различна в разных местах вещества, то различна и средняя кинетическая энергия молекулы = (i/2)kT. Вследствие хаотического движения молекулы перемещаются и переносят некоторую энергию. Энергия, перенесенная слева — направо за время dt через площадку DS, будет равна:

где + = (i/2)kT(x — ) — средняя кинетическая энергия молекулы на расстоянии cлева от площадки DS.

Аналогично, энергия перенесенная за то же время справа — налево равна:

dE — = (1/6)n — DSdt = (1/6)n v>(i/2)kT(x — )DSdt.

Полное количество энергии (теплоты), перенесенное за время dt через площадку DS, будет равно:

dQ = dE + — dE — = (1/6)n (i/2)kDSdt =

dQ = — (1/3)n (i/2)k (dT/dx )DSdt.

Тогда кинетический коэффициент теплопроводности выражается формулой:

k = (1/3) (i/2)nk.

Явлением внутреннего трения называется возникновение сил сопротивления между слоями газа (жидкости), перемещающимися с различными скоростями, вследствие теплового движения молекул. В перемещающихся слоях молекулы участвуют одновременно в двух движениях: хаотическом (тепловом) со средней скоростью ( 500м/с при температуре Т = 300 К), и упорядоченном движении со скоростью потока u. Обычно u намного меньше . Если два соприкасающихся слоя двигаются со скоростями u₁ и u₂ соответственно параллельно друг другу, то из-за хаотического движения молекулы будут переходить из одного слоя в другой и переносить с собой импульсы m₁·u₁ или m₁·u₂ (рис. 22).

Рис. 22. Явление внутреннего трения

Поэтому внутреннее трение обусловлено переносом импульса направленного движения молекул. В итоге, импульс слоя, движущегося медленнее, с приходом молекул из соседнего слоя увеличивается (слой ускоряется), а импульс слоя, движущегося быстрее, наоборот, уменьшается (слой тормозится). Другими словами, к слоям как будто бы приложены противоположные силы, равные по модулю. Эти силы стремятся уравнять скорости (импульсы) направленного движения молекул в различных слоях.

В механике жидкостей и газов для силы внутреннего трения справедлив эмпирический закон Ньютона:

F_тр = — h(du/dz)DS ,

где h — коэффициент вязкости.

Так как по второму закону Ньютона F_тр = ½dP½/dt, то

Знак “ — ” обусловлен тем, что импульс переносится в сторону, противоположную градиенту скорости.

Рассмотрим стационарный процесс внутреннего трения в потоке газа, в котором распределение скоростей направленного движения слоев задается выражением u(z) так, что градиент скорости du/dz направлен против оси z. Проведя ряд преобразований и рассуждений, аналогичных проделанным ранее для других явлений переноса, получим:

Из сравнения эмпирического закона внутреннего трения и полученного выражения следует, что коэффициент вязкости (кинетический коэффициент явления внутреннего трения) равен:

h = (1/3) m₁n = (1/3) r.

Сравнивая выражения для кинетических коэффициентов рассмотренных явлений переноса, видим, что k = hС_Vуд = DrC_Vуд .

Замечание 2. Полученные закономерности и кинетические коэффициенты справедливы до тех пор, пока действуют сделанные нами замечания о стационарности потоков физических величин. Например, при сделанных допущениях можно показать, что коэффициент вязкости не зависит от давления. Но при большем характерных размеров неоднородностей коэффициент вязкости начинает зависеть от давления h = h(p).

Замечание 3. Как правило, условия стационарности указанных процессов выполняются сравнительно редко. В технических приложениях преобладают нестационарные процессы, которые описываются более сложными уравнениями.