Уравнение дифракционной решетки что показывает

Дифракционная решётка

Дифракциейназывается любое отклонение распространения света от прямолинейного, не связанное с отражением и преломлением. Качественный метод расчета дифракционной картины предложил Френель. Основной идеей метода является принцип Гюйгенса — Френеля:

Каждая точка, до которой доходит волна, служит источником когерентных вторичных волн, а дальнейшее распространение волны определяется интерференцией вторичных волн.

Геометрическое место точек, для которых колебания имеют одинаковые фазы, называют волновой поверхностью. Волновой фронт также является волновой поверхностью.

Дифракционная решеткапредставляет собой совокупность большого числа параллельных щелей или зеркал одинаковой ширины и отстоящих друг от друга на одинаковом расстоянии.Периодом решетки (d)называется расстояние между серединами соседних щелей, или что то же самое сумма ширины щели (а) и непрозрачного промежутка (b)между ними (d = a + b).

Рассмотрим принцип действия дифракционной решетки. Пусть на решетку нормально к её поверхности падает параллельный пучок лучей белого света (рис. 1). На щелях решетки, ширина которых соизмерима с длиной волны света, происходит дифракция.

Рис. 1. Ход лучей в дифракционной решетке

В результате за дифракционной решеткой согласно принципу Гюйгенса-Френеля от каждой точки щели световые лучи будут распространяться во всех возможных направлениях, которым можно сопоставить углы отклонения φ световых лучей (углы дифракции) от первоначального направления. Параллельные между собой лучи (дифрагирующие под одинаковым углом φ) можно сфокусировать, установив за решеткой собирающую линзу. Каждый пучок параллельных лучей соберется в задней фокальной плоскости линзы в определённой точке А. Параллельные лучи, соответствующие другим углам дифракции, соберутся в других точках фокальной плоскости линзы. В этих точках будет наблюдаться интерференция световых волн, исходящих от разных щелей решетки. Если оптическая разность хода между соответствующими лучами монохроматического света будет равна целому числу длин волн , κ = 0, ±1, ±2, …, то в точке наложения лучей будет наблюдаться максимум интенсивности света для данной длины волны, Из рисунка 1 видно, что оптическая разность хода Δ между двумя параллельными лучами, выходящими из соответствующих точек соседних щелей, равна

, (1)

где φ – угол отклонения луча решеткой.

Следовательно, условие возникновения главных интерференционных максимумов решетки или уравнение дифракционной решетки

, (2)

где λ – длина световой волны.

В фокальной плоскости линзы для лучей, не испытавших дифракции, наблюдается центральный белый максимум нулевого порядка (φ = 0, κ = 0), справа и слева от которого располагаются цветные максимумы (спектральные линии) первого, второго и последующих порядков (рис. 1). Интенсивность максимумов уменьшается с ростом их порядка, т.е. с увеличением угла дифракции.

Уравнение (1) позволяет рассчитать длину волны падающего света, если измерен угол дифракции φ, для данной спектральной линии, известны период дифракционной решетки d и порядок спектра k.

Зная период решетки, можно рассчитать число штрихов n, нанесенных на 1 мм ширины решетки:

. (3)

Одной из основных характеристик дифракционной решетки является её угловая дисперсия. Угловая дисперсия решетки определяет угловое расстояние dφ между направлениями для двух спектральных линий, отличающихся по длине волны на 1 нм ( = 1 нм), и характеризует степень растянутости спектра вблизи данной длины волны:

. (4)

Формула для расчета угловой дисперсии решетки может быть получена при дифференцировании уравнения (2) . Тогда

. (5)

Из формулы (5) следует, что угловая дисперсия решетки тем больше, чем больше порядок спектра.

Для решеток с разными периодами ширина спектра больше у решетки, характеризующейся меньшим периодом. Обычно в пределах одного порядка меняется незначительно (особенно для решеток с небольшим числом штрихов на миллиметр), поэтому дисперсия в пределах одного порядка почти не меняется. Спектр, полученный при постоянной дисперсии, растянут равномерно во всей области длин волн, что выгодно отличает спектр решетки от спектра, даваемого призмой.

Угловая дисперсия связана с линейной дисперсией . Линей­ную дисперсию можно также вычислить по формуле

, (6) где – линейное расстояние на экране или фотопластинке между спектральными линиями, f – фокусное расстояние линзы.

Дифракционная решетка также характеризуется разрешающей способностью. Этавеличина, характеризующая способность дифракционной решетки давать раздельное изображение двух близких спектральных линий

R = , (7)

где l – средняя длина волны разрешаемых спектральных линий; dl – разность длин волн двух соседних спектральных линий.

Зависимость разрешающей способности от числа щелей дифракционной решетки N определяется формулой

R = = kN, (8)

где k – порядок спектра.

Из уравнения для дифракционной решетки (1) можно сделать следующие выводы:

1. Дифракционная решетка будет давать заметную дифракцию (значительные углы дифракции) только в том случае, когда период решетки соизмерим с длиной световой волны, то есть d »l» 10 –4 см. Решетки с периодом меньше длины волны не дают дифракционных максимумов.

2. Положение главных максимумов дифракционной картины зависит от длины волны. Спектральные составляющие излучения немонохроматического пучка отклоняются решеткой на разные углы (дифракционный спектр). Это позволяет использовать дифракционную решетку в качестве спектрального прибора.

3. Максимальный порядок спектра, при нормальном падении света на дифракционную решетку, определяется соотношением:

Дифракционные решетки, используемые в различных областях спектра, отличаются размерами, формой, материалом поверхности, профилем и частотой штрихов, что позволяет перекрыть область спектра от ультрафиолетовой его части (l » 100 нм) до инфракрасной (l » 1 мкм). Широко используются в спектральных приборах гравированные решетки (реплики), которые представляют собой отпечатки решеток на специальных пластмассах с последующим нанесением металлического отражательного слоя.

Дата добавления: 2015-06-10 ; просмотров: 10886 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Дифракционные решетки

Дифракционные решетки

Дифракционные решетки, пропускающие и отражательные, предназначены для пространственного деления электромагнитной волны в спектр. Когерентные пучки интерферируют, претерпевая дифракцию на периодической структуре. В пропускающих дифракционных решетках периодическая структура является множеством плотно расположенных узких щелей. При решении задачи о распределении интенсивности и записи ответа в виде функции, зависящей от длины волны и координаты на множестве щелей, получается общее выражение, которое справедливо для всех дифракционных решеток при θ_i = 0°:

(1)

Это выражение также называют уравнением дифракционной решетки. Оно означает, что дифракционная решетка с периодом a преломляет свет дискретно, прошедшие лучи составляют с нормалью угол дифракции θ_m в зависимости от значения mλ, m – номер главного максимума. При заданном порядке m различные длины волн излучения будут выходить из решетки под разными углами. Для белого света происходит разложение в непрерывный спектр, зависящий от угла.

Пропускающая решетка

Рисунок 1. Пропускающая решетка

Один из распространенных типов решеток – пропускающая решетка. Периодическая структура решеток создается путем вырезания или гравировки на прозрачной подложке параллельных штрихов. На такой поверхности свет может рассеиваться. Пример пропускающей решетки приведен на рис. 1.

Пропускающая решетка, показанная на рис. 1, обладает периодической структурой благодаря узким штрихам с периодом a. Падающий свет попадает на решетку под углом θ_i, который отсчитывается от нормали к поверхности. Свет порядка m выходит из решетки под углом θ_m, который также определяется от нормали. Используя некоторые геометрические соотношения и общее выражение для дифракционной решетки (1), для пропускающей дифракционной решетки получим:

(2)

где углы θ_i и θ_m положительны, если падающий и дифрагированный свет оказываются на противоположных сторонах нормали к поверхности решетки, как показано на рис. 1. Если эти лучи находятся на той же стороне нормали решетки, то углы следует считать отрицательными.

Отражательная решетка

Рисунок 2. Отражательная решетка

Другой распространенный тип решеток – отражательная решетка. Отражательные решетки получают путем нанесения металлического покрытия на подложку и формирования параллельных штрихов на полученной поверхности. Также существует технология производства из эпоксидных и/или пластиковых оттисков от контрольного шаблона. Во всех случаях свет отражается от поверхности с нанесенными штрихами под разными углами, которые соответствуют разным порядкам и длинам волн. Пример отражательной решетки показан на рис. 2. Используя геометрическую схему, аналогичную приведенной выше, получается уравнение отражательной решетки:

(3)

где угол θ_i – положительный и угол θ_m – отрицательный, если падающий и дифрагированный свет оказываются на противоположных сторонах нормали к поверхности решетки, как показано на рис. 2. Если эти лучи находятся на одной стороне нормали решетки, то оба угла следует считать положительными.

Оба типа решеток обладают одинаковым недостатком: нулевой порядок не подвергается дифракции и соответствует отражению или пропусканию поверхности. Решая уравнение (2) при условии, что θ_i = θ_m , находится единственное решение, при котором m = 0 независимо от длины волны или периода решетки. При этом условии никакой информации о длине волны, то есть весь свет или отражается от поверхности, или проходит сквозь нее.

Описанная проблема может быть решена с помощью особого рельефа, наносимого на поверхность вместе со штрихами. Дифракционные решетки такого типа называют рельефно-фазовыми. Их пример приведен на рис. 3.

Рельефно-фазовые (нарезные) решетки

Рисунок 3. Геометрия рельефно-фазовой решетки

Рисунок 4. Отражение нулевого порядка от рельефно-фазовой решетки

Рельефно-фазовые решетки (также известные как эшелетты) – особый вид отражательной или пропускающей дифракционной решетки, которые используют для достижения максимальной эффективности решетки в определенном порядке дифракции. Таким образом можно повысить мощность излучения при дифракции, минимизировав потери излучения других порядков (в частности нулевых). Благодаря своей конструкции, рельефно-фазовые решетки работают с определенной длиной волны, которую также называют длиной волны блеска.

Длина волны блеска – одна из основных характеристик рельефно-фазовых решеток. К таковым характеристикам также относятся другие два параметра, указанные на рис. 3: a – расстояние между гранями, γ – угол блеска (угол наклона грани штриха). Угол блеска может быть измерен от нормали к поверхности и от нормали к грани.

Геометрия концентрирующих решеток сходна с пропускающими и отражательными решетками. Углы падения θ_i и отражения θ_m максимумов порядка m отсчитываются от нормали к поверхности решетки. Существенное отличие заключается в том, что угол отражения зависит от угла блеска, но не от нормали поверхности решетки. Таким образом можно регулировать эффективность дифракции, изменяя только угол блеска дифракционной решетки.

Отражение нулевого порядка от рельефно-фазовой решетки показано на рис. 4. Падающий под углом θ_i луч отражается под углом θ_m при m = 0. Из уравнения (3) выводится единственное решение θ_i = – θ_m, что аналогично отражению от плоской поверхности.

Рисунок 5. Отражение света от грани рельефно-фазовой решетки

Рисунок 6. Нормальное падение света на рельефно-фазовую решетку

Отражение от рельефно-фазовой решетки отличается от отражения света в случае плоской поверхности за счет профиля штрихов, как видно из рис. 5. Зеркальное отражение от рельефно-фазовой решетки происходит из-за угла блеска. Этот угол считается отрицательным, если он находится на той же стороне нормали поверхности решетки, что и угол падения. Выполнив несколько простых геометрических преобразований, можно обнаружить следующее:

(4)

Рис. 6 иллюстрирует случай нулевого угла падения, при котором свет падает перпендикулярно поверхности решетки. В этом случае нулевой порядок отражения получается при 0 о . Используя уравнения (3) и (4), получаем уравнение решетки с удвоенным углом блеска:

(5)

Схема Литтроу

Рельефно-фазовые решетки с конфигурацией Литтроу широко применяются в монохроматорах и спектрометрах из-за особенности периодической структуры. Пусть при падении света под углом θ_i эффективность решетки максимальна. По схеме Литтроу угол падения равен углу дифрагированных лучей, вышедших из решетки, θ_i = θ_m, тогда для ненулевых порядков дифракции получим:

(6)

Рисунок 7. Схема Литтроу

Угол Литтроу θ_L отсчитывается от точки наибольшей интенсивности (m = 1), λ_D – рабочая длина волны, a – постоянная решетки. Легко увидеть, что угол в схеме Литтроу равен углу блеска для рабочей длины волны. Соответствующие сведения даны в таблицах спектральных характеристик решеток.

(7)

Также можно вывести, что увеличение углового разделения длины волны сопровождается ростом порядка дифракции для света с нормальным падением, то есть при нулевом угле падения θ_m растет так же, как порядок m. Существует два основных недостатка дифракционной картины более высокого порядка по сравнению с дифракционной картиной низкого порядка: во-первых, уменьшение эффективности дифракции более высоких порядков, во-вторых, уменьшение свободного спектрального диапазона, определяемого соотношением:

(8)

где λ – центральная длина волны, m – порядок.

Первая проблема, возникающая при наблюдении дифракционных картин высоких порядков, решается с помощью использования эшелеттов. Этот тип решеток обладает наибольшим углом блеска и относительно низкой плотностью штрихов, благодаря чему удается достичь достаточной концентрации энергии излучения при дифракции излучения высоких порядков. Второй недостаток компенсируют, добавляя в систему специальную дополнительную оптику: решетку, рассеивающую призму или иную оптику, обладающую рассеивающими свойствами.

Голографические решетки

Рисунок 8. Голографическая решетка

Рельефно-фазовые решетки обладают наибольшей эффективностью при использовании на рабочей длине волны. Однако на их работу серьезно влияют периодические ошибки – дублирование, большая доля рассеянного света. Все это негативно сказывается на измерениях, требующих высокой точности. Потому во многих экспериментах применяют голографические решетки, эффективность которых ниже, однако стабильность выше.

Голографические решетки в промышленном масштабе производят тем же способом, что и нарезные: копированием контрольного образца. Шаблон голографической решетки изготавливают методом фотолитографии: действием на светочувствительный материал двух интерферирующих лазерных пучков. При этом интерференционная картина экспонируется на поверхность в виде периодической структуры. Пример голографической решетки приведен на рис. 8.

Замечание: дисперсия зависит от числа штрихов на мм, но не от формы самих штрихов. Следовательно, уравнение решетки для расчета углов можно применять и в случае голографических решеток.

Факторы, которые необходимо учитывать при выборе дифракционной решетки:

1. Эффективность

Нарезные решетки демонстрируют более высокую производительность в сравнении с голографическими решетками, однако последние имеют более широкий рабочий диапазон. Обычно нарезные решетки применяют в исследованиях флуоресценции и в опытах, связанных с переизлучением.

2. Длина волны блеска

Нарезные решетки имеют пилообразный профиль, который получается вследствие нанесения штрихов на подложку. В результате пик интенсивности таких решеток достигается при излучении, близком к длине волны блеска. Голографические решетки имеют синусоидальный профиль, потому пик интенсивности достигается на рабочей длине волны. Нарезные решетки в основном применяются в приложениях с узким волновым диапазоном.

3. Светорассеяние

Из-за различия в способах нанесения штрихов голографические и нарезные решетки имеют разницу в светорассеянии. Промышленное нанесение штрихов нарезным способом повышает вероятность ошибок, а фотолитографический способ изготовления решеток более стабилен, в связи с чем голографические решетки имеют меньшее светорассеяние. Их применяют в рамановской спектроскопии.

4. Разрешающая способность

Разрешающая способность решетки – расстояние, на котором возможно различить две длины волны. Оно определяется согласно критерию Рэлея применительно к дифракционному максимуму. Две длины волны различимы, когда максимум одной длины волны совпадает с минимумом второй. Хроматическая разрешающая способность определяется из соотношения R = λ/Δλ = nN, где Δλ – разрешаемая разница длин волн, n – порядок дифракции, N – число подсвеченных штрихов. Благодаря низкой плотности штрихов эшеллеты имеют высокое разрешение.

Правила работы с дифракционными решетками

Поверхность дифракционных решеток легко повреждается отпечатками пальцев, аэрозолями, после контакта с влагой. Малейший контакт с абразивными частицами также приводит к неисправностям. Необходимо соблюдать строгие требования по эксплуатации: например, переносить решетку можно только держа за боковые стороны. Необходимы латексные перчатки или любые другие меры защиты рабочей поверхности от отпечатков пальцев. Контакт с растворителями также следует исключить. Не предпринимайте иных попыток чистить решетку, кроме сдувания пыли чистым, сухим воздухом или азотом. Незначительные дефекты на поверхности решетки обычно не влияют на производительность.

Компания INSCIENCE помогает своим заказчикам решать любые вопросы и потребности по продукции Thorlabs на территории РФ

Дифракционная решетка. Постоянная и период решетки. Использование в спектроскопии

Дифракционная решетка часто используется для определения спектра падающего на нее света, поскольку она позволяет расщеплять его на отдельные цвета. В данной статье рассмотрим, что такое дифракционная решетка, постоянная и период ее, и приведем пример решения задачи с использованием этого оптического прибора.

Явление дифракции

Суть его заключается в изменении направления распространения волны, когда она встречает на своем пути препятствие. Результат дифракции хорошо различим, если размеры препятствия сравнимы с длиной волны или меньше нее. Дифрагированная волна способна проникать в области за препятствием, куда она не смогла бы попасть, если бы двигалась вдоль прямой.

Вам будет интересно: Корневая система. Как образуются придаточные корни

На рисунке ниже приведен пример дифракции морской волны.

Видно, как прямой фронт волны после прохождения препятствия приобретает форму окружности.

Математическое описание дифракции осуществляется с использованием принципа Гюйгенса-Френеля, который гласит, что каждая точка волнового фронта является источником вторичной волны некоторой интенсивности.

Дифракция часто сопровождается интерференцией. Благодаря этим двум явлениям можно наблюдать так называемые дифракционные картины.

Дифракционная решетка

Это решетка представляет собой прозрачную пластинку, на которую нанесены непрозрачные штрихи с определенным периодом. Когда свет проходит через такую пластинку, то она вносит периодическое возмущение в его волновой фронт. В результате возникает ряд вторичных источников, которые испускают когерентные волны. В результате интерференции когерентные волны образуют на экране совокупность максимумов и минимумов, то есть дифракционную картину.

Важной характеристикой решетки является число штрихов N, нанесенных на 1 мм ее длины. Эта величина N называется постоянной дифракционной решетки, d — период решетки, который равен обратному значению от N. Период обычно выражают в мкм. Геометрический смысл величины d простой — это расстояние между двумя соседними штрихами на решетке. Период d является параметром уравнения решетки, которое будет приведено в следующем пункте.

Описанная выше решетка называется проходящей или прозрачной. Существует также отраженная дифракционная решетка, которая представляет собой совокупность периодических бороздок, нанесенных на гладкую поверхность материала. Примером этого вида решетки является DVD-диск.

Уравнение решетки

В приближении дальнего поля (дифракция Фраунгофера) уравнение для решетки выглядит следующим образом:

Это выражение показывает, при каких углах θm будут возникать максимумы (яркие полосы) на экране. Здесь m = 0, ±1, 2, 3, . Эти числа называются порядком дифракции. Величина λ — это длина волны, которая дифрагирует на решетке, d — период, то есть величина, обратная постоянной дифракционной решетки. Длина самой решетки, как видно из формулы, никакой роли не играет. Углы θm измеряются между двумя прямыми: перпендикуляром, восстановленным к центру решетки, и прямой, направленной от центра к максимуму порядка m.

Приведенная формула непосредственно следует из условия интерференционного максимума. В лабораторных работах ее используют для определения либо постоянной дифракционной решетки, когда λ известна, либо длины волны, когда d известен.

Использование дифракционной решетки в спектроскопии

Приведенное выше уравнение решетки позволяет сделать вывод, что углы θm, в которых появляются максимумы, зависят от длины волны. Чем больше она, тем больше эти углы (длинные волны лучше дифрагируют, чем короткие). Это означает, что если на решетку направить белый свет, то она его разложит на ряд цветов подобно дисперсионной призме. Причем последовательность цветов, начиная от центра (m=0), будет идти от фиолетового к красному.

Каждый максимум для соответствующего порядка дифракции и белого света будет представлять собой «радугу». Единственным максимумом, который всегда будет белым, является центральный или нулевой (m=0).

Явление разложения белого света на отдельные составляющие позволяет использовать дифракционную решетку в спектроскопии. Например, пропуская свет от далекой галактики через решетку, а затем анализируя полученный спектр, можно с достоверностью сказать, какие элементы присутствуют в галактике, какая у них температура, с какой скоростью движется эта галактика относительно нас (в последнем случае учитывается эффект Доплера).

Пример решения задачи

Покажем, как пользоваться уравнением решетки, на примере решения простой задачи. Пусть постоянная дифракционной решетки равна 300 штрихов на 1 мм. Необходимо определить, при каком угле будет наблюдаться максимум первого порядка для фиолетовой (400 нм) и для красной (700 нм) волн.

Учитывая, что число штрихов N обратно пропорционально периоду d, перепишем уравнение решетки в виде:

Угол для первого максимума равен:

Подставляем данные в единицах СИ в это выражение, получаем:

Для фиолетового: θ1 = arcsin(400*10-9*300*103) = 6,89o.

Для красного: θ1 = arcsin(700*10-9*300*103) = 12,12o.

Если экран поставить на расстоянии 1 метра от решетки, тогда на нем красная и фиолетовая полосы для первого порядка дифракции будут находиться на расстоянии около 9 см друг от друга.