Уравнение динамика для физического маятника

Уравнение динамика для физического маятника

Лабораторная работа № 112

Цель работы: Экспериментальное определение ускорения свободного падения методом колебания физического маятника. Определение момента инерции физического маятника.

Приборы и принадлежности: универсальный маятник ФП-1, секундомер, линейка.

В теории колебаний физическим маятником называется твердое тело, укрепленное на неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс и способное совершать колебания относительно этой оси (рис.1).

Можно показать, что маятник, отклоненный на малый угол a от положения равновесия, будет совершать гармонические колебания.

Обозначим через J момент инерции маятника относительно оси О. Пусть точка С является центром масс. Силу тяжести можно разложить на две составляющие, одна из которых уравновешивается реакцией оси. Маятник приходит в движение под действием другой составляющей , величина, которой:

Для малых углов sin a » a и выражение (1) запишем:

Знак минус означает, что сила направлена в сторону, противоположную отклонению маятника от положения равновесия.

Основное уравнение динамики вращательного движения для физического маятника запишется:

Момент силы относительно оси О с учетом (2):

где l – расстояние от центра масс С до оси О.

Угловое ускорение маятника:

Поставив (4) и (5) в уравнение (3), получим:

По структуре уравнение (6) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний с циклической частотой w . Период колебаний физического маятника равен:

Отсюда момент инерции физического маятника:

называется приведенной длиной физического маятника, равной длине математического маятника, имеющего тот же период колебаний, что и физический, т.е.

Точка О₁, лежащая на прямой, проведенной через точку подвеса О и центр масс С, на расстоянии приведенной длины l ₀ от оси вращения, называется центром качания маятника (рис.1). Центр качания лежит всегда ниже центра масс. Точка подвеса О и центр качания О₁ сопряжены друг с другом, т.е. перенос точки подвеса в центр качания не меняет периода колебания маятника. Точка подвеса и центр качания обратимы, а расстояние между этими точками представляет собой приведенную длину l ₀ одного из типов физического маятника, так называемого оборотного маятника.

Обозначим через J ₀ момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс. На основании теоремы Штейнера момент инерции J относительно любой оси, параллельной первой:

где m – масса маятника, l – расстояние между осями.

Тогда при подвешивании маятника за точку подвеса О период колебаний:

а при подвешивании за центр качания О ₁ , когда маятник находится в перевернутом положении, период:

где l ₂ и l ₁ – расстояние между центром масс и соответствующими осями колебаний.

Из уравнений (9) и (10):

Формула (11) остается справедливой при колебаниях маятника относительно двух произвольных осей О и О / , не обязательно сопряженных, но расположенных по разные стороны от центра масс маятника.

Описание рабочей установки и метода измерений.

Для определения ускорения свободного падения применяется прибор ФП-1 (рис.2),

состоящий из настенного кронштейна 1, на котором смонтированы подушки 2 опорных призм и физического маятника представляющего собой однородный металлический стержень 11, на котором крепятся чечевицы 5 и 9. Чечевица 9 закреплена жестко и является неподвижной. Чечевица 5, находящаяся на конце стержня, может перемещаться по шкале 3 с нониусом 4 и фиксируется в нужном положении винтом 6. Маятник можно подвешивать на опорные призмы 7 и 10. В комплект прибора входит специальная подставка для определения положения центра масс маятника. Перемещением чечевицы 5 можно добиться равенства периодов колебаний маятника при подвесе его на опорные призмы 7 и 10, и тогда оси колебаний становятся сопряженными, расстояние между опорными призмами становится равным приведенной длине физического маятника.

Величина ускорения свободного падения определяется на основе формулы (11). Эксперимент сводится к измерению величин Т ₁ , Т₂, l ₁ , l ₂ . Формула (8) является исходной для определения момента инерции физического маятника.

1) Определение ускорения свободного падения .

1. Подвесить маятник на опорную призму 7, отклоняют на небольшой угол и измеряют секундомером время t ₁ 30-50 полных колебаний. Опыт повторяют не менее 5 раз и находят среднее значение времени t ₁ > выбранного числа колебаний.

2. Определяют период колебания:

где n – число колебаний.

3. Для нахождения положения центра масс маятника снять его с подушек опорных призм и балансировать на горизонтальном ребре призмы, укрепленном на столе до тех пор, пока моменты сил тяжести, действующие на правую и левую часть маятника окажутся равными. В случае равновесия центр масс маятника будет расположен в стержне против точки опоры. Не снимая маятник с ребра призмы, линейкой измеряют расстояние l ₁ между опорой 7 и центром масс.

4. Перевернув маятник, подвешивают его на опорную призму 10. Выбрать то же число колебаний n и, повторить опыт не менее 5 раз, находят период колебания:

При этом измеренные значения периодов Т ₁ и Т₂ должны отличаться не более чем на 5%

5. Найти расстояние l ₂ между ребром опорной призмы 10 и центром масс: l ₂ = l ₀ – l ₁ , где l ₀ – расстояние между ребрами опорных призм 7 и 10 (для данного маятника l ₀ =0,730м ).

6. Вычисляют среднее значение g > по формуле (11)

7. Оценивают абсолютную погрешность результата, исходя из табличного значения искомой величины g _табл для широты г. Братска. Найти относительную погрешность.

8. Результаты измерений и вычислений заносят в таблицу 1.

Физического маятника

Определение момента инерции тел методом колебаний

Физический маятник – это твёрдое тело, способное совершать колебания вокруг оси, лежащей выше его центра масс. Такое «устройство» оказывается весьма полезным. Так, с его помощью очень просто и с огромной степенью точности определяется ускорение силы тяжести. Также физический маятник позволяет определять моменты инерции различных твёрдых тел.

Малые колебание маятника вокруг оси – это его небольшие повороты в противоположные стороны, поэтому понять колебания физического маятника – это понять механику вращения. Механика вращения имеет тесную аналогию с механикой поступательного движения. Аналогия проявляется в основных понятиях механики, её идеях и закономерностях, и как следствие – в формулах и уравнениях, что удобно представить в виде «таблицы аналогий », которую следует твердо усвоить:

Поступательное движение Вращательное движение

Основной закон динамики (уравнение движения)

a=F/m

ε =M/Iz

(Рекомендуем студенту дополнить этот перечень аналогий для кинематики равномерного и равноускоренного движения, а также для работы, энергии и законов сохранения).

Мы видим, что в динамике вращения появились три новые величины с замысловатыми названиями: момент силы, момент инерции, момент импульса (он же угловой момент, он же вращательный импульс!). Да не болит голова у читателя по поводу таких названий; они появились в результате терминологических недоразумений прошлых веков с добавкой неадекватности перевода с иностранных языков; совершенно бесполезно вникать в смысл этих названий. Их надо просто запомнить. Для момента импульса это недоразумение достигает максимума – целых три названия. К счастью, одно из них оказалось порядочным – вращательный импульс, что просто отражает его аналогию соответствующей величине поступательного движения – обычному импульсу.

Дадим пояснения моменту силы M и моменту инерции I_z .

Момент силы. Возьмём твёрдое тело, закреплённое на оси. Приложим к нему в некоторой точке силу, и пусть линия действия силы пересекает ось вращения. Такая сила либо изогнёт ось вращения, либо вырвет ось из своего укрепления вместе с телом, ничего более.

Изменим немного опыт – сдвинем линию действия той же силы от оси на расстояние l . Эффект скажется незамедлительно: тело начнёт легко поворачиваться. Сила приобрела способность поворачивать тело. Эту способность силы поворачивать называют «моментом силы». Повседневный опыт говорит, что способность силы поворачивать тело зависит не только от силы, но и от «плеча силы» l (кратчайшего расстояния от линии действия силы до оси вращения). В итоге величина момента силы равна произведению силы на плечо:

Момент инерции относительно оси. Как уже было отмечено в «таблице аналогий», момент инерции (не обращать внимание на заумное название!) – величина, характеризующая инертность тела при вращении. Рассмотрим два совершенно одинаковых по форме и размерам волчка, но с заметно отличающими массами, скажем, алюминиевый и свинцовый. Мы легко обнаружим, что раскрутить до некоторой скорости (а так же потом остановить!) алюминиевый волчок гораздо легче, чем свинцовый. Значит, инертность тела при его вращении пропорциональна массе.

Далее, если бы у нас была возможность сильно расплющить любой волчок, отодвинув значительную часть его массы как можно дальше от оси вращения, превратив его в диск, то мы бы тот час обнаружили, что раскручивать (и останавливать) его стало заметно труднее, по сравнению с тем, когда он был компактным. Значит, инертность тела при вращении зависит не только от массы, но и от степени удаления её частей от оси вращения.

Момент инерции материальной точки массы m, находящейся на расстоянии r относительно оси z(рис.1), есть величина, равная произведению её массы на квадрат расстояния до оси вращения

I_z = mr 2 (2)

А чему равен момент инерции произвольного тела (рис.2)? Опыт показывает, что он равен сумме моментов инерции частей, на которые можно разбить любое тело. Замечательно при этом, что величина момента инерции не зависит от способа разбиения целого на части (это свойство называется аддитивностью; оно нам при годится для проверки результатов лабораторной работы). Разбивая тело на весьма малые, почти точечные массы Dm_i , каждая из которых отстоит от оси вращения на расстоянии r_i, учитывая аддитивность момента инерции и определение (2) для I_z материальной точки, получаем общее выражение момента инерции произвольного тела относительно оси Zв виде суммы моментов инерции материальных точек, на которые разбито тело:

(3)

В пределе, когда Dm_i строго превращаются в материальные точки, сумма(3)сводится к интегралу по объёму тела, и для тел простой (правильной) формы она точно вычисляется (таблицу моментов инерции тел правильной формы можно найти в справочниках и учебниках по общей физике). Отметим в заключение полезную формулу, известную как теорема Штейнера, позволяющую найти момент инерции тела относительно произвольной оси Z, если известен момент инерции тела I_c относительно оси, проходящей через центр инерции C (он же — центр масс, он же — центр тяжести) и параллельной данной оси:

здесь m – масса тела, a – расстояние между осями.

Теперь мы готовы к рассмотрению колебаний физического маятника (рис.3). Если отклонить его от положения равновесия на малый угол φ и предоставить самому себе, он начнёт совершать «малые» колебания. Для описания колебаний будем использовать один из основных способов решения физических задач – метод уравнения движения.

Уравнение движения в динамике вращения уже записано в «таблице аналогий»; оно отражает основной закон динамики вращения: если на тело действует внешняя сила, приводящая к возникновению момента силы, то тело вращается, причём его угловое ускорение пропорционально моменту силы и обратно пропорционально его моменту инерции:

(5)

Будем считать, что сила тяжести – единственная сила в нашей задаче, приложена к центру масс маятника (в теоретической механике этот прием строго обосновывается). Эта сила создает относительно оси вращения момент, равный

M = -Pl = — Pa sinφ = — mga sinφ ≈ — mgaφ (6)

Здесь учтено, что при малых отклонениях маятника синус угла можно заменить его аргументом (выраженным в радианах) sinφ ≈φ. Знак минус говорит о том, что при отклонении маятника на угол φ против часовой стрелки возникает момент силы тяжести, стремящийся повернуть маятник по часовой стрелке, т.е. возвратить его к положению равновесия.

В уравнении (5) искомая величина I_z. Остаётся расшифровать угловое ускорение. Угол отклонения φ (угловой путь!)зависит от времени, а угловое ускорение всегда есть вторая производная углового пути по времени (см. «таблицу аналогий»):

(7)

Подставляя (6) и (7) в (5), получаем уравнение движения малых колебаний физического маятника:

. (8)

Из математики известно, что решение такого уравнения существенно зависит от знака коэффициента при φ . Величина mga/I_Z заведомо положительна. Чтобы подчеркнуть это важное обстоятельство, mga/I_Z записывают в виде квадрата некоторой действительной величины w_o:

(9)

Теперь уравнение движения маятника принимает вид стандартного уравнения движения для гармонических колебаний

(10)

Решение этого уравнения представляет собой гармоническую функцию:

Это легко доказать, подставляя из (11) выражение для φ и в (10), в результате чего получаем 0=0.

В гармоническом колебании (10) φ_max – амплитуда колебаний, а w_oобретает точныйсмысл циклической частоты – числа колебаний за 2π секунд. (Учитывая, что за период колебания Т аргумент косинуса возрастает на 2π, имеем w_o(t+T)=w_ot+2π, откуда w_o =2π/T, т.е. именно число периодов за 2π секунд).

(12)

В итоге получаем формулу для экспериментального определения момента инерции физического маятника:

(13)

Уравнение динамика для физического маятника

«Физика — 11 класс»

Колебания тела можно описать, используя законы Ньютона.

Уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости.

Согласно второму закону Ньютона произведение массы тела на ускорение его равно равнодействующей всех сил, приложенных к телу:

Запишем уравнение движения для шарика, движущегося прямолинейно вдоль горизонтали под действием силы упругости F_упр пружины.
Направим ось ОХ вправо. Пусть начало отсчета координат соответствует положению равновесия шарика.

В проекции на ось ОХ уравнение движения можно записать так:

где а_х и F_{x упр} — проекции ускорения и силы упругости пружины на эту ось.

Согласно закону Гука проекция F_{x ynp} прямо пропорциональна смещению шарика из положения равновесия.
Смещение же равно координате х шарика, причем проекция силы и координата имеют противоположные знаки. Следовательно,

F_{x yпp} = -kх

Разделив левую и правую части уравнения на массу, получим уравнение, описывающее колебания тела под действием силы упругости:

Проекция ускорения тела прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.

Так как масса и жесткость пружины — постоянные величины, то их отношение также постоянная величина.

Уравнение движения математического маятника

При колебаниях маятника на нерастяжимой нити он все время движется по дуге окружности, радиус которой равен длине нити l.
Положение маятника в любой момент времени определяется одной величиной — углом альфа (α) отклонения нити от вертикали.
Пусть угол α>0, если маятник отклонен вправо от положения равновесия,
и α 0) составляющая силы тяжести F_t направлена влево и ее проекция отрицательна: F_t 0.

Проекция ускорения маятника на касательную к его траектории а_t характеризует быстроту изменения модуля скорости маятника.

Поступая налогично выводу форулы для маятника, колеблющегося под действием силы упругости,
получим уравнение движения для математического маятника (нитяного маятника):

Проекция ускорения тела прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.

где
l — длина нити маятника,
g — ускорение свободного падения,
х — смещение маятника.

Вывод:

Движение маятника на пружине и колебания маятника на нити происходят одинаковым образом, хотя силы, вызывающие колебания, имеют различную физическую природу.
Ускорение прямо пропорционально координате (смещению от положения равновесия).
Колебания в этих двух случаях совершаются под действием сил, равнодействующая которых прямо пропорциональна смещению колеблющегося тела от положения равновесия и направлена в сторону, противоположную этому смещению.

Источник: «Физика — 11 класс», учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин

Механические колебания. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика