Уравнение динамики в инерциальных системах

Динамика

Динамика – это раздел механики, который рассматривает законы движения тел и те причины, которые его вызывают или изменяют.

Инерция – это свойство тела сохранять состояние покоя или прямолинейного и равномерного движения при отсутствии воздействия на него других тел или их компенсации.

Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона

Инерциальные системы отсчета – это системы отсчета, относительно которых тела движутся с постоянной по модулю скоростью в отсутствие или при компенсации внешних воздействий.

Инерциальной системой отсчета является система отсчета, связанная с Землей.

Первый закон Ньютона
Существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущееся тело сохраняет свою скорость постоянной или покоится, если на него не действуют другие тела или их действие компенсируется:

Физический смысл закона:

из всех систем отсчета первый закон выделяет только инерциальные системы отсчета;
закон утверждает, что будет происходить с телом, если на него не действуют другие тела или действие других тел скомпенсировано.

Согласно первому закону Ньютона, когда силы, действующие на движущееся тело, уравновесят друг друга, оно станет двигаться прямолинейно и равномерно, а если оно ранее покоилось, то и останется в покое.

Следствие
Если существует хотя бы одна инерциальная система отсчета, то существует и бесконечное множество таких систем.

Важно!
Скорость движения тела постоянна, если на него не действуют другие тела или действие других тел компенсируется.

Принцип относительности Галилея

Принцип относительности Галилея
Все законы механики имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета.

Никакими механическими опытами нельзя отличить одну инерциальную систему отсчета от другой.
Связь координат точки в системах отсчета, движущихся друг относительно друга, описывается преобразованиями Галилея. Преобразования всех других кинематических величин являются их следствиями.

Важно!
Преобразования Галилея вместе с утверждением о независимости течения времени от движения отражают суть классических представлений о пространстве – времени. Согласно этим представлениям расстояния между телами одинаковы во всех системах отсчета и течение времени одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

Масса тела. Плотность вещества

Причиной изменения скорости движения тела является его взаимодействие с другими телами. Все тела обладают свойством, которое называется инертностью.
Инертность – это способность тела изменять свою скорость не мгновенно, а за определенный промежуток времени.

Масса – это скалярная физическая величина, являющаяся мерой инертности тела.

Чем больше масса тела, тем труднее изменить его скорость и тем сильнее оно притягивает другие тела.
Свойства массы:

масса не зависит от того, движется тело или покоится;
масса тела равна сумме масс его частей.

Обозначение – \( m \) , единицы измерения – кг (г, мг, т).

Плотность тела – это скалярная физическая величина, равная отношению массы тела к его объему.

Обозначение – \( \rho \) , единицы измерения – кг/м 3 .

Сила – это векторная физическая величина, которая является количественной мерой взаимодействия тел, в результате которого они изменяют свою скорость или деформируются.

Обозначение – \( F \) , единицы измерения – Н (Ньютон).

1 Ньютон равен силе, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение 1 м/с 2 :

Существуют четыре вида сил различной природы:

электромагнитные силы – силы, действующие между телами вследствие того, что тела состоят из движущихся заряженных частиц, между которыми действуют электрические и магнитные силы (сила трения, сила упругости);
гравитационные силы – это силы притяжения одних тел к другим вследствие наличия у них массы (сила тяжести, сила тяготения);
ядерные силы – это силы, действующие между протонами и нейтронами внутри атомов;
слабые силы – это силы, удерживающие элементарные частицы от распада.

Принцип суперпозиции сил

Принцип суперпозиции сил
Если на тело действует несколько сил, то их можно заменить одной равнодействующей силой, которая равна векторной сумме всех сил, действующих на тело:

Сложение сил
Равнодействующая сил равна геометрической сумме действующих на тело сил:

Силы направлены вдоль одной прямой:

Силы направлены перпендикулярно друг другу:

Силы направлены под углом \( \alpha \) друг к другу:

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона
Равнодействующая сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на сообщаемое ему ускорение:

Физический смысл закона:

закон связывает кинематические и динамические характеристики одного и того же тела;
закон утверждает, что будет происходить с телом, если на него действуют другие тела.

Важно!
Направление ускорения всегда совпадает с направлением равнодействующей сил. Второй закон Ньютона применим для сил любой природы.

Важно!
При рассмотрении движения связанных тел часто употребляется модель «невесомая нерастяжимая нить». Условие «невесомости» нити позволяет не рассматривать ее как отдельное тело и не писать для нее основное уравнение второго закона Ньютона. Поэтому силы натяжения нити, приложенные к связанным телам, оказываются равными по модулю. Условие «нерастяжимости» позволяет считать, что все связанные тела движутся с одинаковым ускорением:

Алгоритм применения второго закона Ньютона к решению задач

Запишите краткое условие задачи.
Определите характер движения.
Сделайте рисунок, на котором укажите все силы, действующие на тело, направление векторов скорости и ускорения.
Выберите инерциальную систему отсчета с удобным для нахождения проекций векторов направлением координатных осей.
Запишите второй закон Ньютона в векторной форме.
Спроецируйте его на выбранные координатные оси (сколько осей, столько и уравнений в системе).
Решите полученную систему уравнений относительно неизвестных величин.
Выполните действия с единицами измерения величин.
Запишите ответ.

Третий закон Ньютона

Третий закон Ньютона
Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой, соединяющей центры этих тел:

Физический смысл закона:

закон относится не к одному телу, а к системе тел;
закон утверждает, что во всех случаях, когда одно тело действует на другое, имеет место не одностороннее действие, а взаимодействие тел;
закон утверждает, что силы возникают парами, имеют одну и ту же природу, появляются и исчезают одновременно.

Важно!
Несмотря на то, что эти силы равны и противоположны по направлению, они друг друга не компенсируют, т. к. приложены к разным телам. Компенсировать друг друга могут только силы, приложенные к одному и тому же телу, если они равны по модулю и противоположны по направлению. Например, утверждают, что коробка покоится на столе потому, что сила тяжести, действующая на тело, согласно третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции опоры, действующей на нее со стороны стола.

На самом деле равенство \( \vec_Т+\vec=0 \) является следствием второго закона Ньютона, а не третьего. Ускорение равно нулю, поэтому и сумма сил, действующих на коробку, равна нулю. Из третьего же закона Ньютона следует, что сила реакции опоры равна по модулю весу коробки, т. е. силе, с которой коробка действует на стол. Эти силы приложены к разным телам и направлены в разные стороны.

Закон всемирного тяготения. Искусственные спутники Земли

Всякое тело, имеющее массу, является источником гравитационного поля – поля тяготения.

Закон всемирного тяготения
Два тела притягиваются друг к другу с силой, модуль которой прямо пропорционален произведению масс этих тел, обратно пропорционален квадрату расстояния между ними и направлен вдоль линии, соединяющей эти тела:

где \( G \) – гравитационная постоянная.

Гравитационная постоянная численно равна силе притяжения между двумя телами массой по 1 кг, расположенными на расстоянии 1 м:

Закон справедлив для:

материальных точек;
однородных шаров;
материальной точки и шара;
концентрических тел.

Искусственный спутник Земли – это тело, которое обращается вокруг Земли.
Траектория движения искусственных спутников – эллипс, но мы для упрощения считаем, что они движутся по окружности.
Линейная скорость такого движения есть первая космическая скорость.
Первая космическая скорость – это горизонтально направленная минимальная скорость, с которой тело могло бы двигаться вокруг Земли по круговой орбите, т. е. стать искусственным спутником Земли.

На рисунке \( R \) – радиус Земли, \( H \) – высота спутника над поверхностью Земли, \( r \) – высота орбиты спутника:

Период обращения искусственного спутника Земли можно рассчитать по формуле:

Вторая космическая скорость – это наименьшая скорость, которую надо сообщить телу, чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической, т. е. чтобы тело могло стать искусственным спутником Солнца:

Третья космическая скорость – это скорость, которую необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы:

Важно!
При решении задач следует помнить, что в законе всемирного тяготения расстояние берется от центра тела, а не от его поверхности.

Сила тяжести

Сила тяжести – это сила, с которой Земля притягивает к себе тела.

Сила тяжести равна произведению массы тела на ускорение свободного падения:

Точка приложения силы тяжести – центр тела.
Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз.

Сила тяжести является частным случаем силы всемирного тяготения, поэтому

где \( M \) – масса Земли, \( m \) – масса тела, \( R \) – радиус Земли.

Ускорение свободного падения не зависит от массы тела, зависит от массы Земли и от расстояния от центра Земли до тела.

Важно!
У поверхности Земли ускорение свободного падения не везде одинаково. Оно зависит от географической широты: на полюсах больше, чем на экваторе. Дело в том, что земной шар немного сплюснут у полюсов. Экваториальный радиус Земли больше полярного на 21 километр.

Вес и невесомость

Вес – это сила, с которой тело вследствие притяжения к Земле действует на опору или подвес.

Обозначение – \( P \) , единица измерения – Н.

Точка приложения веса – точка соприкосновения тела с опорой или подвесом. Вес тела всегда направлен против силы реакции опоры или силы натяжения. Модуль веса находится по третьему закону Ньютона.

Вес тела может изменяться:

если тело покоится или движется прямолинейно и равномерно, то вес равен силе тяжести:

если тело движется с ускорением, направленным вертикально вниз (движение вниз с ускорением или вверх с замедлением), то его вес меньше силы тяжести:

если тело движется вниз с ускорением, равным ускорению свободного падения, то тело находится в состоянии невесомости.
Невесомость – это исчезновение веса при движении опоры вниз с ускорением свободного падения:

если тело движется с ускорением, направленным вертикально вверх (движение вверх с ускорением или вниз с замедлением), то его вес больше силы тяжести:

При таком движении тело испытывает перегрузку.
Перегрузка – это величина, которая показывает, во сколько раз вес тела, поднимающегося с ускорением или опускающегося с замедлением, больше его веса в состоянии покоя.
Обозначение – \( n \) , единиц измерения нет:

Сила упругости. Закон Гука

Сила упругости – это сила, возникающая при деформации тела.

Деформация – это изменение формы и объема тела в результате неодинакового смещения различных его частей под действием силы.

упругие – это деформации, при которых после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму (растяжение, сжатие, изгиб, кручение, сдвиг);
пластические – это деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил.

Основные величины, характеризующие деформацию

Абсолютное удлинение – изменение размеров тела под действием силы.

Обозначение – \( x \) или \( \Delta \) , единицы измерения – м.

где \( l_0 \) – длина тела до действия силы (начальная длина),
\( l \) – длина тела во время действия силы.

Относительное удлинение – это количественная мера степени деформации тела.

Обозначение – \( \varepsilon \) , единиц измерения нет.
Относительное удлинение равно отношению абсолютного удлинения к длине тела до действия силы (начальной длине тела):

Механическое напряжение – это сила, действующая на единицу площади поперечного сечения.

Обозначение – \( \sigma \) , единицы измерения – Па (Паскаль):

Закон Гука
Сила упругости, возникающая при деформации тела, прямо пропорциональна удлинению тела и направлена в сторону, противоположную деформации:

где \( k \) – жесткость пружины.

Знак «–» в законе Гука говорит о том, что сила упругости всегда направлена противоположно смещению частиц тела при деформации. При решении задач им можно пренебречь.

Виды силы упругости
Сила реакции опоры – это сила, действующая на тело со стороны опоры.
Обозначение – \( N \) , единицы измерения – Н.
Сила натяжения – это сила, действующая на тело со стороны подвеса.
Обозначение – \( T \) , единицы измерения – Н.

Важно!
Соединения пружин:

Важно!
Если тело движется по окружности и нет силы трения между соприкасающимися поверхностями, то оно вынуждено наклоняться под углом к поверхности, по которой движется, иначе его центростремительное ускорение станет равным нулю и оно поедет по касательной к окружности согласно первому закону Ньютона. Чтобы удержаться на круге (сохранить равновесие), оно наклоняется к центру. В этом случае

Если тело совершает мертвую петлю, то в верхней точке петли и сила тяжести, и сила нормального давления будут направлены вниз, поэтому

В нижней точке мертвой петли сила нормального давления направлена вверх и больше силы тяжести. В этом случае

Сила трения

Сила трения – это сила, возникающая при движении тел или при попытке сдвинуть их с места вследствие неровностей поверхностей соприкасающихся тел.

Сила трения действует на поверхности тел и затрудняет их перемещение относительно друг друга.
Сила трения всегда направлена противоположно относительному перемещению тела, т. е. против направления вектора скорости.

Виды трения

Внешнее трение (сухое) – это трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении.

Сила трения покоя – это сила, которая возникает между соприкасающимися и покоящимися относительно друг друга поверхностями, а также при попытке сдвинуть тело с места.

Сила трения покоя саморегулирующаяся, т. е. в зависимости от внешних воздействий она может меняться от 0 до максимального значения.

где \( \mu \) – коэффициент трения, \( N \) – сила реакции опоры.

Если в условии задачи не говорится, что сила трения покоя максимальна, то ее надо находить через другие силы по второму закону Ньютона.

Cила трения скольжения – это сила, которая возникает между соприкасающимися и движущимися относительно друг друга телами.

Сила трения качения – это сила, которая возникает между соприкасающимися и катящимися относительно друг друга телами.

Внутреннее трение (жидкое или вязкое) – между слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от одного слоя к другому.

Если движение происходит по гладкой поверхности, то сила трения равна нулю.

Способы уменьшения трения:

выравнивание соприкасающихся поверхностей;
смазка;
установка шариковых и роликовых подшипников.

Важно!
Сила трения не зависит от площади соприкосновения трущихся поверхностей. Она зависит от относительной скорости тел. В этом ее главное отличие от сил тяготения и упругости, зависящих только от координат.

Важно!
Если тело удерживается на горизонтальном вращающемся диске силой трения, то

Давление

Давление – это скалярная физическая величина, равная отношению модуля силы, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности.

Обозначение – \( p \) , единицы измерения – Па (Паскаль):

1 Па – это давление, которое производит сила 1 Н на перпендикулярную к ней поверхность площадью 1 м 2 .

1 мм рт. ст. (миллиметр ртутного столба) = 133,3 Па.
1 атм (атмосфера) = 100 кПа.

Давление возрастает, если увеличивается сила давления или уменьшается площадь, на которую оказывается давление.
Давление уменьшается, если уменьшается сила давления или увеличивается площадь, на которую оказывается давление.

Динамика твердого тела и системы. Все определения, законы и теоремы

Механическая система. Основные понятия

Свойства внутренних сил

Приводимые ниже свойства внутренних сил являются третьим законом Ньютона для системы материальных точек.

Свойство 1
Векторная сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равна нулю:
.

Свойство 2
Векторная сумма моментов всех внутренних сил системы, относительно произвольной точки O равена нулю:
.

Дифференциальные уравнения движения точек системы

Согласно второму закону Ньютона, дифференциальное уравнение движения материальной точки k массой m_k , входящей в систему, имеет вид:
.
Спроектировав это уравнение на оси декартовой системы координат Oxyz , получим для каждой точки три уравнения:
.

Общие теоремы динамики механической системы

Общие теоремы динамики – это теорема о движении центра масс механической системы, теорема об изменении количества движения, теорема об изменении главного момента количества движения (кинетического момента) и теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Теорема о движении центра масс механической системы

Теорема о движении центра масс механической системы
Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно векторной сумме всех действующих на систему внешних сил:
.

Здесь – масса системы; – ускорение центра масс системы: ;
– скорость центра масс системы: ;
– радиус вектор (координаты) центра масс системы: ;
– координаты и массы точек, из которых состоит система.

Теорема об изменении количества движения (импульса)

Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме
Производная по времени от количества движения (импульса) системы равна векторной сумме всех действующих на систему внешних сил:
.

Теорема об изменении количества движения в интегральной форме
Изменение количества движения (импульса) системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени:
.

Закон сохранения количества движения (импульса)
Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.

Если сумма проекций внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось будет постоянной.

Тело переменной массы. Движение ракеты

Уравнение Мещерского
Дифференциальное уравнение движения точки переменной массы называется уравнением Мещерского:
.
Здесь – масса тела, которая является функцией от времени t ; – векторная сумма приложенных к телу внешних сил; – скорость отделяющихся частиц относительно тела.

Реактивная сила направлена в сторону, противоположную истечению отделяющихся частиц (топлива), и определяется по формуле:
,
где – расход топлива (кг/с).

Формула Циолковского

Скорость v движения ракеты под действием одной только реактивной силы определяется по формуле Циолковского:
.
Здесь – начальная скорость ракеты; u – скорость истечения реактивных газов относительно ракеты; – масса сгоревшего топлива; – масса корпуса ракеты с остатками топлива. Когда топливо выгорает полностью, то – это масса корпуса ракеты с полезной нагрузкой.

Отношение первоначальной массы ракеты (с полным запасом топлива) к массе корпуса ракеты называется числом Циолковского:
.
Для достижения первой космической скорости км/с , при , требуется, чтобы скорость истечения реактивных газов была не менее км/с . В современных жидкостных двигателях удается получить скорость истечения км/с . Поэтому, для достижения космических скоростей, ракеты должны быть многоступенчатыми.

Теорема об изменении главного момента количества движения (теорема моментов)

Теорема моментов в инерциальной системе координат

Главный момент количества движения (или кинетический момент) системы является характеристикой вращательного движения. Возьмем систему координат Oxyz с началом в точке O . Тогда , проекции кинетического момента системы на оси координат являются моментами количества движения системы относительно этих осей:
;
;
.

Если система состоит из нескольких частей, то главный момент количества движения системы равен сумме моментов количеств движения отдельных ее частей.

Теорема об изменении главного момента количества движения (теорема моментов)
Производная по времени от главного момента количества движения системы относительно некоторого неподвижного центра O равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра:
(М2) .

Выпишем компоненты уравнения (М2) в неподвижной системе координат Oxyz :
;
;
.

Закон сохранения главного момента количества движения (момента импульса)
Если сумма моментов всех приложенных к системе внешних сил относительно данного неподвижного центра O равна нулю, то главный момент количества движения системы относительно этого центра будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения:
.

Часто встречаются случаи, когда система вращается вокруг неподвижной оси. Тогда нужно спроектировать векторное уравнение (М2) на направление этой оси. В результате получим теорему моментов, применительно к вращению относительно оси.

Производная по времени от кинетического момента системы относительно некоторой неподвижной оси равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно этой оси. Если сумма моментов всех приложенных к системе внешних сил относительно некоторой неподвижной оси равна нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси будет постоянным.

Теорема моментов в системе координат, связанной с центром масс

Кинетический момент системы относительно неподвижного центра удобно использовать в тех задачах, в которых система имеет одну или несколько закрепленных точек. Например при вращении тела или системы тел вокруг точки или оси. Когда таких точек нет, то наиболее удобным в использовании является кинетический момент относительно центра масс в системе координат, в которой центр масс покоится, а оси остаются параллельными осям инерциальной системы отсчета. В общем случае, система отсчета, связанная с центром масс, не является инерциальной, но она не вращается относительно инерциальной системы отсчета.

Главным моментом количества движения системы относительно ее центра масс C называется величина , равная векторной сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно центра масс в системе отсчета, в которой центр масс покоится, а оси системы координат параллельны осям инерциальной системы координат:
(М3) .
Здесь – скорости точек системы и скорость ее центра масс в инерциальной системе отсчета. Тогда – скорость точки массой в системе отсчета, связанной с центром масс.

Связь кинетических моментов в различных системах отсчета
Кинетический момент системы относительно неподвижной точки O равен сумме кинетического момента центра масс C , если в нем сосредоточить всю массу системы, и кинетического момента системы относительно центра масс :
(М4) .

То есть можно сказать, что вращение системы вокруг неподвижной точки O складывается из вращения центра масс C вокруг точки O , и вращения элементов системы вокруг центра масс C .

В (М2) ⇑ мы использовали кинетический момент системы, вычисляемый относительно произвольной неподвижной точки в инерциальной системе отсчета. Уравнения для кинетического момента имеют тот же вид, если в качестве полюса взять центр масс C системы.

Теорема моментов относительно центра масс системы
Производная по времени от главного момента количества движения системы относительно ее центра масс C , равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра:
(М5) .

В (М5) мы используем неинерциальную систему координат, начало которой, в течении всего движения системы, находится в центре масс, а оси параллельны осям инерциальной системы координат. Естественно, что если мы выберем инерциальную систему координат, начало которой в данный момент времени совпадает с центром масс, то теорема моментов не изменит своего вида (М5). То есть центр масс обладает такой особенностью, что теорема моментов относительно него имеет одну и ту же форму, как в инерциальной системе отсчета, так и в неинерциальной системе, начало которой на всем протяжении движения совпадает с центром масс, а оси параллельны осям инерциальной системы отсчета. Такая особенность возникает только для центра масс системы. Для других точек, уравнение моментов в неинерциальной системе отсчета не имеет вида (М5).

Кинетический момент твердого тела

Пусть твердое тело вращается с угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси Oz . Тогда его кинетический момент относительно этой оси равен произведению момента инерции относительно этой оси на угловую скорость вращения:
.
Если на твердое тело действуют внешние силы, то применяя теорему моментов, находим:
.
Если момент сил относительно оси Oz равен нулю: , то угловая скорость постоянна: .

В произвольном случае, кинетический момент выражается через компоненты угловой скорости и тензора инерции. Пусть, в данный момент времени, скорость точки O тела равна нулю: . То есть точка O является мгновенным центром вращения тела. Тогда компоненты кинетического момента тела относительно точки O определяется по формуле:
.
Здесь – компоненты тензора инерции тела ⇑ относительно точки O . Они связаны с моментами инерции формулами ⇑. Также подразумевается, что индексы p, q принимают значения x, y, z :
.

Здесь мы выбрали в качестве полюса неподвижную (в рассматриваемый момент времени) точку. Если, в качестве полюса выбрать центр масс тела, то компоненты момента импульса определяются по аналогичной формуле:
.
Для других точек, момент импульса выражается через угловую скорость более сложным образом.

В большинстве случаев, наиболее удобным полюсом оказывается центр масс C тела. Тогда, для компонент кинетического момента относительно произвольного центра O , имеем:
.
Здесь – радиус-вектор, проведенный из точки O в точку центра масс C ; m – масса тела; – скорость центра масс; – компоненты тензора инерции относительно точки C . Как видно, первое слагаемое является кинетическим моментом материальной точки, находящейся в центре масс тела и движущейся со скоростью центра масс. Второе слагаемое является вкладом вращения тела относительно его центра масс. То есть, как было указано выше ⇑, кинетический момент твердого тела относительно произвольной неподвижной точки O равен сумме кинетического момента поступательного движения центра масс относительно точки O и кинетического момента вращательного движения тела относительно его центра масс.

Теорема об изменении кинетической энергии

Кинетической энергия системы

Если система состоит из нескольких тел, то кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел, составляющих систему.

Теорема Кенига
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии центра масс C системы, масса m которого равна массе всей системы: , и кинетической энергии этой системы в ее движении относительно центра масс:
.
Здесь – скорость движения центра масс.

Если тело массы m совершает поступательное движение со скоростью , то скорости всех его точек равны . Кинетическая энергия поступательного движения:
(К1) .

Если тело вращается с угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси Oz , то кинетическая энергия вращательного движения определяется по формуле:
(К2) ,
где – момент инерции тела относительно оси вращения.

В произвольном случае, кинетическая энергия равна сумме кинетической энергии поступательного движения центра масс и энергии вращательного движения относительно центра масс:
(К3) .
Здесь ω – абсолютное значение угловой скорости вращения тела; CL – ось, проведенная через центр масс, параллельно направлению вектора угловой скорости; – момент инерции относительно оси CL . Направление оси вращения может меняться со временем. Указанная формула дает мгновенное значение кинетической энергии.

Формула (К3) удобна, если тело вращается вокруг неподвижной оси. Если же вектор угловой скорости может менять направление относительно тела, то нам пришлось бы вычислять момент инерции относительно каждого положения оси вращения. В этом случае удобно выразить кинетическую энергию вращения через компоненты тензора инерции относительно центра масс тела:
(К4) .

Работа сил и мощность

Все сказанное в отношении работы и потенциальной энергии в разделе «Динамика материальной точки», имеет место и для динамики системы тел.
См. Работа силы. Мощность Силовые поля и потенциальная энергия
Единственное отличие заключается в том, что там силы приложены только к одной исследуемой точке. Для системы, внешние силы могут быть приложены к разным точкам, составляющих систему. При этом одна сила приложена только к одной точке, но этих сил может быть много. Точку, к которой приложена сила называют точкой приложения силы.

При рассмотрении твердых тел, мы можем упростить реальную систему сил, воспользовавшись результатами статики. Для этого нужно преобразовать сложную систему реальных сил на эквивалентную ей, более простую, систему. Так например, систему сил тяжести, действующих на каждую точку тела, можно заменить одной равнодействующей силой, приложенной к центру масс тела. Тогда все вычисления можно выполнять только для одной силы с точкой приложения в центре масс тела.

Работа при перемещении точки

Элементарная работа , которую совершает сила , при элементарном перемещении ее точки приложения, равна скалярному произведению векторов силы и перемещения:
;
.
То есть она равна произведению модуля вектора силы , перемещения и косинусу угла между ними. Это, в свою очередь, равно произведению касательной компоненты силы к траектории движения, и модуля элементарного перемещения . Здесь – скорость точки приложения силы; – промежуток времени, в течении которого происходит перемещение.

Мощность равна скалярному произведению векторов силы и скорости:
.

Работа , которую совершает сила , при перемещении точки ее приложения из точки в точку , равна сумме (интегралу) элементарных работ:
.

Работа при движении тела

Если тело движется поступательно, то скорости и перемещения всех его точек равны. В этом случае, работа и мощность вычисляются также как и при перемещении точки. Этот случай рассмотрен выше.

Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz , элементарная работа равна произведению момента силы относительно этой оси на элементарный угол поворота dφ :

.
Здесь – мгновенное значение угловой скорости вращения; dt – время, в течении которого происходит поворот на угол dφ .
Мощность равна произведению момента силы на угловую скорость:
.

Для тела, вращающегося вокруг неподвижной точки O , элементарная работа равна скалярному произведению вектора момента силы относительно этой точки на вектор элементарного угла поворота :

.
Вектор элементарного поворота направлен вдоль вектора мгновенной угловой скорости : .
Мощность равна скалярному произведению векторов момента силы и угловой скорости:
.

При произвольном движении твердого тела, мы, произвольным образом, выбираем точку O , связанную с телом, которую называем полюсом. Тогда элементарная работа равна работе, которую совершает сила при перемещении полюса , и работе момента силы относительно полюса при элементарном повороте тела:
.
Заметим, что элементарный угол поворота и угловая скорость вращения не зависят от выбора полюса.
Мощность:
.

Теорема об изменении кинетической энергии системы

Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме.
Дифференциал (приращение) кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме дифференциалов работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил:
.

Теорема об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме.
Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил:
.

Неизменяемая система – это механическая система, в которой расстояние между любыми двумя взаимодействующими точками остается постоянным во все время движения.
Идеальные связи – это связи, для которых сумма элементарных работ их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю.

Для систем с идеальными связями и неизменяемых систем, сумма работ внутренних сил равна нулю: . Для таких систем, изменение кинетической энергии системы равно сумме работ всех внешних сил, приложенных к системе:
.

Коэффициент полезного действия

В машинах и механизмах, совершающих некоторую полезную работу, силы можно разделить на следующие виды.

Движущие силы – это силы, совершающие положительную работу A_затр .
Силы полезного сопротивления – это силы, совершающие отрицательную работу – A_{пол. сопр} , но выполняют полезное действие.
Силы вредного сопротивления – это силы, совершающие отрицательную работу – A_{вр. сопр} , и не выполняющие полезных действий.
Попеременные силы – это силы, совершающие то положительную, то отрицательную работу, но за достаточно большой промежуток времени, их сумма работ равна нулю. Механический коэффициент полезного действия машины – это величина, равная отношению работы полезных сил сопротивления (полезной работы) к работе движущих сил (затраченной на приведение машины в движение):
.

Пусть N_маш – полезная мощность машины; N_дв – мощность двигателя. Тогда
.

Закон сохранения полной механической энергии

Если система движется под действием потенциальных сил, то сумма кинетической T и потенциальной Π энергий сохраняет постоянное значение:
.

Механическая энергия – это сумма кинетической и потенциальной энергии.

Уменьшение механической энергии, как правило, связано с ее превращением в тепловую, электрическую, электромагнитную энергию, энергию звука и электромагнитных колебаний (свет, электромагнитные волны). Увеличение механической энергии связано с обратными процессами превращения различных видов энергии в механическую.

Геометрия масс

Моменты и тензор инерции твердого тела

В этом разделе мы рассматриваем величины, характеризующие распределение массы системы в пространстве.

Сложившаяся система обозначений

Тензор инерции твердого тела

Для вычисления момента импульса и кинетической энергии твердого тела, нам нужно знать всего несколько характеристик тела, величины которых зависят от распределения масс точек, составляющих тело. Эти величины составляют компоненты, так называемого, тензора инерции , который определяется относительно некоторого, предварительно выбранного, центра O , и вычисляется по формуле:
(И1) .
Здесь – координаты точки массы в декартовой системе координат, с началом в выбранном центре O ; при p = q , при p ≠ q . Индексы координат нумеруют цифрами, придерживаясь следующих обозначений:
.

Тензор инерции имеет следующие шесть компонент:
;
;
.
Если в качестве полюса O выбрать центр масс C тела, то компоненты момента импульса и кинетическая энергия тела T вычисляются по относительно простым формулам:
.
Здесь – скорость центра масс тела, – компоненты угловой скорости.

Моменты инерции твердого тела

Пользоваться тензором инерции (И1) ⇑ удобно, поскольку, при решении задач, мы сразу можем применить результаты теории тензорного исчисления. Однако сложилось так, что вместо тензора инерции вводят его отдельные компоненты, придав им специфические названия и обозначения.
Осевые моменты инерции:
;
Центробежные моменты инерции:
.
Все это может привести к путанице. Поэтому компоненты тензора инерции мы будем обозначать буквой I . А сложившиеся названия и обозначения его отдельных компонент – буквой J .

Определения моментов инерции

Свойства моментов инерции

Сумма осевых моментов инерции

Знаки моментов инерции
Осевые моменты инерции не могут быть отрицательными:
.
Центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными, или равными нулю.

Симметричность моментов инерции
Центробежные моменты инерции симметричны относительно своих индексов:
.

Все моменты инерции имеют размерность [кг·м 2 ].

Для вычисления моментов инерции сплошных тел, мы от суммирования переходим к интегрированию. При этом массу точки m_k мы заменяем на дифференциал: . Дифференциал массы dm выражаем через плотность μ и элемент объема : . Далее интегрируем по объему тела V :
.

Моменты инерции в разных системах координат

Если мы от начальной системы координат Oxyz перейдем к другой системе O′x′y′z′ , то величины моментов инерции в новой системе будут отличаться от моментов в старой системе координат. Такие переходы называются преобразованиями системы координат.

Повороты системы координат

Сначала рассмотрим случай, когда две декартовы системы координат Oxyz и Ox′y′z′ имеют общее начало O . То есть вторая система получена из первой поворотом вокруг общего центра O . Согласно тензорной алгебре, любой симметричный тензор, поворотом системы координат можно привести к диагональному виду. То есть можно найти такую декартову систему координат, относительно которой все центробежные моменты равны нулю. Оси такой системы координат называются главными осями инерции тела.

Главная ось инерции тела , относительно некоторой точки O – это ось, для которой оба центробежных момента инерции, содержащие индекс этой оси, равны нулю. Например, если ось z – главная ось инерции, то .
Главный момент инерции тела , относительно некоторой точки O – это момент инерции относительно главной оси инерции.
Главная центральная ось инерции тела – это главная ось, проходящая через центр масс тела.
Главный центральный момент инерции тела – это момент инерции относительно главной центральной оси инерции.

Любое тело в пространстве имеет три главные оси инерции и три значения главных моментов инерции (относительно предварительно выбранной точки O ). При этом главные моменты инерции могут иметь равные значения.
Стоит подчеркнуть, что главные оси определяются относительно определенной точки тела. При выборе другой точки, главные оси могут иметь другие направления.

Тело с плоскостью симметрии
Если распределение массы тела в пространстве имеет плоскость симметрии, то любая ось, перпендикулярная к этой плоскости, будет главной осью инерции тела, а две другие главные оси лежат в плоскости симметрии.

Тело с осью симметрии
Если распределение массы тела в пространстве имеет ось симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции.

Параллельность главных осей
Если точка O расположена на главной центральной оси тела, то главные оси, проходящие через эту точку, параллельны главным центральным осям.

Главная ось, не проходящая через центр масс
Главная ось инерции, не проходящая через центр масс тела, является главной осью инерции только в одной точке.

Инвариантность суммы осевых моментов инерции
Если от одной системы координат Oxyz , мы перейдем к другой Ox′y′z′ с тем же началом, то сумма осевых моментов инерции не изменится при переходе от одной системы к другой:
.

По этой причине, величина полярного момента инерции не зависит от поворотов системы координат. То есть является инвариантом относительно поворотов системы координат. Она зависит от выбранного центра, относительно которого определяются моменты инерции.

Момент инерции относительно произвольной оси

Пусть нам известны моменты инерции тела относительно осей Oxyz . И пусть OL – произвольная ось, проходящая через начало O , составляющая углы с осями Ox, Oy, Oz . Тогда момент инерции тела относительно оси OL определяется по формуле:

.
Если оси x,y,z являются главными осями, то
.

Перенос системы координат. Теорема Гюйгенса-Штейнера

Отсюда следует, что осевой момент инерции будет иметь наименьшее значение относительно той оси, которая проходит через центр масс тела.

Моменты инерции некоторых тел

Однородный стержень

Рассмотрим тонкий однородный стержень длины l и массы m . Выберем начало координат O на одном из его концов. Направим ось Ox вдоль стержня; оси Oy и Oz – перпендикулярно. Эти оси будут главными осями инерции стержня относительно центра O . Осевые моменты инерции имеют следующие значения:
.

Центр масс стержня находится по его середине, в точке C ; . Проведем через нее оси координат Cxy′z′ , параллельные предыдущим. Эти оси являются главными центральными осями инерции со следующими значениями осевых моментов:
.

Прямоугольный параллелепипед

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с длинами ребер a, b, c (см. рисунок). Его центр масс C находится в центре параллелепипеда. Оси, проведенные через центр масс параллельно сторонам, будут главными центральными осями инерции. Моменты инерции прямоугольного параллелепипеда:

Полый цилиндр

Рассмотрим полый цилиндр высоты H и радиусами . Его центр масс находится на оси цилиндра, на расстоянии от основания. Через точку C проводим главные центральные оси инерции: ось Cz – вдоль оси цилиндра; оси Cx, Cy – перпендикулярно. Моменты инерции полого цилиндра:

Однородный сплошной диск

Тонкий обруч

Динамика твердого тела

Свободное движение твердого тела

Рассмотрим твердое тело массы m , перемещение которого не ограничено в пространстве. Пусть на тело действуют внешние силы , приложенных в точках . Для определения уравнений движения, мы воспользуемся теоремой о движении центра масс ⇑, теоремой моментов относительно центра масс системы ⇑, и выражением кинетического момента тела через компоненты угловой скорости ω_q и тензора инерции I_pq тела (в системе координат с началом в центре масс, оси которой параллельны осям неподвижной системы):
(Т1) ;
(Т2) ;
(Т3) .
Здесь – радиус-вектор, проведенный в центр масс тела.

При известных внешних силах , из уравнения (Т1) можно определить закон движения центра масс тела.

Уравнения (Т2)–(Т3) определяют закон движения тела при его вращении. Они записаны в системе отсчета, начало которой находится в центре масс C , а оси параллельны осям инерциальной системы отсчета. Чтобы ими воспользоваться, мы должны найти способ, с помощью которого можно задать положение тела при его вращении. Это можно сделать с помощью углов Эйлера. Тогда оси вращающейся системы координат, связанной с телом, удобно направить вдоль главных центральных осей инерции тела ⇑. Тогда правые части уравнений (Т3) будут выражаться через главные центральные моменты инерций тела ⇑, три угла Эйлера и их производные по времени. Дифференцируя (Т3) и подставляя в (Т2), получим систему дифференциальных уравнений второго порядка для трех углов Эйлера.

Поступательное движение твердого тела

Рассмотрим поступательное движение твердого тела. Для него угловая скорость и угловое ускорение равны нулю: . Тогда момент количества движения постоянен и равен нулю: . Из (Т2) следует, что и главный момент всех внешних сил относительно центра масс должен равняться нулю: .
Дифференциальные уравнения поступательного движения определяются по формулам (Т1) ⇑:
.
Здесь – проекции внешней силы на оси координат. При поступательном движении, все точки тела имеют равные скорости и равные ускорения. Потому определив закон движения одной точки – центра масс , мы получаем закон движения произвольной точки A :
.

Плоское движение твердого тела

Рассмотрим плоское движение твердого тела. Выберем инерциальную систему координат Oxyz . Оси Ox и Oy направим в плоскости движения. Тогда положение тела полностью определяется тремя величинами – двумя компонентами радиус-вектора центра масс C : ; и углом поворота φ . Внешние силы также лежат в рассматриваемой плоскости. Кинетический момент направлен вдоль оси z и выражается через угловую скорость и момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс C , перпендикулярно плоскости движения: .

Уравнения (Т1)-(Т3) ⇑ принимают вид:
(Т4) ;
(Т5) .
Здесь – проекции внешней силы на оси координат; – это алгебраический момент силы относительно центра C – то есть проекция момента силы на ось Oz .

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Oz . Выберем декартову систему координат. Ось Oz направим вдоль оси вращения; оси Ox и Oy – перпендикулярно. Считаем, что перемещение параллельно оси вращения отсутствует. Тогда это плоское движение. Оно происходит в плоскости Oxy . Положение тела определяется только углом поворота φ вокруг оси вращения.

Применяя теорему моментов ⇑ и связь момента с угловой скоростью ⇑, получим дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси:
(Т6) .
Здесь – момент инерции тела относительно оси вращения; – вращающий момент – то есть сумма моментов всех внешних сил относительно оси вращения.

Вводя угловое ускорение , дифференциальное уравнение вращения примет вид:
.
Оно аналогично уравнению прямолинейного движения под действием силы F_x :
.

Если вращающий момент является постоянной величиной: , то уравнение (Т6) имеет решение:
.
Здесь – угол поворота и угловая скорость вращения в начальный момент времени ; – угловое ускорение, постоянная величина.

Физический и математический маятники

Далее мы будем приводить данные только для плоского движения маятника. То есть мы считаем, что маятник совершает колебания вокруг неподвижной оси.

Уравнение вращательного движения физического маятника имеет вид:
.
Здесь ось вращения проходит через точку O ; φ – угол поворота между осью маятника и вертикальной прямой; J_O – момент инерции маятника относительно оси вращения; P =mg – сила тяжести, действующая на маятник массы m ; a – расстояние от оси вращения O до центра масс C маятника; g – ускорение свободного падения. Введем обозначение: . Тогда
.

Рассмотрим малые колебания . При этом . И мы получаем уравнение гармонических колебаний:
.
Общее решение этого уравнения имеет вид:
.
Здесь – постоянные, которые определяются из начальных условий.

Во многих случаях удобно выразить общее решение уравнения малых колебаний через амплитуду α и начальную фазу колебаний β :
.
Величина k называется угловой частотой колебаний. Период колебаний: . Для малых колебаний, период не зависит от амплитуды. Этот результат является приближенным. При увеличении амплитуды такая зависимость появляется.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, и совершающая колебания под действием силы тяжести. Математический маятник.

Математический маятник является частным случаем физического маятника. Пусть L – длина нити математического маятника. Его центр масс C находится в материальной точке: L = |OC| . Момент инерции: . Выразив силу тяжести P через массу m и ускорение свободного падения g , получим угловую частоту колебаний:
.

Теперь вернемся к физическому маятнику. Если положить , то частота физического маятника будет совпадать с частотой математического маятника длины L :
.

Приведенная длина физического маятника – это длина математического маятника, частота колебаний которого совпадает с частотой колебаний рассматриваемого физического маятника.
Центром качаний физического маятника называется точка K на оси физического маятника, находящаяся на расстоянии его приведенной длины от точки подвеса.

Свойство взаимности
Если физический маятник подвесить за центр качаний K , то его частота колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса O станет центром качаний нового маятника.

Положение центра качания
Центр качаний всегда расположен ниже центра масс:
.

Принцип Даламбера

Суть принципа Даламбера состоит в том, чтобы задачи динамики свести к задачам статики. Для этого предполагают (или это заранее известно), что тела системы имеют определенные (угловые) ускорения. Далее вводят силы инерции и (или) моменты сил инерции, которые равны по величине и обратные по направлению силам и моментам сил, которые по законам механики создавали бы заданные ускорения или угловые ускорения

Принцип Даламбера
Если в любой момент времени к каждой точке системы приложить силы инерции и реально действующие силы, то полученная система сил будет находиться в равновесии, и к ней можно применять уравнения статики.

Рассмотрим пример. Путь тело массы m совершает поступательное движение и на него действуют внешние силы . Далее мы предполагаем, что эти силы создают ускорение центра масс системы . По теореме о движении центра масс, центр масс тела имел бы такое же ускорение, если бы на тело действовала сила . Далее мы вводим силу инерции:
.
После этого задача динамики:
.
Превращается в задачу статики:
;
.

Для вращательного движения поступают аналогичным образом. Пусть тело вращается вокруг оси z и на него действуют внешние моменты сил . Мы предполагаем, что эти моменты создают угловое ускорение ε_z . Далее мы вводим момент сил инерции M И = – J_z ε_z . После этого задача динамики:
.
Превращается в задачу статики:
;
.

Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений применяется для решений задач статики. В некоторых задачах, он дает более короткое решение, чем составление уравнений равновесия. Особенно это касается систем со связями (например, системы тел, соединенные нитями и блоками), состоящих из множества тел

Принцип возможных перемещений.
Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Возможное перемещение системы – это малое перемещение, при котором не нарушаются связи, наложенные на систему.

Общее уравнение динамики (принцип Даламбера — Лагранжа)

Принцип Даламбера — Лагранжа – это объединение принципа Даламбера с принципом возможных перемещений. То есть, при решении задачи динамики, мы вводим силы инерции и сводим задачу к задаче статики, которую решаем с помощью принципа возможных перемещений.

Принцип Даламбера — Лагранжа.
При движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю:
.
Это уравнение называют общим уравнением динамики.

Уравнения Лагранжа

Число обобщенных координат n совпадает с числом степеней свободы системы.

Если, при возможном перемещении системы, изменяются все координаты, то работа, совершаемая внешними силами при таком перемещении, имеет вид:
δA = Q ₁ δq ₁ + Q ₂ δq ₂ + . + Q_n δq_n .
Тогда обобщенные силы являются частными производными от работы по перемещениям:
.

Для потенциальных сил с потенциалом Π ,
.

Уравнения Лагранжа – это уравнения движения механической системы в обобщенных координатах:

Здесь T – кинетическая энергия. Она является функцией от обобщенных координат, скоростей и, возможно, времени. Поэтому ее частная производная также является функцией от обобщенных координат, скоростей и времени. Далее нужно учесть, что координаты и скорости являются функциями от времени. Поэтому для нахождения полной производной по времени нужно применить правило дифференцирования сложной функции:
.

Использованная литература:
А. П. Маркеев, Теоретическая механика, «Ижевская республиканская типография», 1999.
Н. Н. Никитин, Курс теоретической механики, «Высшая школа», 1990.
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.
А. А. Яблонский, Курс теоретической механики, часть 2, динамика «Высшая школа», 1986.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 20-07-2015 Изменено: 23-08-2019

источники:

http://1cov-edu.ru/mehanika/dinamika-tel/