Уравнение динамики в теории относительности

Уравнение динамики в теории относительности

Раздел 14 СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СВЕТА. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

14.8. Динамика специальной теории относительности

Мы рассмотрели исключительно пространственно-временные соотношения, кинематику теории относительности. Теперь ознакомимся с релятивистской динамикой.

Степени взаимодействия одного тела с другим есть сила. Масса тела вводится как индивидуальная стала характеристика, измеряется инертностью тела. Важным этапом в развитии механики стало введение более абстрактных понятий: импульс ( = m ) и кинетической энергии тела (Е = m υ 2 /2).

Импульс и кинетическая энергия — две различные меры движения. Кинетическая энергия как величина скалярная характеризует движение только с количественной стороны, импульс как величина векторная показывает еще и направление движения. Классическая динамика основана на втором законе Ньютона, который утверждает, что изменение импульса пропорциональна действующей силе и происходит в направлении действия силы:

К тому же, как утверждает опыт, переход от системы К к системе К’, движущейся относительно системы К с постоянной скоростью и в направлении оси х (см. рис. 14.5), сопровождается изменением компонентов силы по следующим формулам:

Несохранение силы при переходе от одной инерциальной системы к другой обусловлен тем, что длины отрезков в направлении движения и промежутки времени, от которых зависят силы, меняются.

А. Эйнштейн доказал, что второй закон Ньютона (14.20) инвариантный преобразованиям Лоренца, если импульс тела в инерциальной системе отсчета определить так:

где m — масса тела; — скорость тела в выбранной системе отсчета; с — скорость света в вакууме.

Следовательно, в релятивистской динамике, как и в ньютоновской, импульс материальной точки пропорционален ее массе m и совпадает по направлению со скоростью этой точки. Однако в отличие от ньютоновской динамики импульс материальной точки есть нелинейной функцией ее скорости.

При этом принято считать, что масса m не зависит от скорости материальной точки и тем самым является інваріантною относительно выбора систем отсчета. Если υ « с, то выражение (14.22) практически равен ты, т.е. совпадает со значением импульса материальной точки в ньютоновской механике. Импульс , выраженный формулой (14.22), иногда называют релятивістським импульсом материальной точки*.

Таким образом, в релятивистской области между импульсом тела и скоростью уже нет пропорциональной зависимости, а существует более сложная зависимость, которая выражается формулой (14.22).

Второй закон Ньютона в релятивистской форме имеет следующий вид:

Из (14.22) видно, что Все реальные силы конечны, а их действие на тело ограничено по время. Поэтому согласно (14.23) они не могут предоставить телу бесконечно большой импульс. Следовательно, скорость тела относительно любой инерциальной системы отсчета не может быть равна скорости света в вакууме, а меньше от нее.

Это утверждение справедливо для атомов, молекул и всех элементарных частиц, за исключением фотонов, нейтрино и антинейтрино, масса которых равна нулю**, поэтому их скорость не может отличаться от скорости света в вакууме.

В отличие от ньютоновской механики сила , которая действует на материальную точку, не инвариантна относительно выбора инерциальной системы отсчета. Правила преобразования компонент силы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой можно получить из условия ло- ренц-инвариантности уравнения (14.23). При малых скоростях ( υ « с) уравнение (14.23) практически совпадает с основным уравнением ньютоновской динамики (2.7). Однако со увеличением скорости материальной точки на ее импульс растет быстрее, чем меняется скорость.

*До недавнего времени массу m обычно называли массой покоя материальной точки, а — релятивистской массой этой точки. Соответственно считали, что масса материальной точки зависит от ее скорости.

**В настоящее время тщательно изучается вопрос о возможности отличия от нуля значений масс нейтрино и антинейтрино.

Динамика теории относительности

Эйнштейн показал, что для того, чтобы уравнения движения тел были инвариантны относительно преобразований Лоренца, необходимо считать, что масса тела зависит от скорости и эта зависимость имеет вид:

. (44)

Здесь m₀ –массы тела, измеренная в системе, в которой тело покоится (масса покоя); m –масса тела, измеренная в системе, движущейся относительно первой с постоянной скоростью . Допустим, что , тогда при в соответствии с формулой (44) масса тела . А так как масса не может принимать бесконечные значения, то скорость движения тел, с отличной от нуля массой покоя, не может превышать скорости света в вакууме. Вывод об ограничении возможных скоростей движения относится к важнейшим результатам теории относительности.

Однако известно, что фотоны двигаются со скоростью света, что возможно только если m₀=0. Следовательно неподвижный фотон в природе не существует. Масса фотона всецело связана с его движением.

Основное уравнение динамики теории относительности.

Используя соотношение (44) для массы, запишем основной закон динамики теории относительности в следующей форме:

.

Аналогично формула для импульса тела в теории относительности будет иметь вид:

.

Можно заметить, что при условии получим выражения классической механики Ньютона и, поэтому, классическая механика содержится в теории относительности как предельный вариант теории.

Исключительно важным следствием теории относительности является связь между массой и энергией.

Полная энергия тела:

. (45)

Энергия, запасенная в массе покоя тела:

.

Кинетическая энергия тела:

. (46)

Формула (45) выражает один из важнейших законов природы – закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии. Согласно этому закону всякая частица (или область поля), имеющие энергию E, обладают массой . И наоборот, всякой массе m присуща энергия .

Из этой же формулы вытекает, что изменение массы тела ведет к эквивалентному изменению энергии E и наоборот:

.

При скоростях существенно меньших скорости света изменение массы тела m весьма мало. Заметным этот эффект становится лишь при ядерных превращениях и в астрономических явлениях.

Формула (46) представляет собой выражение для кинетической энергии в теории относительности. Оно совершенно не похоже на формулу кинетической энергии в классической механике. Но при малых скоростях (

Контрольные вопросы и задачи

1. Сформулируйте принцип относительности Галилея

2. Какой вид имеют прямые преобразования Галилея?

3. При каких скоростях верны преобразования Галилея?

4. Как зависит длина тел от скорости их движения в теории относительности?

5. Что такое собственное время t₀ события?

6. Как зависит масса тел от скорости их движения в релятивистской динамике?

7. Как выражается в релятивистской динамике полная энергия физического объекта?

8. При какой энергии электрона его масса в 2 раза больше массы его покоя? (Ответ выразить в джоулях и мегаэлектронвольтах).

9. Энергия протона 250 МэВ. Найти скорость протона по формуле теории относительности и по формуле классической механики Ньютона. Оценить ошибки в величине скорости, которая совершается, если расчеты ведутся по формуле классической механики.

10. Какой импульс имеет электрон, если его энергия 15 МэВ? (Указание: скорость электрона при заданной энергии близка к скорости света, и, поэтому необходимо воспользоваться формулами теории относительности).

Динамика теории относительности.

Согласно теории относительности все законы природы должны быть инвариантны относительно преобразований Лоренца. Законы классической механики не инвариантны относительно этих преобразований. Например, второй закон Ньютона имеет вид:

(1)

В механике Ньютона масса m считается постоянной величиной. Эйнштейн показал, что для того, чтобы уравнения (1) были инвариантны относительно преобразований Лоренца, необходимо считать, что масса зависит от скорости и эта зависимость имеет вид:

(2)

Здесь m_o – значение массы, измеренное в неподвижной системе (масса покоя), m – значение той же массы, измеренное в системе, движущейся относительно первой с постоянной скоростью u, .

С учетом (2) уравнения (1) будут верны и в теории относительности, в явном же виде их можно записать так:

(3)

Аналогично и импульс тела в теории относительности будет иметь вид:

(4)

Исключительно важным следствием теории относительности является связь между массой и энергией. Выведем это соотношение.

Изменение кинетической энергии тела равно работе сил, приложенных к этому телу.

(5)

(6)

Учитывая, что масса является переменной величиной, преобразуем формулу (5).

(7)

(8)

Преобразуем формулу (8), выразив из нее u 2 .

(9)

Возьмем дифференциал от (9).

(10)

Подставим (9) и (10) в (7).

, (11)

Проинтегрируем формулу (11):

, (12)

Эйнштейн осмыслил эту формулу следующим образом.

— кинетическая энергия тела,

— полная энергия (13)

— энергия покоя (14)

Формула (13) выражает один из важнейших законов природы – закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии. Согласно этому закону всякая частица (или область поля), имеющие энергию W, обладают массой . И наоборот, всякой массе m присуща энергия .

Из этой же формулы вытекает, что изменение массы ведет к эквивалентному изменению энергии и наоборот:

(15)

При обычных изменениях энергии Dm мало и не может быть замечено. Например:

Заметным этот эффект становится лишь при ядерных превращениях и в астрономических явлениях. Оценим, например, насколько уменьшается масса Солнца за счет его излучения.

Энергия солнечного излучения, попадающего на 1 м 2 поверхности Земли в 1 с, составляет к=1,4 . 10 3 Дж/м 2 с (солнечная постоянная). Умножив эту величину на площадь поверхности сферы с радиусом R, равным расстоянию от Солнца до Земли, найдем суммарную энергию DW, теряемую Солнцем за 1 с за счет излучения:

R=1,5 . 10 11 м, DW=к . 4pR 2 =1,4 . 10 3. 4 . 3,14 . 2,25 . 10 22 =4 . 10 26 Дж/c

Соответственно этому уменьшению энергии масса Солнца за 1с уменьшается на величину равную

Как видно, изменение массы составляет очень большую величину. Однако, учитывая большую массу Солнца (М=1,984 . 10 30 кг) относительное уменьшение массы Солнца за 1с оказывается ничтожно малым:

Формула (12) представляет собой выражение для кинетической энергии в теории относительности. Оно совершенно непохоже на формулу кинетической энергии в классической механике. Но при малых скоростях (u 2 , которая в ядерной физике называется дефектом массы ядра.

Зависимость удельной энергии связи E_св/А от А, где А – число протонов и нейтронов в ядре (массовое число), приведена на рис. 4.11.

Рис. 4.11. Зависимость удельной энергии связи от массового числа

Элементы механики жидкостей*