Уравнение динамики вращательного движения момент инерции центр масс

Уравнение динамики вращательного движения момент инерции центр масс

При поступательном движении все точки тела получают за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения, поэтому скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми. Поэтому достаточно определить движение одной из точек тела (например, его центра инерции) для того, чтобы полностью охарактеризовать его движение.

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Для описания вращательного движения нужно задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени.

Любое движение твердого тела может быть представлено как суперпозиция двух вышеуказанных основных видов движения. Покажем это на примере плоского движения, при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Таким образом, например, происходит качение цилиндра по плоскости. Элементарное перемещение какой-либо точки тела можно разложить на два — «поступательное» и «вращательное»:

причем для всех точек тела одно и то же. Разделив на соответствующий промежуток времени dt, получим скорость точки:

где — одинаковая для всех точек тела скорость поступательного движения и — различная для разных точек тела скорость вращательного движения.

Линейная скорость точки с радиус-вектором , обусловленная вращением твердого тела, равна:

Следовательно, скорость этой точки при сложном движении тела имеет значение:

1.5.2. Движение центра инерции
(центра масс) твердого тела

Разбив тело на элементарные массы Δm_i, можно представить его как систему МТ, взаимное расположение которых остается неизменным. Любая из этих элементарных масс может находиться под воздействием внутренних и внешних сил. Напишем для каждой элементарной массы уравнение второго закона Ньютона:

где — результирующие всех внутренних и всех внешних сил, действующих на данную элементарную массу. Суммируя, для всех элементарных масс имеем:

Однако сумма всех внутренних сил, действующих в системе, равна нулю. Поэтому (1.5.5) можно упростить так:

Используя определение центра инерции, можно записать:

Дифференцируя (1.5.7) дважды по времени, можно получить:

Подставляя (1.5.8) в (1.5.6), имеем:

Следовательно, центр инерции твердого тела движется так, как двигалась бы МТ с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к телу сил.

1.5.3. Момент силы

Рассмотрим схему установки на Рис. 1.5.1.

Рис. 1.5.1. Схема установки для исследования
равно-ускоренного вращательного движения

Под действием груза Р крестовина будет вращаться с возрастающей угловой скоростью, и вращение будет равно-ускоренным. Варьируя величину груза Р, радиус шкива l, массу грузов m и их расстояние R от оси вращения, можно прийти к заключению, что угловое ускорение β:

1. прямо пропорционально натяжению нити f и радиусу шкива l;
2. обратно пропорционально массе грузов m и квадрату их расстояния R от оси вращения.

Следовательно, ускорение вращательного движения зависит не только от величины действующей на тело силы, но и от расстояния l от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила. Произведение fl дает величину так называемого момента силы относительно оси вращения.

Из этого опыта следует также, что на величину углового ускорения влияет не только масса вращающегося тела, но и распределение массы относительно оси вращения. Величина, которая это учитывает, называется моментом инерции тела относительно оси вращения.

Моментом силы относительно некоторой точки О называется величина , равная векторному произведению:

где — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы (Рис. 1.5.2).

Рис. 1.5.2. К определению момента силы

Вектор , по определению, перпендикулярен плоскости векторов и и направлен от нас. Это — аксиальный вектор. Модуль вектора равен:

где α — угол между направлениями векторов и , а l = r sinα — длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила. Эта длина называется плечом силы относительно точки О.

Если можно представить силу в виде суммы сил, имеющих общую точку приложения , то формулу (1.5.10) можно записать так:

Парой сил называются две равные по величине и противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной и той же прямой (Рис. 1.5.3). Расстояние l между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары сил .

Рис. 1.5.3. Момент пары сил

Покажем, что момент пары сил относительно любой точки будет один и тот же. Пусть точка лежит в плоскости, в которой действуют силы, и выполняется . Момент силы равен fl₁ и направлен к наблюдателю, момент силы равен fl₂ и направлен от наблюдателя. Результирующий момент силы направлен от наблюдателя и равен:

Полученное выражение не зависит от положения точки О на плоскости, в которой лежит пара сил.

Суммарный момент внутренних сил Силы, с которыми взаимодействуют друг с другом две любые элементарные массы, лежат на одной и той же прямой (Рис. 1.5.4).

Рис. 1.5.4. Момент внутренних сил

Их моменты относительно произвольной точки О равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы МТ, в частности, для твердого тела, всегда равна нулю.

1.5.4. Момент импульса материальной точки.
Закон сохранения момента импульса

Аналогично моменту силы введем момент импульса МТ относительно некоторой точки О:

где — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку пространства, в которой находится МТ (Рис. 1.5.5).

Рис. 1.5.5. К определению момента импульса

Введя плечо l = rsinα, можно получить модуль вектора момента импульса в виде:

Продифференцируем (1.5.16) по времени:

Первое слагаемое равно нулю в силу того, что оно представляет собой векторное произведение векторов одинакового направления: . Вектор . Поэтому соотношение (1.5.17) можно переписать так:

где — момент приложенных к МТ сил, взятый относительно той же точки О, относительно которой рассчитан момент импульса . Для замкнутой системы из N материальных точек легко получить аналогичное (1.5.18) соотношение. В отсутствие или при взаимной компенсации внешних сил их суммарный момент , действующий на тела системы, равен нулю. В результате этого суммарный момент импульса не зависит от времени. Таким образом, формулируется закон сохранения момента импульса : момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

1.5.5. Уравнение динамики
вращательного движения

Если МТ вращается по окружности радиуса r (Рис.1.5.6), то момент ее импульса относительно оси вращения О равен:

Рис. 1.5.6. К выводу уравнения динамики вращательного двмжения

Пусть ω — угловая скорость вращения, тогда v = ωr, и (1.5.18) будет иметь вид:

Если вокруг оси О вращается система МТ с одной и той же угловой скоростью ω, то:

где, момент инерции системы МТ относительно оси вращения, равный сумме произведений масс МТ на квадраты их расстояний до оси вращения.

Если угловая скорость и момент инерции — переменные величины, то, подставляя (1.5.21) в (1.5.18), получим:

где М — момент внешних сил относительно оси вращения. Соотношение (1.5.22) — это основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси.

Важным частным случаем является вращение неизменяемой системы МТ или твердого тела вокруг неподвижной оси. В этом случае момент инерции I остается постоянным при вращении, и уравнение (1.5.22) будет иметь вид:

Сопоставляя уравнения динамики вращательного движения с уравнениями динамики поступательного движения, легко заметить, что при вращательном движении роль силы исполняет момент силы, роль массы — момент инерции и т д. (Табл. 1.5.1).

Сопоставление закономерностей
поступательного и вращательного движений

— сила	— момент силы
— масса	— момент инерции
— линейная скорость	— угловая скорость
— линейная скорость	— угловая скорость
— линейное ускорение	— угловое ускорение
— импульс	— момент импульса

Предположим, что твердое тело может изменять свою конфигурацию в результате перераспределения масс. Пусть в результате происходит изменение момента инерции от значения I₁ до I₂. Если такое перераспределение осуществляется при отсутствии моментов внешних сил, то согласно закону сохранения момента импульса должно выполняться равенство:

где ω₁ — исходное, а ω₂ — конечное значение угловой скорости тела. Следовательно, изменение момента инерции влечет за собой соответственное изменение угловой скорости тела. Этим объясняется такое явление: человек, стоящий на вертящейся скамье, разводя руки в стороны, начинает вращаться медленнее, а, прижимая руки к туловищу, будет вращаться быстрее.

1.5.6. Момент инерции. Теорема Штайнера

Из определения момента инерции:

следует, что момент инерции — величина аддитивная. Это означает, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей. Каждое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции.

Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощью физической величины, называемой плотностью. Если тело однородно, то его плотность может быть вычислена так:

где m — масса, V — объем тела. Для тела с неравномерно распределенной массой соотношение (1.5.26) дает среднюю плотность. Плотность в данной точке определяется в этом случае так:

Уменьшение объема в (1.5.27) следует производить до тех пор, пока не будет получен физически бесконечно малый объем, который достаточно мал, чтобы в его пределах макроскопические свойства вещества можно было считать одинаковыми, и достаточно велик, чтобы не могла проявиться дискретность (атомарное строение) вещества.

Согласно (1.5.27), элементарная масса тела может быть вычислена так:

Следовательно, момент инерции следует записать в виде:

Если плотность постоянна, ее можно вынести за знак суммы:

Устремляя ΔV_i к нулю, можно в (1.5.30) перейти к интегрированию:

В качестве примера найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (Рис. 1.5.7).

Рис. 1.5.7. К расчету момента инерции диска

Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr. Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном r. Объем такого слоя равен:

где b — толщина диска. Поскольку диск однороден, плотность можно вынести за знак интеграла:

где R₀ — радиус диска. Применяя обозначение для массы диска , получим для момента инерции однородного диска:

В данном случае вычисление момента инерции упрощалось благодаря однородности и симметричности тела. Если бы нужно было отыскать момент инерции относительно оси О’О’ (Рис. 1.5.7), перпендикулярной к диску и проходящей через его край, вычисления оказались бы значительно сложнее. В таких случаях отыскание момента инерции облегчается, если воспользоваться теоремой Штайнера : момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I C относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

В соответствии с теоремой Штайнера момент инерции диска относительно оси О’О’ равен:

1.5.7. Работа и кинетическая энергия
вращающегося твердого тела

Если МТ вращается по окружности с радиусом r, то элементарная работа при повороте на угол dφ равна:

Такое же выражение получится и для твердого тела, так как его можно рассматривать как систему МТ, вращающихся с общей угловой скоростью ω. Роль силы в (1.5.37) играет момент внешних сил, роль линейного перемещения — угловой поворот.

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося с угловой скоростью ω, может быть записана так:

Это выражение напоминает соответствующую формулу для кинетической энергии МТ и может быть получено из нее формальной заменой m → I, v → ω.

© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2013

Вращение твердого тела

Для кинематического описания процесса вращения твердого тела нужно ввести такие понятия как угловое перемещение Δ φ , угловое ускорение ε и угловая скорость ω :

ω = ∆ φ ∆ t , ( ∆ t → 0 ) , ε = ∆ φ ∆ t , ( ∆ t → 0 ) .

Углы выражаются в радианах. За положительное направление вращения принимается направление против часовой стрелки.

Когда твердое тело вращается относительно неподвижной оси, все точки этого тела перемещаются с одинаковыми угловыми скоростями и ускорениями.

Рисунок 1. Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O .

Если угловое перемещение Δ φ мало, то модуль вектора линейного перемещения ∆ s → некоторого элемента массы Δ m вращающегося твердого тела можно выразить соотношением:

в котором r – модуль радиус-вектора r → .

Между модулями угловой и линейной скоростей можно установить связь посредством равенства

Модули линейного и углового ускорения также взаимосвязаны:

Векторы v → и a → = a τ → направлены по касательной к окружности радиуса r .

Также нам необходимо учесть возникновение нормального или центростремительного ускорения, которое всегда возникает при движении тел по окружности.

Модуль ускорения выражается формулой:

a n = v 2 r = ω 2 r .

Если разделить вращающееся тело на небольшие фрагменты Δ m i , обозначить расстояние до оси вращения через r i , а модули линейных скоростей через v i , то запись формулы кинестетической энергии вращающегося тела будет иметь вид:

E k = ∑ i ν m v i 2 2 = ∑ i ∆ m ( r i ω ) 2 2 = ω 2 2 ∑ i ∆ m i r i 2 .

Физическая величина ∑ i ∆ m i r i 2 носит название момента инерции I тела относительно оси вращения. Она зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения:

I = ∑ i ∆ m i r i 2 .

В пределе при Δ m → 0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в С И – килограмм—метр в квадрате ( к г · м 2 ) . Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде:

В отличие от выражения, которое мы использовали для описания кинестетической энергии поступательно движущегося тела m v 2 2 , вместо массы m в формулу входит момент инерции I . Также мы принимаем во внимание вместо линейной скорости v угловую скорость ω .

Если для динамики поступательного движения основную роль играет масса тела, то в динамике вращательного движения имеет значение момент инерции. Но если масса – это свойство рассматриваемого твердого тела, которое не зависит от скорости движения и других факторов, то момент инерции зависит от того, вокруг какой оси вращается тело. Для одного и того же тела момент инерции будет определяться различными осями вращения.

В большинстве задач считается, что ось вращения твердого тела проходит через центр его массы.

Положение x C , y C центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m 1 и m 2 , расположенными в плоскости X Y в точках с координатами x 1 , y 1 и x 2 , y 2 определяется выражениями:

x C = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 , y C = m 1 y 1 + m 2 y 2 m 1 + m 2 .

Рисунок 2. Центр масс C системы из двух частиц.

В векторной форме это соотношение принимает вид:

r C → = m 1 r 1 → + m 2 r 2 → m 1 + m 2 .

Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор r C → центра масс определяется выражением

r C → = ∑ m i r i → ∑ m i .

Если мы имеем дело с твердым телом, состоящим из одной части, то в приведенном выражении суммы для r C → необходимо заменить интегралами.

Центр масс в однородном поле тяготения совпадает с центром тяжести. Это значит, что если мы возьмем тело сложной формы и подвесим его за центр масс, то в однородном поле тяготения это тело будет находиться в равновесии. Отсюда следует способ определения центра масс сложного тела на практике: его необходимо последовательно подвесить за несколько точек, одновременно отмечая по отвесу вертикальные линии.

Рисунок 3. Определение положения центра масс C тела сложной формы. A 1 , A 2 , A 3 точки подвеса.

На рисунке мы видим тело, которое подвешено за центр масс. Оно находится в состоянии безразличного равновесия. В однородном поле тяготения равнодействующая сил тяжести приложена к центру масс.

Мы можем представить любое движение твердого тела как сумму двух движений. Первое поступательное, которое производится со скоростью центра масс тела. Второе – это вращение относительно оси, которая проходит через центр масс.

Предположим. Что у нас есть колесо, которое катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Все точки колеса во время движения перемещаются параллельно одной плоскости. Такое движение мы можем обозначить как плоское.

Теорема о движении центра масс

Кинестетическая энергия вращающегося твердого тела при плоском движении будет равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, которая проведена через центр масс и располагается перпендикулярно плоскостям, в которых движутся все точки тела:

E k = m v C 2 2 + I C ω 2 2 ,

где m – полная масса тела, I C – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 4. Качение колеса как сумма поступательного движения со скоростью v C → и вращения с угловой скоростью ω = v C R относительно оси O , проходящей через центр масс.

В механике используется теорема о движении центра масс.

Любое тело или несколько взаимодействующих тел, которые представляют собой единую систему, обладают центром масс. Этот центр масс под воздействием внешних сил перемещается в пространстве как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы.

На рисунке мы изобразили движение твердого тела, на которое действуют силы тяжести. Центр масс тела движется по траектории, которая близка к параболе, тогда как траектория остальных точек тела является более сложной.

Рисунок 5. Движение твердого тела под действием силы тяжести.

Теорема Штейнера о параллельном переносе оси вращения

Рассмотрим случай, когда твердое тело движется вокруг некоторой неподвижной оси. Момент инерции этого тела инерции I можно выразить через момент инерции I C этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

Рисунок 6. К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения.

Для примера возьмем твердое тело, форма которого произвольна. Обозначим центр масс С . Выберем систему координат Х У с началом координат 0 . Совместим центр масс и начало координат.

Одна из осей проходит через центр масс С . Вторая ось пересекает произвольно выбранную точку Р , которая расположена на расстоянии d от начала координат. Выделим некоторый малый элемент массы данного твердого тела Δ m i .

По определению момента инерции:

I C = ∑ ∆ m i ( x i 2 + y i 2 ) , I P = ∑ m i ( x i — a ) 2 + y i — b 2

Выражение для I P можно переписать в виде:

I P = ∑ ∆ m i ( x i 2 + y i 2 ) + ∑ ∆ m i ( a 2 + b 2 ) — 2 a ∑ ∆ m i x i — 2 b ∑ ∆ m i y i .

Два последних члена уравнения обращаются в нуль, так как начало координат в нашем случае совпадает с центром масс тела.

Так мы пришли к формуле теоремы Штейнера о параллельном переносе оси вращения.

Для тела, которое вращается относительно произвольной неподвижной оси, момент инерции, согласно теореме Штейнера, равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

I P = I C + m d 2 ,

где m – полная масса тела.

Рисунок 7. Модель момента инерции.

На рисунке ниже изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 8. Моменты инерции I C некоторых однородных твердых тел.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

В тех случаях, когда мы имеем дело с твердым телом, которое вращается относительно неподвижной оси, мы можем обобщить второй закон Ньютона. На рисунке ниже мы изобразили твердое тело произвольной формы, вращающееся относительно некоторой оси, проходящей через точку О . Ось вращения расположена перпендикулярно плоскости рисунка.

Δ m i – это произвольный малый элемент массы, на который оказывают воздействие внешние и внутренние силы. Равнодействующая всех сил есть F i → . Ее можно разложить на две составляющие: касательную составляющую F i τ → и радиальную F i r → . Радиальная составляющая F i r → создает центростремительное ускорение a n .

Рисунок 9. Касательная F i τ → и радиальная F i r → составляющие силы F i → действующей на элемент Δ m i твердого тела.

Касательная составляющая F i τ → вызывает тангенциальное ускорение a i τ → массы Δ m i . Второй закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает

∆ m i a i τ = F i τ sin θ или ∆ m i r i ε = F i sin θ ,

где ε = a i τ r i – угловое ускорение всех точек твердого тела.

Если обе части написанного выше уравнения умножить на r i , то мы получим:

∆ m i r i 2 ε = F i r i sin θ = F i l i = M i .

Здесь l i – плечо силы, F i , → M i – момент силы.

Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы Δm_i вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает:

∑ ∆ m i r i 2 ε = ∑ M i .

Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил.

∑ M = ∑ M i в н е ш н + ∑ M i в н у т р .

Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов всех внешних сил, которые мы будем обозначать через M . Так мы получили основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими.

Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки.

Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины ω → , ε → , M → определяются как векторы, направленные по оси вращения.

Закон сохранения момента импульса

В разделе, посвященном поступательному движению тела, мы ввели понятие импульса тела p → . По аналогии с поступательным движением для вращательного движения мы вводим понятие момента импульса.

Момент импульса вращающегося тела – это физическая величина, которая равняется произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения.

Для обозначения момента импульса используется латинская буква L .

Поскольку ε = ∆ ω ∆ t ; ∆ t → 0 , уравнение вращательного движения можно представить в виде:

M = I ε = I ∆ ω ∆ t или M ∆ t = I ∆ ω = ∆ L .

M = ∆ L ∆ t ; ( ∆ t → 0 ) .

Мы получили это уравнение для случая, когда I = c o n s t . Но оно будет справедливо и тогда, когда момент инерции тела будет изменяться в процессе движения.

Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = I ω относительно данной оси сохраняется: ∆ L = 0 , если M = 0 .

L = l ω = c o n s t .

Так мы пришли к закону сохранения момента импульса.

В качестве примера приведем рисунок, на котором изображено неупругое вращательное столкновение дисков, которые насажены на общую для них ось.

Рисунок 10. Неупругое вращательное столкновение двух дисков. Закон сохранения момента импульса: I 1 ω 1 = ( I 1 + I 2 ) ω .

Мы имеем дело с замкнутой системой. Для любой замкнутой системы закон сохранения момента импульса будет справедливым. Он выполняется и в условиях экспериментов по механике, и в условиях космоса, когда планеты движутся по своим орбитам вокруг звезды.

Мы можем записать уравнение динамики вращательного движения как для неподвижной оси, так и для оси, которая перемещается равномерно или с ускорением. Вид уравнения не изменится и в том случае, если ось движется ускоренно. Для этого должно выполняться два условия: ось должна проходить через центр массы тела, а ее направление в пространстве остается неизменным.

Предположим, что у нас есть тело (шар или цилиндр), которое катится по наклонной плоскости с некоторым трением.

Рисунок 11. Качение симметричного тела по наклонной плоскости.

Ось вращения O проходит через центр масс тела. Моменты силы тяжести m g → и силы реакции N → относительно оси O равны нулю. Момент M создает только сила трения: M = F т р R .

Уравнение вращательного движения:

I C ε = I C a R = M = F т р R ,

где ε – угловое ускорение катящегося тела, a – линейное ускорение его центра масс, I C – момент инерции относительно оси O , проходящей через центр масс.

Второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс записывается в виде:

m a = m g sin α — F т р .

Исключая из этих уравнений F т р , получим окончательно:

α = m g sin θ I C R 2 + m .

Из этого выражения видно, что быстрее будет скатываться с наклонной плоскости тело, обладающее меньшим моментом инерции. Например, у шара I C = 2 5 m R 2 , а у сплошного однородного цилиндра I C = 1 2 m R 2 . Следовательно, шар будет скатываться быстрее цилиндра.

Лекция №5. ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

4.1. Динамика поступательного движения твердого тела.

Движение любого твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного движения его центра масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через его центр масс.

Разобьем твердое тело на элементарные массы m_i , тогда его можно представить как систему материальных точек, взаимное расположение которых остается неизменным. Поэтому для описания поступательного движения тела можно использовать закон изменения импульса механической системы

p = $$<\sum_^n>$$ m_i υ _i=m υ _C — импульс всех материальных точек твердого тела.

Также можно воспользоваться понятием центра масс и к поступательному движению твердого тела применить закон движения центра масс

Центр масс твердого тела движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса тела, и на которую действуют все силы, приложенные к телу. Уравнение (4.1.2) дает возможность установить закон движение центра масс твердого тела, если известна масса тела и действующие на него силы. Если тело движется только поступательно, то это уравнение будет определять не только закон движения центра масс, но и любой другой точки тела.

4.2. Момент импульса. Момент силы.

Момент силы. Векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенному из полюса в точку приложения силы, на силу F называется моментом силы материальнойточки относительно некоторого центра

Пусть на частицу массой m действует сила F , а ее положение в некоторой инерциальной системе отсчета характеризуется радиус-вектором r относительно начала координат. Тогда момент силы частицы относительно точки O дается уравнением (4.2.1). Направление момента силы M совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от радиус-вектора r к силе F , и он перпендикулярен как вектору r , так и вектору F (рис. 4.2.1). Тогда модуль вектора момента силы равен

где d=r sin α − плечо силы относительно точки O .

Плечо силы − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила.

Таким образом, модуль момента силы относительно оси, есть скалярная величина, характеризующая вращательное движение действия силы и равная произведению модуля силы F , действующей на твердое тело, на плечо силы d относительно этой оси.

Если на тело действует несколько сил, то суммарный момент этих сил равен векторной сумме моментов всех сил относительно данной оси:

Момент импульса. Векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенного из центра на ее импульс m υ называется моментом импульса материальной точки относительно некоторого центра

Пусть частица массой m имеет импульс p , а ее положение в некоторой инерциальной системе отсчета характеризуется радиус-вектором r относительно начала координат. Тогда момент импульса частицы относительно точки O дается уравнением (4.2.4). Направление момента импульса совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от радиус-вектора к импульсу p , и он перпендикулярен как вектору r , так и вектору p (рис. 4.2.2). Тогда модуль вектора момента импульса равен

где d − плечо импульса относительно точки O .

Плечо импульса − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой направлен импульс.

Таким образом, модуль вектора момента импульса относительно центра или оси − есть скалярная величина, равная произведению импульса p на плечо импульса d относительно этой оси.

Моментом импульса механической системы относительно некоторого центра называется векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульса относительно той же точки всех материальных точек системы

4.3. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки.

Рассмотрим систему материальных точек массами m₁, m₂, . m_n движущихся со скоростями υ ₁, υ ₂, . υ _n . Пусть на каждую из этих точек действуют: равнодействующие внутренних сил F i ₁, F i ₂, . F i _n , и равнодействующие внешних сил F e ₁, F e ₂, . F e _n .

Запишем уравнения движения частиц:

Умножим каждое уравнение системы (4.3.3) на соответствующий радиус-вектор и получим

Преобразуем данные уравнения

Сложим эти уравнения и получим

В последнем уравнении:

Таким образом, выражение (4.3.6) можно записать в виде

Учитывая, что моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы всегда равна нулю, т. е. $$<\sum_^n>$$ M i _i=0 , получим основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки (или иначе закон изменения момента импульса механической системы ).

4.4. Закон сохранения момента импульса.

Если момент внешних сил $$<\sum_^n>$$ M e _i=0 , то получим

закон сохранения момента импульса.

Если момент внешних сил действующих на механическую систему относительно центра оси равен нулю, то момент импульса системы относительно этого центра с течением времени не изменяется.

Можно сказать, что момент силы при вращательном движении является аналогом силы при поступательном движении, момент импульса − аналогом импульса.

Законы изменения и сохранения момента импульса механической системы можно применить и к вращательному движению твердого тела.

4.5. Момент инерции.

Моментом инерции твердого тела относительно данной оси называется физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси:

Момент инерции зависит только от формы тела и расположения масс относительно оси. [I]=1 кг · м 2 .

Понятие момента инерции было введено при рассмотрении вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что каждое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси.

Если тело сплошное, то суммирование в выражении (4.5.1) следует заменить на интегрирование:

где R − расстояние от элементарной массы dm до оси вращения.

4.6. Теорема Штейнера. Правило аддитивности

Существуют два свойства момента инерции:

1) Теорема Штейнера: момент инерции тела I_z относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I_c относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями:

2) Правило аддитивности: сумма моментов инерции частей системы относительно оси равен моменту инерции системы относительно данной оси: