Уравнение дирака и спин электрона

Уравнение дирака и спин электрона

применимо для описания частиц, скорость которых меньше скорости света c. Оно не удовлетворяет принципам специальной теории относительности, т.к. не инвариантно относительно преобразований Лоренца. В уравнение Шредингера координаты и время входят неравноправно – оно содержит первую производную по времени и вторые производные по координатам.
Релятивистская механика основана на соотношении

связывающем энергию и импульс частицы. Для получения релятивистского уравнения можно поступить так же, как в нерелятивистском случае уравнения Шредингера. Для получения волнового уравнения в соотношении (2.1) от классических величин энергии E и импульса p нужно перейти, так же как в уравнении Шредингера, к операторам

и подействовать на волновую функцию ψ.
Релятивистское волновое уравнение было получено независимо Клейном, Гордоном и Фоком и носит их имя

Состояние частицы зависит от трёх координат и времени ψ(x,y,z,t). Уравнение Клейна–Гордона–Фока представляет собой волновое уравнение второго порядка. Оно описывает динамику релятивистской квантовой системы. Так как уравнение Клейна–Гордона–Фока является уравнением второго порядка, для его решения в начальный момент времени необходимо задать значение не только волновой функции ψ, но и её первой производной. Оказалось, что для уравнения Клейна–Гордона–Фока нельзя ввести положительно определённую плотность вероятности ψ*ψ. Уравнение Клейна–Гордона–Фока описывает состояние частиц с нулевым значением спина. Однако уже к тому времени, когда П. Дирак работал над релятивистской теорией электрона (1925 г.), было известно, что электрон имеет спин s = 1/2. Спин электрона был введён в 1925 г. Дж. Уленбеком и С. Гоудсмитом для объяснения дублетной структуры одноэлектронных уровней.
Принцип суперпозиции требует, чтобы релятивистское волновое уравнение было линейным. На основании этих принципов П. Дирак сформулировал релятивистски-инвариантное уравнение, записав его в виде

(2.2)

Соотношение представляет собой наиболее общую линейную форму, содержащую первые производные от волновой функции ψ. В уравнение (2.2) координаты и время входят равноправно и не содержат вторых производных. Для нахождения величин α_x, α_y, α_z, β уравнение (2.2) можно записать в виде

(2.3)

имеющем формальное сходство с уравнением Шредингера. Если оператор представляет собой оператор Гамильтона, то между оператором и операторами импульса должна быть такая же связь как между энергией и импульсом в специальной теории относительности

(2.4)

Используя соотношение (2.4), можно определить неизвестные коэффициенты α_x, α_y, α_z, β. Возведя оператор в квадрат, получим

Оператор 2 будет иметь вид (2.4), если величины α_x, α_y, α_z, β будут удовлетворять следующим условиям.

αiαk + αkαi = 0, α ≠ k, αiβ = βαi = 0, i = x,y,z.

(2.5)

Очевидно, что обычные числа не могут удовлетворять условиям (2.5), т.к. для них не выполняются условия антикоммутации. Для обычных чисел выполняются условия коммутации α_iα_k + α_kα_i = 0. Дирак предположил, что условиям коммутации (2.5) удовлетворяют матрицы 4 порядка, составленные из матриц Паули.

(2.6)

Умножая матрицы (2.6) друг на друга можно убедиться, что они удовлетворяют условиям (2.5).
Используя матрицы Паули σ_x, σ_y, σ_z, матрицы α_x, α_y, α_z, β можно записать в виде

С помощью операторов _x, _y, _z, уравнение (2.2) приводится к виду

Это уравнение называется уравнение Дирака для свободной частицы. Если ввести векторный оператор , то уравнение Дирака можно записать в более компактном виде

Так как на волновую функцию ψ(x,y,z,t) действуют матрицы 4×4, волновая функция ψ(x,y,z,t) также должна быть четырехкомпонентной.

Матричное волновое уравнение Дирака эквивалентно системе четырех связанных между собой уравнений

Четырехкомпонентную волновую функцию электрона можно представить как 4 различных комбинации положительной и отрицательной энергий электрона и двух значений проекции спина электрона σ_z = 1/2 и σ_z = -1/2.

П. Дирак: «Коль скоро я взялся оценивать других физиков, нельзя не сказать о Шрёдингере. Мне кажется, что я никогда не видел его в Копенгагене, во всяком случае, я этого не припомню. Но мы немало встречались потом, и из всех знакомых физиков Шрёдингер был, наверное, больше других похож на меня. Я обнаружил, что с Шрёдингером я соглашался гораздо легче, чем с кем-нибудь другим. Дело, наверное, было в том, что мы оба очень ценили математическую красоту и воплощение этой красоты в нашей работе. Для нас было символом веры то, что все уравнения, описывающие фундаментальные законы Природы, должны отличаться математической красотой. Это было для нас почти религией, причем очень полезной, ибо ее можно считать основой многих наших успехов.
Когда вы читаете о работах Шрёдингера. вас может удивить одно обстоятельство. Шрёдингер пришел к квантовой механике через волновое уравнение де Бройля, которое было релятивистским. Шрёдингер находился под большим впечатлением красоты релятивистской теории относительности, и возникает вопрос, почему так случилось, что работа Шрёдингера, где он вводит волновое уравнение, написана в нерелятивистском духе. Здесь кроется какое-то противоречие.
Много лет спустя, не помню точно, но примерно году в 1940‑м, близко познакомившись с Шрёдингером, я узнал от него, в чем было дело. Он рассказал, что работал тогда в релятивистском подходе, навеянном работами де Бройля, и, вводя электромагнитные потенциалы, пришел к релятивистскому волновому уравнению, которое оказалось обобщением уравнения де Бройля. Первый его порыв быт посмотреть, что получится, если с помощью этого уравнения рассчитать атом водорода. Произведя расчеты, Шрёдингер обнаружил, что результаты не согласуются с опытом.
Он был сильно разочарован и, решив, что его волновое уравнение никуда не годится, отказался от него. Взглянув на это уравнение по-новому через несколько месяцев, Шрёдингер заметил, что если понизить точность и перейти к нерелятивистскому приближению, то результаты согласуются с экспериментальными данными, конечно, в пренебрежении релятивистскими эффектами. Таким образом, волновое уравнение Шрёдингера в нерелятивистском виде согласовывалось с экспериментом, и его можно было публиковать.
Причиной того, что первоначальное, релятивистское уравнение Шрёдингера не согласовывалось с экспериментом, был, конечно, неучтенный спин электрона. Мысль о том, что у электрона есть спин, была тогда совершенно новой, и Шрёдингер мог о ней даже не слышать, а в то время у него не хватало смелости публиковать уравнение, которое давало результат, наверняка противоречащий эксперименту [*] ».

Решение уравнения Дирака для свободной частицы показывает, что каждому значению импульса p соответствуют два значение энергии E

E = ±(m 2 c 4 + c 2 p 2 ) 1/2 ,

т.е. энергия частицы может принимать два значения, как положительное, так и отрицательное. В классической физике все величины изменяются непрерывно, поэтому без потери общности отрицательные значения энергии можно было отбросить, т.к. положительные и отрицательные области энергии разделены энергетическим интервалом 2mc 2 и непрерывный переход частицы из одной области в другую невозможен. Однако в релятивистской квантовой теории возможны квантовые переходы из состояний с отрицательной энергией в состояния с положительной энергией и обратно. Поэтому отрицательные значения энергии отбросить нельзя. Возникла проблема − как интерпретировать состояния электрона с отрицательной энергией? Какой физический смысл имеют состояния с отрицательной энергией? Рассмотрим ситуацию, когда частица с положительной энергией E₀ > 0 переходит из точки А в точку В.

Тогда в точке А величина энергии E уменьшается на величину E₀, а в точке В увеличивается на величину E₀. Для частицы с отрицательной энергией E₀ отрицательной энергией — E и зарядом -q из состояния В в состояние А. С остояния с отрицательной энергией приводят к появлению у каждой частицы двойника, который имеет положительную энергию и противоположный электрический заряд.
Таким образом, согласно теории Дирака, заряженная частицы должна иметь двойника с противоположным зарядом и такой же массой. Например, у электрона должен быть двойник, имеющий такую же массу, как электрон, но положительный электрический заряд.

На «языке» квантовой физики волновую функцию частицы с положительной энергией E + = E > 0, движущейся в положительном направлении вдоль оси х, записывают в виде

В случае постоянной фазы волны

т.е. частица с положительной энергией движется вправо вдоль оси x. Для состояния с отрицательной энергией E — (E — |.
Частица с отрицательной энергией ведёт себя, как частица с положительной энергией, но движущаяся «назад по времени». Другой пример движения «назад по времени» − поведение частицы с отрицательным зарядом -q, движущейся в постоянном магнитном поле. Движение частицы описывается уравнением Лоренца

т.е. движение частицы с положительным зарядом +q описывается тем же уравнением, что и частицы с отрицательным зарядом. Но частица с положительным зарядом в этом случае движется назад по времени − вращается в противоположном направлении в магнитном поле.
Из рассмотренных примеров видно, что частица, имеющая электрический заряд +q и отрицательную энергию, ведёт себя так же как и частица с отрицательным электрическим зарядом -q и положительной энергией.
Электрон с отрицательной энергией должен двигаться во внешнем поле как частица с положительным зарядом. Поэтому при переходе электрона области положительных энергий в область отрицательных энергий должен одновременно измениться заряд электрона – он должен стать положительным +e. Переходы электронов в состояния с отрицательной энергией нарушали закон сохранения электрического заряда. Нужно было найти способ запретить такие переходы. Ход мыслей П. Дирака был следующий. Так как электроны являются фермионами, это можно было сделать, предположив, что все состояния с отрицательной энергией заняты. Тогда в соответствии с принципом Паули переходы в состояния с отрицательной энергией оказываются запрещёнными. Однако такое предположе­ние приводило к новой проблеме − бесконечному числу частиц, заполняющих все отрицательные состояния − появлению физического вакуума, имеющего бесконечный электрический заряд и массу. Возможность такого состояния Дирак объяснил тем, что бесконечный физический вакуум будет ненаблюдаем, так как наблюдаются только отклонения энергии или электрического заряда от состояния физического вакуума. Можно ли обнаружить электроны заполняющие отрицательные состояния физического вакуума? Гамма-квант с энергией большей, чем 2m_ec 2 может перевести электрон из состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией. Тогда будет наблюдаться обычный электрон с положительной энергией и отрицательным зарядом, а вакантное место в вакууме будет наблюдаться как частица с положительным зарядом. Так как в то время была известна всего одна частица с положительным электрическим зарядом – протон, Дирак первоначально отождествил протоны с частицами, заполняющими отрицательные состояния вакуума. Однако это предположение породило новые, гораздо более сложные проблемы − неустойчивость нашего мира − приводило к невозможности существования атома водорода. Электрон и протон должны были в результате взаимодействия исчезнуть, превратившись в γ-кванты. Кроме того, необходимо было объяснить большую разницу масса электрона и протона. Если протон это действительно дырка, образовавшаяся в результате вылета электрона, почему протон имеет массу в 2000 раз больше массы электрона? Дирак верил в созданную им теорию дырок и в результате сделал следующий шаг. Он объявил, что должна существовать новая неизвестная частица, имеющая такую же массу как электрон, но положительный электрический заряд. Эта частица является античастицей по отношению к электрону.

П. Дирак: «На протяжении двух лет я занимался боровскими орбитами и пришел к выводу, что развить их в общую квантовую механику безнадежно. В это время Гейзенберг предложил свою матричную механику, и мне вдруг стало ясно, что ключом к решению проблемы служит некоммутативная алгебра. Вскоре Шредингер разработал волновую механику и показал, что она эквивалентна теории Гейзенберга.
Основываясь на этих теориях, я развил общую теорию преобразований, которую можно было применять при вычислении вероятностей любых коммутирующих динамических переменных. Это доставило мне большое удовлетворение.
Для построения релятивистской теории частицы имелось волновое уравнение Клейна − Гордона, квадратичное по ∂/∂t . В то время оно удовлетворяло большинство физиков. Мне же оно не нравилось, потому что я был очень привязан к своей теории преобразований, которая требовала, чтобы уравнение было линейным по ∂/∂t . Эта неудовлетворенность заставила меня продолжить поиски нового релятивистского волнового уравнения. Наконец, я нашел уравнение, линейное по ∂/∂t и совместимое с моей теорией преобразований. Оно автоматически привело к спину h/2 и к правильному значению магнитного момента электрона. Эти результаты были неожиданными для меня.
Я применил это уравнение к электрону в атоме водорода в первом приближении теории возмущений и получил результаты, согласующиеся с данными опыта. Уравнение автоматически приводило к правильному магнитному .моменту, и именно поэтому оно не содержало той ошибки, которая получалась при использовании уравнения Клейна − Гордона, приводившего к неверным результатам для спектра водорода.
Но у этого уравнения имелась и новая трудность, а именно, частица могла находиться в состояниях с отрицательной энергией. Я знал о такой трудности с проблемой отрицательных энергий с самого начала работы, но считал это затруднение менее серьезным по сравнению с остальными, не столь серьезным, как, например, невозможность применять преобразования, вытекающие из общей теории преобразований.
Проблема отрицательных энергий была разрешена несколько позже выдвинутой мною идеей об учете принципа исключения Паули для электронов (согласно которому в любом данном состоянии не может находиться более одного электрона) при дополнительном смелом предположении, что все состояния с отрицательной энергией в вакууме заполнены, а потому дырка в состояниях с отрицательной энергией проявляется как физическая частица. Это была бы частица со спином электрона, но она обладала бы положительным зарядом вместо отрицательного заряда у электрона и имела бы положительную энергию.
Когда я впервые обдумывал эту идею, я считал, что новая частица должна иметь такую же массу, что и электрон, вследствие симметрии между положительными и отрицательными массами и энергиями, которая всюду проявляется в теории. Но в те времена единственными известными элементарными частицами были электрон и протон. Я не осмелился постулировать существование новой частицы. Весь климат общественного мнения в те дни был против постулирования новых частиц, в резком контрасте с тем, что мы наблюдаем сейчас. Тогда я опубликовал свою работу как теорию электронов и протонов в надежде, что каким-то необъяснимым образом кулоновское взаимодействие между частицами приведет к большому отличию в массах электрона и протона.
Конечно, в этом пункте я был совершенно неправ и вскоре математики указали, что абсолютно невозможно получить такую асимметрию между состояниями с положительной и отрицательной энергиями. И впервые Вейль опубликовал категорическое утверждение о том, что новая частица должна иметь такую же массу, что и электрон. Теория с равными массами была подтверждена немного спустя на опыте, когда Андерсон обнаружил позитрон».

Частица с зарядом +q является античастицей по отношению к частице с зарядом -q. Аналогичные рассуждения относятся к частице с отрицательным зарядом. Частицы с отрицательной энергией являются античастицами по отношению к частицам с положительной энергией.
Наряду с электроном, имеющим отрицательный электрический заряд, должна, согласно уравнению Дирака, существовать положительно заряженная античастица.
Античастицы должны существовать не только у электрически заряженных частиц, но и у частиц, имеющих сохраняющуюся в различных физических процессах физическую величину. Одним из таких квантовых чисел является барионное число (заряд) B. Поэтому нейтрон, имеющий электрический заряд Q = 0, но единичный положительный барионный заряд, тоже должен иметь античастицу – антинейтрон.

B(n) = +1, Q(n) = 0; B() = -1, Q() = 0

Античастицей протона является частица, имеющая такую же массу как протон, равный по абсолютной величине, но отрицательный электрический заряд. Барионные заряды протона и антипротона также имеют противоположные значения

B(p) = +1, Q(p) = +1e; B() = -1, Q() = -1e

С современной точки зрения в большинстве случаев нет необходимости рассматривать античастицы как частицы, распространяющиеся назад во времени. Гораздо проще рассматривать частицы и античастицы как физические объекты, характеризующиеся определённым набором квантовых чисел. Какие-то квантовые числа у частицы и античастицы совпадают, а какие-то имеют противоположные значения. Существенно то, что

• частица и античастица при взаимодействии аннигилируют,
• из состояния с нулевыми квантовыми числами частица и античастица всегда рождаются парами.

Поэтому в дальнейшем на диаграммах Фейнмана мы не будем рисовать стрелки, а рядом с внешними и внутренними линиями в тех случаях, когда это необходимо, будем указывать тип частицы.

[*] Dirас P. А . М . Recollections of an Exciting Era//History of Twentieth Century Physics: Proceedings of the International [Summer] School of Physics «Enrico Fermi». Course LVII. Varenna, Lake Como, Italy, villa Monastero. July 31 — August 12. 1972,- (Rendiconti S. I. F. — LVII).- New York: Academic Press, 1977 — P. 109-146.- УФН, том 153, вып. 1 (1987). Перевод H. Я. Смородинской.

Pелятивистская квантовая механика. Уравнение Дирака

«На нем стоит большая часть физики и вся химия.»
Поль Дирак о своем уравнении

Вся классическая физика зиждется на том убеждении, что, зная закон движения частицы и факт появления ее в точке А, мы абсолютно точно можем предсказать, когда она попадет в точку В. Квантовая механика утверждает, что, зная закон движения микрочастицы и факт появления ее в точке А, мы можем определить всего лишь вероятность ее появления в точке В.

Вначале объясним слово «релятивистский». В физике под этим термином понимают все связанное с теорией относительности применительно к физическим эффектам, явлениям, наблюдаемым при скоростях тел или частиц, сравнимых со скоростью света. Так, к примеру, релятивистская частица—это частица, движущаяся с релятивистской скоростью, то есть близкой к скорости света.

А все началось с игры

В 1928 году английский физик Поль Дирак вывел уравнение движения для классического поля электрона, являющегося релятивистской частицей. Позднее оно было применено и для описания других фермионов. Однако по порядку.

Сам Дирак вспоминал, что начал работать над своей релятивистской теорией, «играясь с уравнениями, а не пытаясь ввести какую-нибудь определенную физическую идею». В чем же состояла эта игра Дирака?

Он хотел найти такое уравнение, которое, во-первых, было бы релятивистским, то есть удовлетворяло принципам теории относительности, во-вторых, подчинялось бы требованиям теории преобразований и, в-третьих, было бы квантово-механическим уравнением, описывающим движение электрона.

Но что значит «релятивистское уравнение»? Одним из характерных признаков такого уравнения является то, что в него должны входить как пространственные координаты х, у, z, так и временная координата t. Это уравнение должно быть квантово-механическим, то есть содержать волновую функцию электрона.

Дирак хотел просто привести в соответствие релятивистские принципы и требования теории преобразований. Оказалось, что существование спина как бы само собой возникает при объединении квантовой механики и теории относительности. Получилось, что квантовое уравнение, записанное с учетом требований теории относительности, описывает поведение частиц со спином.

Дираковская теория электрона наделяет электрон релятивистскими свойствами, а именно спином, то есть собственным механическим моментом количества движения и собственным магнитным моментом.

Релятивистский — термин, употребляемый в физике для явлений, обусловленных движением со скоростями, близкими к скорости света, либо сильными полями тяготения. Такие явления описываются теорией относительности.

Теория, порождающая загадки

Уравнение Дирака дало возможность получить более точную формулу для уровней энергии атома водорода. Но особенностью его уравнения было наличие среди его решений таких, которые соответствуют состояниям с отрицательными значениями энергии для свободного движения частицы, а это уже соответствует отрицательной массе частицы. Это означало, что все механические законы для частицы в таких состояниях были бы неверными, переходы же в квантовой теории в эти состояния возможны. Действительный физический смысл переходов на уровни с отрицательной энергией выяснился, когда была доказана возможность взаимопревращения частиц. Из уравнения Дирака следовало, что должна существовать новая частица—античастица по отношению к электрону, с массой электрона и зарядом противоположного знака. Такая частица была открыта в 1932 году американским физиком-экспериментатором Карлом Андерсоном и получила название «позитрон». Переход электрона из состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией и обратный переход рассматриваются как процесс образования пары электрон — позитрон и аннигиляция, то есть взаимное уничтожение такой пары.

Однако, несмотря на эти успехи, теория Дирака имеет и недостаток. Она не описывает взаимодействие квантованного электронного поля с квантованным электромагнитным полем, в том числе и рождение или уничтожение частиц. Эта трудность была разрешена в квантовой теории поля. В случае с электронами следует добавить квантованное электромагнитное поле, квантование самого электронного поля и взаимодействие этих полей, а полученная теория уже называется квантовой электродинамикой.

«. Квантовую электродинамику можно уложить в рамки разумной математической теории, но лишь ценой нарушения релятивистской инвариантности. Мне, однако, это кажется меньшим злом, чем отступление от стандартных правил математики и пренебрежение бесконечными величинами» (Поль Дирак)

Выводы Дирака. Уравнение Дирака. Квантовая теория поля

Данная статья посвящена работе Поля Дирака, уравнение которого значительно обогатило квантовую механику. Она описывает основные понятия, необходимые для того, чтобы разобраться в физическом смысле уравнения, а также способы его применения.

Наука и ученые

Человек, не связанный с наукой, представляет процесс добычи знаний каким-то магическим действием. А ученые, по мнению таких людей, — это чудаки, которые говорят на непонятном языке и слегка высокомерны. Знакомясь с исследователем, далекий от науки человек сразу говорит, что он в школе физику не понимал. Таким образом обыватель отгораживается от научного знания и просит более образованного собеседника говорить проще и понятнее. Наверняка Поля Дирака, уравнение которого мы рассматриваем, приветствовали так же.

Элементарные частицы

Строение вещества всегда волновало любознательные умы. В Древней Греции люди заметили, что мраморные ступени, по которым прошло множество ног, со временем меняют форму, и предположили: каждая ступня или сандалия уносила с собой крошечную частицу вещества. Эти элементы решили назвать «атомами», то есть «неделимыми». Наименование осталось, но выяснилось, что и атомы, и частицы, из которых состоят атомы, — тоже составные, сложные. Эти частицы называются элементарными. Именно им посвящена работа Дирака, уравнение которого позволило не только объяснить спин электрона, но и предположить наличие антиэлектрона.

Корпускулярно-волновой дуализм

Развитие техники фотографии в конце девятнадцатого века повлекло за собой не только моду на запечатление себя, еды и кошек, но и продвинуло возможности науки. Получив такой удобный инструмент, как быстрая фотография (напомним, раньше выдержки доходили до 30-40 минут), ученые стали массово фиксировать разнообразные спектры.

Существующие на тот момент теории строения веществ не могли однозначно объяснить или предсказать спектры сложных молекул. Сначала знаменитый опыт Резерфорда доказал, что атом не такой уж неделимый: в его центре находилось тяжелое положительное ядро, вокруг которого располагались легкие отрицательные электроны. Потом открытие радиоактивности доказало, что и ядро не монолит, а состоит из протонов и нейтронов. А дальше почти одновременное открытие кванта энергии, принципа неопределенности Гейзенберга и вероятностной природы местоположения элементарных частиц дали толчок к развитию принципиально иного научного подхода к изучению окружающего мира. Появился новый раздел – физика элементарных частиц.

Основным вопросом на заре этого века великих открытий в сверхмалых масштабах стало объяснение наличия у элементарных частиц и массы, и свойств волны.

Эйнштейн доказал, что даже неуловимый фотон обладает массой, так как передает импульс твердому телу, на который падает (явление давления света). При этом многочисленные опыты по рассеянию электронов на щелях говорили как минимум о наличии у них дифракции и интерференции, это свойственно только волне. В итоге пришлось признать: элементарные частицы одновременно и объект с массой, и волна. То есть масса, скажем, электрона как бы «размазана» в пакет энергии с волновыми свойствами. Этот принцип корпускулярно-волнового дуализма позволил объяснить прежде всего, почему электрон не падает на ядро, а также по каким причинам в атоме существуют орбиты, а переходы между ними скачкообразные. Эти переходы и порождают спектр, уникальный для любого вещества. Далее физика элементарных частиц должна была объяснить свойства самих частиц, а также их взаимодействие.

Волновая функция и квантовые числа

Эрвин Шредингер совершил удивительное и до сих пор малопонятное открытие (на его основании чуть позже Поль Дирак построил свою теорию). Он доказал, что состояние любой элементарной частицы, например, электрона описывает волновая функция ψ. Сама по себе она ничего не значит, а вот ее квадрат покажет вероятность найти электрон в данном месте пространства. При этом состояние элементарной частицы в атоме (или другой системе) описывается четырьмя квантовыми числами. Это главное (n), орбитальное (l), магнитное (m) и спиновое (m_s) числа. Они показывают свойства элементарной частицы. Как аналогию можно привести брусок масла. Его характеристики – масса, размер, цвет и жирность. Однако свойства, описывающие элементарные частицы, нельзя понять интуитивно, их надо осознавать через математическое описание. Работа Дирака, уравнение которого — в центре внимания этой статьи, посвящена последнему, спиновому числу.

Прежде чем перейти непосредственно к уравнению, необходимо объяснить, что же обозначает спиновое число m_s. Оно показывает собственный момент импульса электрона и других элементарных частиц. Это число всегда положительно и может принимать целое значение, ноль или полуцелое значение (для электрона m_s = 1/2). Спин – величина векторная и единственная, которая описывает ориентацию электрона. Квантовая теория поля кладет спин в основу обменного взаимодействия, которому нет никакого аналога в обычно интуитивно понятной механике. Спиновое число показывает, каким образом должен повернуться вектор, чтобы прийти в изначальное состояние. Примером может служить обычная шариковая ручка (пишущая часть пусть будет положительным направлением вектора). Чтобы она пришла в изначальное состояние, ее надо повернуть на 360 градусов. Такая ситуация соответствует спину, равному 1. При спине 1/2, как у электрона, поворот должен быть 720 градусов. Так что, помимо математического чутья, надо иметь развитое пространственное мышление, чтобы понять это свойство. Чуть выше шла речь о волновой функции. Она является основным «действующим лицом» уравнения Шредингера, с помощью которого описывается состояние и положение элементарной частицы. Но это соотношение в своем изначальном виде предназначено для частиц без спина. Описать состояние электрона можно, только если провести обобщение уравнения Шредингера, что и было проделано в работе Дирака.

Бозоны и фермионы

Фермион – частица с полуцелым значением спина. Фермионы располагаются в системах (например атомах) согласно принципу Паули: в каждом состоянии должно быть не более одной частицы. Таким образом, в атоме каждый электрон чем-то отличается от всех остальных (какое-то квантовое число имеет другое значение). Квантовая теория поля описывает и другой случай – бозоны. Они имеют целый спин и могут все одновременно быть в одном состоянии. Реализация этого случая называет Бозе-конденсацией. Несмотря на достаточно хорошо подтвержденную теоретическую возможность его получить, практически это осуществили только в 1995 году.

Уравнение Дирака

Как мы уже говорили выше, Поль Дирак вывел уравнение классического поля электрона. Оно также описывает состояния других фермионов. Физический смысл соотношения сложен и многогранен, и из его формы следует много фундаментальных выводов. Вид уравнения следующий:

где m — масса фермиона (в частности электрона), с — скорость света, p_k— три оператора компонент импульса (по осям x, y, z), ħ — урезанная постоянная Планка, x и t – три пространственные координаты (соответствуют осям X, Y, Z) и время, соответственно, и ψ(x, t) — четырёхкомпонентная комплексная волновая функция, α_k (k=0, 1, 2, 3) — матрицы Паули. Последние представляют собой линейные операторы, которые действуют на волновую функцию и ее пространство. Формула эта довольно сложная. Чтобы понять хотя бы ее компоненты, надо разбираться в основных определениях квантовой механики. Также следует обладать недюжинными математическими познаниями, чтобы как минимум знать, что такое вектор, матрица и оператор. Специалисту вид уравнения скажет еще больше, чем его компоненты. Человек, сведущий в ядерной физике и знакомый с квантовой механикой, поймет важность этого соотношения. Однако надо признаться, что уравнения Дирака и Шредингера — всего лишь элементарные основы математического описания процессов, которые происходят в мире квантовых величин. Физики-теоретики, которые решили посвятить себя элементарным частицам и их взаимодействию, должны понимать суть этих соотношений на первом-втором курсах института. Но наука эта увлекательная, и именно в этой области можно совершить прорыв или увековечить свое имя, присвоив его уравнению, преобразованию или свойству.

Физический смысл уравнения

Как мы и обещали, рассказываем, какие выводы таит уравнение Дирака для электрона. Во-первых, из этого соотношения становится ясно, что спин электрона равен ½. Во-вторых, согласно уравнению, у электрона есть собственный магнитный момент. Он равен магнетону Бора (единица элементарного магнитного момента). Но самый главный результат получения этого соотношения кроется в незаметном операторе α_k. Вывод уравнения Дирака из уравнения Шредингера занял много времени. Вначале Дирак думал, что эти операторы мешают соотношению. С помощью разных математических ухищрений он пытался исключить их из уравнения, но ему это не удалось. В итоге уравнение Дирака для свободной частицы содержит четыре оператора α. Каждый из них представляет собой матрицу [4×4]. Два соответствуют положительной массе электрона, что доказывает наличие двух положений его спина. Другие же два дают решение для отрицательной массы частицы. Самые простые познания в физике предоставляют человеку возможность заключить, что это невозможно в реальности. Но в результате эксперимента выяснилось, что последние две матрицы являются решениями для существующей частицы, противоположной электрону – антиэлектрону. Как и электрон, позитрон (так назвали эту частицу) обладает массой, но его заряд положителен.

Позитрон

Как часто бывало в эру квантовых открытий, Дирак сначала не поверил собственному выводу. Он не решился открыто опубликовать предсказание новой частицы. Правда, во множестве статей и на различных симпозиумах ученый подчеркивал возможность ее существования, хотя и не постулировал это. Но вскоре после вывода этого знаменитого соотношения позитрон был найден в составе космического излучения. Таким образом, его существование было подтверждено эмпирически. Позитрон – первый найденный людьми элемент антиматерии. Позитрон рождается как один из близнецов пары (другой близнец – это электрон) при взаимодействии фотонов очень высокой энергии с ядрами материи в сильном электрическом поле. Приводить цифры мы не будем (заинтересованный читатель и сам найдет всю нужную информацию). Однако стоит подчеркнуть, что речь идет о космических масштабах. Произвести фотоны нужной энергии способны лишь взрывы сверхновых и столкновения галактик. Также они в некотором количестве содержатся в ядрах горячих звезд, в том числе Солнца. Но человек всегда стремится к своей выгоде. Аннигиляция материи с антиматерией дает много энергии. Чтобы обуздать этот процесс и пустить его на благо человечества (например, эффективными были бы двигатели межзвездных лайнеров на аннигиляции), люди научились изготавливать протоны в лабораторных условиях.

В частности, большие ускорители (типа адронного коллайдера) могут создавать пары электрон-позитрон. Раньше также высказывались предположения, что существуют не только элементарные античастицы (помимо электрона их еще несколько), но и целая антиматерия. Даже совсем небольшой кусочек любого кристалла из антивещества обеспечил бы энергией всю планету (может быть, криптонит супермена был антиматерией?).

Но увы, создание антиматерии тяжелее ядер водорода в обозримой вселенной задокументировано не было. Однако если читатель думает, что взаимодействие вещества (подчеркнем, именно вещества, а не отдельно взятого электрона) с позитроном сразу заканчивается аннигиляцией, то он ошибается. При торможении позитрона с высокой скоростью в некоторых жидкостях с ненулевой вероятностью возникает связанная пара электрон-позитрон, которая называется позитроний. Это образование имеет некоторые свойства атома и даже способно вступать в химические реакции. Но существует этот хрупкий тандем недолго и потом все равно аннигилирует с испусканием двух, а в некоторых случаях и трех гамма-квантов.

Недостатки уравнения

Несмотря на то что благодаря этому соотношению был обнаружен антиэлектрон и антиматерия, оно имеет существенный недостаток. Запись уравнения и модель, построенная на его основе, не способны предсказать, как рождаются и уничтожаются частицы. Это своеобразная ирония квантового мира: теория, предсказавшая рождение пар материя-антиматерия, не способна адекватно описать этот процесс. Данный недостаток был устранен в квантовой теории поля. Путем введения квантованности полей эта модель описывает их взаимодействие, в том числе рождение и уничтожение элементарных частиц. Под «квантовой теорией поля» в данном случае подразумевается совершенно конкретный термин. Это область физики, которая изучает поведение квантовых полей.

Уравнение Дирака в цилиндрических координатах

Для начала сообщим, что такое цилиндрическая система координат. Вместо привычных трех взаимно перпендикулярных осей для определения точного местоположения точки в пространстве используются угол, радиус и высота. Это то же самое, что полярная система координат на плоскости, только добавляется третье измерение – высота. Эта система удобна, если требуется описать или исследовать некоторую поверхность, симметричную относительно одной из осей. Для квантовой механики это весьма полезный и удобный инструмент, который позволяет значительно сократить размер формул и количество вычислений. Это следствие осесимметричности электронного облака в атоме. Уравнение Дирака в цилиндрических координатах решается несколько иначе, чем в привычной системе, и дает иногда неожиданные результаты. Например, некоторые прикладные задачи по определению поведения элементарных частиц (чаще всего электронов) в квантованном поле решались преобразованием вида уравнения к цилиндрическим координатам.

Использование уравнения для определения строения частиц

Это равенство описывает простые частицы: такие, которые не состоят из еще более мелких элементов. Современная наука способна измерять магнитные моменты с достаточно высокой точностью. Таким образом, несоответствие посчитанного с помощью уравнения Дирака значения измеренному экспериментально магнитному моменту будет косвенно свидетельствовать о сложном строении частицы. Напомним, это равенство применимо к фермионам, их спин полуцелый. С помощью этого уравнения была подтверждена сложная структура протонов и нейтронов. Каждый из них состоит из еще более мелких элементов, которые называются кварками. Глюонное поле держит кварки вместе, не давая им рассыпаться. Существует теория, что и кварки — это не самые элементарные частицы нашего мира. Но пока у людей не хватает технической мощи, чтобы это проверить.