Директриса параболы

Вы будете перенаправлены на Автор24

Директрисой параболы называют такую прямую, кратчайшее расстояние от которой до любой точки $M$, принадлежащей параболе точно такое же, как и расстояние от этой же точки до фокуса параболы $F$.

Рисунок 1. Фокус и директриса параболы

Основные понятия параболы

Отношение расстояний от точки $M$, лежащей на параболе, до этой прямой и от этой же точки до фокуса $F$ параболы называют эксцентриситетом параболы $ε$.

Чтобы найти эксцентриситет параболы, достаточно воспользоваться следующей формулой из определения эксцентриситета: $ε =\frac$, где точка $M_d$ — точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c прямой $d$.

Каноническая парабола задается уравнением вида $y^2 = px$, где $p$ обязательно должно быть больше нуля.

Более часто приходится иметь дело с параболой, вершина которой не находится в точке начала координатных осей, и тогда уравнение параболы приобретает следующий вид:

$y = ax^2 + bx + c$, при этом коэффициент $a$ не равен нулю.

Чтобы найти директрису такой параболы, необходимо от такой формы перейти к канонической, ниже в примерах показано, как это сделать.

Расстояние от фокуса до директрисы параболы называется её фокальным параметром $p$. Уравнение директрисы канонической параболы имеет следующий вид: $x=-p/2$

Алгоритм составления уравнения директрисы параболы, заданной не каноническим уравнением

Готовые работы на аналогичную тему

Чтобы составить уравнение директрисы параболы, вершина которой не находится на пересечении осей координат, достаточно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Перенесите все слагаемые с $y$ в левую часть уравнения, а с $x$ — в правую.
2. Упростите полученное выражение.
3. Введите дополнительные переменные чтобы прийти к каноническому виду уравнения.

Составьте уравнение директрисы параболы, описанной уравнением $4x^2 + 24 x – 4y + 36 = 0$

Переносим все слагаемые с $y$ в левую часть и избавляемся от множителя, получаем:

$y^2 = x^2 + 6x – y + 9$

Приводим в форму квадрата:

Вводим дополнительные переменные $t = x + 3$ и $y = z$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 09 12 2021

Директриса параболы, формула и примеры

Дисциплина – «Элементы высшей математики»

Тема: «Кривые второго порядка. Парабола»

Цель: формирование умений составлять уравнения параболы, исследовать форму и расположение параболы;

формирование общих компетенций, включающими в себя способность:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

Парабола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершинойэтой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

Каноническое уравнение параболы впрямоугольнойсистеме координат:

(или , если поменять местами оси).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии от обоих.

Парабола, заданная квадратичной функцией

Квадратичная функция при также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

где — дискриминант квадратного трёхчлена.

Общее уравнение параболы

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант равен нулю.

Пример 1. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением .

Решение. Из данного канонического уравнения параболы следует, что , т.е. ,откуда .Значит, точка — фокус параболы, а — уравнение ее директрисы.

Пример 2. Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты .

Решение. Согласно условию, фокус параболы расположен на отрицательной полуоси , т.е. ее уравнение имеет вид: x2= — 2py

Так как , то , откуда .Итак, уравнение параболы есть , а уравнение ее директрисы .

Пример 3. Составить уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной оси Ох и проходящей через точку .

Решение. Из условия заключаем, что уравнение параболы следует искать в виде .

• Так как точка принадлежит параболе , то ее координаты удовлетворяют этому уравнению: 36= — 2р*(-3); 2р=12.
• Итак, уравнение параболы имеет вид .
• Пример 4. Парабола симметрична относительно оси Ox, проходит через точку

A(4, -1), а вершина ее лежит в начале координат. Составить ее уравнение.

Решение.Так как парабола проходит через точку A(4, -1) с положительной абсциссой, а ее осью служит ось Ox, то уравнение параболы следует искать в виде y2 = 2px. Подставляя в это уравнение координаты точки A, будем иметь

1. искомым уравнением будет
2. Эскиз этой параболы показан на рисунке

Пример 5.Парабола y2 = 2px проходит через точку A(2, 4). Определить ее параметр p.

Решение. Подставляем в уравнение параболы вместо текущих координат координаты точки A (2, 4). Получаем

• 42 = 2p*2; 16 = 4p; p = 4.
• Пример 6. Привести к каноническому (простейшему) виду уравнение параболы
• y = 2x2 + 4x + 5 и найти координаты ее вершины.
• Решение. Уравнение y = 2x2 + 4x + 5 преобразуем, выделив в правой части полный квадрат:
• y = 2(x2 + 2x) + 5,
• y = 2[(x + 1)2 — 1] + 5,
• y = 2(x + 1)2 + 3,
• y — 3 = 2(x + 1)2;
• пусть теперь x1 = x + 1, y1 = y — 3. Из сравнения с формулами
• координаты нового начала: x0 = -1; y0 = 3. Уравнение параболы примет вид
• Эскиз параболы показан на рисунке.

Пример 7.Упростить уравнение параболы y = x2 — 7x + 12, найти координаты ее вершины и начертить эскиз кривой.

1. Решение. Выделим в правой части уравнения y = x2 — 7x + 12 полный квадрат по способу, указанному выше в задаче, и получим
2. или
3. Положим
4. Отсюда из сравнения с формулами

координаты нового начала, т. е. вершины параболы, будут . После переноса начала координат в точку уравнение параболы примет наиболее простой вид . Эскиз кривой представлен на рисунке.

Пример 8. Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой и окружности и симметрична относительно оси .

Решение. Найдем точки пересечения заданных линий, решив совместно их уравнения:

В результате получим два решения и . Точки пересечения и . Так как парабола проходит через точку и симметрична относительно оси , то в этой точке будет находиться вершина параболы. Поэтому уравнение параболы имеет вид . Так как парабола проходит через точку , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы: , ,

Итак, уравнением параболы будет , уравнение директрисы или , откуда

Пример 9. Мостовая арка имеет форму параболы. Определить параметр этой параболы, зная, что пролет арки равен , а высота

Решение.Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы вершина параболы (мостовой арки) находилась в начале координат, а ось симметрии совпадала с отрицательным направлением оси .

В таком случае каноническое уравнение параболы имеет вид , а концы хорды арки и .

Подставив координаты одного из концов хорды (например, ) в уравнение параболы и решив полученное уравнение относительно , получим

• Ответ.
• Задание 1.
• а) Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением у2=16р.
• б) Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением
• у2=—18р.
• Задание 2.
• а) Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты (0; -7).
• б) Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты (0; 4).
• Задание 3.

а) Составить уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку А (-2; — 4). Начертить эскиз данной кривой.

б) Составить уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку А (3; — 5). Начертить эскиз данной кривой.

а) Парабола y2 = 2px проходит через точку A(4; 8). Определить ее параметр p.

б) Парабола y2 = —2px проходит через точку A(-4; -8). Определить ее параметр p.

а) Привести к каноническому (простейшему) виду уравнение параболы y = 2x2 + 8x + 5 и найти координаты ее вершины. Начертить эскиз данной кривой.

б) Привести к каноническому (простейшему) виду уравнение параболы y = 4x2 + 16x +10 и найти координаты ее вершины. Начертить эскиз данной кривой.

Задание 6. а) Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой 2х + 2у=0 и окружности х2+у2 – 4х=0 и симметрична относительно оси Оу.

б) Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой 3х + 3у=0 и окружности 2х2 + 2у2 — 8х=0 и симметрична относительно оси Ох.

Задание 7. а) Арка здания имеет форму параболы. Определить параметр р этой параболы, зная, что пролет арки равен 12 м, а высота 4 м.

б) Арка дома имеет форму параболы. Определить параметр р этой параболы, зная, что пролет арки равен 14 м, а высота 6 м.

Отчет о практической работе

Тема практической работы

Цель практической работы

В ходе выполнения практической работы я научился (закрепил умения) вычислять…

Я получил (совершенствовал) практические навыки…

• • В ходе практической работы я получил новые знания. Узнал, что …

Мне было сложно выполнять…, потому, что…

Мне было несложно выполнять…, потому, что…

Построение параболы по ее директрисе и фокусу

Построение параболы по ее директрисе и фокусу состоит из следующих этапов:

Основы черчения Комментировать

Директриса параболы

Директрисой параболы называют такую прямую, кратчайшее расстояние от которой до любой точки $M$, принадлежащей параболе точно такое же, как и расстояние от этой же точки до фокуса параболы $F$.

Рисунок 1. Фокус и директриса параболы

Основные понятия параболы

Отношение расстояний от точки $M$, лежащей на параболе, до этой прямой и от этой же точки до фокуса $F$ параболы называют эксцентриситетом параболы $ε$.

Чтобы найти эксцентриситет параболы, достаточно воспользоваться следующей формулой из определения эксцентриситета:
$ε =frac$, где точка $M_d$ — точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c прямой $d$.

Каноническая парабола задается уравнением вида $y^2 = px$, где $p$ обязательно должно быть больше нуля.

Более часто приходится иметь дело с параболой, вершина которой не находится в точке начала координатных осей, и тогда уравнение параболы приобретает следующий вид:

$y = ax^2 + bx + c$, при этом коэффициент $a$ не равен нулю.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Чтобы найти директрису такой параболы, необходимо от такой формы перейти к канонической, ниже в примерах показано, как это сделать.

Расстояние от фокуса до директрисы параболы называется её фокальным параметром $p$.
Уравнение директрисы канонической параболы имеет следующий вид: $x=-p/2$

Алгоритм составления уравнения директрисы параболы, заданной не каноническим уравнением

Чтобы составить уравнение директрисы параболы, вершина которой не находится на пересечении осей координат, достаточно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Перенесите все слагаемые с $y$ в левую часть уравнения, а с $x$ — в правую.
2. Упростите полученное выражение.
3. Введите дополнительные переменные чтобы прийти к каноническому виду уравнения.

Составьте уравнение директрисы параболы, описанной уравнением $4x^2 + 24 x – 4y + 36 = 0$

Переносим все слагаемые с $y$ в левую часть и избавляемся от множителя, получаем:

$y^2 = x^2 + 6x – y + 9$

Приводим в форму квадрата:

Вводим дополнительные переменные $t = x + 3$ и $y = z$

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

• Cтраница 1
• Директриса параболы пересекает эллипс 9Р»: 2 20Рі / 2 324 РІ точках ( — 4; 3) Рё ( 4; 3), Р° расстояние СЌС‚ этих точек РґРѕ фокуса параболы равно 2 РЈ5 Составить уравнение параболы. [1]
• Директрисой параболы, вершина которой нахо. [2]
• Директрисой параболы называется прямая СЃ уравнением С… — СЂ / 2 РІ канонической системе координат. [3]
• Директрисой параболы называется прямая СЃ уравнением С… — — СЂ / 2 РІ канонической системе координат. [4]

Таким образом директрисой параболы (9.

6), которая называется параболой метацентров или параболой устойчивости, является критическая РѕСЃСЊ контура, Р° ее фокусом — фокус контура.

�мея параболу метацентров, достаточно провести касательную к ней, перпендикулярную к направлению скорости на бесконечности, чтобы получить линию действия силы, действующей на контур.

Но известно, что основание перпендикуляра, опущенного из фокуса параболы на касательную, лежит на касательной к параболе, проходящей через вершину параболы.

Поэтому можно дать следующее простое правило построения линии действия силы: через середину перпендикуляра из фокуса на директрису проведем прямую, параллельную директрисе, тогда линия действия силы будет проходить через точку пересечения этой прямой с прямой, параллельной направлению скорости на бесконечности и проходящей через фокус параболы, и будет перпендикулярна направлению скорости на бесконечности. То или другое направление силы на линии ее действия может быть определено либо по правилу Жуковского, либо из знака момента Lp. [5]

Особенно простой случай представляет директриса параболы.

Одна из вершин параболы является несобственной точкой В, поэтому другая вершина параболы А ( собственная вершина) должна делить отрезок FG пополам ( черт. Следовательно, фокус F и директриса / всегда находятся на одинаковом расстоянии от вершины параболы. Заметим еще, что для окружности фокус совпадает с центром. Поэтому директрисой окружности является несобственная прямая. [6]

Пусть даны F-фокус Рё d — директриса параболы. [7]

Расстояние р от фокуса F до директрисы параболы называется параметром параболы. [8]

Параметр параболы р есть расстояние от директрисы параболы до фокуса. Расстояние от фокуса до вершины равно половине параметра. [9]

1. Заметим, что расстояние от начала координат до директрисы параболы зависит только от величины начальной скорости точки. [10]
2. Величина р, равная расстоянию между фокусом и директрисой параболы, называется параметром параболы. [11]
3. Величина р, равная расстоянию между фокусом и директрисой Параболы, называется параметром параболы. [12]
4. Величина р, равная расстоянию между фокусом и директрисой параболы, называется параметром параболы. [13]
5. Касательные, проведенные из любой точки, лежащей на директрисе параболы, к этой параболе перпендикулярны. [14]
6. Точка F называется фокусом, Р° прямая / — директрисой параболы. [15]
7. Страницы: 1 2 3 4

Урок 11

Директрисы эллиПса и гиПерболы.

Директрисы эллиПса и гиПерболы.

оПреДеление. Две Прямые, ПерПенДикулярные большой оси эллиПса и расПоложенные симметрично относительно центра на расстоянии а/e от него, называются Директрисами эллиПса (гДе а — большая Полуось эллиПса, e — эксцентриситет)

оПреДеление. Две Прямые, ПерПенДикулярные Действительной оси гиПерболы и расПоложенные симметрично относительно центра на расстоянии а/e от него, называются Директрисами гиПерболы (гДе а — Действительная Полуось, e — эксцентриситет)

уравнения Директрис эллиПса и гиПерболы имеют виД: х= ± а/e.

с Помощью Понятия Директрисы и эксцентриситета можно сформулировать общее свойство, Присущее эллиПсу и гиПерболе.

теорема. если r — расстояние от Произвольной точки м эллиПса (гиПерболы) До какого-нибуДь фокуса, d — расстояние от этой же точки До соответствующей этому фокусу Директрисы, то отношение r/d есть Постоянная величина, равная эксцентриситету эллиПса (гиПерболы).

Данное свойство можно Положить в основу общего оПреДеления этих линий: множество точек, Для которых отношение расстояний До фокуса и До соответствующей Директрисы является величиной Постоянной, равной e, есть эллиПс, если e 1.

возникает воПрос, что ПреДставляет собой множество точек, При условии e=1. оказывается, это новая линия второго ПоряДка, называемого Параболой.

оПреДеление. Параболой называется множество всех точек Плоскости, кажДая из которых нахоДится на оДинаковом расстоянии от Данной точки, называемой фокусом, и от Данной Прямой, называемой Директрисой и не ПрохоДящей через фокус.

Пусть м(х,у) — Произвольная точка Параболы. обозначим через r расстояние от точки м До фокуса f, через d — расстояние от точки м До Директрисы, а через P — расстояние от фокуса До Директрисы.

величину P называют Параметром Параболы. точка м лежит на Параболе, если r=P.

уравнение Параболы: у 2 =2Pх (каноническое уравнение).

исслеДуем форму Параболы По ее каноническому уравнению (Для не отрицательных значений у):

если х у 2 =2Pху 2 =-2Pхх 2 =2Pух 2 =-2Pу

Пример. Дано уравнение Параболы у 2 =6х. составьте уравнение ее Директрисы и найти коорДинаты фокуса.

решение. сравнивая Данное уравнение с каноническим уравнением Параболы, Получим, что 2р=6, откуДа р=3. так как фокус Параболы имеет коорДинаты (р/2;0), а Директриса — уравнение х=-р/2, то Для Данной Параболы Получаем: коорДинаты фокуса (1,5; 0) и уравнение Директрисы х=-1,5.

уПражнения .

1. составьте уравнение Параболы с вершиной в начале коорДинат и уравнение Директрисы Параболы, если известно, что осью симметрии является ось ох и что точка Пересечения Прямых у=х и у=2-х лежит на Параболе. (ответ: у 2 =х и х=-0,25)
2. Даны точки а(-1;0) и в(2;0). точка м(х;у) Движется так, что в треугольнике амв угол авм остается вДвое больше угла мав. оПреДелить траекторию точки м. (ответ: гиПербола)
3. Доказать, что если оси Двух Парабол взаимно ПерПенДикулярны и Параболы Пересекаются в четырех точках, то эти точки Пересечения лежат на оДной окружности.

Автор: Вяликова Мария Владимировна — учитель математики и информатики высшей квалификационной категории МАОУ Пролетарская СОШ Новгородского района Новгородской области