Уравнение длины волны и периода дифракционной решетки

5.5. Дифракционная решетка

Широкое распространение в научном эксперименте и технике получили дифракционные решетки, которые представляют собой множество параллельных, расположенных на равных расстояниях одинаковых щелей, разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Дифракционные решетки изготавливаются с помощью делительной машины, наносящей штрихи (царапины) на стекле или другом прозрачном материале. Там, где проведена царапина, материал становится непрозрачным, а промежутки между ними остаются прозрачными и фактически играют роль щелей.

Рассмотрим сначала дифракцию света от решетки на примере двух щелей. (При увеличении числа щелей дифракционные максимумы становятся лишь более узкими, более яркими и отчетливыми.)

Пусть а — ширина щели, a b — ширина непрозрачного промежутка (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Дифракция от двух щелей

Период дифракционной решетки — это расстояние между серединами соседних щелей:

Разность хода двух крайних лучей равна

Если разность хода равна нечетному числу полуволн

то свет, посылаемый двумя щелями, вследствие интерференции волн будет взаимно гаситься. Условие минимумов имеет вид

Эти минимумы называются дополнительными.

Если разность хода равна четному числу полуволн

то волны, посылаемые каждой щелью, будет взаимно усиливать друг друга. Условие интерференционных максимумов с учетом (5.36) имеет вид

Это формула для главных максимумов дифракционной решетки.

Кроме того, в тех направлениях, в которых ни одна из щелей не распространяет свет, он не будет распространяться и при двух щелях, то есть главные минимумы решетки будут наблюдаться в направлениях, определяемых условием (5.21) для одной щели:

Если дифракционная решетка состоит из N щелей (современные решетки, применяемые в приборах для спектрального анализа, имеют до 200 000 штрихов, и период d = 0.8 мкм, то есть порядка 12 000 штрихов на 1 см), то условием главных минимумов является, как и в случае двух щелей, соотношение (5.41), условием главных максимумов — соотношение (5.40), а условие дополнительных минимумов имеет вид

Здесь k’ может принимать все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, . . Следовательно, в случае N щелей между двумя главными максимумами располагается (N–1) дополнительных минимумов, разделенных вторичными максимумами, создающими относительно слабый фон.

Положение главных максимумов зависит от длины волны l. Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разлагаются в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, а красный — наружу. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Заметим, что в то время как спектральная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решетка, наоборот, сильнее отклоняет красные лучи.

Важной характеристикой всякого спектрального прибора является разрешающая способность.

Разрешающая способность спектрального прибора — это безразмерная величина

Определение длины световой волны с помощью дифракционной решетки

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а N 2 9

Определение длины световой волны с помощью дифракционной решетки

Дифракция света – явление огибания светом встречающихся на его пути препятствий, сопровождающееся пространственным перераспределением энергии световой волны — интерференцией.

Расчет распределения интенсивности света в дифракционной картине может быть осуществлен с помощью принципа Гюйгенса — Френеля. Согласно этому принципу каждая точка фронта световой волны, т. е. поверхности, до которой распространился свет, является источником вторичных когерентных световых волн (начальные фазы их и частоты одинаковы); результирующее колебание в любой точке пространства обусловлено интерференцией всех вторичных волн, приходящих в эту точку, с учетом их амплитуд и фаз.

Положение фронта световой волны в любой момент времени определяет огибающая всех вторичных волн; любая деформация фронта волны (она обусловлена взаимодействием света с препятствиями) приводит к отклонению световой волны от первоначального направления распространения – свет проникает в область геометрической тени.

2. Дифракционная решетка

Прозрачная дифракционная решетка представляет собой стеклянную пластинку или целлулоидную пленку, на которой через строго определенные расстояния специальным резцом нарезаны узкие шероховатые бороздки (штрихи), не пропускающие света. Сумма ширины ненарушенного, прозрачного промежутка (щели) и ширины бороздки называется постоянной или периодом решетки.

Пусть на решетку падает плоская монохроматическая световая волна с длиной волны (рассмотрим самый простой случай — нормальное падение волны на решетку). Каждая точка прозрачных промежутков решетки, до которой дойдет волна, согласно принципу Гюйгенса становится источником вторичных волн. За решеткой эти волны распространяются по всем направлениям. Угол отклонения света от нормали к решетке называется углом дифракции.

Поместим на пути вторичных волн собирающую линзу. Она сфокусирует в соответствующем месте своей фокальной поверхности все вторичные волны, распространяющиеся под одним и тем же углом дифракции.

Для того, чтобы все эти волны при наложении максимально усиливали друг друга, необходимо, чтобы разность фаз волн, приходящих от соответствующих точек двух соседних щелей, т. е. точек, отстоящих на одинаковых расстояниях от краев этих щелей, была равна четному числу или разность хода этих волн была равна целому числу m длин волн . Из рис.1 видно, что разность хода волн 1 и 2

для точки P равна:

. (1)

Следовательно, условие максимумов интенсивности результирующей световой волны при дифракции от дифракционной решетки можно записать следующим образом:

, (2)

где знак плюс соответствует положительной разности хода , минус — отрицательной.

Максимумы, удовлетворяющие условию (2), называются главными, число m называется порядком главных максимумов или порядком спектра. Значению m=0 соответствует максимум нулевого порядка (центральный максимум). Максимум нулевого порядка один, максимумов первого, второго и более высоких порядков — по два слева и справа от нулевого.

Положение главных максимумов зависит от длины световой волны. Поэтому при освещении решетки белым светом максимумы всех порядков, кроме нулевого, соответствующие разным длинам волн, смещаются друг относительно друга, т. е. разлагаются в спектр. Фиолетовая (коротковолновая) граница этого спектра обращена к центру дифракционной картины, красная (длинноволновая) — к периферии.

3. Описание установки

Работа проводится на спектрогониометре ГС-5 с установленной на нем дифракционной решеткой. Гониометр — прибор, предназначенный для точного измерения углов. Внешний вид спектрогониометра ГС-5 изображен на рис.2.

Коллиматор 1, снабженный регулируемой микрометрическим винтом 2 спектральной щелью, крепится на неподвижной стойке. Щель обращена к источнику света (ртутной лампе). На предметном столике 3 устанавливается прозрачная дифракционная решетка 4.

Наблюдение дифракционной картины производится через окуляр 5 зрительной трубы 6.

Целью работы является изучение дифракционной решетки, нахождение ее характеристик и определение с ее помощью длины световых волн спектра излучения паров ртути.

В лаборатории физического практикума кафедры физики УГТУ-УПИ в качестве источника линейчатого спектра в лабораторной работе № 29 используется ртутная лампа, в которой при электрическом разряде генерируется линейчатый спектр излучения, которое пройдя коллиматор спектрогониометра ГС-5 падает на дифракционную решетку (фотография ГС-5 приведена на титульном файле). Экспериментатор определяет угол дифракции с точностью до нескольких секунд, наводя визирную линию окуляра на соответствующую линию спектра, затем по вышеописанной методике вычисляет длину волны выбранной линии.

В компьютерном варианте данной работы достаточно точно моделируются условия проведения опытов. На экране дисплея воспроизводится окуляр, визирную линию которого следует наводить на любую выбранную спектральную линию, точнее говоря на середину цветовой полоски, что повышает точность измерения углов до нескольких угловых секунд.

Как и реальном спектре паров ртути, в компьютерной работе также “генерируются” четыре наиболее ярких видимых линий спектра: фиолетовая, зеленая и две желтых линии. Спектры расположены зеркально симметрично относительно центрального (белого) максимума. Внизу под окуляром для лучшей ориентации на тонкой черной полоске приведены все линии спектра ртути. Причем две желтые линии сливаются в одну. Дело в том, что эти линии расположены рядом и имеют близкие значения длин волн – так называемый дуплет, однако на хорошей дифракционной решетке они разделяются (разрешаются), что видно в окуляре. В данной работе одной из задач и является определение разрешающей способности дифракционной решетки.

Итак, наведя курсор на «Измерения» и нажав левую клавишу мышки, можно приступать к измерениям. «Вращать» окуляр можно в четырех различных режимах как влево, так и вправо, до тех пор, пока в поле зрения окуляра не покажется цветная вертикальная линия. Следует навести черную вертикальную визирную линию окуляра на центральную часть цветной полоски, при этом на цифровом табло высвечиваются значения угла дифракции с точностью до нескольких угловых секунд. Спектральные линии расположены примерно от 60 до 150 градусов. При этом от тщательности проведения опытов зависит точность числовых значений углов и, как следствие, правильность полученных результатов. Экспериментатору предоставляется возможность самому выбирать последовательность выполнения измерений

Результаты измерений надо занести в соответствующие таблицы отчета и произвести необходимые вычисления.

4.1.Определение длины волны спектральных линий паров ртути.

Измерения проводятся для линий спектра первого порядка (m=1). Постоянная решетки d=833,3 нм., ее длина (ширина) равна 40 мм. Значение синуса угла можно определить по соответствующим таблицам или с помощью калькулятора, однако следует иметь в виду, что угловые секунды и минуты нужно переводить в десятичные разряды градусов, т. е. 30 минут равны 0,5 градуса и т. п.

Результаты измерений заносятся в таблицу 2 отчета (смотри Приложение). Значение длины волны получают, используя формулу (2):

. (3)

4.2.Расчет характеристик дифракционной решетки.

Максимальное значение порядка m дифракционных спектров для какой-либо дифракционной решетки может быть определено в случае нормального падения света на решетку по следующей формуле:

. (4)

Значение mmax определяется для наибольшей длины волны — в данной работе для второй желтой линии ж. Наивысший порядок спектров равен целой части (без округления!) отношения .

Разрешающая способность R дифракционной решетки характеризует ее способность разделять (разрешать) спектральные линии, мало отличающиеся по длинам волн. По определению

(5)

где — длина волны, вблизи которой производится измерение;

— минимальная разность длин волн двух спектральных линий, воспринимаемых в спектре раздельно.

Величина обычно определяется критерием Рэлея: две спектральные линии и считаются разрешенными, если максимум порядка m одной из них (с большей длиной волны), определяемый условием

,

совпадает с первым добавочным минимумом в спектре этого же порядка m для другой линии , определяемым условием:

.

Из этих уравнений следует, что

,

и разрешающая способность решетки оказывается равной

(6)

Таким образом, разрешающая способность решетки зависит от порядка m спектра и от общего числа N штрихов рабочей части решетки, т. е. той части, через которую проходит исследуемое излучение и от которой зависит результирующая дифракционная картина. По формуле (5) находится разрешающая сила R используемой дифракционной решетки для спектра первого порядка (m=1).

Из (5) следует, что две спектральные линии и разрешаются дифракционной решеткой в спектре m — го порядка, если:

. (7)

Используя найденное значение R, по формуле (5) вычисляется ( в нанометрах) линейное разрешение спектральных линий вблизи линий ф , з ,ж спектра

(8)

Угловая дисперсия D дифракционной решетки характеризует угловое расстояние между близкими спектральными линиями. По определению

(9)

где — угловое расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длинам волн на .

Формула для D получается дифференцированием соотношения(2): левой части по углу дифракции , а правой — по длине волны :

,

(10)

Таким образом, угловая дисперсия решетки зависит от порядка m спектра, постоянной d решетки и от угла дифракции .

По формуле (8) находится (в “/нм— угловых секундах на нанометр) угловая дисперсия используемой дифракционной решетки для углов дифракции, соответствующих всем измеряемым длинам волн спектра.

Полученные результаты записываются в таблицу 2 отчета (смотри Приложение).

5. Kонтрольные вопросы

1. В чем состоит явление дифракции света?

2. Сформулируйте принцип Гюйгенса-Френеля.

3. Что такое разрешающая способность дифракционной решетки и от чего она зависит?

4. Как экспериментально определить угловую дисперсию D дифракционной решетки?

5. Какой вид имеет дифракционная картина, полученная от прозрачной решетки?

ПРИЛОЖЕНИЕ

ФОРМА ОТЧЕТА

Кафедра физики

по лабораторной работе 29

Изучение дифракционных решеток. Определение длины световой волны с помощью дифракционной решетки

Дата _________________________________

На внутренних страницах:

1. Расчетные формулы:

; ; ; ; ,

где — длина волны;

m – порядок спектра ( m=1).

2. Источник излучения – ртутная лампа.

4. Результаты измерений углов дифракции и длин волн

спектральных линий паров ртути. Таблица 1

Порядок максимума, m

Угловое положение линии

Угол дифрак — ции

, нм

Слева от центр. макс. a 1

Справа от центр. макс. a 2

5. Расчет искомых величин.

Чтобы рассчитать число штрихов на рабочей части решетки, следует учесть, что d=833,3 нм, а длина (в нашем случае, ширина) решетки равна 40 мм.

Таблица 2 Xарактеристики дифракционной решетки

,нм

6. Оценка погрешностей измерений длин волн рассчитывается по формуле:

нм:

Табличные значения длин волн спектральных линий паров ртути:

Дифракционная решетка. Постоянная и период решетки. Использование в спектроскопии

Дифракционная решетка часто используется для определения спектра падающего на нее света, поскольку она позволяет расщеплять его на отдельные цвета. В данной статье рассмотрим, что такое дифракционная решетка, постоянная и период ее, и приведем пример решения задачи с использованием этого оптического прибора.

Явление дифракции

Суть его заключается в изменении направления распространения волны, когда она встречает на своем пути препятствие. Результат дифракции хорошо различим, если размеры препятствия сравнимы с длиной волны или меньше нее. Дифрагированная волна способна проникать в области за препятствием, куда она не смогла бы попасть, если бы двигалась вдоль прямой.

Вам будет интересно: Корневая система. Как образуются придаточные корни

На рисунке ниже приведен пример дифракции морской волны.

Видно, как прямой фронт волны после прохождения препятствия приобретает форму окружности.

Математическое описание дифракции осуществляется с использованием принципа Гюйгенса-Френеля, который гласит, что каждая точка волнового фронта является источником вторичной волны некоторой интенсивности.

Дифракция часто сопровождается интерференцией. Благодаря этим двум явлениям можно наблюдать так называемые дифракционные картины.

Дифракционная решетка

Это решетка представляет собой прозрачную пластинку, на которую нанесены непрозрачные штрихи с определенным периодом. Когда свет проходит через такую пластинку, то она вносит периодическое возмущение в его волновой фронт. В результате возникает ряд вторичных источников, которые испускают когерентные волны. В результате интерференции когерентные волны образуют на экране совокупность максимумов и минимумов, то есть дифракционную картину.

Важной характеристикой решетки является число штрихов N, нанесенных на 1 мм ее длины. Эта величина N называется постоянной дифракционной решетки, d — период решетки, который равен обратному значению от N. Период обычно выражают в мкм. Геометрический смысл величины d простой — это расстояние между двумя соседними штрихами на решетке. Период d является параметром уравнения решетки, которое будет приведено в следующем пункте.

Описанная выше решетка называется проходящей или прозрачной. Существует также отраженная дифракционная решетка, которая представляет собой совокупность периодических бороздок, нанесенных на гладкую поверхность материала. Примером этого вида решетки является DVD-диск.

Уравнение решетки

В приближении дальнего поля (дифракция Фраунгофера) уравнение для решетки выглядит следующим образом:

Это выражение показывает, при каких углах θm будут возникать максимумы (яркие полосы) на экране. Здесь m = 0, ±1, 2, 3, . Эти числа называются порядком дифракции. Величина λ — это длина волны, которая дифрагирует на решетке, d — период, то есть величина, обратная постоянной дифракционной решетки. Длина самой решетки, как видно из формулы, никакой роли не играет. Углы θm измеряются между двумя прямыми: перпендикуляром, восстановленным к центру решетки, и прямой, направленной от центра к максимуму порядка m.

Приведенная формула непосредственно следует из условия интерференционного максимума. В лабораторных работах ее используют для определения либо постоянной дифракционной решетки, когда λ известна, либо длины волны, когда d известен.

Использование дифракционной решетки в спектроскопии

Приведенное выше уравнение решетки позволяет сделать вывод, что углы θm, в которых появляются максимумы, зависят от длины волны. Чем больше она, тем больше эти углы (длинные волны лучше дифрагируют, чем короткие). Это означает, что если на решетку направить белый свет, то она его разложит на ряд цветов подобно дисперсионной призме. Причем последовательность цветов, начиная от центра (m=0), будет идти от фиолетового к красному.

Каждый максимум для соответствующего порядка дифракции и белого света будет представлять собой «радугу». Единственным максимумом, который всегда будет белым, является центральный или нулевой (m=0).

Явление разложения белого света на отдельные составляющие позволяет использовать дифракционную решетку в спектроскопии. Например, пропуская свет от далекой галактики через решетку, а затем анализируя полученный спектр, можно с достоверностью сказать, какие элементы присутствуют в галактике, какая у них температура, с какой скоростью движется эта галактика относительно нас (в последнем случае учитывается эффект Доплера).

Пример решения задачи

Покажем, как пользоваться уравнением решетки, на примере решения простой задачи. Пусть постоянная дифракционной решетки равна 300 штрихов на 1 мм. Необходимо определить, при каком угле будет наблюдаться максимум первого порядка для фиолетовой (400 нм) и для красной (700 нм) волн.

Учитывая, что число штрихов N обратно пропорционально периоду d, перепишем уравнение решетки в виде:

Угол для первого максимума равен:

Подставляем данные в единицах СИ в это выражение, получаем:

Для фиолетового: θ1 = arcsin(400*10-9*300*103) = 6,89o.

Для красного: θ1 = arcsin(700*10-9*300*103) = 12,12o.

Если экран поставить на расстоянии 1 метра от решетки, тогда на нем красная и фиолетовая полосы для первого порядка дифракции будут находиться на расстоянии около 9 см друг от друга.