Движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту.
Движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту.
Это движение в плоскости, поэтому для описания движения необходимо 2 координаты.
Считаем, что движение происходит вблизи поверхности Земли, поэтому ускорение тела – ускорение свободного падения (a = g).
Так как мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, то ускорение направлено только к поверхности Земли ( g ) – вдоль вертикальной оси ( y ), вдоль оси х движение равномерное и прямолинейное.
Движение тела, брошенного горизонтально.
Выразим проекции скорости и координаты через модули векторов.
Для того чтобы получить уравнение траектории, выразим время tиз уравнения координаты x и подставим в уравнение для y:
— между координатами квадратичная зависимость, траектория – парабола!
Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Порядок решения задачи аналогичен предыдущей.
Докажем, что траекторией движения и в этом случае будет парабола. Для этого выразим координату Y через X (получим уравнение траектории):
.
Мы получили квадратичную зависимость между координатами. Значит траектория — парабола.
Найдем время полета тела от начальной точки до точки падения. В точке падения координата по вертикальной оси у=0.
Следовательно, для решения этой задачи необходимо решить уравнение
Оно будет иметь решение при t=0 (начало движения) и
Зная время полета, найдем максимальное расстояние, которое пролетит тело:
Дальность полета:
Из этой формулы следует, что:
— максимальная дальность полета будет наблюдаться при бросании тела (при стрельбе, например) под углом 45 0 ;
— на одно и то же расстояние можно бросить тело (с одинаковой начальной скоростью) двумя способами – т.н. навесная и настильная баллистические траектории.
Используя то, что парабола – это симметричная кривая, найдем максимальную высоту, которой может достичь тело . Время, за которое тело долетит до середины, равно:
Тогда:
Максимальная высота:
Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к траектории движения (параболе) и равна
Угол, под которым направлен вектор скорости в любой момент времени:
Уравнение движения тела, брошенного под углом к горизонту, формула
Координаты точки траектории описываются уравнениями:
Здесь: x, y — координаты тела, u0 — начальная скорость тела (м/с), α — угол, под которым брошено тело к горизонту (°), g — ускорение свободного падения 9.81 (м/c 2 ), t — время движения (c)
Уравнение движения тела, брошенного под углом к горизонту
Из формул 1 и 2 через параметр t выводится общее уравнение движения тела, брошенного под углом к горизонту
Так как ускорение свободного падения g, α — угол, под которым брошено тело к горизонту и начальная скорость тела u0 — постоянные величины, то координата y пропорциональна квадрату x, т.е. траектория движения представляет собой параболу, начальная точка находится на одной из ее ветвей, а вершина параболы, есть точка максимального подъема тела.
Движение тела под углом к горизонту
Начальные условия
Рассмотрим движение тела (материальной точки) брошенного под углом к горизонту с некоторой высоты $h_0$. Начальная скорость тела равна $<\overline>_0$, вектор $<\overline>_0$ составляет угол $\alpha $ с горизонтом (рис.1). Систему отсчета, в которой движется тело, свяжем с Землей. Ось X направим параллельно земле, ось Y вертикально вверх.
Движение тела под углом к горизонту происходит в поле тяжести Земли под воздействием силы тяжести. Силой сопротивления воздуха пренебрежём. В этом случае ускорение тела ($\overline$) совпадает с ускорением свободного падения ($\overline$):
Запишем начальные условия движения тела (рис.1):
Уравнение для перемещения тела, брошенного под углом к горизонту. Траектория его движения
Перемещение тела, которое бросили под углом к горизонту является равноускоренным, следовательно, для написания уравнения движения воспользуемся векторным уравнением для перемещения ($\overline$) при равнопеременном движении в виде, учтем равенство (1):
Векторное уравнение (3) в проекции на оси координат X и Y даст нам два скалярных уравнения:
Из системы уравнений (4) мы видим, что при рассматриваемом нами движении происходит наложение двух прямолинейных движений. Причем по оси X тело под углом к горизонту движется с постоянной скоростью $<\ v>_<0x>=v_0<\cos \alpha ,\ >$ а по оси Y материальная точка перемещается с постоянным ускорением $\overline$. Уравнение траектории движения тела можно получить, если из первого уравнения системы (4) выразить время ($t$) полученный результат подставить во вторую формулу системы:
Уравнение $y(x)$ (функция (5)) показывает, что тело движется по параболе в плоскости, в которой лежат векторы $\overline$ и $<\overline>_0.$
Уравнение скорости движения тела брошенного под углом к горизонту
В векторном виде уравнение для скорости движения рассматриваемого нами тела в произвольный момент времени запишем:
В скалярном виде уравнение (6) представим в виде системы уравнений:
В системе уравнений (7) мы еще раз видим, что движение тела под углом к горизонту по оси X равномерное, по оси Y равнопеременное. Причем, двигаясь вверх, тело уменьшает свою скорость от $v_<0y>$ до нуля, затем падая вниз скорость тела увеличивается.
Модуль вектора скорости в производный момент времени для рассматриваемого нами движения найдем как:
Время подъема и полета тела
Время, которое тело тратит на полет вверх в рассматриваемом движении можно найти из второго уравнения системы (7). В точке максимального подъема вектор скорости точки параллелен оси X, значит $v_y=0$, тогда время подъема ($t_p$):
Время, которое тело находилось в воздухе (время полета($t_$)) получим из второго уравнения системы (4), приравняв ординату $y$ к нулю:
При $h_0=0$ мы видим, что $t_=2t_p.$
Дальность полета и высота подъема
Для того чтобы найти горизонтальную дальность полета тела ($s$) при заданных нами условиях в уравнение координаты $x$ системы уравнений (4) подставим время полета ($t_$) (10). При $h_0=0,$ дальность полета равна:
Максимальную высоту подъема тела под углом к горизонту ($h_$) находят из второго уравнения системы (4), подставляя в него время подъема ($t_p$) (9):
Примеры задач с решением
Задание. Каким будет угол ($\alpha $) под которым бросили тело к горизонту, если оказалось, что максимальная высота подъема ($h$) тела в четыре раза меньше, чем дальность его полета ($s$)? Сопротивление воздуха можно не учитывать.
Решение. Выберем систему отсчета связанную с Землей. Будем считать, что тело бросили из начала координат (рис.2).
Запишем кинематические уравнения движения тела в поле тяжести земли:
Исходя из начальных условий, нашей задачи:
В проекциях на оси уравнения (1.1) и (1.2)предстанут в виде:
Время подъема из второго уравнения системы (1.5) равно:
Тогда максимальная высота подъема равна:
Если тело бросили из начала координат, то $t_=2t_p,$ дальность полета найдем, подставив время полета в первое уравнение системы (1.4):
По условию задачи: $h=\frac<4>$, используем уравнения (1.7) и (1.8):
Ответ. $\alpha =\frac<\pi ><4>$
Задание. Какова скорость падения тела брошенного под углом горизонта $\alpha $ со скоростью $v_0$? Если тело бросили с земли. Сопротивление воздуха можно не учитывать.
Решение. За основу решения задачи примем кинематическое уравнение для скорости движения тела в поле тяжести Земли:
Начальные условия движения нашего тела:
В проекциях на оси X и Y уравнение (2.1):
Время подъёма тела, принимая во внимание, что $v_y\left(t_p\right)=0$ из второго уравнения (2.3) равно:
Если тело бросили из начала координат, то $t_=2t_p:$
Зная время полета, найдем $v_y\left(t_\right)$, подставив его во второе уравнение (2.3):
Модуль вектора скорости в момент падения найдем как:
Ответ. При заданных условиях величина скорости падения равна модулю скорости бросания.
.
