Уравнение для комплекса междуузлового напряжения

Метод узлового напряжения (двух узлов)

Наиболее простым методом расчета электрической цепи с двумя узлами – является метод узлового напряжения или метод двух узлов.

Важно отличать метод узлового напряжения (метод двух узлов) от метода узловых напряжений.

Содержание

Метод узлового напряжения (двух узлов)

Определим разность потенциалов между двумя узлами цепи А и B.

Найдём потенциал точки А, перемещаясь по первой ветви от узла B до А.

Исходя из выражения (1) можно записать:

Выразим ток первой ветви

где r₁ и g₁ – сопротивление и проводимость первой ветви соответственно.

Аналогично составляются уравнения для оставшихся ветвей.

По первому закону Кирхгофа запишем уравнение для узла B

Подставим в вышеуказанное уравнение выражения токов (2-5).

Раскрыв скобки, находим узловое напряжение U:

Общее выражение узлового напряжения

Исходя из вышеизложенного, узловое напряжение равно отношению алгебраической суммы произведений ЭДС на проводимости соответствующих ветвей к сумме проводимостей всех ветвей. ЭДС направленная к узлу A, записывается со знаком «+», если в противоположную сторону, то со знаком «-».

Давайте рассмотрим применения метода на конкретном примере.

Пример решения задач методом двух узлов (метод узлового напряжения)

Пример. Электрическая цепь постоянного тока представлена на рисунке 2. Определить токи в ветвях методом двух узлов, если ЭДС источников равна E1 = 40 В, E2 = 50 В, E3 = 10 В, а сопротивления r1 = 10 Ом, r2 = 20 Ом, r3 = 15 Ом, r4 = 12 Ом.

Рисунок 2 – Электрическая цепь

Порядок расчёта:

1. Так как действительные направления токов до расчёта цепи нам неизвестны — произвольно указываем направления токов в ветвях, например, как на Рисунке 3.

Рисунок 3

1. Определим проводимость ветвей.

1. Найдем напряжение U_AВ. Для этого воспользуемся формулой 6.

В числителе записываем произведения ЭДС на проводимости соответствующих ветвей, причем ЭДС направленная к узлу A, записывается со знаком «+», если в противоположную сторону, то со знаком «-».

В знаменателе указываем сумму проводимостей всех ветвей:

Подставляем раннее найденные значения проводимостей и значения ЭДС указанные в условии задачи:

1. Определим токи в ветвях. С учетом направления ЭДС

Подставляем численные значения

Токи I₃ и I₄ получились с отрицательными значениями, следовательно их направление противоположно ранее принятому.

Рисунок 4 – Реальные направления токов.

Правильность решения можно проверить при помощи баланса мощностей.

Так же для себя правильность решения задачи можно проверить выполнением первого закона Кирхгофа, а именно:

Техническая редакция текста

Метод межузлового напряжения даёт возможность весьма просто, без решения систем уравнений, провести анализ и расчёт электрической цепи, содержащей несколько параллельно соединённых активных и пассивных ветвей, включённых между двумя узлами, например, между а и с на рисунке 1.4.

Идея метода состоит в том, что по расчётной формуле (1.20) определяют напряжение между узлами, называемое межузловым напряжением (Uca на рисунке 1.4), а затем по формуле (1.21) рассчитывают токи в ветвях.

1 Произвольно принимаем, что потенциал узла с больше потенциала узла а (φс > φа) 2 . Тогда напряжение Uca, общее для всех ветвей схемы, будет направлено так, как показано на рисунке 1.4.

2 Условно задаемся направлением токов всех ветвей, например, от узла а к узлу с, и обозначаем эти токи.

3 Рассчитываем проводимости gк всех ветвей цепи, считая их обратной величиной полного сопротивления rк соответствующих ветвей. Импульсные цепи В современных электронных устройствах, системах связи, автоматического управления и вычислительной технике информация часто передается в виде электрических импульсов различной формы. В процессе прохождения импульсов через различные цепи и устройства их форма видоизменяется и иногда искажается.

4 Определяем межузловое напряжение из выражения

, (1.20)

Метод межузлового напряжения

В реальных электрических цепях очень часто несколько источников и приёмников электрической энергии включаются параллельно. Схема замещения такой цепи, содержащей активные и пассивные ветви, соединённые параллельно, имеет только два узла, например узлы А и В. Для определения токов во всех ветвях достаточно найти напряжение между двумя узлами. Формулу для этого напряжения можно получить, используя принцип суперпозиции.

Частичное напряжение от действия источника тока J можно определить исходя из того, что ток J равен сумме токов всех ветвей. Далее необходимо определить частичные напряжения от действия каждого источника э.д.с. в отдельности. Таким образом, если схема содержит k источников тока и m источников э.д.с., то напряжение между узлами равно алгебраической сумме всех частичных напряжений, т.е.

Произведения и берут со знаком плюс, когда направление Е и J противоположны выбранному условно-положительному направлению межузлового напряжения и со знаком минус, когда эти направления совпадают.

Зная межузловое напряжение, легко можно найти токи как в пассивных, так и в активных ветвях.

4. Практическая часть

Исходные данные

Для электрической цепи, представленной на рис. 1 с известными параметрами:

R = 0,82 кОм = 820 Ом;

L = 4,7 мГн = 4,7*10 -3 Гн;

С₁ = 1 нФ = 1*10 -9 Ф;

С₂ = 3,6 нФ = 3,6*10 -9 Ф;

f = 50 кГц = 5*10 4 Гц,

составить уравнение баланса и рассчитать:

модуль общего тока I;

Рис. 1- Параллельная RLC-цепь

4.3 Основные формулы

Первый закон Кирхгофа для мгновенных значений токов в одноконтурной цепи ( рис.1), состоящей из параллельно соединенных активного сопротивления R, катушки индуктивности L и емкости С, описывается выражением:

Баланс токов в цепи описывается следующими соотношениями:

,

|Z| = z = — модуль полного сопротивления цепи,

φ — фазовый угол между синусоидами напряжения (источника) и тока цепи.

4.2.1 Расчет цепи для первого случая (без подключенного конденсатора С₂)= C₁;

ω = 2πf = 2*3,14*5*10 4 = 3,14*10 5 (c -1 );= 1/820 = 1,2*10 -3 (См);_{L =} 1/(3,14*10 5 *4,7*10 -3 ) = 6,776 (См);_c = 3,14*10 5 *1*10 -9 = 3,14*10 -4 (См);= b_L — b_C = 6,776 — 3,14*10 -4 = 3,7757 (См) φ =3,7757 /1,2*10 -3 = 3146,42

φ = arctg 3146,42 = 90 0 .= √1/820 2 + 1/(3,14*10 5 *4,7*10 -3 — 3,14*10 5 *1*10 -9 ) 2 = 3,8*10 -2 (См).= y*U = 3,8*10 -2 *3,54 = 13,45*10 -2 (А)_R = g*U = 1,2*10 -3 *3,54 = 4,248*10 -3 (А)._L = b_L*U =6,776 *3,54 = 23,99 (А)._C = b_C*U =3,14*10 -4 *3,54 = 1,112*10 -3 (А).

4.2.2 Расчет цепи для второго случая (с подключенным конденсатором С₂)

С = С₁ + С₂ = 1*10 -9 + 3,6*10 -9 = 4,6*10 -9 Ф;_c = 3,14*10 5 *4,6*10 -9 = 14,444*10 -4 (См);= b_L — b_C = 6,776 -14,444*10 -4 = 6,7746(См); φ =6,7746 /1,2*10 -3 =5646,47;

φ = arctg 5646,47 = 90 0 .= √1/820 2 + 1/(3,14*10 5 *4,7*10 -3 — 3,14*10 5 *(1*10 -9 + 3,6*10 -9 )) 2 = 3,8*10 -2 (См).= y*U = 3,8*10 -2 *3,54 = 13,45*10 -2 (А);_R = g*U = 1,2*10 -3 *3,54 = 4,248*10 -3 (А)._L = b_L*U =6,776 *3,54 = 23,99 (А)._C = b_C*U =14,444*10 -4 *3,54 = 5,1*10 -3 (А).

Заносим результаты рассчетов в табл. 2:

Табл. 2 — Результаты рассчетов

Как показали результаты расчета, параллельное добавление еще одного конденсатора C2 к параллельной RLC цепи не оказывает существенного влияния на изменение разности фаз φ (φ ≈ 90 0 ) напряжения и тока, модулей полного тока и токов на индуктивности L и сопротивлении R.

Заключение

Расчеты электрических цепей являются неотъемлимой частью при проектировании любого электрооборудования.

Любой элемент электрической цепи в малой и большей степени оказывает влияние как на работу других ее элементов, так и на работу всей системы в целом. Это влияние может быть связано с назначением самой электрической схемы, или с разными явлениями в (помехи,резонанс) цепи.

И поэтому, именно знание таких законов, как закон Ома, законы Кирхгоффа и др., а также известных методов расчета электрических цепей, помогают нам достигнуть желаемых результатов для надежной работы электрических схем.

Данные законы и методы были применены в практической части курсовой работы при расчете цепи параллельного соединения RLC — элементов, и были сделаны соотствующие выводы.